第二十六章 反例函数
２61 反例函数ﻫ２6．11 反例函数
1理解反例函数概念(难点）
2．判断定函数否反例函数会定系数法求解析式(重点)
３．根实际问题中条件建立反例函数模型(重点）
情境导入
1京广高铁全程２２98ｋｍ某次列车均速度v(单位ｋmh)次列车全程运行时间t(单位：h)什样等量关系
２．冷冻物体温度20℃降零1０0℃分钟均变化温度T(单位℃)冷冻时间t（单位ｍｉn)什样等量关系？
问题关系式什点？
二合作探究
探究点：反例函数定义
类型 反例函数识
列函数中①y＝②３xｙ＝1③ｙ④y＝反例函数( )
A1 B2 C３ D4
解析：①y反例函数正确②3ｘy＝1化y反例函数正确③y反例函数正确④ｙ＝正例函数错误选C．
方法总结判断函数否反例函数首先两变量否具反例关系然根反例函数定义判断形式ｙ＝(ｋ常数k≠0）ｙ＝ｋx－1(k常数ｋ≠0)xyk（k常数ｋ≠０)
变式训练：见学练优课时练课堂达标训练第3题
类型二 根反例函数定义确定字母值
已知函数y＝（2m2＋m－1）x2ｍ２＋3m３反例函数求ｍ值．
解析：反例函数定义 2m2＋3m－312ｍ2＋ｍ1≠０然求解
解：∵y(2m2＋m１)ｘ2ｍ２+3m３反例函数∴解ｍ2
方法总结：反例函数写成ykx１(k≠0)形式注意x次数－1系数等０
变式训练：见学练优课时练课巩固提升第3题
探究点二定系数法确定反例函数解析式
类型 确定反例函数解析式
已知变量yｘ成反例x＝2时y＝6求：
（1)yx间函数解析式
(2)y＝２时x值
解析（１)题意中变量yx成反例设出函数解析式利定系数法进行求解(2)代入求函数解析式解x值．
解：(１)∵变量yx成反例∴设y(k≠０)∵ｘ2时ｙ＝6∴k＝2×(－6)－12∴yｘ间函数解析式y
（２)y＝2时y＝2解x＝－6
方法总结定系数法求反例函数解析式时注意：①设出含定系数反例函数解析式形y＝(ｋ常数k≠0)②已知条件(变量函数应值)代入解析式关定系数方程③解方程求出定系数④写出解析式
变式训练：见学练优课时练课堂达标训练第8题
类型二 解决正例函数反例函数关问题
已知y＝ｙ1+y2y1(x－1)成正例ｙ２(ｘ+1)成反例x＝0时y＝－3x1时y＝１求：
(1）y关x关系式
(2)ｘ－时ｙ值．
解析根正例函数反例函数定义y１ｙ２关系式进y关系式两组数代入求出相应例系数求求关系式
解(1)∵ｙ1（ｘ－1)成正例y２（x＋1）成反例∴设y1ｋ1(x１)(k1≠0)y2(k２≠０)∵ｙ＝y1+y2∴y＝ｋ1（x１)+x0时ｙ3x＝１时y－1∴∴k11ｋ2＝2∴y＝x－1－
（2)x代入(1)中函数关系式ｙ＝－
方法总结：根题意设出y1ｙ２函数关系式定系数法求等量关系解答题关键．
变式训练：见学练优课时练课巩固提升第8题
探究点三：建立反例函数模型相关问题
写出列问题中两变量间函数表达式判断否反例函数．
(1)底边3ｃｍ三角形面积ycm2底边高xcm变化变化
(2)艘轮船相距skm甲驶乙轮船速度vkmh航行时间ｔｈ关系
（３)检修100m长道时天完成10m剩未检修道长ym检修天数x变化变化
解析根题意先问题列出函数关系式根反例函数定义判断否反例函数
解：(1)两变量间函数表达式：y＝x反例函数
(２）两变量间函数表达式v＝反例函数
(3)两变量间函数表达式：y1００－10x反例函数．
方法总结解决题关键根实际问题中等量关系列出函数解析式然根解析式特点判断什函数
变式训练：见学练优课时练课巩固提升第6题
三板书设计
1．反例函数定义
形y＝(k常数k≠0)函数称反例函数．中x变量变量x取值范围等0切实数
2．反例函数形式：
(１)y＝(k常数k≠０）
（2)ｘyｋ(ｋ常数ｋ≠0)
(3)ｙ＝kx１(ｋ常数ｋ≠0)．
3确定反例函数解析式定系数法
4建立反例函数模型．
学生生活实际中发现数学问题引入学容仅激发学生学数学兴趣激起学生参积极性动性探究新知创造现实背景反例函数部分容正例函数相似教学程中学生学正例函数基础学生间创设相互交流相互合作相互帮助关系学生通充分讨交流出相点基础揭示反例函数意义
261２ 反例函数图象性质ﻫ第１课时 反例函数图象性质
1会描点方法画反例函数图象(重点)
2理解反例函数图象性质．(重点难点）
情境导入
已知某面粉厂加工出4000吨面粉厂方决定面粉全部运B市需时间t(天)天运出面粉总重量m(吨）间样函数关系？面直角坐标系中画出图形？
二合作探究
探究点： 反例函数图象
类型 反例函数图象画法
作函数y图象．
解析：根函数图象画法进行列表描点连线
解列表
ｘ
4
－２
－1
1
2
4
y
－1
２
4
4
2
１
描点连线：
方法总结作图般步骤①列表②描点③连线④注明函数解析式．
变式训练：见学练优课时练课堂达标训练 第4题
类型二 反例函数次函数图象位置确定
坐标系中(水方x轴）函数yｙ＝kx＋3图象致( )
解析A函数y＝图象知ｋ＞0ykx+3图象中k>０点（0３)致A选项正确B．函数y＝图象知k＞０y＝ｋx+3图象中k>0点(03)矛盾B选项错误C函数y＝图象知k＜０ykx+3图象中k<０点(03）矛盾Ｃ选项错误Ｄ函数y图象知ｋ>０y＝kx+3图象中k＜０点(0３)矛盾D选项错误选A
方法总结解答类问题时通常先根双曲线图象象限确定k符号确定次函数系数点否符合图案果符合正确果符合定错误．
变式训练：见学练优课时练课巩固提升 第2题
类型三 实际问题中函数图象确定
ｘＬｍiｎ速度容积20Ｌ水池中注水注满水池需yｍin需时间ｙmｉｎ注水速度xL／ｍiｎ间函数关系图象致表示( )
解析：∵水池容积20L∴ｘy2０∴y(x>0）选Ｂ．
方法总结：解答类问题先根题意列出反例函数关系式然实际情况确定函数变量取值范围确定函数图象
类型四 反例函数图象称性
正例函数y2x反例函数y图象交点坐标(1２)交点坐标( )
A．(2－1) B．(１2）
C(－２1) Ｄ．(21）
解析∵正例函数ｙ2x反例函数ｙ图象均关原点称∴两函数交点关原点称．∵交点坐标（12)∴交点坐标（１－2)．选B
方法总结：反例函数ｙ＝(ｋ≠0)图象轴称图形中心称图形称轴三（二四)象限角分线直线称中心坐标原点
变式训练见学练优课时练课巩固提升第6题
探究点二：反例函数性质
类型 根解析式判定反例函数性质
已知反例函数y＝－列结正确( )
Ａ．图象必点(12)
Bｙx增增
C．图象分布第二四象限
Dx>1２＜y<0
解析：A(12)满足函数解析式图象必点（12）命题正确B．第二四象限yx增增忽略x取值范围命题错误C命题正确D根y＝图象知第四象限命题正确．选Ｂ
方法总结：解答类问题熟记反例函数图象性质．
变式训练：见学练优课时练课巩固提升第1题
类型二 根反例函数性质判定系数取值范围
反例函数ｙ条曲线yx增减k值（ ）
A1 B．3 Ｃ．1 D．2
解析：∵反例函数ｙ图象条曲线yｘ增减∴1k＞０解k＜1选A．
方法总结：函数yk>0时图象第三象限象限yx增减k<0时第二四象限象限ｙx增增熟记性质解题时事半功倍
变式训练见学练优课时练课巩固提升第4题
三板书设计
１反例函数图象双曲线轴称图形中心称图形
2．反例函数性质
(1）k＞0时双曲线两支分位第三象限象限y值x值增减
(2）k＜0时双曲线两支分位第二四象限象限y值x值增增
通引导学生探索反例函数性质全班学生动观察讨实现学中学生动手动探索合作交流目时通练学生理解象限句话必性体会数学严谨性
第2课时 反例函数图象性质综合运
1．学生进步理解掌握反例函数图象性质(重点)
2深刻领会函数解析式函数图象间联系体会数形结合转化思想方法(重点）
3探索反例函数次函数图形图形面积综合应（难点)
情境导入
图示反例函数y(ｋ>0)图象取点ＰP点作PQ⊥ｘ轴Ｑ点连接OP
试着猜想△OPQ面积反例函数关系探讨反例函数y＝(k≠０)中ｋ值意义
二合作探究
探究点：反例函数解析式中k意义
图示点A反例函数ｙ图象AC垂直x轴点Ｃ△ＡOC面积２求该反例函数表达式
解析：先设点A坐标然点A坐标表示△AOＣ面积进求出k值．
解∵点A反例函数y＝图象∴xＡ·yA＝ｋ∴S△ＡＯC·k2∴ｋ＝4∴反例函数表达式y．
方法总结双曲线意点原点连线段坐标轴坐标轴作垂线围成直角三角形面积等|k|半．
变式训练：见学练优课时练课堂达标训练第1题
探究点二：反例函数图象性质综合运
类型 利反例函数性质较
Ｍ(－４y1)N（2y2)P(2y３)三点函数y(k＜０)图象y1y２y3关系( )
Aｙ2>y3＞y1 By2＞y1>y３
C．y3>y1＞ｙ2 Dy３>y２＞ｙ1
解析：∵ｋ＜０反例函数图象两分支第二四象限象限yx增增∵M（－4y1)N(－２y２)双曲线y＝(k<0)两点∴ｙ２>y1>0．∵2>0P(2y３)第四象限∴y3<0．y1ｙ2y３关系y２>y1>y3．选B
方法总结反例函数解析式ｙ(k≠0）k＜0时图象第二四象限现象yx增增k>０图象第三象限象限ｙx增减
变式训练见学练优课时练课堂达标训练 第8题
类型二 利反例函数计算图形面积
图直线l双曲线ｙ＝(ｋ>0)交AＢ两点Ｐ线段AB点（AB重合)点ABP分x轴作垂线垂足分CDE连接OAOBＯP设△AOＣ面积S１△ＢOD面积Ｓ2△ＰＯE面积Ｓ3（ )
AS1＜S2Ｂ．S1＞S２＞S3
CＳ１＝S2>S3
DS1＝S2解析图∵点A点Ｂ双曲线ｙ∴S１＝ｋＳ２＝kS1＝S２∵点Ｐ双曲线方∴Ｓ3＞ｋ∴S１S２<Ｓ3选Ｄ
方法总结反例函数图象选点坐标轴作垂线点垂足坐标原点构成三角形面积保持变．
变式训练：见学练优课时练课巩固提升 第2题
类型三 反例函数次函数交点问题
函数ｙ图象直线y＝x没交点k取值范围( ）
Ａk>1 B．k＜1
Ｃ．ｋ＞－１ D．k＜－１
解析直线y－ｘ第二四象限两函数没交点函数y图象必须位第三象限1ｋ＞０k＜1选B
方法总结判断正例函数y＝k1x反例函数ｙ直角坐标系中交点数总结①ｋ1k2号时正例函数yk１x反例函数ｙ＝2交点②ｋ１ｋ２异号时正例函数yk1x反例函数y＝没交点．
类型四 反例函数次函数综合问题
图已知Ａ(4)B(12)次函数ｙｋx＋b反例函数y＝(ｍ＜0)图象两交点AC⊥x轴点CBD⊥ｙ轴点Ｄ
(1)根图象直接回答第二象限x取值时次函数值反例函数值
(2)求次函数解析式m值
(３)Ｐ线段AB点连接ＰCPD△ＰＣA△PDB面积相等求点P坐标．
解析：(１）观察函数图象－４<ｘ＜1时次函数图象反例函数图象方（2)先利定系数法求出次函数解析式然A点B点坐标代入y计算出ｍ值(3)设出P点坐标利△PCA△PDB面积相等列方程求解确定P点坐标．
解：(1)4＜x＜１时次函数值反例函数值
（2）A（－4）Ｂ(1２)代入yｋx+ｂ中解次函数解析式y＝ｘ＋B(12)代入y中ｍ＝1×22
（3)设P点坐标(tｔ+)∵△PCA△PDＢ面积相等∴××（t＋４)×1×(２t)ｔ＝∴P点坐标()．
方法总结：解决问题关键明确反例函数次函数图象交点坐标包含信息题考查定系数法求函数解析式观察函数图象力．
变式训练见学练优课时练课巩固提升第7题
三板书设计
1．反例函数中系数k意义
2反例函数图象点坐标特征
3反例函数次函数交点问题．
节课注重提高学生分析问题解决问题力数形结合思想数学学重思想学数学突破口教学中加强方面指导学生牢固掌握基知识提升基技提高数学解题力
26２ 实际问题反例函数
第１课时 实际问题中反例函数
1历分析实际问题中变量间关系建立反例函数模型进解决问题(重点)
２体会数学现实生活紧密联系增强应意识提高运代数方法解决问题力(难点)
情境导入
明华相约早晨起骑行车A镇出发前相距20kmB镇游玩返回时明旧原速度骑行车华坐公交车返回A镇
假设两路程样行车公交车速度保持变行车速度公交车速度．找出两返回时间交通工具速度间关系？
二合作探究
探究点：实际问题反例函数
类型 反例函数路程问题中应
王强家离工作单位距离3６００米天骑行车班时速度ｖ米分需时间t分钟
（１)速度v时间ｔ间样函数关系
(２）王强单位１5分钟骑车均速度少
(3)果王强骑车速度快300米分少需分钟达单位？
解析：(1)根速度时间路程关系写出函数关系式(2)ｔ＝１5代入函数解析式求速度(3）v＝300代入函数解析式求时间．
解：(１)速度v时间t间反例函数关系题意ｖ＝
(2)t＝15代入函数解析式ｖ＝240骑车均速度2４０米／分
（３)v＝3０0代入函数解析式＝３0０解t12．少需12分钟达单位．
方法总结：解决问题关键掌握路程速度时间关系．
变式训练：见学练优课时练课堂达标训练 第5题
类型二 反例函数工程问题中应
某河治理工程施工程中某工程队接受项开挖水渠工程需天数ｙ（天)天完成工程量x(m天）函数关系图象图示．
（1)请根题意求ｙx间函数表达式
(2)该工程队2台挖掘机台挖掘机天够开挖水渠15米问该工程队需少天完成项务
(3）果防汛工作紧急需必须月(3０天计算)完成务天少完成少米？
解析(1)点(2４５0)代入反例函数解析式求反例函数解析式(2）工作效率工作时间工作量然工作效率工作时间(３)工作量工作时间工作效率．
解(１)设y＝∵点（２４50）图象∴k２4×50＝12０0求函数表达式y
（2）图象知需开挖水渠２4×50＝1200(m)２台挖掘机需工作1２00÷(２×1５)４0(天)
(3）120０÷30４０(ｍ)天少完成40m．
方法总结解决问题关键掌握工作量工作效率工作时间间关系．
变式训练：见学练优课时练课堂达标训练 第４题
类型三 利反例函数解决利润问题
某商场出售批进价2元贺卡销售中发现商品日售价x(元）销售量y(张)间关系：
x(元)
3
4
5
6
y(张)
20
15
12
1０
(1)猜测确定yｘ函数关系式
(2)日销售单价１0元时贺卡日销售量少张？
（3)设卡利润Ｗ元试求出Wx间函数关系式物价部门规定卡销售单价超10元试求出日销售单价少元时天获利润求出利润
解析：（1)确定yx间函数关系式通观察表中数发现xy积相60知yx成反例定系数法求解(2)代入ｘ10求y值(3)首先知道纯利润（日销售单价ｘ2)×日销售数量y样确定Wx函数关系式然根销售单价高超１0元求出获日销售利润时日销售单价x．
解(１)表中数知yx成反例函数关系设y（ｋ常数k≠０)点(3２０)代入k＝６0∴y
(2)x＝１０时y＝６∴日销售单价１０元时贺卡日销售量6张
(3)∵W(x－2)ｙ＝６0－∵ｘ≤１0∴x＝10时W取值W6048(元）
方法总结题考查根实际问题列反例函数关系式求值解答类题目关键准确理解题意
变式训练：见学练优课时练课巩固提升第６题
类型四 反例函数综合应
图示制作某种食品时需原材料加热设该材料温度ｙ℃加热开始计算时间x分钟．解该材料加热程中温度ｙ时间x成次函数关系．已知该材料加热前温度4℃加热段时间材料温度达2８℃时停止加热停止加热材料温度逐渐降时温度y时间x成反例函数关系已知第12分钟时材料温度1４℃．
(１)分求出该材料加热停止加热程中yx函数关系式(写出x取值范围)
(2)根该食品制作求材料温度低12℃段时间需该材料进行特殊处理该材料进行特殊处理时间少分钟
解析（１)首先根题意材料加热时温度y时间ｘ成次函数关系停止加热进行操作时温度y时间x成反例函数关系．题中数代入求两函数关系式(２)y＝1２代入y＝4x+4x2代入ｙ＝x＝１4该材料进行特殊处理时间14２＝12(分钟）．
解：（１)设加热停止反例函数表达式ｙ＝∵y(１214)k112×14＝1６8yy＝2８时28解x＝6设加热程中次函数表达式yk2ｘ＋b图象知ｙ＝k２x＋b点(０4）（62８)∴解∴ｙ
（2)y12时y＝4x+4解x2y解ｘ＝14该材料进行特殊处理时间1４－2＝１2(分钟）．
方法总结现实生活中存量成反例函数关系两变量解答类问题关键首先确定两变量间函数关系然利定系数法求出关系式．
变式训练见学练优课时练课巩固提升第４题
三板书设计
1．反例函数路程问题中应
2反例函数工程问题中应
３利反例函数解决利润问题
4反例函数次函数综合应．
节课函数观点处理实际问题关键分析实际情境建立函数模型进步明确数学问题．实际问题置已知识背景中数学知识重新解释什学生逐步形成考察实际问题力解决问题时应充分利函数图象渗透数形结合思想
第2课时 学科中反例函数
１．够物理等学科问题中建构反例函数模型(重点)
2实际问题中寻找变量间关系利学知识分析物理等学科问题建立函数模型解决实际问题(难点)
情境导入
问题：某校科技组进行野外考察途中遇片十米宽湿安全迅速通片湿着前进路线铺垫干块木板构筑成条时通道利完成务．
问题思考
（１)请解释样做道理
(2)木板湿压力定时着木板面积S(m2)变化木板面压强p (Pa)变化
二合作探究
探究点反例函数学科中应
类型 反例函数电压电流电阻综合
已知某电路电压U(V)电流I（Ａ)电阻R(Ω)三者间关系式U＝IR电路电压Ｕ恒6V．
（1)求出电流I关电阻R函数表达式
(2）果接入该电路电阻2５Ω通电流少？
(３）图样调整电阻箱R阻值电路中电流I增电流I04A求电阻R值
解析：(１)根电流Ｉ(A）电阻Ｒ(Ω)反例函数设出I(R≠０）U＝6V代入求表达式(2)R25Ω代入题求函数关系式电流值(3）根两变量成反例函数关系确定答案然代入04A求R值
解(1）∵某电路电压U(V)电流Ｉ（A)电阻R(Ω)三者间关系式U＝IＲ∴I＝代入U＝6VI＝∴电流I关电阻Ｒ函数表达式I＝
(2)∵Ｒ25Ω时I0２4A∴电路电阻2５Ω时通电流024A
(3）∵I∴电流电阻成反例函数关系∴电路中电流I增减电阻Ｉ＝04A时0４解Ｒ＝１5Ω．
方法总结明确电压电流电阻关系解决问题关键
变式训练见学练优课时练课堂达标训练 第5题
类型二 反例函数气体压强综合
某容器充满定质量气体温度变时容器气体气压ｐ(kPａ)气体体积V(m3)反例函数图象图示
(1）求出函数解析式
(2)容器气体体积0．6m3时时容器气压少千帕
(3）容器气压240kPａ时容器爆炸安全起见容器气体体积应少m3
解析(1)设出反例函数关系式根图象出点确定关系式(2)V＝0．６m3代入函数关系式求出p值(３)容器气压24０ｋＰa时容器爆炸列出等式求解
解(1）设函数表达式ｐ＝．根图象知点(26０)６0＝解k＝120ｐ＝
(2)Ｖ＝06ｍ3时p＝200(kPa）
(3）p≤240kPａ时≤240解V≥．安全起见容器体积应m３
方法总结根反例函数图象确定函数关系式知道变量值求函数值知道函数值范围求变量范围解决问题关键
变式训练：见学练优课时练课巩固提升 第５题
类型三 反例函数杠杆知识综合
公元前3世纪古希腊科学家阿基米德发现著名杠杆原理明利原理制作杠杆撬动块石头已知阻力阻力臂变分12０0Ｎ０5m
（1）动力Ｆ动力臂l样函数关系动力臂１5m时撬动石头少力
(2）想动力F超（１)题中力半动力臂少加长少？
解析：(1）根动力×动力臂＝阻力×阻力臂出Fl函数关系式ｌ1５ｍ代入求出F（2)根(1)答案F≤２00解出l值出动力臂少加长少．
解（１)Fｌ１2０0×0５６00Ｎ·mFl＝15m时Ｆ＝40０N
(2)题意F＝≤200解l≥3ｍ少加长１5m
方法总结：明确动力×动力臂＝阻力×阻力臂解题关键．
变式训练见学练优课时练课堂达标训练第7题
类型四 反例函数功率知识综合
某汽车输出功率P定值汽车行驶时速度v（ｍs)受牵引力F（Ｎ)间函数关系图示：
(1)辆汽车功率少请写出函数表达式
(2)受牵引力240０N时汽车速度少
(3)果限定汽车速度超30mｓF什范围？
解析：(1)设ｖF间函数关系式ｖ (30002０）代入(2)F1200Ｎ时求出v（３)计算出v30mｓ时F值F值．
解：(1)设vF间函数关系式v(30002０）代入vP60０00∴辆汽车功率６０000W．函数表达式ｖ＝
(2)Ｆ＝2400N代入v＝v＝＝25(m／s）∴汽车速度v3６０0×25÷1000９０(ｋmh）
(3)v≤3０代入vF≥2000(N)∴F≥2００0Ｎ
方法总结熟练掌握功率计算公式解决问题关键
三板书设计
1．反例函数电压电流电阻综合
2．反例函数气体压强综合
3反例函数杠杆知识综合
４．反例函数功率知识综合．
节节基础进步学反例函数关涉学科知识．量选学生熟悉实例进行教学学生身边事物入手真正体会数学知识源生活注意学生历实践思考表达交流程学生留充足活动时间断引导学生利数学知识解决实际问题
第二十七章 相似
27１ 图形相似
１．生活中形状相图形实例中认识图形相似（重点)
2理解成例线段概念会确定线段．(难点)
情境导入
图两张世界图左边图形作右边图形缩．需某区常会制成种图形状(包括图中描绘部分)肯定相．
日常生活中会碰种形状相定相图形数学具相形状图形称相似图形样图形性质？面起探讨吧
二合作探究
探究点：相似图形
观察面图形指出(1)～(9)中图形没出图形(a）（b)(ｃ)形状相？
解析：通观察寻找(a）(b)(ｃ)形状相图形９图形中仔细观察然作出判断．
解通观察发现图形(4）(8)图形(ａ)形状相图形(6)图形（ｂ)形状相图形(5）图形(c)形状相
方法总结判断两图形形状否相应仔细观察两图形形状没差异时说两图形形状相． 变式训练：见学练优课时练课堂达标训练 第1题
探究点二：例线段
类型 判断四条线段否成例
列组中四条线段成例( ）
A．4cm2cｍ１cｍ3cm
Ｂ．１cm2cm3cｍ5cｍ
C．３cm4cｍ5cm6cｍ
D．１cm２cm2cm4cm
解析：选项A．排列1×４≠２×3成例符合题意选项B．排列1×５≠2×3成例符合题意选项C排列３×6≠4×5成例符合题意选项D排列1×42×2成例符合题意．选D
方法总结：判定四条线段否成例四条线段序排列判断前两条线段两条线段否相等
变式训练见学练优课时练课堂达标训练第３题
类型二 利成例线段定义求线段长
已知线段abcｄ成例线段中a＝2mb＝4mc＝5md( )
Ａ１m Ｂ．10m Cm Dm
解析：∵线段abcd成例线段∴a∶b＝c∶da2ｍｂ4mc＝5m∴d１０(ｍ)．选B
方法总结求线段时先统线段长度单位然根例关系求值
变式训练：见学练优课时练课堂达标训练第4题
类型三 利例尺求距离
张图例尺1∶150000图量甲乙两距离5ｃｍ甲乙两实际距离( )
A3０0０m B3５０0m
Ｃ５００0ｍ Ｄ．7500m
解析设甲乙两实际距离xcm根题意1∶１５0０0０＝5∶xｘ750000(cｍ)75０000cm＝7500m选Ｄ
方法总结例尺＝图距离∶实际距离根例尺进行计算时注意单位转换．
变式训练：见学练优课时练课堂达标训练第5题
探究点三：相似边形
类型 利相似边形性质求线段角
图示出两四边形相似形具体数图示求出未知边aｂ长度角α值．
解析：根相似边形应角相等应边成例解答．
解：四边形ABCD四边形A′B′C′Ｄ′相似∠B′＝∠Ｂ＝6３°∠D′∠D＝＝＝a＝5b18．四边形A′B′C′Ｄ′中∠Ｄ′360°(8４°＋7５°+６３°)＝138°∠α＝∠D＝∠Ｄ′＝１３８°
方法总结：两边形相似应角相等应边成例书写两边形相似时注意表示应角顶点字母写应位置．
变式训练：见学练优课时练课堂达标训练第８题
类型二 相似边形判定
图块长3ｍ宽15m矩形黑板AＢCＤ图示镶外围木质边框宽75cｍ边框边缘成矩形AＢCD边框外边缘成矩形EFGH相似？什？
解析两矩形四角然相等四条边定应成例判定两矩形否相似关键应边否成例
解相似∵矩形AＢCD中AB1５ｍAD3m镶外围木质边框宽75cm＝0．75ｍ∴ＥF1５＋2×0７53mＥH３＋2×０７5＝45m∴＝＝．∵≠∴边缘成矩形ＡBＣＤ边框外边缘成矩形ＥFＧH相似．
方法总结：判定两边形相似需应角相等应边成例两条件缺．
变式训练见学练优课时练课巩固提升第1０题
三板书设计
1相似图形概念
2．例线段
3相似边形判定性质
节课中相似边形特征教学注意难度握高求学生掌握更容．学生解性质简单运重续相似三角形学相似三角形特征掌握进步研究相似边形性质学生较容易掌握
2721 相似三角形判定
第１课时 行线分线段成例
1．解相似定义(重点)
2．掌握行线分线段成例定理基事实利行线法判定三角形相似(重点)
３．应行线分线段成例定理行线法判定三角形相似解决问题．(难点）
情境导入
图△ABＣ中D边AB点作DE∥BC交边ＡCE刻度尺量角器量量判断△ＡＤE△ＡBC否相似
二合作探究
探究点相似三角形关概念
图示已知△ＯAC∽△ＯＢDOA４AC＝2ＯB＝2∠C∠Ｄ求：
（1)△OAC△OBD相似
(2)BＤ长
解析(1）△OAC∽△OBD∠C∠D找两三角形应边求出相似（2)根相似三角形应边成例求出BD长
解：（１)∵△OAC∽△OＢＤ∠C＝∠D∴线段OA线段OB应边△ＯAC△OＢD相似＝＝
(2)∵△ＯＡC∽△OBＤ∴∴BＤ＝＝1
方法总结相似三角形定义相似三角形性质相似三角形判定方法．
变式训练：见学练优课时练课堂达标训练 第１题
探究点二行线分线段成例定理
类型 行线分线段成例基事实
图直线ｌ1ｌ2ｌ3分交直线l４点ABＣ交直线l５点ＤＥＦ直线l4l5交点Ｏl1∥l2∥ｌ3已知EF∶DF５∶8ＡC24
(1）求值
（2)求AB长．
解析（1)根ｌ1∥l2∥l3推出(2)根l1∥l2∥l3推出＝代入AC＝24求出BC求出AB
解(1)∵ｌ1∥l2∥l3∴∵DF∶DF5∶8∴ＥF∶DE5∶３∴＝
(2)∵l1∥l2∥l3EF∶DF5∶8AＣ24∴∴BＣ15∴ＡBＡＣ－BC2415＝9
方法总结：运行线分线段成例定理时定注意正确书写应线段位置．
变式训练见学练优课时练课堂达标训练 第3题
类型二 行线分线段成例基事实推
图示已知△ＡBC中DE∥BＣAD＝２ＢD＝5AC5求AE长．
解析根DＥ∥BC＝然根例性质计算出AE长．
解∵ＤE∥BC∴＝＝∴AE
方法总结：解题关键深入观察图形准确找出图形中应线段正确列出例式．
变式训练见学练优课时练课堂达标训练第４题
探究点三：相似三角形引理
类型 利相似三角形引理判定三角形相似
图▱ABCＤ中EAB延长线点AB＝３ＢEＤEＢC相交点F请找出图中相似三角形求出相应相似
解析：行四边形性质BC∥ＡDAB∥CD进△ＥＦＢ∽△EDA△EＦB∽△DFC进步求解．
解：∵四边形ABCD行四边形∴BC∥ADAＢ∥CＤ∴△EFB∽△ＥDA△EFＢ∽△DＦC∴△DＦC∽△EDA∵AB３BE∴相似分1∶41∶33∶4
方法总结求相似仅找准应边需注意两三角形先序．
变式训练见学练优课时练课堂达标训练第5题
类型二 利相似三角形引理求线段长
图已知AB∥EF∥ＣDADBC相交点O．
(1)果CＥ＝3EB9DF＝2求AD长
(2）果ＢO∶OE∶EC2∶４∶３AB＝3求ＣＤ长
解析(１）根行线分线段成例求AF＝6ADAF＋FD＝8(2）根行线AＢ∥ＣD分线段成例知BO∶ＯＥAＢ∶EＦ结合已知条件求EF＝6理ＥF∥ＣD推知EFCＤ间数量关系求CD＝105
解：（1)∵ＣE3ＥB9∴BＣ＝CE+EB12∵ＡB∥EＦ∴＝∵ＥＦ∥CD∴∴∴AF＝６∴AD＝AF+FD6+2＝８ＡD长8
(２）∵AB∥CＤ∴BO∶OE＝AＢ∶EF．∵BＯ∶OＥ＝2∶4AB3∴EＦ＝6∵EＦ∥CD∴∵OＥ∶EC＝4∶3∴∴∴ＣDEF＝105CＤ长105．
方法总结：运行线分线段成例基事实推定找准应线段防解答错误
变式训练：见学练优课时练课堂达标训练第６题
三板书设计
1．相似三角形定义关概念
2行线分线段成例定理推
3相似三角形引理
节课宜采探究式教学教师教学中学生学组织者引导者合作者研究者鼓励学生胆探索引导学生关注程时肯定学生表现鼓励创新．课时教师关键处点拨足时补充．教师学生等交流创设民谐学氛围
272．1 相似三角形判定 ﻫ第2课时 三边成例两三角形相似
1．理解三边成例两三角形相似判定方法(重点）
2．会运三边成例两三角形相似判定方法解决简单问题
情境导入
现判定两三角形否相似必须知道应角否相等应边否成例．否存判定两三角形相似简便方法呢
图示方格画三角形画第二三角形三边长原三角形三边长相倍数．画完量角器较两三角形应角发现什结？家结样？
二合作探究
探究点三边应成例两三角形相似
类型 直接利定理判定两三角形相似
Ｒt△AＢＣ中∠C＝９0°AB＝10ＢＣ＝6Ｒt△EＤF中∠F＝90°DF＝3ＥF4△AＢC△EDF相似什
解析已知△ABC△ＥDF直角三角形已知两条边长利勾股定理分求出第三边长应边否应成例．
解△ABC∽△EＤF．Rt△ABC中AB＝10BC＝６∠C90°勾股定理AC＝8Ｒt△DＥF中DF＝3EF４∠F９０°勾股定理ED＝＝5．△ABＣ△EDF中＝２2２＝△ＡBＣ∽△ＥＤF
方法总结：利三边应成例判定两三角形相似时应说明三角形三边应成例两边应成例． 变式训练：见学练优课时练课堂达标训练 第２题
类型二 网格中相似三角形
图边长１正方形组成网格中△ABC△ＤEＦ顶点格点判断△ABＣ△DEF否相似说明理
解析：首先勾股定理求△ABC△DＥＦ边长＝然三组应边相等两三角形相似判定△ABC△ＤEＦ相似．
解：△ABＣ△ＤEF相似．勾股定理AＢ＝2AＣＢC＝5DE4DF２ＥF2∵＝∴△ABＣ∽△DEＦ．
方法总结网格中计算线段长运勾股定理常方法
变式训练见学练优课时练课堂达标训练 第8题
类型三 利相似三角形证明角相等
图已知找出图中相等角说明理．
解析：＝＝证明△AＢC∽△ADＥ利相似三角形应角相等求解
解△ＡBC△ADＥ中∵＝∴△ABC∽△ADE∴∠BAＣ ＝∠DAE∠B∠D∠C∠E
方法总结证明角相等时通证明三角形相似
变式训练见学练优课时练课巩固提升第6题
类型四 利相似三角形判定证明线段行关系
图某四乡镇AＢＣD间建公路已知ＡB＝14千米AD＝28千米ＢD２1千米BC４２千米ＤＣ31．5千米公路ABＣD行说出理．
解析：图中已知线段长度求两三角形应线段证明三角形相似出角相等通角相等证明线段行关系
解公路ABCD行∵＝＝∴△ＡBD∽△BDＣ∴∠ABＤ＝∠BDC∴AB∥ＤC
方法总结：果已知条件中边数量关系较时考虑三边应成例两三角形相似判定方法
类型五 利相似三角形判定解决探究性问题
制作两形状相三角形教具中三角形教具三边长分50cｍ60cm8０ｃm三角形教具边长20cm请问样选料两三角形教具相似？想想种解决方案
解析：两三角形相似已知三角形三边三角形边采三边分应成例两三角形相似判定．
解①长20cｍ边长应边5０cm时∵50∶２05∶2第三角形教具三边长分50cm6０ｃｍ８0cm∴三角形应三边分：20cm24ｃm32ｃm②长20ｃm边长应边60ｃm时∵60∶２03∶1第三角形教具三边长分50cm６0cm80ｃm∴三角形应三边分ｃm20cmcm③长20cm边长应边80cm时∵80∶20＝4∶1第三角形教具三边长分5０cｍ６0cm8０cｍ∴三角形应三边分：１25cm15ｃm20cm∴三种解决方案．
方法总结：解答题关键分类讨应确定时采分类讨方法避免漏解
变式训练：见学练优课时练课巩固提升第7题
三板书设计
1三角形相似判定定理：
三边应成例两三角形相似
2．利相似三角形判定解决问题
课时教学程中学生采类方法先猜想出命题然证明猜想命题否正确．课堂教师提问形式逐步引导学生证明命题课作业情况出学生节课知识总体掌握较
272．1 相似三角形判定
第３课时 两边成例夹角相等两三角形相似
１．理解两边成例夹角相等两三角形相似含义分清条件结文字图形符号语言表示(重点)
2．会运两边成例夹角相等两三角形相似判定两三角形相似解决简单问题．(难点)
情境导入
利刻度尺量角器画两三角形两条应边成例夹角相等量量第三条应边长计算前两条应边否相等．两角否应相等？出什结
二合作探究
探究点两边成例夹角相等两三角形相似
类型 直接利判定定理判定两三角形相似
已知：图△AＢC中∠C９0°点ＤE分ABCB延长线点CE＝9AＤ＝1５连接DＥ．ＢC6AＣ＝８求证△ABC∽△ＤBE
解析：首先利勾股定理求出AＢ长已知条件求出ＤB进ＤＢ∶AB值计算出EB∶BＣ值继判定△ABＣ∽△DBE
证明∵Rt△ABC中∠Ｃ＝90°BＣ6AC8∴AB＝＝10∴DBAＤAB15１0＝5∴DB∶ＡB＝１∶2∵EＢ＝CＥBC＝9－６＝3∴EＢ∶BC1∶２∴EＢ∶BCDB∶AB∵∠DBE∠ＡＢC９0°∴△ABＣ∽△DBＥ
方法总结解题时定注意必须两边应夹角行注意隐含条件公角顶角等
变式训练：见学练优课时练课堂达标训练 第２题
类型二 添加条件三角形相似
图已知△ABＣ中D边AＣ点P边AB点AB12AC＝8ＡD6AP长度____＿___时△ADＰ△ABC相似．
解析△ADP∽△ＡCB时＝∴解AＰ9．△ADＰ∽△AＢＣ时＝∴＝解AP＝４∴ＡP长度49时△AＤP△AＢＣ相似答案49
方法总结添加条件时先明确已知条件根判定定理寻找需条件应题先假设两三角形相似利倒推法分类讨解答．
变式训练：见学练优课时练课堂达标训练 第５题
类型三 利三角形相似证明等积式
图ＣDＲt△ABC斜边AB高EBＣ中点ED延长线交CA延长线F求证：AC·CＦ＝BC·DF．
解析：先证明△ADC∽△CDB结合条件证明△FＤC∽△FAD＝证结
证明∵∠ACB90°CＤ⊥ＡB∴∠DAC＋∠Ｂ∠B+∠DCB９0°∴∠DAＣ∠DCB∠ADC∠CDB∴△ＡＤC∽△ＣDB∴＝∵EBC中点CＤ⊥ＡB∴DE＝ＣE∴∠EDC∠DＣE∵∠ＥDC+∠FDA∠ECD＋∠ＡＣD∴∠FＣＤ＝∠FDA∠F∠Ｆ∴△FDＣ∽△FＡD∴∴∴ＡC·CF＝ＢC·ＤF
方法总结证明等积式例式方法：等积式例式中四条线段分成两三角形应边然证明两三角形相似证明等积式例式
类型四 利相似三角形判定进行计算
图示BC⊥CＤ点CBE⊥ＤE点EBECD相交点AＡＣ３ＢＣ＝４AE2求CＤ长
解析ＡC＝３需求出AＤ求出CD证明△ＡBC△ＡDＥ相似利相似三角形应边成例求出AD．
解Rt△ABＣ中勾股定理AB＝＝5∵BC⊥CDBE⊥DE∴∠C∠Ｅ∵∠CAB＝∠ＥAＤ∴△ABC∽△ADE∴＝解AD∴ＣD＝AD＋ＡC＝+3．
方法总结利相似三角形判定进行边角计算时应先利条件证明三角形相似通作辅助线构造相似三角形然利相似三角形应角相等应边成例进行求解．
变式训练见学练优课时练课巩固提升第７题
类型五 利相似三角形判定解决动点问题
图△AＢC中∠C＝90°ＢＣ＝8cm5ＡＣ－３ＡB＝0点PB出发BC方２cms速度移动时点QC出发CA方１ｃms速度移动长时间△ＡＢC△PQC相似？
解析：ACAB关系设出AC3xcmAＢ＝5xcm直角三角形ＡBＣ中利勾股定理列出关x方程求出方程解x值进ABAC长然设出动点运动时间ｔs根相应速度分表示出ＰCＣQ长△ABＣ△PQＣ相似根应顶点分两种情况列出例式边长代入关t方程求出方程解t值满足题意时间t值．
解５AC－3ＡＢ＝05AC＝3AB设ＡB5xｃｍAC3ｘcmRt△ＡBC中BC8cm根勾股定理25x２＝9x2+6４解ｘ２x－２(舍)∴AB5x１0cmAC3x＝6cｍ设t秒△ABC△PＱC相似BP＝2tcｍPC（82ｔ)ｃmCQｔｃm分两种情况①△ABC∽△PQC时＝解t②△AＢC∽△QPC时＝解t．综知秒△ABC△PQＣ相似
方法总结：题关键根三角形相似应顶点分两种情况△AＢC∽△PQC△AＢC∽△QPＣ分列出例式解决问题
变式训练见学练优课时练课巩固提升第8题
三板书设计
1．三角形相似判定定理
两边成例夹角相等两三角形相似
2应判定定理解决简单问题．
节课采探究发现式教学法参式教学法利煤体引导学生始终参学活动全程中处动学状态采动手实践探索合作交流学方法学生积极参教学程．教学程中展开思维培养学生提出问题分析问题解决问题力进步理解观察类分析等数学思想
2721 相似三角形判定 ﻫ第4课时 两角分相等两三角形相似
1．理解两角分相等两三角形相似含义分清条件结文字图形符号语言表示(重点）
2会运两角分相等两三角形相似判定两三角形相似解决简单问题(难点)
情境导入
伴合作画△ＡBC画△A′B′C′∠Ａ∠A ′等定∠α∠B∠B′等定∠β较画两三角形∠C∠C′相等应边相等？样两三角形相似？学交流．
二合作探究
探究点：两角分相等两三角形相似
类型 利判定定理证明两三角形相似
图等边△ABC中DBC边点ＥＡＢ边点∠ADE＝60°．
(１)求证：△ABＤ∽△DCE
(２)ＢD3CE＝2求△ABC边长．
解析：(１)题∠B∠C＝60°利三角形外角知识出∠BAD∠CＤE证明△AＢＤ∽△ＤCE（２)根△ＡBD∽△DCE列出例式求出△ＡBC边长．
(1)证明△AＢD中∠ADC＝∠B+∠BＡD∠ＡDC＝∠AＤＥ＋∠EDC∠B∠ADＥ＝60°∴∠BAD∠CＤE△ABD△DＣE中∠BAD∠CDE∠B∠C＝60°∴△ＡＢD∽△DCE
(2）解设ABｘDC＝x３△ABD∽△DCE∴∴＝∴ｘ9等边△AＢC边长9
方法总结题利两角分相等两三角形相似解答题关键利三角形外角知识出角相等
变式训练：见学练优课时练课堂达标训练 第5题
类型二 添加条件证明三角形相似
图△ABＣ中DＡB边点△ＡBC∽△ＡED成立需添加条件＿_____＿＿___＿．
解析∵∠ABC∠ＡＥD∠A∠Ａ∴△AＢC∽△AED添加条件∠ＡBC＝∠AED求△AＢC∽△ＡED理∠ADＥ∠C∠AEＤ∠B出△ABＣ∽△AＥD．答案∠ＡDE∠Ｃ ∠AＥＤ＝∠B．
方法总结：熟练掌握相似三角形种判定方法解题关键
变式训练：见学练优课时练课堂达标训练 第3题
类型三 相似三角形圆综合应
图ＡB⊙O直径C⊙O点CＤ⊥ＡＢ点D交AE点Ｇ弦CE交AB点F求证AC2＝AG·AE
解析延长CG交⊙O点M连接AＭ根圆周角定理证明∠ＡCＧ＝∠Ｅ根相似三角形判定定理证明△CAG∽△EAC根相似三角形应边成例出结．
证明：延长ＣG交⊙O点M连接ＡM∵AB⊥CM∴∴∠ACG∠Ｅ∵∠CAG∠EＡC∴△CAＧ∽△EAC∴∴AＣ2＝ＡG·AE
方法总结相似三角形圆知识综合时圆性质寻找角等量关系证明三角形相似
变式训练见学练优课时练课巩固提升第3题
类型四 相似三角形四边形知识综合
图▱ABCD中点B作ＢE⊥ＣD垂足E连接AEFAＥ点∠BFE＝∠CＡＢ＝８BE＝6ＡD7求BＦ长
解析通证明∠ＢAF＝∠ＡＥD∠AFＢ∠Ｄ证△ABF∽△EＡD出关AＢAＥADBF例关系．已知ＡDＡB长需求出AE长．直角三角形ABE中勾股定理求出AE长进求出BF长．
解：行四边形AＢＣD中∵AB∥CD∴∠BＡF＝∠AEＤ．∵∠AFＢ+∠BＦＥ＝18０°∠Ｄ+∠C＝18０°∠BＦE＝∠C∴∠AFB＝∠D∴△ABＦ∽△EＡD∵BＥ⊥CＤAＢ∥CＤ∴BE⊥AB∴∠ＡBE＝9０°∴AE＝＝1０∵△AＢF∽△EAD∴∴＝∴ＢＦ5６
方法总结：相似三角形四边形知识综合时行四边形性质寻找角等量关系证明三角形相似
变式训练：见学练优课时练课巩固提升第7题
类型五 相似三角形二次函数综合
图△ABC中∠C＝90°BC＝5mAB＝１0mM点线段CACA运动速度１ms时N点线段ABAB运动速度２m／s运动时间ts．
(1)t值时△AＭN面积6ｍ2
（２)t值时△ＡMN面积？求出值
解析(１)作NH⊥ＡCH证△ＡＮH∽△AＢC例式然t表示出ＮH根△ＡMN面积6m2关t方程求t值(2）根三角形面积计算关ｔ二次函数求值
解(１)Rt△ABC中∵AB２BC2＋ＡC２∴AC5m图作NＨ⊥ＡＣH∴∠NHA＝∠C＝90°∵∠A公角∴△NHＡ∽△BCA∴＝∴NＨｔ∴S△ＡMN t(５－t)6解t1t2＝４（舍)ｔ秒时△AMN面积6m2
(２)S△ＡMN＝ｔ(５ｔ）－（ｔ２－５t+)+（ｔ）2＋∴t＝时S值＝ｍ2
方法总结解题关键根证相似三角形例式解决问题
三板书设计
１三角形相似判定定理：
两角分相等两三角形相似
2．应判定定理解决简单问题
探究式教学中教师学生学组织者引导者合作者研究者教学程中鼓励学生胆探索引导学生关注程时肯定学生表现鼓励创新备课时应考虑学生学法突破教学时关键处点拨足时补充．学生等交流创设民谐学氛围
2722 相似三角形性质
1理解相似三角形性质(重点）
2．会利相似三角形性质解决简单问题（难点)
情境导入
两三角形相似应边成例应角相等外许结例图中△AＢC△A′B′Ｃ′两相似三角形相似k中ADA′D′分BCB′Ｃ′边高ＡＤA′D′间什关系
二合作探究
探究点： 相似三角形性质
类型 利相似求三角形周长面积
图示行四边形ABCＤ中EBＣ边点BE＝ＥＣBDAＥ相交F点
（1）求△ＢEＦ△ＡFD周长
(2）S△BEF6cｍ2求Ｓ△AFD
解析：利相似三角形应边周长面积然进步求解．
解（1)∵行四边形ABＣD中ＡD∥ＢCAD＝BC∴△BEF∽△AＦD∵ＢＥ＝BC∴＝＝∴△BEF△AＦD周长
(2)(1）知△BＥF∽△DAF相似∴＝（)2∴S△AFD4S△BEF＝4×624cm2
方法总结：理解相似三角形周长等相似面积等相似方解决问题关键
变式训练：见学练优课时练课堂达标训练 第４6题
类型二 利相似三角形周长面积求相似
△ABC∽△A′B′C′面积1∶2△ABC△A′B′C′相似( ）
A．１∶２ B∶2
C１∶４ D∶１
解析：∵△AＢC∽△Ａ′Ｂ′C′面积1∶２∴△AＢＣ△A′B′C′相似1∶∶2选B
方法总结：解决问题关键掌握相似三角形面积等相似方．
类型三 利相似三角形性质判定进行计算
图示锐角三角形ABＣ中ADCＥ分ＢＣAB边高△AＢC△BDE面积分188DE＝3求AC边高．
解析求AＣ边高先高线作出△ABC面积18求出ＡC长求出ＡC边高 解点Ｂ作ＢＦ⊥AC垂足点F∵ＡＤ⊥ＢC CＥ⊥ＡＢ∴Rt△ADＢ∽Rｔ△CEＢ∴＝＝∠AＢC∠DBE∴△EBＤ∽△CBA ∴()2∵DE＝３∴AＣ＝45∵S△ABC＝AC·ＢF18 ∴ＢF＝8
方法总结解决类问题利相似三角形周长等相似面积等相似方解答
变式训练：见学练优课时练课巩固提升第6题
类型四 利相似三角形线段等相似解决问题
图示ＰN∥BCAD⊥BＣ交PNE交BCD．
(１)AP∶PB1∶2S△ABC＝18求Ｓ△APN
(2)S△AＰN∶S四边形ＰBCN１∶2求值
解析：(1)相似三角形面积等应边方求解(2)△AＰN四边形PBCN面积△APN△ABC面积进应边．
解：(1)ＰＮ∥ＢC∠APＮ＝∠B∠ANＰ＝∠Ｃ△AＰＮ∽△ABＣ(）2．ＡP∶PＢ１∶2AP∶AＢ＝1∶3S△ＡBＣ18（)2Ｓ△ＡPＮ2
(2)PN∥BC∠ＡPE∠B∠AEＰ∠ADB△APE∽△ABD（）２＝()2S△APN∶S四边形PBＣN＝1∶2＝＝()2＝
方法总结：利相似三角形应线段等相似推出相似三角形面积等相似方
变式训练：见学练优课时练课巩固提升第7题
类型五 利相似三角形性质解决动点问题
图已知△ABC中AＢ＝5BC＝3ＡC4ＰQ∥ＡBP点AC(AC重合)Ｑ点ＢＣ．
(１)△PQＣ面积四边形PABQ面积时求CP长
(2)△ＰQC周长四边形PABQ周长相等时求CP长
解析(１)PQ∥AB△PQＣ∽△ABC△PQC面积四边形PAＢQ面积时△CＰQ△CAB面积1∶4根相似三角形面积等相似方求出ＣP长(2)△PＱC∽△ABC根相似三角形性质CP表示出ＰQCQ长进表示出APBQ长根△ＣPQ四边形ＰABQ周长相等相关边相加求出CＰ长
解：(1）∵PQ∥ＡB∴△PQＣ∽△ABC∵S△ＰQC＝S四边形PAＢQ∴S△ＰＱC∶S△ABC＝１∶４∵∴CP＝ＣＡ2
(2)∵△PQC∽△ABC∴＝∴＝∴CQ＝CP．理知PQCＰ∴C△PCQ＝ＣP＋PＱ＋CQCP＋ＣP+ＣP＝３ＣＰC四边形PＡBQPＡ＋AB＋BQ＋ＰQ＝（４CP)+AB+(3CQ)＋ＰQ＝４－CＰ+5＋3CＰ＋CP＝12－CP∴12－CP3CP∴CＰ＝１2∴CP＝
方法总结：相似三角形出线段例关系根线段例关系解决面积线段问题解题关键．
变式训练：见学练优课时练课巩固提升第８题
三板书设计
1相似三角形应角相等应边相等
2．相似三角形(边形)周长等相似相似三角形应线段(应中线应角分线应边高)等相似
3相似三角形面积等相似方．
节教学程中学生动参课堂活动积极交流探讨发现问题较：相似三角形周长面积相似书写时注意应关系应时计算结果正相反两性质前提条件相似三角形等等学讨非常激烈节课堂教学取明显效果
27．23 相似三角形应举例
１运三角形相似知识计算直接测量物体长度高度(重点)
2．灵活运三角形相似知识解决实际问题．(难点)
情境导入
胡夫金字塔埃现存规模金字塔喻世界古代七奇观 ．古希腊位伟科学家泰勒斯．天希腊国王阿马西斯说听说什知道请测量埃金字塔高度吧时条件难题难爬塔顶．知道泰勒斯样测量金字塔高度
二合作探究
探究点：相似三角形应
类型 利影子长度测量物体高度
图某时刻根2m长竹竿EF影长GE12m时红测棵风吹斜柏树面成3０°角树顶端B面影子点DB垂直面落点C距离3．6m求树AB长
解析先利△BDＣ∽△FGE＝计算出BＣ6ｍ然Rt△ABＣ中利含３0度直角三角形三边关系AB长
解：图CD３6m∵△ＢＤＣ∽△ＦGE∴＝∴BC＝6ｍRｔ△ABＣ中∵∠A＝30°∴AＢ2BC１2ｍ树长AB12m
方法总结解答类问题时首先实际问题转化数学问题利相似三角形应边成例建立相等关系求解
变式训练见学练优课时练课堂达标训练 第1题
类型二 利镜子反射测量物体高度
红面方法测量学校教学楼AB高度图水面点E处放面面镜镜子教学楼距离ＡE20m镜子距离CE＝25ｍ时刚镜子中教学楼顶端Ｂ已知眼睛距面高度ＤＣ１6m请帮助红测量出楼AＢ高度(注入射角＝反射角)
解析：根物理知识∠ＢEA＝∠DEC△BAE∽△DCE根相似三角形性质解答．
解图∵根光反射定律知∠BEA∠DＥC∵∠ＢAE∠ＤCE＝90°∴△BＡE∽△DCE∴∵ＣＥ＝２．5ｍDC1．6ｍ∴＝∴ＡＢ１2．８∴楼ＡB高度1２8ｍ
方法总结解题关键找出相似三角形然根应边成例列出方程．解题时灵活运学学科知识
变式训练见学练优课时练课堂达标训练 第5题
类型三 利标杆测量物体高度
图某时刻旗杆AB影子部分面部分建筑物墙面明测旗杆AB面影长ＢC９6m墙面影长ＣD2ｍ时刻明测竖立面长1m标杆影长12m．请帮助明求出旗杆高度．
解析根时刻物高影长成正例利相似三角形应边成例解答．
解：图点D作DＥ∥BC交ABＥ∴DＥCＢ＝96mBECＤ＝2m∵时刻物高影长成正例∴EA∶ED1∶1．2∴AE＝8m∴ABAE＋EB８＋2１0ｍ∴学校旗杆高度1０m
方法总结：利杆直尺测量物体高度利杆(直尺)高（长）作三角形边构建相似三角形相似三角形应边相等性质求物体高度
变式训练见学练优课时练课堂达标训练第3题
类型四 利相似三角形性质设计方案测量高度
星期天丽学碧沙岗公园游玩１９28年冯玉祥军纪念北伐军阵亡士立纪念碑前丽问纪念碑高呢请利初中数学知识设计种方案测量纪念碑高度(画出示意图)说明理．
解析：设计相似三角形利相似三角形性质求解．距离纪念碑AＢ面放面镜子E退D处镜子里恰见纪念碑顶A眼距面距离ＣD测量出CＤDEBE长算出纪念碑ＡB高
解：设计方案例子：图距离纪念碑AＢ面放面镜子Ｅ退D处镜子里恰见纪念碑顶A眼距面距离CD测量出CDDＥＢE长算出纪念碑AB高．
理测量出ＣDＤEBE长∠CEＤ∠AEB∠D＝∠Ｂ9０°易△ABE∽△CDＥ．根＝算出AB高
方法总结解题关键根相似三角形性质设计出具体图形实际问题抽象出数学问题求解
变式训练见学练优课时练课巩固提升第6题
三板书设计
1利相似三角形测量物体高度
２利相似三角形测量河宽度
3．设计方案测量物体高度．
通节知识学学生综合运三角形相似判定性质解决问题发展学生应意识加深学生相似三角形理解认识．基达预期教学目标部分学生学会建立数学模型利相似判定性质解决实际问题．
2７．３ 位似
第1课时 位似图形概念画法
1．解位似图形关概念解位似相似联系区掌握位似图形相关知识(重点)
2掌握位似图形画法够利作位似图形方法图形放缩．（难点)
情境导入
生活中常片放缩没改变图形形状片真实．
观察图中边形相似果种相似什特征
二合作探究
探究点位似图形
类型 判定否位似图形
列３图形中位似图形( ）
Ａ0 Ｂ．１ Ｃ2 D3
解析根位似图形定义知两图形仅相似图形组应点直线点应边互相行（线)位似图形第第三．选Ｃ．
方法总结判断两图形位似图形首先相似图形应顶点连线否交点．
变式训练：见学练优课时练课堂达标训练 第1题
类型二 确定位似中心
找出列图形位似中心．
解析（１）连接应点AＥBF延长交点位似中心(2)连接应点ANBM延长交点位似中心（3)连接AＡ′ＢB′交点位似中心．
解：(1)连接应点ＡEBF分延长AEBFＡEBF交点O点O位似中心
(2)连接应点ANBM延长ANＢMANBM延长线交点O点O位似中心
(３）连接AA′ＢＢ′AA′ＢB′交点位似中心O
方法总结确定位似图形位似中心时找准应顶点组应顶点作直线交点位似中心
变式训练见学练优课时练课巩固提升 第2题
类型三 画位似图形
求画位似图形：
(１)图①中Ｏ位似中心△ABC放原2倍
(２)图②中O位似中心△ＡＢC缩原
解析：（1)连接OＡOBOC延长ADOABEＢOCF＝ＣO次连接DＥF出图形(2)连接ＯＡOBOC作射线CPCP取点MＮQMNＮQＣＱ连接OM作ＮF∥OＭ交OCF次作EF∥ＢCDＥ∥AB连接DF求出结．
解：(１)图①画图步骤：①连接OAOBOC②分延长OADOBEＯCＦＡＤ＝OABEＢＯＣFCO③次连接ＤＥＦ∴△DEF求作三角形
（2）图②画图步骤：①连接OAOBＯＣ②作射线CＰＣP取点MNQＭN＝NQ＝CQ③连接OM④作NF∥OM交OCF⑤次作ＥF∥BＣ交ＯBEDE∥AB交OAD⑥连接DF∴△ＤEF求作三角形
方法总结画位似图形般步骤①确定位似中心②分连接延长位似中心代表原图关键点③根位似确定代表作位似图形关键点④次连接述点放缩图形．
变式训练：见学练优课时练课巩固提升第７题
类型四 位似图形实际应
放映电影时需胶片图片放银幕便欣赏图点P放映机光源△ＡBC胶片面画面△A′B′C′银幕画面．胶片图片规格25cｍ×25cm放映银幕规格2m×2ｍ光源P胶片距离20cm银幕应距离光源P远时放映图象正布满整银幕？
解析：题中条件知△Ａ′B′C′△ＡＢＣ位似图形应边成例进求解
解图中△A′B′C′△AＢC位似图形设银幕距离光源Pxm时放映图象正布满整银幕位似解x16银幕距离光源P16ｍ时放映图象正布满整银幕．
方法总结位似变换中意应点位似中心距离等应边面积等相似方．
类型五 利位似性质进行证明计算
图FＢDＢＣAD相交点EAB∥CＤ∥EＦ
(1)图中位似三角形选中加证明
(2)AB2CD3求EF长．
解析（1)利相似三角形判定方法位似图形性质出答案(2)利例性质相似三角形性质求出＝求出ＥＦ
解(１)△ＤＦE△DBA△BＦE△BＤC△AEB△ＤEC位似图形理：∵AB∥CD∥EF∴△DFE∽△DＢA△BＦＥ∽△BDＣ△AEB∽△DEC应边交点∴△ＤＦE△DBＡ△BＦE△BDC△AEB△DEC位似图形
(2)∵△ＢFE∽△ＢDC△ＡEB∽△DECＡＢ＝２CD3∴＝∴解EF．
方法总结位似图形意应点位似中心距离等相似位似图形应线段等相似
变式训练见学练优课时练课巩固提升第6题
三板书设计
位似图形概念画法
１．位似图形概念
2位似图形性质画法．
教学程中便学生理解位似图形特征应注意学生通动手操作猜想试验等方式获感性认识然通纳总结升理性认识形象抽象机结合形成位似图形认识．教师应学动权充分放学生环节时纳总结学生学收获
第２课时 面直角坐标系中位似
1．学会图形坐标变化表示图形位似变换（重点）
2掌握图形定例放缩应点坐标变化规律（难点)
情境导入
观察图示坐标系
试着发现坐标系中图形间联系然作出类似图形
二合作探究
探究点：面直角坐标系中位似
类型 利位似求点坐标
图线段AB两端点坐标分A(66)Ｂ(82)原点O位似中心第象限线段AB缩原线段CD端点Ｃ坐标( )
A．（3３) Ｂ．（4３)
Ｃ(31) D(41)
解析∵线段AＢ两端点坐标分A(６6)Ｂ(82)原点O位似中心第象限线段AB缩原线段CD∴端点C横坐标坐标变A点半∴端点C坐标(33)．选A
方法总结：关原点成位似两图形位似k原图形点(xy)位似变化应点坐标(ｋxky)（kxky）
变式训练见学练优课时练课堂达标训练 第3题
类型二 坐标系中画位似图形
13×13网格图中已知△ＡBＣ点M(１2）．
(1)点M位似中心位似2画出△ＡＢC位似图形△A′B′C′
(2）写出△A′B′C′顶点坐标
解析（1）利位似图形性质位似2出应点位置（2)利画图形出应点坐标．
解(1)图示△A′B′C′求
（2）△A′B′C′顶点坐标分A′(36)Ｂ′（5２)C′(114)．
方法总结画图形位似图形时位似中心选择意点图形部外部图形具体问题考虑画图方便符合求．
变式训练见学练优课时练课堂达标训练 第7题
类型三 坐标系中确定位似
△ABC三顶点Ａ(36）B(6２）Ｃ(21）原点位似中心位似图形△A′Ｂ′C′三顶点分A′(12）B′(2）C′（)△A′B′C′△ＡＢC位似＿___＿＿_＿．
解析：∵△AＢC三顶点A(36）B(6２)C（２１)原点位似中心位似图形△A′B′Ｃ′三顶点分A′(12)B′(2)Ｃ′（－)∴△A′Ｂ′C′△ABC位似1∶3．
方法总结原点位似中心位似图形位似应点应坐标．
变式训练见学练优课时练课巩固提升第3题
探究点二位似坐标系中简单应
类型 确定图形面积
图原点Ｏ△ABC△A′B′C′位似中心点Ａ（１0)点Ａ′(２0)应点△ABＣ面积△A′B′Ｃ′面积_____＿__．
解析∵点A(10)点A′(2０)应点原点Ｏ位似中心∴△AＢC△Ａ′B′Ｃ′位似1∶２∴△AＢC△A′B′C′面积1∶４∵△ABC面积∴△A′B′Ｃ′面积６
方法总结：位似相似特殊形式位似等相似应面积等相似方．
变式训练见学练优课时练课巩固提升第６题
类型二 位似变换移旋转轴称综合
图点Ａ坐标(３4）点O坐标(００）点B坐标(４0）
(1）△AOBx轴左移1单位△A1Ｏ1B1点A１坐标(____＿___)△A1O１Ｂ1面积_＿___＿__
(2）△AOB绕原点旋转1８0°△A2O2B２点A2坐标(＿_______）
（3）△AOBx轴翻折△A3O３Ｂ3点Ａ3坐标(__＿_____)
(４）O位似中心例尺１∶2△AOB放△A4O4B4点B4x轴负半轴点Ａ4坐标(________)△A4O4B4面积_＿＿_＿___．
解析(1)△AOＢｘ轴左移１单位△A１O1Ｂ1点A1坐标(24)△Ａ1Ｏ1B1面积×４×48（２）△ＡOB绕原点旋转１８0°△A２O２B2点Ａ2坐标(－3４)(3）△ＡOBx轴翻折△Ａ3O3Ｂ3点A3坐标(34）（４)Ｏ位似中心例尺1∶２△ＡOB放△Ａ4O4Ｂ４点B４x轴负半轴点Ａ4坐标（68)△Ａ4O４B4面积×８×8＝32答案(１)248（2)－3－4(3)3－4(４）6832
方法总结：题考查图形旋转移位似变换三角形面积求法等知识出应点坐标解题关键
三板书设计
位似变换坐标特征：
关原点成位似两图形位似k原图形点(xｙ)位似变化应点坐标（kｘkｙ)(－ｋx－ky)
节课学生感受面直角坐标系中位似图形根坐标变化变化教学程中提高学生学积极性心情愉悦思维活跃样真正激发学生学数学兴趣提高课堂学效率
2８1锐角三角函数
第1课时 正弦函数
1根正弦概念正确进行计算(重点)
2．运正弦函数解决实际问题(难点)
情境导入
牛庄算新建水站选择水泵时必须知道水站(点Ａ)水面(BC)高度(AB)．斜坡水面成角(∠C）量角器测出水长度(AC）直接量．
二合作探究
探究点正弦函数
图ｓiｎA等( )
A．2 B． C D
解析根正弦函数定义siｎA＝选Ｃ
方法总结：锐角A边ａ斜边ｃ做∠A正弦记作siｎAsiｎA＝
变式训练见学练优课时练课堂达标训练 第2题
探究点二正弦函数相关应
类型 网格中求三角函数值
图正方形网格中△ＡＢCsin∠AＢC值等（ )
Ａ Ｂ C D．10
解析∵AＢ＝BC＝AC＝∴AB２＝BC2+ＡＣ2∴∠ＡCＢ9０°∴sin∠ＡBＣ＝＝＝选B
方法总结解决关网格问题勾股定理逆定理相联系根勾股定理求出三边长度运勾股定理逆定理判断三角形形状．
变式训练见学练优课时练课巩固提升第3题
类型二 已知三角函数值求直角三角形边长
Ｒt△ＡBC中∠Ｃ＝90°BＣ＝４sinA＝AB长( )
A B６ C．12 D８
解析∵sinA＝＝∴AB＝6选B
方法总结根正弦定义表示出边关系然数值代入求解记住定义解决问题关键．
变式训练：见学练优课时练课堂达标训练 第6题
类型三 三角函数等腰三角形综合
已知等腰三角形条腰长2５cm底边长3０ｃm求底角正弦值
解析：先作底边高AD根等腰三角形三线合性质BD＝BC15cｍ勾股定理求出AD然根三角函数定义求解．
解图点A作AD⊥BＣ垂足D．∵AB＝AC25cｍBC3０ｃmAＤ底边高∴BＤ＝BC＝15ｃｍ勾股定理AD＝20cm∴sin∠ABC＝
方法总结求三角函数值定直角三角形中求值图形中没直角三角形时通作高构造直角三角形解答．
变式训练见学练优课时练课堂达标训练第4题
类型四 复杂图形中求三角函数值
图△ABC中ＡD⊥BＣD果AＤ＝9DＣ5ＥAC中点求sin∠EＤＣ值．
解析：首先利勾股定理计算出AC长根直角三角形性质DEEC根等腰三角形性质∠ＥＤC∠Ｃ进sｉn∠EDCsｉn∠C＝．
解∵ＡＤ⊥BC∴∠ADC＝90°∵ＡD9DC５∴AＣ＝．∵EAC中点∴DEAE＝ECAＣ∴∠ＥＤC∠Ｃ∴sin∠EDC＝sin∠C＝
方法总结：求三角函数值关键找准直角三角形利等量代换角线段转化进行解答．
变式训练见学练优课时练课巩固提升第8题
类型五 圆中求三角函数值
图已知ＡB⊙O直径CD弦CD⊥ABBC6AC8求sｉn∠AＢD值．
解析首先根垂径定理出∠ABD∠AＢC然直径圆周角直角出∠ＡＣＢ＝９0°根勾股定理算出斜边AＢ长根正弦定义求出sｉｎ∠AＢC值出ｓin∠ＡBＤ值．
解：条件知∴∠AＢＤ＝∠ABC∴ｓin∠ABDsiｎ∠AＢＣ．∵AB直径∴∠ＡCB90°Rｔ△ABC中∵BC6AＣ＝8∴ＡB10∴ｓin∠ＡBD＝sin∠AＢＣ＝
方法总结求三角函数值时必须直角三角形中．圆中直径圆周角直角构造出直角三角形．
变式训练：见学练优课时练课巩固提升第７题
三板书设计
1．正弦定义
2利正弦解决问题
教学程中重视程深化理解通学生动探究体现体位教师通学生参学启发调整激励体现引导作学生体意识合作交流力起着积极作．
281锐角三角函数
第２课时 余弦函数正切函数
1．理解余弦正切概念(重点）
２．熟练运锐角三角函数概念进行关计算．(重点)
情境导入
教师提问样定义直角三角形中锐角正弦什样定义
学生回答教师提出新问题：节课中知道图示Rｔ△ABＣ中∠C＝90°锐角∠Ａ确定时∠A边斜边确定．现问：边间否确定呢？什？
二合作探究
探究点：余弦函数正切函数定义
类型 利余弦定义求三角函数值
Rt△ABC中∠C＝90°AＢ＝１3ＡC1２cｏｓＡ＝( )
A Ｂ C D
解析：∵Rt△AＢC中∠C＝9０°AB13AＣ12∴coｓA选Ｃ
方法总结直角三角形中锐角余弦等角邻边斜边值
变式训练：见学练优课时练课堂达标训练 第2题
类型二 利正切定义求三角函数值
图边长1正方形组成网格中△ABC三顶点均格点ｔaｎA( )
A． B
C D．
解析直角△ＡＢＣ中∵∠ＡBＣ９0°∴taｎＡ＝选D
方法总结：直角三角形中锐角正切等边邻边值．
变式训练：见学练优课时练课堂达标训练 第5题
探究点二：三角函数增减性
类型 判断三角形函数增减性
着锐角α增cｏsα值( )
Ａ．增 Ｂ减
C变 D确定
解析：角度０°～90°间变化时余弦值着角度增减选B
方法总结：0°＜α<9０°时ｃosα值着角度增(减）减(增)
类型二 较三角函数
ｓｉｎ70°ｃｏs7０°tａn70°关系( ）
Aｔan70°Bcos７０°Csin７0°＜ｃos70°<ｔan70°
Dｃos７0°解析根锐角三角函数概念知siｎ70°＜1coｓ70°＜1tan７0°>１．∵ｃos7０°ｓin20°正弦值着角增增∴sin70°>cos70°ｓｉｎ20°选D
方法总结：角度0°≤∠Ａ≤90°间变化时0≤sｉnＡ≤10≤ｃｏsA≤１ｔanＡ≥０
探究点三求三角函数值
类型 三角函数圆综合
图示△ＡBＣ接⊙OAB⊙O直径点D⊙Ｏ点C切线交ＡＤ延长线点ＥAE⊥CE连接CD
(1)求证：ＤC＝ＢC
(2）AB5ＡC4求taｎ∠DＣE值
解析(１)连接OC求证DＣＢＣ先证明∠CAD∠BAＣ进证明(２)AB＝５AＣ＝４根勾股定理BC＝3易证△AＣE∽△ABC求出CEDE长Rｔ△ＣDE中根三角函数定义求出tan∠DCE值．
（１)证明连接OＣ∵OA＝OＣ∴∠OＡＣ∠OＣA．∵CE⊙Ｏ切线∴∠OＣE＝9０°．∵AＥ⊥ＣE∴∠AEC＝∠OCE9０°∴OC∥AＥ∴∠OCA＝∠ＣＡD∴∠ＣAD∠ＢAＣ∴∴DC＝BC
(2）解：∵AB⊙O直径∴∠ACB90°∴ＢC＝3∵∠CＡE∠BAＣ∠AEＣ∠ACＢ＝90°∴△AＣＥ∽△ABC∴＝＝ＥC∵DCBC＝3∴ED＝＝∴ｔan∠ＤCE＝＝
方法总结：证明圆弦相等转化证明弦弧相等．利圆关性质寻找构造直角三角形求三角函数值遇较复杂问题时通全等相似线段进行转化
变式训练：见学练优课时练课巩固提升 第5题
类型二 利三角形边角关系求三角函数值
图△ABC中AD⊥BC垂足DBC14AＤ12tan∠BAD求sinC值
解析根ｔan∠BAＤ求BD长直角△ACＤ中勾股定理求ＡＣ长然利正弦定义求解
解：∵直角△ABD中ｔan∠ＢAD∴BDAD·tａn∠BＡD＝１２×＝９∴CDBC－BD＝14－９5∴AC＝13∴sinＣ＝．
方法总结：直角三角形中根三角函数定义分清边角关系结合勾股定理解答类问题关键
变式训练见学练优课时练课巩固提升第9题
三板书设计
1余弦函数定义
２正切函数定义
3．锐角三角函数增减性．
数学学中学生注重基概念基础知识认会做题结果失分选择题填空题等概念性较强题目通引导学生进行知识梳理教会学生进行知识纳总结进步帮助学生理解掌握基概念基础知识
281锐角三角函数
第３课时 特殊角三角函数
１历探索３0°45°60°角三角函数值程进步体会三角函数意义(重点)
2够进行3０°45°60°角三角函数值计算(重点）
3．够结合30°４5°60°三角函数值解决简单实际问题(难点)
情境导入
问题１直角三角形中锐角正弦余弦正切值定义？
问题2：两块三角尺中锐角少度设三角尺较短边长1分求出锐角正弦值余弦值正切值
二合作探究
探究点特殊角三角函数值
类型 利特殊三角函数值进行计算
计算
(1)2ｃｏs60°·sｉn3０°－sｉn４5°·sin60°
(2）
解析特殊角三角函数值代入求解．
解(1）原式2××－××＝＝1
（2)原式＝2－3．
方法总结： 解决类题目关键熟记特殊角三角函数值
变式训练见学练优课时练课堂达标训练 第4题
类型二 已知三角函数值求角取值范围
cosα锐角α致范围( )
A．０°<α＜30° Ｂ．30°＜α＜45°
Ｃ45°＜α<6０° D．0°＜α<30°
解析∵cｏs3０°＝coｓ４5°cos６0°＝＜＜∴cｏs6０°方法总结解决类问题熟记特殊角三角函数值三角函数增减性．
类型三 根三角函数值求角度
ｔaｎ（α+10°)1锐角α度数( )
A２0° B．30° C４0° D．５0°
解析∵ｔan（α＋１０°)１∴taｎ(α＋１0°)∵tａn30°＝∴α＋10°3０°∴α＝20°．选Ａ．
方法总结熟记特殊角三角函数值解决问题关键．
变式训练：见学练优课时练课堂达标训练第9题
探究点二特殊角三角函数值应
类型 利三角形边角关系求线段长
图△ＡBC中∠ABC９0°∠A＝30°Ｄ边ＡB点∠BDC45°ＡＤ4求BC长
解析题意知△BCD等腰直角三角形BD＝BＣRt△ABC中利锐角三角函数定义求出ＢC长
解∵∠Ｂ90°∠ＢDC45°∴△BＣD等腰直角三角形∴BＤBCRｔ△ABC中taｎ∠A＝tａn３0°＝＝解BＣ2(＋1)
方法总结直角三角形中求线段长果特殊角考虑利三角函数定义列出式子求出三角函数值进求出答案
变式训练：见学练优课时练课堂达标训练第２题
类型二 判断三角形形状
已知△AＢC中∠Ａ∠B满足（1taｎＡ)２＋|sinB－|0试判断△ＡBＣ形状
解析：根非负性性质求出tanAsinＢ值根特殊角三角函数值求出∠Ａ∠B度数进出结
解∵(１ｔanA)2+|sinB|＝0∴tanＡ＝１siｎB＝∴∠A＝45°∠Ｂ6０°∠C＝１80°－45°60°75°∴△ABC锐角三角形．
方法总结数绝值偶次方非负数数式绝值偶次方相加０时中项必须等0．
变式训练见学练优课时练课堂达标训练第8题
类型三 构造三角函数模型解决问题
求tan30°值构造图示直角三角形进行计算．作Ｒt△AＢC∠C＝９0°斜边AＢ２直角边AC1BC∠ＡBＣ＝30°∴ｔan30°＝图基础通添加适辅助线探究ｔan１5°ｔａｎ75°值．
解析根角分线性质勾股定理首先求出CD长进出ｔan１5°tａｎ７5°求出．
解作∠Ｂ分线交AC点D作ＤE⊥AB垂足E．∵BD分∠ABCCD⊥ＢCDＥ⊥ＡB∴ＣＤ＝DE设ＣＤxＡD＝1xAE2－BE2－BＣ＝2－Rt△ADE中DE2＋AＥ２＝AD2x2+(2－)2(1－x）2解ｘ＝23∴ｔａn15°２－tａn75°＝2+
方法总结：解决问题关键添加辅助线构造含１5°7５°直角三角形根三角函数定义求出15°7５°三角函数值
变式训练：见学练优课时练课巩固提升第2题
三板书设计
１特殊角三角函数值：
3０°
4５°
60°
ｓinα
cosα
tanα
１
２应特殊角三角函数值解决问题
课程设计中引入非常直接三角尺引入直击课题时前两节学知识进行整体复效果．讲解特殊角三角函数值时讲解细说前面部分教学成功学生理解
28．１锐角三角函数
第4课时 计算器求锐角三角函数值锐角
1．初步掌握计算器求三角函数值方法(重点)
2．熟练运计算器求三角函数值解决实际问题．(难点)
情境导入
教师讲解：通面节课学知道锐角∠A30°4５°60°等特殊角时求特殊角正弦值余弦值正切值果锐角∠A特殊角样三角函数值呢？助计算器求锐角三角函数值
二合作探究
探究点计算器求锐角三角函数值锐角
类型 已知角度计算器求函数值
计算器求列式值(精确０．0０01)：
（１)siｎ47°(2）sｉn12°30′
(3)cos25°18′(4)sin1８°＋cos５5°－ｔaｎ59°．
解析：熟练计算器计算器出结果根效数字概念四舍五入法取似数
解根题意计算器求出
(１）sin47°≈0．731４
(2)siｎ12°3０′≈02164
(３)cos2５°18′≈09０４１
(4)sin18°+ｃos55°－taｎ5９°≈078１７
方法总结解决类问题关键熟练计算器计算器时注意键序
变式训练：见学练优课时练课堂达标训练 第4题
类型二 已知三角函数值计算器求锐角度数
已知列锐角三角函数值计算器求锐角∠Ａ∠Ｂ度数（结果精确0．1°）
(1)siｎA07ｓｉnB0．01
(2)ｃosA０15cosB＝0８
（3)tａnＡ＝2．4ｔanB０5
解析三角函数值求角度数时键第二功键注意键序．
解(1)sinA＝07∠A≈444°siｎB＝０01∠B≈０6°
（2)coｓA＝０１５∠Ａ≈814°cosB0．８∠B≈3６9°
(3)tａnＡ＝24∠Ａ≈６74°tａnB＝０５∠B≈266°
方法总结：解决类问题关键熟练计算器计算器时注意键序．
变式训练：见学练优课时练课堂达标训练 第7题
类型三 利计算器验证结
(１)通计算(计算器)较列数提出猜想：
①sin３0°__＿＿____2siｎ１5°coｓ15°
②sin36°____＿＿_＿2ｓin1８°ｃos1８°
③sｉn45°＿_＿＿＿＿__2sin225°ｃos22．５°
④sin60°__＿__＿_＿２sin３0°ｃoｓ3０°
⑤ｓin80°___＿＿_＿_2sｉｎ40°cos40°
猜想：已知０°＜α＜45°sin2α__＿_＿_＿＿2sinαcｏsα
（2）图△AＢC中AB＝AC1∠BＡC2α请根提示利面积方法验证结．
解析：(1)利计算器分计算①⑤式中左边右边较(2)通计算△ＡBC 面积验证
解(１)通计算知
①sｉｎ30°＝2sｉn１5°cｏs１5°
②ｓin３6°２sin18°ｃos１8°
③ｓｉn45°＝2ｓin2２5°ｃｏs22．5°
④sin60°２ｓin3０°coｓ30°
⑤sｉn80°＝2ｓin40°cos４０°
sｉn2α2sｉｎαcosα
（2)∵S△AＢCAB·sin2α·AC＝siｎ2αＳ△ＡBC×2ＡBsｉnα·AＣcoｓαｓinα·coｓα∴siｎ2α2sinαcosα．
方法总结：题运面积法通方法表示三角形面积三角函数关系种方法面学中会常．
变式训练：见学练优课时练课巩固提升第6题
类型四 计算器较三角函数值
计算器较：2０sin87°____＿＿_＿tａn87°
解析２0sin87°≈20×0９98619974tａn87°≈19．08１∵199７4>1908１∴２０ｓｉn87°>tan87°
方法总结利计算器求值时注意计算器键序
变式训练：见学练优课时练课堂达标训练第8题
探究点二：计算器求三角函数值解决实际问题
图AB公路需Ｃ图中AC＝20km∠CAB＝25°∠ＣBA３7°城市规划需AＢ两间修建条笔直公路
(１)求改直公路AB长
(2)公路改直原缩短少千米
解析：(１)作CＨ⊥ＡBHRｔ△ＡCH中根ＣHＡC·sin∠CＡB求出CH长AH＝AC·cos∠CAB求出AＨ长理求出BH长根ABAH＋BH求AＢ长(2)Ｒt△BＣＨ中ＢC求出BC长ＡC＋ＢCAB出结．
解（1)作ＣＨ⊥ABＨＲt△ＡCH中ＣＨAC·siｎ∠CAB＝ＡC·sｉn２5°≈20×04284kmAＨAC·ｃｏs∠CAB＝AC·cos25°≈２０×0．9１１82kｍRt△BCH中BH＝≈＝１１．1km∴AＢ＝AＨ＋ＢH＝18２+１1１２93kｍ改直公路ＡB长293km
(2)Rt△ＢCH中ＢC≈1４kmAＣ+BCAB2０＋１４－29347ｋm．
答：公路改直原缩短４．7ｋm
方法总结：根题意作出辅助线构造出直角三角形解答类问题关键
变式训练见学练优课时练课巩固提升第４题
三板书设计
1．已知角度计算器求函数值
２已知三角函数值计算器求锐角度数
3计算器求三角函数值解决实际问题
备课时站学生角度思考问题设计教学细节学生更参课堂教学程中学生体验思考程体验成功喜悦失败挫折舍课堂学生课堂投入更情感素丰富课堂语言课堂更加鲜活充满性魅力真正提高课堂教学效率提高成绩
２8２．1 解直角三角形
１．理解解直角三角形意义条件(重点）
２．根元素间关系选择适关系式求出未知元素．(难点）
情境导入
世界遗产意利萨斜塔1350年落成时已倾斜设塔顶中心点B 塔身中心线垂直中心线夹角∠A点B垂直中心线引垂线垂足点C．Ｒt△ABC中∠C＝90°BC＝5２mＡB＝５4．5m求∠A度数．
述Rt△ABＣ中求未知边角
二合作探究
探究点：解直角三角形
类型 利解直角三角形求边角
已知Rｔ△ABＣ中∠C９0°∠Ａ∠Ｂ∠C边分abc列条件解直角三角形
(1）a＝36∠B30°求∠A度数边bc长
(2)a６b6求∠A∠B度数边c长
解析：（1)已知直角边锐角解直角三角形(2)已知两条直角边解直角三角形．
解(1)Rt△ABC中∵∠B30°a36∴∠A＝90°－∠B6０°∵cosB＝c＝＝２4∴b＝sinB·ｃ＝×24＝12
(2)Rｔ△ABC中∵ａ6b＝6∴tanＡ＝∴∠Ａ＝30°∴∠B６０°∴ｃ2a１２
方法总结解直角三角形时应求出未知元素解题时选择包含求元素两已知元素关系式求解
变式训练见学练优课时练课堂达标训练 第4题
类型二 构造直角三角形解决长度问题
副直角三角板图放置点CFD延长线AＢ∥CF∠Ｆ∠ＡＣB90°∠Ｅ＝30°∠Ａ４5°AC＝12试求CＤ长
解析：点B作BM⊥FD点Ｍ求出BMCM长度然△ＥFＤ中求出∠ＥDＦ60°利解直角三角形解答．
解点Ｂ作BM⊥ＦD点M△ＡCB中∠ＡCB90°∠Ａ45°AC＝1２∴BＣ＝AC＝1２∵AB∥ＣF∴BMsｉｎ４5°BC12×＝12ＣMＢM＝１2△EＦD中∠F＝9０°∠E30°∴∠EDF＝6０°∴ＭＤ＝４∴ＣD＝ＣＭ－ＭD１2－4
方法总结解答类题目关键根题意构造直角三角形然利学三角函数关系进行解答．
变式训练：见学练优课时练课巩固提升 第4题
类型三 运解直角三角形解决面积问题
图△AＢC中已知∠Ｃ＝90°sinＡD边AC点∠BDC＝４5°DC＝6求△AＢC面积．
解析：首先利正弦定义设BC＝3kAB７ｋ利BCCD3k６求k值求AB长然利勾股定理求AC长进步求解．
解∵∠C９０°∴Rｔ△AＢＣ中ｓinA＝设BC3kAB7k(k>0）Rt△ＢCD中∵∠ＢCD＝90°∴∠BDC４5°∴∠CBD∠BＤＣ４５°∴BC＝CＤ＝3k＝6∴k2∴AB＝14Rt△ABＣ中AC＝4∴S△ABＣAC·BC＝×４×612△ＡＢC面积１2
方法总结已知条件中线段利三角函数设出辅助未知数列方程解答
变式训练：见学练优课时练课堂达标训练第7题
探究点二解直角三角形综合
类型 解直角三角形等腰三角形综合
已知等腰三角形底边长周长2+求底角度数
解析：先求腰长作底边高利等腰三角形性质求底角余弦求底角度数．
解：图△ＡBＣ中AＢACBC＝∵周长2＋∴AB＝AＣ１A作ＡD⊥BC点DＢD＝Rｔ△ABD中cｏｓ∠ABD＝∴∠AＢＤ４５°等腰三角形底角4５°
方法总结：求角度数时考虑利特殊角三角函数值
变式训练见学练优课时练课巩固提升第２题
类型二 解直角三角形圆综合
已知图Rt△AOB中∠Ｏ9０°ＯＡ半径作⊙OBC切⊙Ｏ点C连接ＡＣ交ＯB点P．
（1)求证BPＢＣ
（2）sｉn∠PAOPC7求⊙O半径
解析(１）连接OC切线性质∠ＯCB９0°OＡ＝OC∠ＯCＡ∠ＯＡC∠AOB９0°出求证结(2)延长AO交⊙Ｏ点E连接CEＲt△AOＰRt△AＣＥ中根三角函数勾股定理列方程解答．
解：(1)连接OＣ∵ＢC⊙O切线∴∠OCB＝90°∴∠ＯCA+∠BＣA＝90°．∵OA＝OC∴∠ＯCA＝∠OＡC∴∠ＯAC+∠BＣA90°∵∠BOＡ＝90°∴∠ＯAC+∠APO＝9０°∵∠ＡＰＯ∠BPC∴∠BPC∠BCＡ∴BＣBP
(2)延长AO交⊙Ｏ点E连接CＥRt△AＯP中∵sin∠ＰAO设OＰ＝xAP3x∴AＯ2x∵AO＝ＯE∴OE２ｘ∴AE4ｘ．∵ｓin∠PＡO∴Ｒt△ＡCE中∴∴＝解x3∴AO＝2x＝６⊙O半径6
方法总结：题考查切线性质三角函数勾股定理等知识解决问题关键根三角函数定义结合勾股定理列出方程
变式训练：见学练优课时练课巩固提升第９题
三板书设计
1解直角三角形基类型解法
2．解直角三角形综合．
节课设计力求体现新课程理念学生探索时间宽松谐氛围学生学更动更轻松力求探索知识程中培养探索力创新精神合作精神激发学生学数学积极性动性
２8２2 应举例
第１课时 解直角三角形简单应
1通生活中实际问题体会锐角三角函数解题程中作(重点）
２．够实际问题转化数学问题建立数学模型运解直角三角形求解．（难点）
情境导入
倡导低碳生活常选择行车作代步工具图①示辆行车实物图图②辆行车部分示意图中车架档ACＣD长分45cｍ6０ｃm互相垂直座杆CE长20cm点ACＥ条直线∠CAB＝75°
求出车架档AD长？
二合作探究
探究点解直角三角形简单应
类型 求河宽度
根网消息益阳市改善市区交通状况计划康富路北端修建通资江北岸新桥．图新桥两端位ＡB两点张测量AB间河宽垂直新桥AＢ直线型道路l测数∠BDＡ７6．１°∠ＢCA６8２°ＣD＝82米．求AB长（精确0１米)．参考数：sin７61°≈097coｓ７6１°≈0２4taｎ７６1°≈4．0sｉｎ682°≈0．93cｏs68．2°≈0３７tan68２°≈25
解析：设ADxmAC＝（ｘ＋82)ｍRt△AＢC中根三角函数AB２5(x＋８2)ｍRt△ABＤ中根三角函数AB＝4x关x方程进步求解
解设AＤ＝xmＡC＝(x＋82)mRt△ABC中tan∠ＢＣA∴AＢAC·tan∠BＣA2５(x+82）Rt△ABD中ｔａｎ∠ＢDＡ＝∴ＡBAD·ｔan∠BDA4x∴25(ｘ＋８2）4x解x＝∴ＡB＝4x＝4×≈5467m．
答AB长约546７m
方法总结解题关键构造出直角三角形通测量角度数测量边长度计算出求物体高度长度．
变式训练见学练优课时练课堂达标训练 第３题
类型二 求达两点高度
图放置水桌面台灯灯臂AB长30cm灯罩BC长20cｍ底座厚度2cm灯臂底座构成∠BAD＝6０°发现光线佳时灯罩BC水线成角30°时灯罩顶端C桌面高度ＣE少(结果精确０１cm参考数≈1732)
解析首先点B作ＢF⊥ＣD点F作BG⊥AD点Ｇ进求出FC长求出BＧ长出答案．
解：点Ｂ作BF⊥CD点F作BG⊥AD点G∴四边形BＦDG矩形∴BGFＤ．Ｒt△BCＦ中∠CBF３０°∴CFBC·siｎ30°＝20×１0cｍRt△ABG中∵∠BＡG6０°∴BＧ＝AB·sin６0°30×＝１５cm∴CECF+FＤ＋ＤE＝10＋１５+21２＋15≈３8０(cｍ)
答时灯罩顶端C桌面高度CE约380cm
方法总结实际问题抽象数学问题画出面图形构造出直角三角形转化解直角三角形问题．
变式训练见学练优课时练课巩固提升第6题
类型三 方案设计类问题
锋家块四边形形状空(图③四边形ＡBCD)中AＤ∥BＣBC＝１．6ｍＡD55ｍCD５2ｍ∠Ｃ＝９0°∠A53°锋爸爸想买辆长4９m宽１9m汽车停放块空锋算算否行锋设计两种方案图①图②示
(1）请通计算说明锋两种设计方案否合理
(2)请利图③设计种锋行性方案说明理(参考数：sｉｎ５3°＝08ｃｏs５３°06tan53°）
解析：(１)方案1图①示Ｒt△AGE中正切函数求AG长进求DG长然汽车宽度较方案2图②示Ｒt△AＬＨ中正切函数求AL长进求DL长然汽车长度较(2)汽车行ＡB停放图③Rｔ△ＡMＮ中正弦函数求AM长进求DM长．Rt△PDM中余弦函数求PM长然汽车长度较
解(1)图①Rt△AＧE中∵∠A53°∴AG＝＝m≈3．68m∴DGADＡG55－368＝1８２m<１．9m方案合理图②Ｒt△ＡLH中∵∠A＝5３°LH＝19m∴ＡL＝≈１43m∴ＤＬ＝ＡDAL＝55１43＝4．０7ｍ＜49m方案合理
(2）图③DA点M作MＮ⊥AＢ点ＮCD点P作PＱ⊥AB点Q连ＰMＲt△AＭN中∵∠A＝５3°ＭN1９m∴ＡM＝≈２．4∴DM＝５5－２43．1mRt△PＤM中∵∠PＭＤ＝∠A５3°ＤM3１m∴PＭ≈５1ｍ＞４9m方案合理．
方法总结题利三角函数解决实际问题关键实际问题转化解直角三角形问题利三角函数解决问题．
变式训练：见学练优课时练课巩固提升第７题
三板书设计
1．求河宽物体高度
2应类问题
节课充分发挥学生观动性引导学生通组讨胆发表意见提高学生学数学兴趣．够学生构造实际问题中直角三角形模型通解直角三角形解决实际问题
28２2 应举例
第２课时 利仰俯角解直角三角形
１学生掌握仰角俯角意义学会正确判断(重点)
2初步掌握实际问题转化解直角三角形问题力(难点）
情境导入
实际生活中解直角三角形着广泛应例通常遇视线水线铅垂线构成直角三角形．测量时视线水线成角中视线水线方角做仰角水线方角做俯角天学仰角俯角关应性问题
二合作探究
探究点：利仰（俯)角解决实际问题
类型 利仰角求高度
星期天身高均16米红涛公园学知识测算座塔高度．图红站A处测塔顶C仰角α4５°涛站B处测塔顶Ｃ仰角β30°测出AB两点距离４15m假设眼睛离头顶10cｍ求塔高（结果保留根号）．
解析：设塔高ｘｍ利锐角三角函数关系出ＰM长利tａn３0°求出x值．
解：设塔底面中心O塔高xmMN∥AB塔中轴线相交点P△CPＭ△CPN直角三角形＝tan4５°∵ｔaｎ４5°1∴PMCPx－1．5Rｔ△ＣPN中ｔaｎ30°解x
答塔高m
方法总结：解决类问题解角角间关系找已知未知相关联直角三角形图形中没直角三角形时通作高垂线构造直角三角形
变式训练：见学练优课时练课堂达标训练 第7题
类型二 利俯角求高度
图两建筑物间旗杆EＧ高15米A点旗杆顶部E点恰矮建筑物墙角C点俯角α6０°A点测D点俯角β３0°旗杆底部G点BC中点求矮建筑物高ＣＤ
解析根点GBC中点判断ＥG△ABC中位线求出ABＲt△ＡBＣRt△AFＤ中利特殊角三角函数值分求出BCDF继求出CＤ长度
解：点D作DF⊥AF点F∵点GBC中点EG∥AB∴EG△ABＣ中位线∴AＢ2EＧ＝3０m．Rｔ△ABＣ中∵∠CＡB＝3０°∴BＣ＝ABtan∠BAＣ＝３0×10mRt△AFＤ中∵AF＝BC10m∴FDAF·tanβ10×1０m∴CD＝ABFD＝30－10＝20m
答矮建筑物高20m
方法总结：题考查利俯角求高度解答题关键构造直角三角形利三角函数知识求解相关线段长度．
变式训练见学练优课时练课堂达标训练第６题
类型三 利俯角求达两点间距离
图测量河宽度AB测量员高21ｍ建筑物CＤ顶端D处测河岸B处俯角４5°测河岸A处俯角30°(ABC条直线)河宽度AB约少ｍ（精确01m参考数：≈141≈1．73）
解析Ｒt△AＣＤ中根已知条件求出AC值Ｒt△BＣＤ中根∠EDB＝45°求出ＢC＝ＣD2１m根AB＝AＣ－BC代值计算
解∵Rt△ＡCD中CＤ＝２1ｍ∠ＤＡC＝30°∴ＡC＝２１m∵Ｒｔ△ＢＣD中∠EDB45°∴∠DBC＝4５°∴ＢCCＤ＝21m∴ＡB＝AC－ＢC＝21－21≈１5．3(ｍ)河宽度ＡB约1５3m
方法总结：解决类问题解角间关系找已知未知相关联直角三角形实际问题化直角三角形中边角关系问题加解决
变式训练：见学练优课时练课巩固提升 第3题
类型四 仰角俯角综合
某数学兴趣组学次数学活动中测量某建筑物AB高建筑物AB相距12m建筑物ＣDC处观察测建筑物顶部A仰角30°底部B俯角4５°求建筑物AＢ高(精确1m供选数≈14≈17)．
解析：点C作AB垂线CE垂足E根题意出四边形CＤBE正方形ＢD＝１2m知BＥ＝CE1２mAE＝CＥ·tａn3０°出AE长进出结．
解：点C作ＡB垂线垂足E∵CD⊥ＢDAB⊥ＢD∠ECB＝45°∴四边形CDBE正方形∵BD12m∴BE＝ＣE＝１2ｍ∴AEＣE·tan30°＝１２×＝4(m)∴AB４＋12≈1９(m）．
答：建筑物AＢ高１9m．
方法总结：题考查解直角三角形应中仰角俯角问题根题意作出辅助线构造出直角三角形解答题关键．
变式训练：见学练优课时练课巩固提升第７题
三板书设计
１．仰角俯角概念
2利仰角俯角求高度
3．利仰角俯角求达两点间距离
4仰角俯角综合．
备课时站学生角度思考问题设计教学程中细节．课前揣摩学生更参课堂教学程中学生体验思考程体验成功喜悦失败挫折舍课堂学生学生做课堂舞台角课堂更加鲜活充满性魅力课反思做反馈工作断总结失断进步样真正提高课堂教学效率
2822 应举例
第3课时 利方位角坡度解直角三角形
１知道测量中方位角坡角坡度概念掌握坡度坡角关系(重点）
2．够应解直角三角形知识解决方位角坡度关问题(难点)
情境导入
修路挖河开渠筑坝时设计图纸注明斜坡倾斜程度图坡面铅垂高度(h)水长度(l)做坡面坡度(坡)记作ｉｉ＝
坡度通常写成１∶m形式i＝1∶6坡面水面夹角做坡角记作αitanα．显然坡度越坡角α越坡面越陡．节课解决方面问题
二合作探究
探究点利方位角解直角三角形
类型 利方位角求垂直距离
图示AＢ两城市相距200ｋｍ现计划两座城市间修筑条高速公路(线段AB)测量森林保护中心PA城市北偏东3０°B城市北偏西45°方．已知森林保护区范围P点圆心100kｍ半径圆形区域请问：计划修筑条高速公路会会穿越保护区(参考数≈1．732≈1．414)
解析：点P作ＰC⊥AＢC垂足ＡＣＢC根三角函数PC表示出．根AB长关PC方程求出ＰC长．判断出条高速公路会会穿越保护区
解点P作PC⊥ABC垂足∠AＰＣ＝30°∠BPC4５°ACＰC·tan30°BCPC·ｔaｎ４５°∵ＡC＋BC＝AB∴PC·tan30°＋PＣ·tan45°＝２0０ＰC+PＣ200解ＰＣ≈１26．8km>100ｋｍ
答：计划修筑条高速公路会穿越保护区．
方法总结解般三角形问题般转化解直角三角形问题解决方法作高线．
变式训练：见学练优课时练课堂达标训练 第1题
类型二 利方位角求水距离
村村通公路工程拉城乡距离加速区农村济建设步伐．图示C村村民欲修建条水泥公路C村区级公路相连公路A处测Ｃ村北偏东６0°方区级公路前进５00ｍB处测C村北偏东30°方节约资源求修公路长度短画出符合条件公路示意图求出公路长度．(结果保留整数)
解析：作CD⊥ABDRt△ACＤ中题意∠CAD＝30°求ＡD．Rt△CBD中题意∠CＢＤ６0°求BＤADBD＝５０0解CＤ
解：图点C作CＤ⊥ＡB垂足落AB延长线CD修公路CD长度公路长度Rｔ△ACD中题意∠ＣAD＝3０°∵tan∠CAD＝∴AD＝＝ＣDRt△CＢＤ中题意∠CBD6０°∵tan∠CBD∴ＢＤＣD．∵ADBＤ５00∴CDＣD＝５00解ＣD≈4３3（m)．
答：修公路长度约4３3m．
方法总结解决关方位角问题中般根题意理清图形中角关系时方位角定直角三角形中需两直线行错角相等角余角等知识转化需角
变式训练：见学练优课时练课巩固提升第４题
探究点二利坡角坡度解直角三角形
类型 利坡角坡度解决梯形问题
图某水库坝横截面梯形ＡBCD坝顶宽BC3米坝高2米背水坡AB坡度ｉ＝1∶1迎水坡CD坡角∠ADC３0°求坝底AD长度
解析首先ＢＣ作ＢE⊥ADCF⊥ＡD四边形ＢEＦC矩形背水坡AB坡度ｉ＝１∶1迎水坡ＣD坡角∠ADＣ３0°根坡度定义求解．
解分ＢC作ＢＥ⊥ADCF⊥ＡD垂足EFBE∥CＦ∵BC∥ＡD∴BCEFＢECＦ题意EFＢC3BＥCＥ＝２∵背水坡AB坡度i＝1∶1∴∠ＢＡE＝45°∴AE2DF２∴ＡＤAE＋EF+DF2＋3＋2５＋２(ｍ)
答坝底AD长度(5+2）m
方法总结解决类问题般构造直角三角形助解直角三角形知识求解
变式训练见学练优课时练课堂达标训练第6题
类型二 利坡角坡度解决三角形问题
图某车库入口处斜坡ＡB坡度i1∶2斜坡ＡB长6m斜坡高度AH（AH⊥ＢC)行车更安全现斜坡坡角改造14°(图中∠ACB１４°)
（1)求车库高度AＨ
(2）求点Ｂ点Ｃ间距离(结果精确１ｍ参考数：sｉｎ14°≈024cos１4°≈0．9７taｎ１4°≈０25)．
解析(1)利坡度i＝1∶2出AH∶BH＝1∶２进利勾股定理求出AH长(2)利taｎ14°求出BC长．
解(1)题意AH∶BH＝1∶2设AH＝xBH２xｘ2＋(２x)2(6）2解x＝６车库高度AＨ6m
（2)∵AH＝6m∴BH＝2AH１２m∴CＨ＝ＢC+BHBC＋12mRt△ＡHC中∠AHC90°taｎ∠ACB∵∠ACB＝1４°∴ｔａn14°＝025解BC１2m．
答点B点C间距离１2ｍ
方法总结题考查解直角三角形应中坡度坡角问题明确坡度等坡角正切值解题关键
变式训练：见学练优课时练课巩固提升第６题
三板书设计
1．方位角意义
2坡度坡意义
3应方位角坡度坡解决实际问题
解直角三角形应实际生活中利培养学生空间想象力求学生通实物观察根文字语言中某条件画出适合图形．方面教学程应学生展开留学生思考时间学生充分思考空间时间学生积极动学．
29１ 投影
第1课时 行投影中心投影
1理解行投影中心投影特征（重点)
2．投影面画出面图形行投影中心投影(难点)
情境导入
北京宫中日晷闻名世界国光辉灿烂文化瑰宝．国古代利日影测定时刻仪器晷面晷针组成太阳光日晷中轴产生投影晷针影子会投晷面着时间推移晷针影长度发生变化晷针影子晷面慢慢移动聪明古显示时刻
节课学关投影知识．
二合作探究
探究点：行投影
类型 判断影子形状
列图形中表示两棵树时刻阳光影子图形（ )
解析选项A影子行较高树影子长度较低树影子正确选项B影子方相错误选项Ｃ影子方相错误选项Ｄ树高影子成正较高树影子长度较低树影子错误选A
方法总结行投影特点：时刻物体影子物体物高影长成例
变式训练：见学练优课时练课堂达标训练 第2题
类型二 行投影作图
某时刻操场三根测杆图示中测杆ＡＢ影子BC画出测杆MN影子ＮＰ测杆XY影子顶端恰落点B处XY＝MN找出XY位置请述问题画面示意图中简述画法
解析：物体顶点作光线行线物体行投影根行投影中物体投影面行时投影全等找XY位置．
解：连接AＣ点M作MP∥ＡC交NC点PNPＭN影子．点Ｂ作ＢX∥ＡCＢX＝ＭPX作XＹ⊥ＮC交NＣ点YXY求．
方法总结：先根物体投影确定光线然利两物体顶端影子应点连线组行线物体顶端作行线面相交确定影子．
变式训练：见学练优课时练课堂达标训练第4题
类型三 行投影相关计算
李航想利太阳光测量楼高带着皮尺栋楼发现面墙栋楼影子针种情况设计种测量方案具体测量方法示意图李航边移动边观察发现站点Ｅ处时落墙影子栋楼落墙影子重叠高度恰相时测李航落墙影子高度CＤ1．2ｍCＥ0．６mＣA30ｍ(点AEC直线)已知李航身高ＥＦ1．6m请帮李航求出楼高AB
解析：点D作DN⊥AB四边形ＣDＭEＡCＤN矩形证明△ＤFM∽△DBN出BN进求AB长．
解：点D作DN⊥AB垂足N交EFM点∴四边形ＣDＭEAＣDN矩形∴AN＝ME＝CD＝1．2ｍDN＝AC＝30mDM＝CＥ＝06m∴MF＝ＥF－ME１61２０．4m∵ＥＦ∥AB∴△ＤFM∽△DＢN＝∴BN＝20m∴AＢ＝BN+AN20+１2２１．2m．
答楼高2１．２m．
方法总结时刻物体高度影长关系：．
变式训练：见学练优课时练课巩固提升第6题
探究点二：中心投影
类型 判断否中心投影
面属中心投影( ）
A太阳光树影 B皮影戏
Ｃ月光房屋影子 Ｄ．海日出
解析中心投影光源灯光行投影光源阳光月光．选项中B选项投影中心投影选B．
方法总结：判断投影中心投影方法光线否相交点果光线相交点投影中心投影
变式训练：见学练优课时练课堂达标训练第６题
类型二 判断影长情况
晚亮路灯散步亮远处走灯远离路灯程中影子（ )
A．逐渐变短 B．先变短变长
C．先变长变短 D．逐渐变长
解析晚亮路灯散步亮远处走灯时候影子长变短远离路灯时候影子短变长选B
方法总结：中心投影光线特点点出发投射线物体投影面行时投影放(位似变换)关系．
变式训练：见学练优课时练课堂达标训练第5题
类型三 中心投影作图
图明爸爸(线段AB)爷爷(线段CD)路灯情景粗线分表示三影子．请根求进行作图(写画法保留作图痕迹)
(1)画出图中灯泡位置
（2)图中画出明身高．
解析(1)利中心投影图形性质连接应点出灯泡位置(2)根灯泡位置出明身高
解(1)图示：O灯泡位置
(2)图示ＥF明身高
方法总结：连接物体影子顶端形成直线必定点光源
变式训练：见学练优课时练课堂达标训练第8题
类型四 中心投影相关计算
图王华晚路灯AB处走C处时测影子CD长1m继续前走3米达E处时测影子EF长2ｍ已知王华身高１５m求路灯A高度AB
解析：根时刻物高影长成正时刻两物体影子物体顶部光线三者构成两直角三角形相似解答
解：王华ＣG处时Ｒt△ＤCG∽Rｔ△DBA＝王华ＥＨ处时Rt△FEH∽Rt△FＢＡ＝＝∴．∵CG＝EＨ15mCＤ１ｍCE3mEF2ｍ设ABxBCy∴＝解y＝3检验y3原方程根．∵＝解ｘ6m路灯Ａ高度AB6m
方法总结：解题关键利中心投影特点知两组相似三角形中组公边利作相等关系求出需线段求公边长度
变式训练见学练优课时练课巩固提升第7题
三板书设计
1．行投影定义应
2中心投影定义应
节探索合作交流设计线皮影戏手影日晷等学生熟悉生活实际出发引入物体投影相关概念通观察图片等活动学生认识中心投影行投影区联系加强动学数学兴趣体现数学应价值
29．1 投影
第２课时 正投影
1．理解正投影概念(重点）
2纳正投影性质正确画出简单面图形正投影．（难点)
情境导入
观察图三图分表示块三角尺阳光射形成投影中图①图②③投影线什区图②③投影线投影面位置关系什区
二合作探究
探究点：正投影
类型 确定正投影形状
图示左面水杯杯口投影面行投影线方箭头示正投影图( )
解析题意光线垂直D符合选Ｄ
方法总结：投影面垂直入射光线时球体投影圆形否椭圆形．投影面面投影形状复杂．
变式训练见学练优课时练课堂达标训练 第2题
类型二 物体正投影关系
木棒长12m正投影长定（ )
Ａ１2m B1２m
C．等1．2ｍ D等1２m
解析正投影长度木棒摆放角度关样摆会超12 m选Ｄ
方法总结：线段行投影面时正投影原线段相等线段行投影面时正投影原线段．
变式训练：见学练优课时练课堂达标训练第6题
类型三 画投影面正投影
画出列立体图形投影线方射方正投影
解析：第图投影线方射方正投影长方形第二图投影线方射方正投影长方形第三图投影线方射方正投影圆圆心
解图示：
方法总结画图时定物体边缘棱顶点体现出见轮廓线画成实线见画成虚线漏掉
变式训练见学练优课时练课堂达标训练第４题
探究点二：正投影综合应
类型 正投影勾股定理综合
长8cｍ木棒ＡＢ已知AＢ行投影面α投影线垂直α．
(１)求影子A1Ｂ1长度（图①)
(２）木棒绕端点Ａ逆时针旋转３０°求旋转木棒影长A2B2(图②)
解析：根行投影正投影定义解答．
解图①A１B1AB８ｃm
图③作ＡE⊥BB2E四边形AA2Ｂ2E矩形∴A2B2ＡE△ABE直角三角形．∵AＢ8ｃm∠BＡＥ30°∴BE＝4cｍＡE＝4cm∴A2B24cm．
方法总结线段行投影面时正投影原线段相等线段行投影面时正投影原线段解直角三角形求投影长度
变式训练见学练优课时练课堂达标训练第８题
类型二 正投影相似三角形综合
长宽4m高3m房间正中央天花板悬挂着白炽灯泡集中光线加灯罩(图示)已知灯罩深ＡＮ８cm灯泡离面２m光线恰相墙角ＤE处灯罩直径BC应少（结果保留两位数≈1414）
解析：根题意画出图形AN＝00８mAM2ｍ房间面边长４m正方形计算出DE长根△ABC∽△AＤE利相似三角形应边成例解答．
解：图光线恰墙角DE处ＡＮ＝008mAM2m房间面边长4m正方形DE4m∵BＣ∥DＥ∴△ABＣ∽△ADＥ∴＝＝∴BC≈0２3(m)
答：灯罩直径BC约０23m
方法总结：解决问题关键画出图形根图形相似性质判定解题
变式训练：见学练优课时练课巩固提升第7题
三板书设计
１正投影概念性质
2正投影综合应
节课学案设计力求具体生动直观．学生操作观察实物模型图片等活动．通观察铁丝圆柱圆锥等图形位置时正投影特征纳出物体正投影般规律根规律画出简单面图形正投影．介绍投影概念时助太阳光线进行投影实例观察样仅直观富真实感激发学生学兴趣
292 三视图
第１课时 三视图
1会投影角度理解视图概念 （重点)
2会画简单体三视图（难点)
情境导入
图示直三棱柱侧棱水投影面垂直请伴起探讨面问题：
（１)水投影面投影面正投影直三棱柱三条侧棱投影什图形？
(2）画出直三棱柱水投影面正投影投影什图形直三棱柱底面什关系？
水投影完全反映物体形状需投影面？
物体正投影方反映物体形状全面反映物体形状常常选择正面侧面两投影面天学三面投影相关知识
二合作探究
探究点：简单体三视图
类型 判断俯视图
面体中俯视图三角形( )
解析：选项A．长方体俯视图长方形错误选项Ｂ圆锥俯视图带圆心圆错误选项C圆柱俯视图圆错误选项D三棱柱俯视图三角形正确选Ｄ
方法总结水面观察物体视图俯视图．
变式训练：见学练优课时练课堂达标训练 第1题
类型二 判断视图
面体中视图三角形（ ）
解析：选项Ａ视图长方形错误选项B．视图长方形错误选项Ｃ视图三角形正确选项Ｄ视图长方形中间条线错误选Ｃ
方法总结：物体三投影面时进行正投影正面前观察物体视图视图
变式训练：见学练优课时练课堂达标训练 第3题
类型三 判断左视图
面四体中左视图视图相体( ）
解析选项A正方体左视图视图正方形合题意选项Ｂ长方体左视图视图矩形矩形长宽样符合题意选项C．球左视图视图圆合题意选项Ｄ圆锥左视图视图等腰三角形合题意选Ｂ
方法总结视图左视图分物体正面左面图形．
变式训练见学练优课时练课堂达标训练第４题
探究点二：简单组合体三视图
四相立方体搭体求体视图左视图俯视图中少两种视图形状相列四种摆放方式中符合求（ )
解析选项A体视图俯视图合题意选项B体视图左视图合题意选项C．体视图左视图合题意选项D．体视图俯视图左视图符合题意选D
方法总结视图左视图俯视图分正面左面面图形理解定义解决问题关键．
变式训练：见学练优课时练课堂达标训练第5题
探究点三：画图形三视图
分画出图中体视图左视图俯视图．
解析正面左右4列正方形数次1３１１左面左右３列正方形数次311面左右4列正方形数次1311
解：图示
方法总结画三视图步骤①确定视图位置画出视图②视图正方画出俯视图注意视图长正③视图正右方画出左视图注意视图高齐俯视图宽相等．注意体见部分轮廓线画成实线部分遮挡见部分轮廓线画成虚线
变式训练：见学练优课时练课巩固提升第７题
三板书设计
1视图俯视图左视图概念
２三视图画法
节课力求突出具体生动直观学生亲操作观察实物模型图片等活动．媒体教学学生更直观感受知识激发学兴趣次教学程中丰富学生观察操作猜想想象交流等活动验培养学生观察力想象力提升空间观念
292 三视图
第2课时 三视图确定体
1会根俯视图画出体视图左视图 (重点)
2．体会立体图形面视图效果会根三视图原立体图形（难点）
情境导入
学生出准备六正方体搭体然学生画出体俯视图选择位学生台演示黑板画出俯视图（右图）教师正方体标数字说明数字含义
问根面俯视图画出体视图左视图学速度快．
二合作探究
探究点：三视图确定体
类型 根三视图判断简单体
体三视图图示体( )
Ａ四棱锥 B四棱柱
C．三棱锥 D．三棱柱
解析视图两矩形组成左视图矩形俯视图三角形出该体三棱柱．选D．
方法总结三视图想象体形状首先应分根视图俯视图左视图想象体前面面左侧面形状然综合起考虑整体形状
变式训练：见学练优课时练课堂达标训练 第1题
类型二 三视图判断实物图形状
列三视图应实物图( )
解析俯视图出实物图面部分长方体面部分圆柱圆柱面长方体顶面两边相切长方体高度相C满足两点选C．
方法总结视图左视图俯视图分物体正面左面面图形题注意圆柱高长方体高关系．
变式训练：见学练优课时练课堂达标训练第3题
类型三 根俯视图中正方形数判断三视图
图立方体搭成体俯视图正方形中数字表示该位置立方体数体视图( )
解析俯视图知立方体搭成体图示：知选项D体视图．
方法总结俯视图想象出体形状然三视图求出该体视图侧视图
变式训练：见学练优课时练课堂达标训练第４题
类型四 视图俯视图判断组成正方体数
图相正方体搭成体视图俯视图组成体正方体数( )
Ａ56 B．67
C．7８ D．8９
解析：俯视图底层4正方体视图面层23正方体组成体正方体数67选B
方法总结：运观察法确定该体列列正方体数解题关键
变式训练见学练优课时练课堂达标训练第2题
类型五 三视图判断组成物体正方体数
干相立方体搭成体三视图图示组成该体立方体（ ）
A．3块 Ｂ４块 C．5块 D６块
解析：俯视图易底层３立方体第二层1立方体组成该体立方体3＋1＝4()选B
方法总结解决类问题时助三种视图表示物体特点视图弄清物体左右形状俯视图弄清物体左右前形状左视图弄清物体前形状综合分析合理猜想结合生活验描绘出草图检验否符合题意
变式训练见学练优课时练课巩固提升 第3题
类型六 三视图确定体探究性问题
(１）请画出符合图示体两种左视图
(2)组成体正方体块数n请写出ｎ值．
解析(1)俯视图该体2行左视图应2列视图3层中列必3正方体列少13
(２)俯视图该组合体3列2行底层正方体数摆放形状视图结合俯视图左边数第２列第２层少1正方体2正方体第３列第2层少1正方体2正方体第３层少１正方体２正方体分相加组成组合体少数数n值
解：（1)图示：
(２)∵俯视图5正方形∴底层5正方体视图第2层少2正方体第3层少１正方体第2层4正方体第3层2正方体∴该组合体少５+2+1＝8正方体５+4+21１正方体∴n89１０１１．
方法总结：解决题明确俯视图中正方形数体底层正方体数
变式训练见学练优课时练课巩固提升第8题
三板书设计
1．三视图判断体形状
2．三视图判断体组成．
课时设计然涉知识丰富忽略学生接受力教学程中需老师加引导．通老师点评出解决问题办法教学中断完善教学水进步提高
２９2 三视图
第３课时 三视图确定体面积体积
1根三视图求体侧面积表面积体积等(重点)
2解决实际生活中面积体积等方面关实际问题．(难点)
情境导入
已知某混凝土道三视图根三视图确定浇灌段种道需混凝土体积(π＝314)
二合作探究
探究点三视图确定体面积体积
类型 三视图求体侧面积
已知图体三视图：
(１)写出体名称
(２）正面长10cm面圆直径4cm求体侧面积(结果保留π)．
解析(1）根该体视图左视图矩形俯视图圆确定该体圆柱（2)根告诉体尺寸确定该体侧面积．
解(１)该体圆柱
(2)∵正面长１0cm面圆直径４cｍ∴该圆柱底面直径4cｍ高10cm∴该体侧面积2πrh＝2π×２×10４0π(cm2）
方法总结：解题时明确侧面积计算方法圆柱侧面积＝底面周长×圆柱高．
变式训练：见学练优课时练课堂达标训练 第3题
类型二 三视图求体表面积
图两长方体组合成立体图形三视图根图中标尺寸（单位：mm)求体表面积
解析先三视图两长方体长宽高分表示出长方体表面积减面长方体面长方体接触面面积
解：根三视图：面长方体长6mm高6mm宽３ｍm面长方体长１0mｍ宽8mm高３ｍｍ体表面积２×(3×8+3×１0+8×1０)+2×(3×６＋6×6)２６８+10８３７６（mm2)
答：体表面积376mm2．
方法总结：三视图求体表面积首先根三视图分析体形状然根三视图投影规律—长正高齐宽相等确定体长宽高等相关数值根相关公式计算体面积．注意：求解组合体表面积时重叠部分应计算．
变式训练见学练优课时练课堂达标训练 第4题
类型三 三视图求体体积
某空间图形三视图图示中视图半径１半圆高１矩形左视图半径1四分圆高1矩形俯视图半径1圆求图形体积(参考公式V球πR3)．
解析：已知中三视图判断出该体形状部底面半径1高1圆柱部半径1球组成组成体代入圆柱体积公式球体积公式答案
解：已知该体部圆柱部球组合体．三视图部圆柱底面半径1高1V圆柱＝π部球半径１Ｖ球＝π体体积．
方法总结：三视图求体体积首先根三视图分析体形状然根三视图投影规律长正高齐宽相等确定体长宽高等相关数值．根相关公式计算体部分体积求
变式训练见学练优课时练课堂达标训练第6题
类型四 三视图确定体面积体积实际应
杭州某零件厂刚接铸造500０件铁质工件订单面出种工件三视图．已知铸造批工件原料生铁工件铸成表面涂层防锈漆完成批工件需原料生铁少吨涂完批工件消耗少千克防锈漆(铁密度7．8gcm31kｇ防锈漆涂4m2铁器面三视图单位cm)
解析：视图左视图出体前两部分组成呈T字形状该体成两长方体计算．
解∵工件体积(30×10+１0×10)×20＝80０0ｃm3∴重量8000×78＝6２4００(g)＝6２4(kg)∴铸造５000件工件需生铁500０×624＝３1２000(kg)＝312(t）．∵件工件表面积2×(3０×２0＋2０×20＋10×30+10×10)＝２８00ｃm2＝028m２∴涂完全部工件需防锈漆500０×028÷435０（kg)
方法总结：题考查三视图确定体求体面积关键体形状求等量关系相应值
变式训练见学练优课时练课巩固提升第７题
三板书设计
1．三视图求体侧面积
2．三视图求体表面积
３三视图求体体积
节重引导学生总结解决类问题方法规律探究实质．组讨程中学生解三视图中相关数应关系长正高齐宽相等找解决问题根通具体例题学生进行练巩固学效果
29３课题学 制作立体模型
1根简单物体三视图制作原实物图形(重点)
2根实物图制作展开图根展开图确定实物图．（难点)
情境导入
面组面图形四等边三角形组成
(1)指出中折叠成面体面图形描纸剪叠叠验证答案
(2）画出面图形折叠成面体三视图指出三视图中样体现长正高齐宽相等
(3)果图中三角形边长1应面体体积表面积少？
二合作探究
探究点根三视图判断立体模型
类型 三视图立体图形
图实物某种状态三视图应实物图应( ）
解析：俯视图出直观图面部分圆台左视图视图出站立圆台Ａ满足两点选A
方法总结题考查三视图识判断熟记简单体三视图解答题关键
变式训练：见学练优课时练课堂达标训练第1题
类型二 根三视图判断实物组成情况
学校卖部货架摆放着某品牌方便面三视图图货架方便面少（ )
A．７盒 B．8盒 C．９盒 D1０盒
解析观察图形第层４盒第二层少2盒第三层少1盒少7盒．选Ａ
方法总结：考查三视图掌握程度灵活运力时考查空间想象力
变式训练见学练优课时练课堂达标训练第2题
类型三 综合性问题
图体三方形状图．
（１)写出体名称
(2)画出种表面展开图
(3)正面高３cｍ面三角形边长2cm求体侧面积
解析：(1)棱柱视图左视图出现长方形根俯视图三角形体三棱柱(2）体表面展开图三长方形两三角形组成(3)侧面积3长方形组成长宽分３cm2cm计算出长方形面积3
解(1)正三棱柱
（２)图示
(3）３×3×218（cm2）
答体侧面积18ｃm２．
方法总结：题考查三视图确定体求体侧面积等相关知识关键知道棱柱侧面长方形底面边形棱柱
变式训练见学练优课时练课堂达标训练第8题
探究点二：面图展开折叠
类型 根展开图判断原实物体
图示立体图形展开图请写出应体名称．
解析：题解答程中动手进行折纸根常见立体图形面展开图特征做出判断．
解体分五棱柱圆柱圆锥．
方法总结：熟练掌握常见立体图形面展开图特征解决类问题关键
变式训练：见学练优课时练课巩固提升第4题
类型二 判断体展开图
图示四幅面图中三棱柱表面展开图 _＿_＿＿＿_＿(填序号）．
解析三棱柱两底展开三角形侧面展开三矩形根题设知①②③符合题意答案①②③
方法总结题考查体展开图注意两底面面展开两全等三角形侧面展开三矩形
变式训练：见学练优课时练课堂达标训练第6题
类型三 展开折叠综合性问题
图正方体表面展开图标注A字母正方体正面果正方体左面右面标注数相等
（1)求ｘ值
（2）求正方体面底面数字．
解析：(1)正方体表面展开图相面间定相隔正方形确定出相面然列出方程求解（２)确定出面底面两数字3１然相加．
解根正方体表面展开图中相面间定相隔正方形A2相面3１相面ｘ3x－2相面
(１)∵正方体左面右面标注数字相等∴ｘ＝３x－2解x＝1
(2）∵标注Ａ字母正方体正面左面右面标注数字相等∴面底面两数字３1∴面底面数字３+14．
方法总结题考查正方体相两面数字注意正方体空间图形相面入手分析解答问题．
变式训练：见学练优课时练课巩固提升第2题
三板书设计
学目
二工具准备
三具体活动
四课题拓广
三视图面展开图方式描绘立体图形生产实际中直接应．解方面例子丰富实践知识进步认识三视图面展开图．
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２61 反例函数ﻫ２6．11 反例函数
1理解反例函数概念(难点）
2．判断定函数否反例函数会定系数法求解析式(重点)
３．根实际问题中条件建立反例函数模型(重点）
情境导入
1京广高铁全程２２98ｋｍ某次列车均速度v(单位ｋmh)次列车全程运行时间t(单位：h)什样等量关系
２．冷冻物体温度20℃降零1０0℃分钟均变化温度T(单位℃)冷冻时间t（单位ｍｉn)什样等量关系？
问题关系式什点？
二合作探究
探究点：反例函数定义
类型 反例函数识
列函数中①y＝②３xｙ＝1③ｙ④y＝反例函数( )
A1 B2 C３ D4
解析：①y反例函数正确②3ｘy＝1化y反例函数正确③y反例函数正确④ｙ＝正例函数错误选C．
方法总结判断函数否反例函数首先两变量否具反例关系然根反例函数定义判断形式ｙ＝(ｋ常数k≠0）ｙ＝ｋx－1(k常数ｋ≠0)xyk（k常数ｋ≠０)
变式训练：见学练优课时练课堂达标训练第3题
类型二 根反例函数定义确定字母值
已知函数y＝（2m2＋m－1）x2ｍ２＋3m３反例函数求ｍ值．
解析：反例函数定义 2m2＋3m－312ｍ2＋ｍ1≠０然求解
解：∵y(2m2＋m１)ｘ2ｍ２+3m３反例函数∴解ｍ2
方法总结：反例函数写成ykx１(k≠0)形式注意x次数－1系数等０
变式训练：见学练优课时练课巩固提升第3题
探究点二定系数法确定反例函数解析式
类型 确定反例函数解析式
已知变量yｘ成反例x＝2时y＝6求：
（1)yx间函数解析式
(2)y＝２时x值
解析（１)题意中变量yx成反例设出函数解析式利定系数法进行求解(2)代入求函数解析式解x值．
解：(１)∵变量yx成反例∴设y(k≠０)∵ｘ2时ｙ＝6∴k＝2×(－6)－12∴yｘ间函数解析式y
（２)y＝2时y＝2解x＝－6
方法总结定系数法求反例函数解析式时注意：①设出含定系数反例函数解析式形y＝(ｋ常数k≠0)②已知条件(变量函数应值)代入解析式关定系数方程③解方程求出定系数④写出解析式
变式训练：见学练优课时练课堂达标训练第8题
类型二 解决正例函数反例函数关问题
已知y＝ｙ1+y2y1(x－1)成正例ｙ２(ｘ+1)成反例x＝0时y＝－3x1时y＝１求：
(1）y关x关系式
(2)ｘ－时ｙ值．
解析根正例函数反例函数定义y１ｙ２关系式进y关系式两组数代入求出相应例系数求求关系式
解(1)∵ｙ1（ｘ－1)成正例y２（x＋1）成反例∴设y1ｋ1(x１)(k1≠0)y2(k２≠０)∵ｙ＝y1+y2∴y＝ｋ1（x１)+x0时ｙ3x＝１时y－1∴∴k11ｋ2＝2∴y＝x－1－
（2)x代入(1)中函数关系式ｙ＝－
方法总结：根题意设出y1ｙ２函数关系式定系数法求等量关系解答题关键．
变式训练：见学练优课时练课巩固提升第8题
探究点三：建立反例函数模型相关问题
写出列问题中两变量间函数表达式判断否反例函数．
(1)底边3ｃｍ三角形面积ycm2底边高xcm变化变化
(2)艘轮船相距skm甲驶乙轮船速度vkmh航行时间ｔｈ关系
（３)检修100m长道时天完成10m剩未检修道长ym检修天数x变化变化
解析根题意先问题列出函数关系式根反例函数定义判断否反例函数
解：(1)两变量间函数表达式：y＝x反例函数
(２）两变量间函数表达式v＝反例函数
(3)两变量间函数表达式：y1００－10x反例函数．
方法总结解决题关键根实际问题中等量关系列出函数解析式然根解析式特点判断什函数
变式训练：见学练优课时练课巩固提升第6题
三板书设计
1．反例函数定义
形y＝(k常数k≠0)函数称反例函数．中x变量变量x取值范围等0切实数
2．反例函数形式：
(１)y＝(k常数k≠０）
（2)ｘyｋ(ｋ常数ｋ≠0)
(3)ｙ＝kx１(ｋ常数ｋ≠0)．
3确定反例函数解析式定系数法
4建立反例函数模型．
学生生活实际中发现数学问题引入学容仅激发学生学数学兴趣激起学生参积极性动性探究新知创造现实背景反例函数部分容正例函数相似教学程中学生学正例函数基础学生间创设相互交流相互合作相互帮助关系学生通充分讨交流出相点基础揭示反例函数意义
261２ 反例函数图象性质ﻫ第１课时 反例函数图象性质
1会描点方法画反例函数图象(重点)
2理解反例函数图象性质．(重点难点）
情境导入
已知某面粉厂加工出4000吨面粉厂方决定面粉全部运B市需时间t(天)天运出面粉总重量m(吨）间样函数关系？面直角坐标系中画出图形？
二合作探究
探究点： 反例函数图象
类型 反例函数图象画法
作函数y图象．
解析：根函数图象画法进行列表描点连线
解列表
ｘ
4
－２
－1
1
2
4
y
－1
２
4
4
2
１
描点连线：
方法总结作图般步骤①列表②描点③连线④注明函数解析式．
变式训练：见学练优课时练课堂达标训练 第4题
类型二 反例函数次函数图象位置确定
坐标系中(水方x轴）函数yｙ＝kx＋3图象致( )
解析A函数y＝图象知ｋ＞0ykx+3图象中k>０点（0３)致A选项正确B．函数y＝图象知k＞０y＝ｋx+3图象中k>0点(03)矛盾B选项错误C函数y＝图象知k＜０ykx+3图象中k<０点(03）矛盾Ｃ选项错误Ｄ函数y图象知ｋ>０y＝kx+3图象中k＜０点(0３)矛盾D选项错误选A
方法总结解答类问题时通常先根双曲线图象象限确定k符号确定次函数系数点否符合图案果符合正确果符合定错误．
变式训练：见学练优课时练课巩固提升 第2题
类型三 实际问题中函数图象确定
ｘＬｍiｎ速度容积20Ｌ水池中注水注满水池需yｍin需时间ｙmｉｎ注水速度xL／ｍiｎ间函数关系图象致表示( )
解析：∵水池容积20L∴ｘy2０∴y(x>0）选Ｂ．
方法总结：解答类问题先根题意列出反例函数关系式然实际情况确定函数变量取值范围确定函数图象
类型四 反例函数图象称性
正例函数y2x反例函数y图象交点坐标(1２)交点坐标( )
A．(2－1) B．(１2）
C(－２1) Ｄ．(21）
解析∵正例函数ｙ2x反例函数ｙ图象均关原点称∴两函数交点关原点称．∵交点坐标（12)∴交点坐标（１－2)．选B
方法总结：反例函数ｙ＝(ｋ≠0)图象轴称图形中心称图形称轴三（二四)象限角分线直线称中心坐标原点
变式训练见学练优课时练课巩固提升第6题
探究点二：反例函数性质
类型 根解析式判定反例函数性质
已知反例函数y＝－列结正确( )
Ａ．图象必点(12)
Bｙx增增
C．图象分布第二四象限
Dx>1２＜y<0
解析：A(12)满足函数解析式图象必点（12）命题正确B．第二四象限yx增增忽略x取值范围命题错误C命题正确D根y＝图象知第四象限命题正确．选Ｂ
方法总结：解答类问题熟记反例函数图象性质．
变式训练：见学练优课时练课巩固提升第1题
类型二 根反例函数性质判定系数取值范围
反例函数ｙ条曲线yx增减k值（ ）
A1 B．3 Ｃ．1 D．2
解析：∵反例函数ｙ图象条曲线yｘ增减∴1k＞０解k＜1选A．
方法总结：函数yk>0时图象第三象限象限yx增减k<0时第二四象限象限ｙx增增熟记性质解题时事半功倍
变式训练见学练优课时练课巩固提升第4题
三板书设计
１反例函数图象双曲线轴称图形中心称图形
2．反例函数性质
(1）k＞0时双曲线两支分位第三象限象限y值x值增减
(2）k＜0时双曲线两支分位第二四象限象限y值x值增增
通引导学生探索反例函数性质全班学生动观察讨实现学中学生动手动探索合作交流目时通练学生理解象限句话必性体会数学严谨性
第2课时 反例函数图象性质综合运
1．学生进步理解掌握反例函数图象性质(重点)
2深刻领会函数解析式函数图象间联系体会数形结合转化思想方法(重点）
3探索反例函数次函数图形图形面积综合应（难点)
情境导入
图示反例函数y(ｋ>0)图象取点ＰP点作PQ⊥ｘ轴Ｑ点连接OP
试着猜想△OPQ面积反例函数关系探讨反例函数y＝(k≠０)中ｋ值意义
二合作探究
探究点：反例函数解析式中k意义
图示点A反例函数ｙ图象AC垂直x轴点Ｃ△ＡOC面积２求该反例函数表达式
解析：先设点A坐标然点A坐标表示△AOＣ面积进求出k值．
解∵点A反例函数y＝图象∴xＡ·yA＝ｋ∴S△ＡＯC·k2∴ｋ＝4∴反例函数表达式y．
方法总结双曲线意点原点连线段坐标轴坐标轴作垂线围成直角三角形面积等|k|半．
变式训练：见学练优课时练课堂达标训练第1题
探究点二：反例函数图象性质综合运
类型 利反例函数性质较
Ｍ(－４y1)N（2y2)P(2y３)三点函数y(k＜０)图象y1y２y3关系( )
Aｙ2>y3＞y1 By2＞y1>y３
C．y3>y1＞ｙ2 Dy３>y２＞ｙ1
解析：∵ｋ＜０反例函数图象两分支第二四象限象限yx增增∵M（－4y1)N(－２y２)双曲线y＝(k<0)两点∴ｙ２>y1>0．∵2>0P(2y３)第四象限∴y3<0．y1ｙ2y３关系y２>y1>y3．选B
方法总结反例函数解析式ｙ(k≠0）k＜0时图象第二四象限现象yx增增k>０图象第三象限象限ｙx增减
变式训练见学练优课时练课堂达标训练 第8题
类型二 利反例函数计算图形面积
图直线l双曲线ｙ＝(ｋ>0)交AＢ两点Ｐ线段AB点（AB重合)点ABP分x轴作垂线垂足分CDE连接OAOBＯP设△AOＣ面积S１△ＢOD面积Ｓ2△ＰＯE面积Ｓ3（ )
AS1＜S2
CＳ１＝S2>S3
DS1＝S2
方法总结反例函数图象选点坐标轴作垂线点垂足坐标原点构成三角形面积保持变．
变式训练：见学练优课时练课巩固提升 第2题
类型三 反例函数次函数交点问题
函数ｙ图象直线y＝x没交点k取值范围( ）
Ａk>1 B．k＜1
Ｃ．ｋ＞－１ D．k＜－１
解析直线y－ｘ第二四象限两函数没交点函数y图象必须位第三象限1ｋ＞０k＜1选B
方法总结判断正例函数y＝k1x反例函数ｙ直角坐标系中交点数总结①ｋ1k2号时正例函数yk１x反例函数ｙ＝2交点②ｋ１ｋ２异号时正例函数yk1x反例函数y＝没交点．
类型四 反例函数次函数综合问题
图已知Ａ(4)B(12)次函数ｙｋx＋b反例函数y＝(ｍ＜0)图象两交点AC⊥x轴点CBD⊥ｙ轴点Ｄ
(1)根图象直接回答第二象限x取值时次函数值反例函数值
(2)求次函数解析式m值
(３)Ｐ线段AB点连接ＰCPD△ＰＣA△PDB面积相等求点P坐标．
解析：(１）观察函数图象－４<ｘ＜1时次函数图象反例函数图象方（2)先利定系数法求出次函数解析式然A点B点坐标代入y计算出ｍ值(3)设出P点坐标利△PCA△PDB面积相等列方程求解确定P点坐标．
解：(1)4＜x＜１时次函数值反例函数值
（2）A（－4）Ｂ(1２)代入yｋx+ｂ中解次函数解析式y＝ｘ＋B(12)代入y中ｍ＝1×22
（3)设P点坐标(tｔ+)∵△PCA△PDＢ面积相等∴××（t＋４)×1×(２t)ｔ＝∴P点坐标()．
方法总结：解决问题关键明确反例函数次函数图象交点坐标包含信息题考查定系数法求函数解析式观察函数图象力．
变式训练见学练优课时练课巩固提升第7题
三板书设计
1．反例函数中系数k意义
2反例函数图象点坐标特征
3反例函数次函数交点问题．
节课注重提高学生分析问题解决问题力数形结合思想数学学重思想学数学突破口教学中加强方面指导学生牢固掌握基知识提升基技提高数学解题力
26２ 实际问题反例函数
第１课时 实际问题中反例函数
1历分析实际问题中变量间关系建立反例函数模型进解决问题(重点)
２体会数学现实生活紧密联系增强应意识提高运代数方法解决问题力(难点)
情境导入
明华相约早晨起骑行车A镇出发前相距20kmB镇游玩返回时明旧原速度骑行车华坐公交车返回A镇
假设两路程样行车公交车速度保持变行车速度公交车速度．找出两返回时间交通工具速度间关系？
二合作探究
探究点：实际问题反例函数
类型 反例函数路程问题中应
王强家离工作单位距离3６００米天骑行车班时速度ｖ米分需时间t分钟
（１)速度v时间ｔ间样函数关系
(２）王强单位１5分钟骑车均速度少
(3)果王强骑车速度快300米分少需分钟达单位？
解析：(1)根速度时间路程关系写出函数关系式(2)ｔ＝１5代入函数解析式求速度(3）v＝300代入函数解析式求时间．
解：(１)速度v时间t间反例函数关系题意ｖ＝
(2)t＝15代入函数解析式ｖ＝240骑车均速度2４０米／分
（３)v＝3０0代入函数解析式＝３0０解t12．少需12分钟达单位．
方法总结：解决问题关键掌握路程速度时间关系．
变式训练：见学练优课时练课堂达标训练 第5题
类型二 反例函数工程问题中应
某河治理工程施工程中某工程队接受项开挖水渠工程需天数ｙ（天)天完成工程量x(m天）函数关系图象图示．
（1)请根题意求ｙx间函数表达式
(2)该工程队2台挖掘机台挖掘机天够开挖水渠15米问该工程队需少天完成项务
(3）果防汛工作紧急需必须月(3０天计算)完成务天少完成少米？
解析(1)点(2４５0)代入反例函数解析式求反例函数解析式(2）工作效率工作时间工作量然工作效率工作时间(３)工作量工作时间工作效率．
解(１)设y＝∵点（２４50）图象∴k２4×50＝12０0求函数表达式y
（2）图象知需开挖水渠２4×50＝1200(m)２台挖掘机需工作1２00÷(２×1５)４0(天)
(3）120０÷30４０(ｍ)天少完成40m．
方法总结解决问题关键掌握工作量工作效率工作时间间关系．
变式训练：见学练优课时练课堂达标训练 第４题
类型三 利反例函数解决利润问题
某商场出售批进价2元贺卡销售中发现商品日售价x(元）销售量y(张)间关系：
x(元)
3
4
5
6
y(张)
20
15
12
1０
(1)猜测确定yｘ函数关系式
(2)日销售单价１0元时贺卡日销售量少张？
（3)设卡利润Ｗ元试求出Wx间函数关系式物价部门规定卡销售单价超10元试求出日销售单价少元时天获利润求出利润
解析：（1)确定yx间函数关系式通观察表中数发现xy积相60知yx成反例定系数法求解(2)代入ｘ10求y值(3)首先知道纯利润（日销售单价ｘ2)×日销售数量y样确定Wx函数关系式然根销售单价高超１0元求出获日销售利润时日销售单价x．
解(１)表中数知yx成反例函数关系设y（ｋ常数k≠０)点(3２０)代入k＝６0∴y
(2)x＝１０时y＝６∴日销售单价１０元时贺卡日销售量6张
(3)∵W(x－2)ｙ＝６0－∵ｘ≤１0∴x＝10时W取值W6048(元）
方法总结题考查根实际问题列反例函数关系式求值解答类题目关键准确理解题意
变式训练：见学练优课时练课巩固提升第６题
类型四 反例函数综合应
图示制作某种食品时需原材料加热设该材料温度ｙ℃加热开始计算时间x分钟．解该材料加热程中温度ｙ时间x成次函数关系．已知该材料加热前温度4℃加热段时间材料温度达2８℃时停止加热停止加热材料温度逐渐降时温度y时间x成反例函数关系已知第12分钟时材料温度1４℃．
(１)分求出该材料加热停止加热程中yx函数关系式(写出x取值范围)
(2)根该食品制作求材料温度低12℃段时间需该材料进行特殊处理该材料进行特殊处理时间少分钟
解析（１)首先根题意材料加热时温度y时间ｘ成次函数关系停止加热进行操作时温度y时间x成反例函数关系．题中数代入求两函数关系式(２)y＝1２代入y＝4x+4x2代入ｙ＝x＝１4该材料进行特殊处理时间14２＝12(分钟）．
解：（１)设加热停止反例函数表达式ｙ＝∵y(１214)k112×14＝1６8yy＝2８时28解x＝6设加热程中次函数表达式yk2ｘ＋b图象知ｙ＝k２x＋b点(０4）（62８)∴解∴ｙ
（2)y12时y＝4x+4解x2y解ｘ＝14该材料进行特殊处理时间1４－2＝１2(分钟）．
方法总结现实生活中存量成反例函数关系两变量解答类问题关键首先确定两变量间函数关系然利定系数法求出关系式．
变式训练见学练优课时练课巩固提升第４题
三板书设计
1．反例函数路程问题中应
2反例函数工程问题中应
３利反例函数解决利润问题
4反例函数次函数综合应．
节课函数观点处理实际问题关键分析实际情境建立函数模型进步明确数学问题．实际问题置已知识背景中数学知识重新解释什学生逐步形成考察实际问题力解决问题时应充分利函数图象渗透数形结合思想
第2课时 学科中反例函数
１．够物理等学科问题中建构反例函数模型(重点)
2实际问题中寻找变量间关系利学知识分析物理等学科问题建立函数模型解决实际问题(难点)
情境导入
问题：某校科技组进行野外考察途中遇片十米宽湿安全迅速通片湿着前进路线铺垫干块木板构筑成条时通道利完成务．
问题思考
（１)请解释样做道理
(2)木板湿压力定时着木板面积S(m2)变化木板面压强p (Pa)变化
二合作探究
探究点反例函数学科中应
类型 反例函数电压电流电阻综合
已知某电路电压U(V)电流I（Ａ)电阻R(Ω)三者间关系式U＝IR电路电压Ｕ恒6V．
（1)求出电流I关电阻R函数表达式
(2）果接入该电路电阻2５Ω通电流少？
(３）图样调整电阻箱R阻值电路中电流I增电流I04A求电阻R值
解析：(１)根电流Ｉ(A）电阻Ｒ(Ω)反例函数设出I(R≠０）U＝6V代入求表达式(2)R25Ω代入题求函数关系式电流值(3）根两变量成反例函数关系确定答案然代入04A求R值
解(1）∵某电路电压U(V)电流Ｉ（A)电阻R(Ω)三者间关系式U＝IＲ∴I＝代入U＝6VI＝∴电流I关电阻Ｒ函数表达式I＝
(2)∵Ｒ25Ω时I0２4A∴电路电阻2５Ω时通电流024A
(3）∵I∴电流电阻成反例函数关系∴电路中电流I增减电阻Ｉ＝04A时0４解Ｒ＝１5Ω．
方法总结明确电压电流电阻关系解决问题关键
变式训练见学练优课时练课堂达标训练 第5题
类型二 反例函数气体压强综合
某容器充满定质量气体温度变时容器气体气压ｐ(kPａ)气体体积V(m3)反例函数图象图示
(1）求出函数解析式
(2)容器气体体积0．6m3时时容器气压少千帕
(3）容器气压240kPａ时容器爆炸安全起见容器气体体积应少m3
解析(1)设出反例函数关系式根图象出点确定关系式(2)V＝0．６m3代入函数关系式求出p值(３)容器气压24０ｋＰa时容器爆炸列出等式求解
解(1）设函数表达式ｐ＝．根图象知点(26０)６0＝解k＝120ｐ＝
(2)Ｖ＝06ｍ3时p＝200(kPa）
(3）p≤240kPａ时≤240解V≥．安全起见容器体积应m３
方法总结根反例函数图象确定函数关系式知道变量值求函数值知道函数值范围求变量范围解决问题关键
变式训练：见学练优课时练课巩固提升 第５题
类型三 反例函数杠杆知识综合
公元前3世纪古希腊科学家阿基米德发现著名杠杆原理明利原理制作杠杆撬动块石头已知阻力阻力臂变分12０0Ｎ０5m
（1）动力Ｆ动力臂l样函数关系动力臂１5m时撬动石头少力
(2）想动力F超（１)题中力半动力臂少加长少？
解析：(1）根动力×动力臂＝阻力×阻力臂出Fl函数关系式ｌ1５ｍ代入求出F（2)根(1)答案F≤２00解出l值出动力臂少加长少．
解（１)Fｌ１2０0×0５６00Ｎ·mFl＝15m时Ｆ＝40０N
(2)题意F＝≤200解l≥3ｍ少加长１5m
方法总结：明确动力×动力臂＝阻力×阻力臂解题关键．
变式训练见学练优课时练课堂达标训练第7题
类型四 反例函数功率知识综合
某汽车输出功率P定值汽车行驶时速度v（ｍs)受牵引力F（Ｎ)间函数关系图示：
(1)辆汽车功率少请写出函数表达式
(2)受牵引力240０N时汽车速度少
(3)果限定汽车速度超30mｓF什范围？
解析：(1)设ｖF间函数关系式ｖ (30002０）代入(2)F1200Ｎ时求出v（３)计算出v30mｓ时F值F值．
解：(1)设vF间函数关系式v(30002０）代入vP60０00∴辆汽车功率６０000W．函数表达式ｖ＝
(2)Ｆ＝2400N代入v＝v＝＝25(m／s）∴汽车速度v3６０0×25÷1000９０(ｋmh）
(3)v≤3０代入vF≥2000(N)∴F≥2００0Ｎ
方法总结熟练掌握功率计算公式解决问题关键
三板书设计
1．反例函数电压电流电阻综合
2．反例函数气体压强综合
3反例函数杠杆知识综合
４．反例函数功率知识综合．
节节基础进步学反例函数关涉学科知识．量选学生熟悉实例进行教学学生身边事物入手真正体会数学知识源生活注意学生历实践思考表达交流程学生留充足活动时间断引导学生利数学知识解决实际问题
第二十七章 相似
27１ 图形相似
１．生活中形状相图形实例中认识图形相似（重点)
2理解成例线段概念会确定线段．(难点)
情境导入
图两张世界图左边图形作右边图形缩．需某区常会制成种图形状(包括图中描绘部分)肯定相．
日常生活中会碰种形状相定相图形数学具相形状图形称相似图形样图形性质？面起探讨吧
二合作探究
探究点：相似图形
观察面图形指出(1)～(9)中图形没出图形(a）（b)(ｃ)形状相？
解析：通观察寻找(a）(b)(ｃ)形状相图形９图形中仔细观察然作出判断．
解通观察发现图形(4）(8)图形(ａ)形状相图形(6)图形（ｂ)形状相图形(5）图形(c)形状相
方法总结判断两图形形状否相应仔细观察两图形形状没差异时说两图形形状相． 变式训练：见学练优课时练课堂达标训练 第1题
探究点二：例线段
类型 判断四条线段否成例
列组中四条线段成例( ）
A．4cm2cｍ１cｍ3cm
Ｂ．１cm2cm3cｍ5cｍ
C．３cm4cｍ5cm6cｍ
D．１cm２cm2cm4cm
解析：选项A．排列1×４≠２×3成例符合题意选项B．排列1×５≠2×3成例符合题意选项C排列３×6≠4×5成例符合题意选项D排列1×42×2成例符合题意．选D
方法总结：判定四条线段否成例四条线段序排列判断前两条线段两条线段否相等
变式训练见学练优课时练课堂达标训练第３题
类型二 利成例线段定义求线段长
已知线段abcｄ成例线段中a＝2mb＝4mc＝5md( )
Ａ１m Ｂ．10m Cm Dm
解析：∵线段abcd成例线段∴a∶b＝c∶da2ｍｂ4mc＝5m∴d１０(ｍ)．选B
方法总结求线段时先统线段长度单位然根例关系求值
变式训练：见学练优课时练课堂达标训练第4题
类型三 利例尺求距离
张图例尺1∶150000图量甲乙两距离5ｃｍ甲乙两实际距离( )
A3０0０m B3５０0m
Ｃ５００0ｍ Ｄ．7500m
解析设甲乙两实际距离xcm根题意1∶１５0０0０＝5∶xｘ750000(cｍ)75０000cm＝7500m选Ｄ
方法总结例尺＝图距离∶实际距离根例尺进行计算时注意单位转换．
变式训练：见学练优课时练课堂达标训练第5题
探究点三：相似边形
类型 利相似边形性质求线段角
图示出两四边形相似形具体数图示求出未知边aｂ长度角α值．
解析：根相似边形应角相等应边成例解答．
解：四边形ABCD四边形A′B′C′Ｄ′相似∠B′＝∠Ｂ＝6３°∠D′∠D＝＝＝a＝5b18．四边形A′B′C′Ｄ′中∠Ｄ′360°(8４°＋7５°+６３°)＝138°∠α＝∠D＝∠Ｄ′＝１３８°
方法总结：两边形相似应角相等应边成例书写两边形相似时注意表示应角顶点字母写应位置．
变式训练：见学练优课时练课堂达标训练第８题
类型二 相似边形判定
图块长3ｍ宽15m矩形黑板AＢCＤ图示镶外围木质边框宽75cｍ边框边缘成矩形AＢCD边框外边缘成矩形EFGH相似？什？
解析两矩形四角然相等四条边定应成例判定两矩形否相似关键应边否成例
解相似∵矩形AＢCD中AB1５ｍAD3m镶外围木质边框宽75cm＝0．75ｍ∴ＥF1５＋2×0７53mＥH３＋2×０７5＝45m∴＝＝．∵≠∴边缘成矩形ＡBＣＤ边框外边缘成矩形ＥFＧH相似．
方法总结：判定两边形相似需应角相等应边成例两条件缺．
变式训练见学练优课时练课巩固提升第1０题
三板书设计
1相似图形概念
2．例线段
3相似边形判定性质
节课中相似边形特征教学注意难度握高求学生掌握更容．学生解性质简单运重续相似三角形学相似三角形特征掌握进步研究相似边形性质学生较容易掌握
2721 相似三角形判定
第１课时 行线分线段成例
1．解相似定义(重点)
2．掌握行线分线段成例定理基事实利行线法判定三角形相似(重点)
３．应行线分线段成例定理行线法判定三角形相似解决问题．(难点）
情境导入
图△ABＣ中D边AB点作DE∥BC交边ＡCE刻度尺量角器量量判断△ＡＤE△ＡBC否相似
二合作探究
探究点相似三角形关概念
图示已知△ＯAC∽△ＯＢDOA４AC＝2ＯB＝2∠C∠Ｄ求：
（1)△OAC△OBD相似
(2)BＤ长
解析(1）△OAC∽△OBD∠C∠D找两三角形应边求出相似（2)根相似三角形应边成例求出BD长
解：（１)∵△OAC∽△OＢＤ∠C＝∠D∴线段OA线段OB应边△ＯAC△OＢD相似＝＝
(2)∵△ＯＡC∽△OBＤ∴∴BＤ＝＝1
方法总结相似三角形定义相似三角形性质相似三角形判定方法．
变式训练：见学练优课时练课堂达标训练 第１题
探究点二行线分线段成例定理
类型 行线分线段成例基事实
图直线ｌ1ｌ2ｌ3分交直线l４点ABＣ交直线l５点ＤＥＦ直线l4l5交点Ｏl1∥l2∥ｌ3已知EF∶DF５∶8ＡC24
(1）求值
（2)求AB长．
解析（1)根ｌ1∥l2∥l3推出(2)根l1∥l2∥l3推出＝代入AC＝24求出BC求出AB
解(1)∵ｌ1∥l2∥l3∴∵DF∶DF5∶8∴ＥF∶DE5∶３∴＝
(2)∵l1∥l2∥l3EF∶DF5∶8AＣ24∴∴BＣ15∴ＡBＡＣ－BC2415＝9
方法总结：运行线分线段成例定理时定注意正确书写应线段位置．
变式训练见学练优课时练课堂达标训练 第3题
类型二 行线分线段成例基事实推
图示已知△ＡBC中DE∥BＣAD＝２ＢD＝5AC5求AE长．
解析根DＥ∥BC＝然根例性质计算出AE长．
解∵ＤE∥BC∴＝＝∴AE
方法总结：解题关键深入观察图形准确找出图形中应线段正确列出例式．
变式训练见学练优课时练课堂达标训练第４题
探究点三：相似三角形引理
类型 利相似三角形引理判定三角形相似
图▱ABCＤ中EAB延长线点AB＝３ＢEＤEＢC相交点F请找出图中相似三角形求出相应相似
解析：行四边形性质BC∥ＡDAB∥CD进△ＥＦＢ∽△EDA△EＦB∽△DFC进步求解．
解：∵四边形ABCD行四边形∴BC∥ADAＢ∥CＤ∴△EFB∽△ＥDA△EFＢ∽△DＦC∴△DＦC∽△EDA∵AB３BE∴相似分1∶41∶33∶4
方法总结求相似仅找准应边需注意两三角形先序．
变式训练见学练优课时练课堂达标训练第5题
类型二 利相似三角形引理求线段长
图已知AB∥EF∥ＣDADBC相交点O．
(1)果CＥ＝3EB9DF＝2求AD长
(2）果ＢO∶OE∶EC2∶４∶３AB＝3求ＣＤ长
解析(１）根行线分线段成例求AF＝6ADAF＋FD＝8(2）根行线AＢ∥ＣD分线段成例知BO∶ＯＥAＢ∶EＦ结合已知条件求EF＝6理ＥF∥ＣD推知EFCＤ间数量关系求CD＝105
解：（1)∵ＣE3ＥB9∴BＣ＝CE+EB12∵ＡB∥EＦ∴＝∵ＥＦ∥CD∴∴∴AF＝６∴AD＝AF+FD6+2＝８ＡD长8
(２）∵AB∥CＤ∴BO∶OE＝AＢ∶EF．∵BＯ∶OＥ＝2∶4AB3∴EＦ＝6∵EＦ∥CD∴∵OＥ∶EC＝4∶3∴∴∴ＣDEF＝105CＤ长105．
方法总结：运行线分线段成例基事实推定找准应线段防解答错误
变式训练：见学练优课时练课堂达标训练第６题
三板书设计
1．相似三角形定义关概念
2行线分线段成例定理推
3相似三角形引理
节课宜采探究式教学教师教学中学生学组织者引导者合作者研究者鼓励学生胆探索引导学生关注程时肯定学生表现鼓励创新．课时教师关键处点拨足时补充．教师学生等交流创设民谐学氛围
272．1 相似三角形判定 ﻫ第2课时 三边成例两三角形相似
1．理解三边成例两三角形相似判定方法(重点）
2．会运三边成例两三角形相似判定方法解决简单问题
情境导入
现判定两三角形否相似必须知道应角否相等应边否成例．否存判定两三角形相似简便方法呢
图示方格画三角形画第二三角形三边长原三角形三边长相倍数．画完量角器较两三角形应角发现什结？家结样？
二合作探究
探究点三边应成例两三角形相似
类型 直接利定理判定两三角形相似
Ｒt△AＢＣ中∠C＝９0°AB＝10ＢＣ＝6Ｒt△EＤF中∠F＝90°DF＝3ＥF4△AＢC△EDF相似什
解析已知△ABC△ＥDF直角三角形已知两条边长利勾股定理分求出第三边长应边否应成例．
解△ABC∽△EＤF．Rt△ABC中AB＝10BC＝６∠C90°勾股定理AC＝8Ｒt△DＥF中DF＝3EF４∠F９０°勾股定理ED＝＝5．△ABＣ△EDF中＝２2２＝△ＡBＣ∽△ＥＤF
方法总结：利三边应成例判定两三角形相似时应说明三角形三边应成例两边应成例． 变式训练：见学练优课时练课堂达标训练 第２题
类型二 网格中相似三角形
图边长１正方形组成网格中△ABC△ＤEＦ顶点格点判断△ABＣ△DEF否相似说明理
解析：首先勾股定理求△ABC△DＥＦ边长＝然三组应边相等两三角形相似判定△ABC△ＤEＦ相似．
解：△ABＣ△ＤEF相似．勾股定理AＢ＝2AＣＢC＝5DE4DF２ＥF2∵＝∴△ABＣ∽△DEＦ．
方法总结网格中计算线段长运勾股定理常方法
变式训练见学练优课时练课堂达标训练 第8题
类型三 利相似三角形证明角相等
图已知找出图中相等角说明理．
解析：＝＝证明△AＢC∽△ADＥ利相似三角形应角相等求解
解△ＡBC△ADＥ中∵＝∴△ABC∽△ADE∴∠BAＣ ＝∠DAE∠B∠D∠C∠E
方法总结证明角相等时通证明三角形相似
变式训练见学练优课时练课巩固提升第6题
类型四 利相似三角形判定证明线段行关系
图某四乡镇AＢＣD间建公路已知ＡB＝14千米AD＝28千米ＢD２1千米BC４２千米ＤＣ31．5千米公路ABＣD行说出理．
解析：图中已知线段长度求两三角形应线段证明三角形相似出角相等通角相等证明线段行关系
解公路ABCD行∵＝＝∴△ＡBD∽△BDＣ∴∠ABＤ＝∠BDC∴AB∥ＤC
方法总结：果已知条件中边数量关系较时考虑三边应成例两三角形相似判定方法
类型五 利相似三角形判定解决探究性问题
制作两形状相三角形教具中三角形教具三边长分50cｍ60cm8０ｃm三角形教具边长20cm请问样选料两三角形教具相似？想想种解决方案
解析：两三角形相似已知三角形三边三角形边采三边分应成例两三角形相似判定．
解①长20cｍ边长应边5０cm时∵50∶２05∶2第三角形教具三边长分50cm6０ｃｍ８0cm∴三角形应三边分：20cm24ｃm32ｃm②长20ｃm边长应边60ｃm时∵60∶２03∶1第三角形教具三边长分50cm６0cm80ｃm∴三角形应三边分ｃm20cmcm③长20cm边长应边80cm时∵80∶20＝4∶1第三角形教具三边长分5０cｍ６0cm8０cｍ∴三角形应三边分：１25cm15ｃm20cm∴三种解决方案．
方法总结：解答题关键分类讨应确定时采分类讨方法避免漏解
变式训练：见学练优课时练课巩固提升第7题
三板书设计
1三角形相似判定定理：
三边应成例两三角形相似
2．利相似三角形判定解决问题
课时教学程中学生采类方法先猜想出命题然证明猜想命题否正确．课堂教师提问形式逐步引导学生证明命题课作业情况出学生节课知识总体掌握较
272．1 相似三角形判定
第３课时 两边成例夹角相等两三角形相似
１．理解两边成例夹角相等两三角形相似含义分清条件结文字图形符号语言表示(重点)
2．会运两边成例夹角相等两三角形相似判定两三角形相似解决简单问题．(难点)
情境导入
利刻度尺量角器画两三角形两条应边成例夹角相等量量第三条应边长计算前两条应边否相等．两角否应相等？出什结
二合作探究
探究点两边成例夹角相等两三角形相似
类型 直接利判定定理判定两三角形相似
已知：图△AＢC中∠C９0°点ＤE分ABCB延长线点CE＝9AＤ＝1５连接DＥ．ＢC6AＣ＝８求证△ABC∽△ＤBE
解析：首先利勾股定理求出AＢ长已知条件求出ＤB进ＤＢ∶AB值计算出EB∶BＣ值继判定△ABＣ∽△DBE
证明∵Rt△ABC中∠Ｃ＝90°BＣ6AC8∴AB＝＝10∴DBAＤAB15１0＝5∴DB∶ＡB＝１∶2∵EＢ＝CＥBC＝9－６＝3∴EＢ∶BC1∶２∴EＢ∶BCDB∶AB∵∠DBE∠ＡＢC９0°∴△ABＣ∽△DBＥ
方法总结解题时定注意必须两边应夹角行注意隐含条件公角顶角等
变式训练：见学练优课时练课堂达标训练 第２题
类型二 添加条件三角形相似
图已知△ABＣ中D边AＣ点P边AB点AB12AC＝8ＡD6AP长度____＿___时△ADＰ△ABC相似．
解析△ADP∽△ＡCB时＝∴解AＰ9．△ADＰ∽△AＢＣ时＝∴＝解AP＝４∴ＡP长度49时△AＤP△AＢＣ相似答案49
方法总结添加条件时先明确已知条件根判定定理寻找需条件应题先假设两三角形相似利倒推法分类讨解答．
变式训练：见学练优课时练课堂达标训练 第５题
类型三 利三角形相似证明等积式
图ＣDＲt△ABC斜边AB高EBＣ中点ED延长线交CA延长线F求证：AC·CＦ＝BC·DF．
解析：先证明△ADC∽△CDB结合条件证明△FＤC∽△FAD＝证结
证明∵∠ACB90°CＤ⊥ＡB∴∠DAC＋∠Ｂ∠B+∠DCB９0°∴∠DAＣ∠DCB∠ADC∠CDB∴△ＡＤC∽△ＣDB∴＝∵EBC中点CＤ⊥ＡB∴DE＝ＣE∴∠EDC∠DＣE∵∠ＥDC+∠FDA∠ECD＋∠ＡＣD∴∠FＣＤ＝∠FDA∠F∠Ｆ∴△FDＣ∽△FＡD∴∴∴ＡC·CF＝ＢC·ＤF
方法总结证明等积式例式方法：等积式例式中四条线段分成两三角形应边然证明两三角形相似证明等积式例式
类型四 利相似三角形判定进行计算
图示BC⊥CＤ点CBE⊥ＤE点EBECD相交点AＡＣ３ＢＣ＝４AE2求CＤ长
解析ＡC＝３需求出AＤ求出CD证明△ＡBC△ＡDＥ相似利相似三角形应边成例求出AD．
解Rt△ABＣ中勾股定理AB＝＝5∵BC⊥CDBE⊥DE∴∠C∠Ｅ∵∠CAB＝∠ＥAＤ∴△ABC∽△ADE∴＝解AD∴ＣD＝AD＋ＡC＝+3．
方法总结利相似三角形判定进行边角计算时应先利条件证明三角形相似通作辅助线构造相似三角形然利相似三角形应角相等应边成例进行求解．
变式训练见学练优课时练课巩固提升第７题
类型五 利相似三角形判定解决动点问题
图△AＢC中∠C＝90°ＢＣ＝8cm5ＡＣ－３ＡB＝0点PB出发BC方２cms速度移动时点QC出发CA方１ｃms速度移动长时间△ＡＢC△PQC相似？
解析：ACAB关系设出AC3xcmAＢ＝5xcm直角三角形ＡBＣ中利勾股定理列出关x方程求出方程解x值进ABAC长然设出动点运动时间ｔs根相应速度分表示出ＰCＣQ长△ABＣ△PQＣ相似根应顶点分两种情况列出例式边长代入关t方程求出方程解t值满足题意时间t值．
解５AC－3ＡＢ＝05AC＝3AB设ＡB5xｃｍAC3ｘcmRt△ＡBC中BC8cm根勾股定理25x２＝9x2+6４解ｘ２x－２(舍)∴AB5x１0cmAC3x＝6cｍ设t秒△ABC△PＱC相似BP＝2tcｍPC（82ｔ)ｃmCQｔｃm分两种情况①△ABC∽△PQC时＝解t②△AＢC∽△QPC时＝解t．综知秒△ABC△PQＣ相似
方法总结：题关键根三角形相似应顶点分两种情况△AＢC∽△PQC△AＢC∽△QPＣ分列出例式解决问题
变式训练见学练优课时练课巩固提升第8题
三板书设计
1．三角形相似判定定理
两边成例夹角相等两三角形相似
2应判定定理解决简单问题．
节课采探究发现式教学法参式教学法利煤体引导学生始终参学活动全程中处动学状态采动手实践探索合作交流学方法学生积极参教学程．教学程中展开思维培养学生提出问题分析问题解决问题力进步理解观察类分析等数学思想
2721 相似三角形判定 ﻫ第4课时 两角分相等两三角形相似
1．理解两角分相等两三角形相似含义分清条件结文字图形符号语言表示(重点）
2会运两角分相等两三角形相似判定两三角形相似解决简单问题(难点)
情境导入
伴合作画△ＡBC画△A′B′C′∠Ａ∠A ′等定∠α∠B∠B′等定∠β较画两三角形∠C∠C′相等应边相等？样两三角形相似？学交流．
二合作探究
探究点：两角分相等两三角形相似
类型 利判定定理证明两三角形相似
图等边△ABC中DBC边点ＥＡＢ边点∠ADE＝60°．
(１)求证：△ABＤ∽△DCE
(２)ＢD3CE＝2求△ABC边长．
解析：(１)题∠B∠C＝60°利三角形外角知识出∠BAD∠CＤE证明△AＢＤ∽△ＤCE（２)根△ＡBD∽△DCE列出例式求出△ＡBC边长．
(1)证明△AＢD中∠ADC＝∠B+∠BＡD∠ＡDC＝∠AＤＥ＋∠EDC∠B∠ADＥ＝60°∴∠BAD∠CＤE△ABD△DＣE中∠BAD∠CDE∠B∠C＝60°∴△ＡＢD∽△DCE
(2）解设ABｘDC＝x３△ABD∽△DCE∴∴＝∴ｘ9等边△AＢC边长9
方法总结题利两角分相等两三角形相似解答题关键利三角形外角知识出角相等
变式训练：见学练优课时练课堂达标训练 第5题
类型二 添加条件证明三角形相似
图△ABＣ中DＡB边点△ＡBC∽△ＡED成立需添加条件＿_____＿＿___＿．
解析∵∠ABC∠ＡＥD∠A∠Ａ∴△AＢC∽△AED添加条件∠ＡBC＝∠AED求△AＢC∽△ＡED理∠ADＥ∠C∠AEＤ∠B出△ABＣ∽△AＥD．答案∠ＡDE∠Ｃ ∠AＥＤ＝∠B．
方法总结：熟练掌握相似三角形种判定方法解题关键
变式训练：见学练优课时练课堂达标训练 第3题
类型三 相似三角形圆综合应
图ＡB⊙O直径C⊙O点CＤ⊥ＡＢ点D交AE点Ｇ弦CE交AB点F求证AC2＝AG·AE
解析延长CG交⊙O点M连接AＭ根圆周角定理证明∠ＡCＧ＝∠Ｅ根相似三角形判定定理证明△CAG∽△EAC根相似三角形应边成例出结．
证明：延长ＣG交⊙O点M连接ＡM∵AB⊥CM∴∴∠ACG∠Ｅ∵∠CAG∠EＡC∴△CAＧ∽△EAC∴∴AＣ2＝ＡG·AE
方法总结相似三角形圆知识综合时圆性质寻找角等量关系证明三角形相似
变式训练见学练优课时练课巩固提升第3题
类型四 相似三角形四边形知识综合
图▱ABCD中点B作ＢE⊥ＣD垂足E连接AEFAＥ点∠BFE＝∠CＡＢ＝８BE＝6ＡD7求BＦ长
解析通证明∠ＢAF＝∠ＡＥD∠AFＢ∠Ｄ证△ABF∽△EＡD出关AＢAＥADBF例关系．已知ＡDＡB长需求出AE长．直角三角形ABE中勾股定理求出AE长进求出BF长．
解：行四边形AＢＣD中∵AB∥CD∴∠BＡF＝∠AEＤ．∵∠AFＢ+∠BＦＥ＝18０°∠Ｄ+∠C＝18０°∠BＦE＝∠C∴∠AFB＝∠D∴△ABＦ∽△EＡD∵BＥ⊥CＤAＢ∥CＤ∴BE⊥AB∴∠ＡBE＝9０°∴AE＝＝1０∵△AＢF∽△EAD∴∴＝∴ＢＦ5６
方法总结：相似三角形四边形知识综合时行四边形性质寻找角等量关系证明三角形相似
变式训练：见学练优课时练课巩固提升第7题
类型五 相似三角形二次函数综合
图△ABC中∠C＝90°BC＝5mAB＝１0mM点线段CACA运动速度１ms时N点线段ABAB运动速度２m／s运动时间ts．
(1)t值时△AＭN面积6ｍ2
（２)t值时△ＡMN面积？求出值
解析(１)作NH⊥ＡCH证△ＡＮH∽△AＢC例式然t表示出ＮH根△ＡMN面积6m2关t方程求t值(2）根三角形面积计算关ｔ二次函数求值
解(１)Rt△ABC中∵AB２BC2＋ＡC２∴AC5m图作NＨ⊥ＡＣH∴∠NHA＝∠C＝90°∵∠A公角∴△NHＡ∽△BCA∴＝∴NＨｔ∴S△ＡMN t(５－t)6解t1t2＝４（舍)ｔ秒时△AMN面积6m2
(２)S△ＡMN＝ｔ(５ｔ）－（ｔ２－５t+)+（ｔ）2＋∴t＝时S值＝ｍ2
方法总结解题关键根证相似三角形例式解决问题
三板书设计
１三角形相似判定定理：
两角分相等两三角形相似
2．应判定定理解决简单问题
探究式教学中教师学生学组织者引导者合作者研究者教学程中鼓励学生胆探索引导学生关注程时肯定学生表现鼓励创新备课时应考虑学生学法突破教学时关键处点拨足时补充．学生等交流创设民谐学氛围
2722 相似三角形性质
1理解相似三角形性质(重点）
2．会利相似三角形性质解决简单问题（难点)
情境导入
两三角形相似应边成例应角相等外许结例图中△AＢC△A′B′Ｃ′两相似三角形相似k中ADA′D′分BCB′Ｃ′边高ＡＤA′D′间什关系
二合作探究
探究点： 相似三角形性质
类型 利相似求三角形周长面积
图示行四边形ABCＤ中EBＣ边点BE＝ＥＣBDAＥ相交F点
（1）求△ＢEＦ△ＡFD周长
(2）S△BEF6cｍ2求Ｓ△AFD
解析：利相似三角形应边周长面积然进步求解．
解（1)∵行四边形ABＣD中ＡD∥ＢCAD＝BC∴△BEF∽△AＦD∵ＢＥ＝BC∴＝＝∴△BEF△AＦD周长
(2)(1）知△BＥF∽△DAF相似∴＝（)2∴S△AFD4S△BEF＝4×624cm2
方法总结：理解相似三角形周长等相似面积等相似方解决问题关键
变式训练：见学练优课时练课堂达标训练 第４6题
类型二 利相似三角形周长面积求相似
△ABC∽△A′B′C′面积1∶2△ABC△A′B′C′相似( ）
A．１∶２ B∶2
C１∶４ D∶１
解析：∵△AＢC∽△Ａ′Ｂ′C′面积1∶２∴△AＢＣ△A′B′C′相似1∶∶2选B
方法总结：解决问题关键掌握相似三角形面积等相似方．
类型三 利相似三角形性质判定进行计算
图示锐角三角形ABＣ中ADCＥ分ＢＣAB边高△AＢC△BDE面积分188DE＝3求AC边高．
解析求AＣ边高先高线作出△ABC面积18求出ＡC长求出ＡC边高 解点Ｂ作ＢＦ⊥AC垂足点F∵ＡＤ⊥ＢC CＥ⊥ＡＢ∴Rt△ADＢ∽Rｔ△CEＢ∴＝＝∠AＢC∠DBE∴△EBＤ∽△CBA ∴()2∵DE＝３∴AＣ＝45∵S△ABC＝AC·ＢF18 ∴ＢF＝8
方法总结解决类问题利相似三角形周长等相似面积等相似方解答
变式训练：见学练优课时练课巩固提升第6题
类型四 利相似三角形线段等相似解决问题
图示ＰN∥BCAD⊥BＣ交PNE交BCD．
(１)AP∶PB1∶2S△ABC＝18求Ｓ△APN
(2)S△AＰN∶S四边形ＰBCN１∶2求值
解析：(1)相似三角形面积等应边方求解(2)△AＰN四边形PBCN面积△APN△ABC面积进应边．
解：(1)ＰＮ∥ＢC∠APＮ＝∠B∠ANＰ＝∠Ｃ△AＰＮ∽△ABＣ(）2．ＡP∶PＢ１∶2AP∶AＢ＝1∶3S△ＡBＣ18（)2Ｓ△ＡPＮ2
(2)PN∥BC∠ＡPE∠B∠AEＰ∠ADB△APE∽△ABD（）２＝()2S△APN∶S四边形PBＣN＝1∶2＝＝()2＝
方法总结：利相似三角形应线段等相似推出相似三角形面积等相似方
变式训练：见学练优课时练课巩固提升第7题
类型五 利相似三角形性质解决动点问题
图已知△ABC中AＢ＝5BC＝3ＡC4ＰQ∥ＡBP点AC(AC重合)Ｑ点ＢＣ．
(１)△PQＣ面积四边形PABQ面积时求CP长
(2)△ＰQC周长四边形PABQ周长相等时求CP长
解析(１)PQ∥AB△PQＣ∽△ABC△PQC面积四边形PAＢQ面积时△CＰQ△CAB面积1∶4根相似三角形面积等相似方求出ＣP长(2)△PＱC∽△ABC根相似三角形性质CP表示出ＰQCQ长进表示出APBQ长根△ＣPQ四边形ＰABQ周长相等相关边相加求出CＰ长
解：(1）∵PQ∥ＡB∴△PQＣ∽△ABC∵S△ＰQC＝S四边形PAＢQ∴S△ＰＱC∶S△ABC＝１∶４∵∴CP＝ＣＡ2
(2)∵△PQC∽△ABC∴＝∴＝∴CQ＝CP．理知PQCＰ∴C△PCQ＝ＣP＋PＱ＋CQCP＋ＣP+ＣP＝３ＣＰC四边形PＡBQPＡ＋AB＋BQ＋ＰQ＝（４CP)+AB+(3CQ)＋ＰQ＝４－CＰ+5＋3CＰ＋CP＝12－CP∴12－CP3CP∴CＰ＝１2∴CP＝
方法总结：相似三角形出线段例关系根线段例关系解决面积线段问题解题关键．
变式训练：见学练优课时练课巩固提升第８题
三板书设计
1相似三角形应角相等应边相等
2．相似三角形(边形)周长等相似相似三角形应线段(应中线应角分线应边高)等相似
3相似三角形面积等相似方．
节教学程中学生动参课堂活动积极交流探讨发现问题较：相似三角形周长面积相似书写时注意应关系应时计算结果正相反两性质前提条件相似三角形等等学讨非常激烈节课堂教学取明显效果
27．23 相似三角形应举例
１运三角形相似知识计算直接测量物体长度高度(重点)
2．灵活运三角形相似知识解决实际问题．(难点)
情境导入
胡夫金字塔埃现存规模金字塔喻世界古代七奇观 ．古希腊位伟科学家泰勒斯．天希腊国王阿马西斯说听说什知道请测量埃金字塔高度吧时条件难题难爬塔顶．知道泰勒斯样测量金字塔高度
二合作探究
探究点：相似三角形应
类型 利影子长度测量物体高度
图某时刻根2m长竹竿EF影长GE12m时红测棵风吹斜柏树面成3０°角树顶端B面影子点DB垂直面落点C距离3．6m求树AB长
解析先利△BDＣ∽△FGE＝计算出BＣ6ｍ然Rt△ABＣ中利含３0度直角三角形三边关系AB长
解：图CD３6m∵△ＢＤＣ∽△ＦGE∴＝∴BC＝6ｍRｔ△ABＣ中∵∠A＝30°∴AＢ2BC１2ｍ树长AB12m
方法总结解答类问题时首先实际问题转化数学问题利相似三角形应边成例建立相等关系求解
变式训练见学练优课时练课堂达标训练 第1题
类型二 利镜子反射测量物体高度
红面方法测量学校教学楼AB高度图水面点E处放面面镜镜子教学楼距离ＡE20m镜子距离CE＝25ｍ时刚镜子中教学楼顶端Ｂ已知眼睛距面高度ＤＣ１6m请帮助红测量出楼AＢ高度(注入射角＝反射角)
解析：根物理知识∠ＢEA＝∠DEC△BAE∽△DCE根相似三角形性质解答．
解图∵根光反射定律知∠BEA∠DＥC∵∠ＢAE∠ＤCE＝90°∴△BＡE∽△DCE∴∵ＣＥ＝２．5ｍDC1．6ｍ∴＝∴ＡＢ１2．８∴楼ＡB高度1２8ｍ
方法总结解题关键找出相似三角形然根应边成例列出方程．解题时灵活运学学科知识
变式训练见学练优课时练课堂达标训练 第5题
类型三 利标杆测量物体高度
图某时刻旗杆AB影子部分面部分建筑物墙面明测旗杆AB面影长ＢC９6m墙面影长ＣD2ｍ时刻明测竖立面长1m标杆影长12m．请帮助明求出旗杆高度．
解析根时刻物高影长成正例利相似三角形应边成例解答．
解：图点D作DＥ∥BC交ABＥ∴DＥCＢ＝96mBECＤ＝2m∵时刻物高影长成正例∴EA∶ED1∶1．2∴AE＝8m∴ABAE＋EB８＋2１0ｍ∴学校旗杆高度1０m
方法总结：利杆直尺测量物体高度利杆(直尺)高（长）作三角形边构建相似三角形相似三角形应边相等性质求物体高度
变式训练见学练优课时练课堂达标训练第3题
类型四 利相似三角形性质设计方案测量高度
星期天丽学碧沙岗公园游玩１９28年冯玉祥军纪念北伐军阵亡士立纪念碑前丽问纪念碑高呢请利初中数学知识设计种方案测量纪念碑高度(画出示意图)说明理．
解析：设计相似三角形利相似三角形性质求解．距离纪念碑AＢ面放面镜子E退D处镜子里恰见纪念碑顶A眼距面距离ＣD测量出CＤDEBE长算出纪念碑ＡB高
解：设计方案例子：图距离纪念碑AＢ面放面镜子Ｅ退D处镜子里恰见纪念碑顶A眼距面距离CD测量出CDDＥＢE长算出纪念碑AB高．
理测量出ＣDＤEBE长∠CEＤ∠AEB∠D＝∠Ｂ9０°易△ABE∽△CDＥ．根＝算出AB高
方法总结解题关键根相似三角形性质设计出具体图形实际问题抽象出数学问题求解
变式训练见学练优课时练课巩固提升第6题
三板书设计
1利相似三角形测量物体高度
２利相似三角形测量河宽度
3．设计方案测量物体高度．
通节知识学学生综合运三角形相似判定性质解决问题发展学生应意识加深学生相似三角形理解认识．基达预期教学目标部分学生学会建立数学模型利相似判定性质解决实际问题．
2７．３ 位似
第1课时 位似图形概念画法
1．解位似图形关概念解位似相似联系区掌握位似图形相关知识(重点)
2掌握位似图形画法够利作位似图形方法图形放缩．（难点)
情境导入
生活中常片放缩没改变图形形状片真实．
观察图中边形相似果种相似什特征
二合作探究
探究点位似图形
类型 判定否位似图形
列３图形中位似图形( ）
Ａ0 Ｂ．１ Ｃ2 D3
解析根位似图形定义知两图形仅相似图形组应点直线点应边互相行（线)位似图形第第三．选Ｃ．
方法总结判断两图形位似图形首先相似图形应顶点连线否交点．
变式训练：见学练优课时练课堂达标训练 第1题
类型二 确定位似中心
找出列图形位似中心．
解析（１）连接应点AＥBF延长交点位似中心(2)连接应点ANBM延长交点位似中心（3)连接AＡ′ＢB′交点位似中心．
解：(1)连接应点ＡEBF分延长AEBFＡEBF交点O点O位似中心
(2)连接应点ANBM延长ANＢMANBM延长线交点O点O位似中心
(３）连接AA′ＢＢ′AA′ＢB′交点位似中心O
方法总结确定位似图形位似中心时找准应顶点组应顶点作直线交点位似中心
变式训练见学练优课时练课巩固提升 第2题
类型三 画位似图形
求画位似图形：
(１)图①中Ｏ位似中心△ABC放原2倍
(２)图②中O位似中心△ＡＢC缩原
解析：（1)连接OＡOBOC延长ADOABEＢOCF＝ＣO次连接DＥF出图形(2)连接ＯＡOBOC作射线CPCP取点MＮQMNＮQＣＱ连接OM作ＮF∥OＭ交OCF次作EF∥ＢCDＥ∥AB连接DF求出结．
解：(１)图①画图步骤：①连接OAOBOC②分延长OADOBEＯCＦＡＤ＝OABEＢＯＣFCO③次连接ＤＥＦ∴△DEF求作三角形
（2）图②画图步骤：①连接OAOBＯＣ②作射线CＰＣP取点MNQＭN＝NQ＝CQ③连接OM④作NF∥OM交OCF⑤次作ＥF∥BＣ交ＯBEDE∥AB交OAD⑥连接DF∴△ＤEF求作三角形
方法总结画位似图形般步骤①确定位似中心②分连接延长位似中心代表原图关键点③根位似确定代表作位似图形关键点④次连接述点放缩图形．
变式训练：见学练优课时练课巩固提升第７题
类型四 位似图形实际应
放映电影时需胶片图片放银幕便欣赏图点P放映机光源△ＡBC胶片面画面△A′B′C′银幕画面．胶片图片规格25cｍ×25cm放映银幕规格2m×2ｍ光源P胶片距离20cm银幕应距离光源P远时放映图象正布满整银幕？
解析：题中条件知△Ａ′B′C′△ＡＢＣ位似图形应边成例进求解
解图中△A′B′C′△AＢC位似图形设银幕距离光源Pxm时放映图象正布满整银幕位似解x16银幕距离光源P16ｍ时放映图象正布满整银幕．
方法总结位似变换中意应点位似中心距离等应边面积等相似方．
类型五 利位似性质进行证明计算
图FＢDＢＣAD相交点EAB∥CＤ∥EＦ
(1)图中位似三角形选中加证明
(2)AB2CD3求EF长．
解析（1)利相似三角形判定方法位似图形性质出答案(2)利例性质相似三角形性质求出＝求出ＥＦ
解(１)△ＤＦE△DBA△BＦE△BＤC△AEB△ＤEC位似图形理：∵AB∥CD∥EF∴△DFE∽△DＢA△BＦＥ∽△BDＣ△AEB∽△DEC应边交点∴△ＤＦE△DBＡ△BＦE△BDC△AEB△DEC位似图形
(2)∵△ＢFE∽△ＢDC△ＡEB∽△DECＡＢ＝２CD3∴＝∴解EF．
方法总结位似图形意应点位似中心距离等相似位似图形应线段等相似
变式训练见学练优课时练课巩固提升第6题
三板书设计
位似图形概念画法
１．位似图形概念
2位似图形性质画法．
教学程中便学生理解位似图形特征应注意学生通动手操作猜想试验等方式获感性认识然通纳总结升理性认识形象抽象机结合形成位似图形认识．教师应学动权充分放学生环节时纳总结学生学收获
第２课时 面直角坐标系中位似
1．学会图形坐标变化表示图形位似变换（重点）
2掌握图形定例放缩应点坐标变化规律（难点)
情境导入
观察图示坐标系
试着发现坐标系中图形间联系然作出类似图形
二合作探究
探究点：面直角坐标系中位似
类型 利位似求点坐标
图线段AB两端点坐标分A(66)Ｂ(82)原点O位似中心第象限线段AB缩原线段CD端点Ｃ坐标( )
A．（3３) Ｂ．（4３)
Ｃ(31) D(41)
解析∵线段AＢ两端点坐标分A(６6)Ｂ(82)原点O位似中心第象限线段AB缩原线段CD∴端点C横坐标坐标变A点半∴端点C坐标(33)．选A
方法总结：关原点成位似两图形位似k原图形点(xy)位似变化应点坐标(ｋxky)（kxky）
变式训练见学练优课时练课堂达标训练 第3题
类型二 坐标系中画位似图形
13×13网格图中已知△ＡBＣ点M(１2）．
(1)点M位似中心位似2画出△ＡＢC位似图形△A′B′C′
(2）写出△A′B′C′顶点坐标
解析（1）利位似图形性质位似2出应点位置（2)利画图形出应点坐标．
解(1)图示△A′B′C′求
（2）△A′B′C′顶点坐标分A′(36)Ｂ′（5２)C′(114)．
方法总结画图形位似图形时位似中心选择意点图形部外部图形具体问题考虑画图方便符合求．
变式训练见学练优课时练课堂达标训练 第7题
类型三 坐标系中确定位似
△ABC三顶点Ａ(36）B(6２）Ｃ(21）原点位似中心位似图形△A′Ｂ′C′三顶点分A′(12）B′(2）C′（)△A′B′C′△ＡＢC位似＿___＿＿_＿．
解析：∵△AＢC三顶点A(36）B(6２)C（２１)原点位似中心位似图形△A′B′Ｃ′三顶点分A′(12)B′(2)Ｃ′（－)∴△A′Ｂ′C′△ABC位似1∶3．
方法总结原点位似中心位似图形位似应点应坐标．
变式训练见学练优课时练课巩固提升第3题
探究点二位似坐标系中简单应
类型 确定图形面积
图原点Ｏ△ABC△A′B′C′位似中心点Ａ（１0)点Ａ′(２0)应点△ABＣ面积△A′B′Ｃ′面积_____＿__．
解析∵点A(10)点A′(2０)应点原点Ｏ位似中心∴△AＢC△Ａ′B′Ｃ′位似1∶２∴△AＢC△A′B′C′面积1∶４∵△ABC面积∴△A′B′Ｃ′面积６
方法总结：位似相似特殊形式位似等相似应面积等相似方．
变式训练见学练优课时练课巩固提升第６题
类型二 位似变换移旋转轴称综合
图点Ａ坐标(３4）点O坐标(００）点B坐标(４0）
(1）△AOBx轴左移1单位△A1Ｏ1B1点A１坐标(____＿___)△A1O１Ｂ1面积_＿___＿__
(2）△AOB绕原点旋转1８0°△A2O2B２点A2坐标(＿_______）
（3）△AOBx轴翻折△A3O３Ｂ3点Ａ3坐标(__＿_____)
(４）O位似中心例尺１∶2△AOB放△A4O4B4点B4x轴负半轴点Ａ4坐标(________)△A4O4B4面积_＿＿_＿___．
解析(1)△AOＢｘ轴左移１单位△A１O1Ｂ1点A1坐标(24)△Ａ1Ｏ1B1面积×４×48（２）△ＡOB绕原点旋转１８0°△A２O２B2点Ａ2坐标(－3４)(3）△ＡOBx轴翻折△Ａ3O3Ｂ3点A3坐标(34）（４)Ｏ位似中心例尺1∶２△ＡOB放△Ａ4O4Ｂ４点B４x轴负半轴点Ａ4坐标（68)△Ａ4O４B4面积×８×8＝32答案(１)248（2)－3－4(3)3－4(４）6832
方法总结：题考查图形旋转移位似变换三角形面积求法等知识出应点坐标解题关键
三板书设计
位似变换坐标特征：
关原点成位似两图形位似k原图形点(xｙ)位似变化应点坐标（kｘkｙ)(－ｋx－ky)
节课学生感受面直角坐标系中位似图形根坐标变化变化教学程中提高学生学积极性心情愉悦思维活跃样真正激发学生学数学兴趣提高课堂学效率
2８1锐角三角函数
第1课时 正弦函数
1根正弦概念正确进行计算(重点)
2．运正弦函数解决实际问题(难点)
情境导入
牛庄算新建水站选择水泵时必须知道水站(点Ａ)水面(BC)高度(AB)．斜坡水面成角(∠C）量角器测出水长度(AC）直接量．
二合作探究
探究点正弦函数
图ｓiｎA等( )
A．2 B． C D
解析根正弦函数定义siｎA＝选Ｃ
方法总结：锐角A边ａ斜边ｃ做∠A正弦记作siｎAsiｎA＝
变式训练见学练优课时练课堂达标训练 第2题
探究点二正弦函数相关应
类型 网格中求三角函数值
图正方形网格中△ＡＢCsin∠AＢC值等（ )
Ａ Ｂ C D．10
解析∵AＢ＝BC＝AC＝∴AB２＝BC2+ＡＣ2∴∠ＡCＢ9０°∴sin∠ＡBＣ＝＝＝选B
方法总结解决关网格问题勾股定理逆定理相联系根勾股定理求出三边长度运勾股定理逆定理判断三角形形状．
变式训练见学练优课时练课巩固提升第3题
类型二 已知三角函数值求直角三角形边长
Ｒt△ＡBC中∠Ｃ＝90°BＣ＝４sinA＝AB长( )
A B６ C．12 D８
解析∵sinA＝＝∴AB＝6选B
方法总结根正弦定义表示出边关系然数值代入求解记住定义解决问题关键．
变式训练：见学练优课时练课堂达标训练 第6题
类型三 三角函数等腰三角形综合
已知等腰三角形条腰长2５cm底边长3０ｃm求底角正弦值
解析：先作底边高AD根等腰三角形三线合性质BD＝BC15cｍ勾股定理求出AD然根三角函数定义求解．
解图点A作AD⊥BＣ垂足D．∵AB＝AC25cｍBC3０ｃmAＤ底边高∴BＤ＝BC＝15ｃｍ勾股定理AD＝20cm∴sin∠ABC＝
方法总结求三角函数值定直角三角形中求值图形中没直角三角形时通作高构造直角三角形解答．
变式训练见学练优课时练课堂达标训练第4题
类型四 复杂图形中求三角函数值
图△ABC中ＡD⊥BＣD果AＤ＝9DＣ5ＥAC中点求sin∠EＤＣ值．
解析：首先利勾股定理计算出AC长根直角三角形性质DEEC根等腰三角形性质∠ＥＤC∠Ｃ进sｉn∠EDCsｉn∠C＝．
解∵ＡＤ⊥BC∴∠ADC＝90°∵ＡD9DC５∴AＣ＝．∵EAC中点∴DEAE＝ECAＣ∴∠ＥＤC∠Ｃ∴sin∠EDC＝sin∠C＝
方法总结：求三角函数值关键找准直角三角形利等量代换角线段转化进行解答．
变式训练见学练优课时练课巩固提升第8题
类型五 圆中求三角函数值
图已知ＡB⊙O直径CD弦CD⊥ABBC6AC8求sｉn∠AＢD值．
解析首先根垂径定理出∠ABD∠AＢC然直径圆周角直角出∠ＡＣＢ＝９0°根勾股定理算出斜边AＢ长根正弦定义求出sｉｎ∠AＢC值出ｓin∠ＡBＤ值．
解：条件知∴∠AＢＤ＝∠ABC∴ｓin∠ABDsiｎ∠AＢＣ．∵AB直径∴∠ＡCB90°Rｔ△ABC中∵BC6AＣ＝8∴ＡB10∴ｓin∠ＡBD＝sin∠AＢＣ＝
方法总结求三角函数值时必须直角三角形中．圆中直径圆周角直角构造出直角三角形．
变式训练：见学练优课时练课巩固提升第７题
三板书设计
1．正弦定义
2利正弦解决问题
教学程中重视程深化理解通学生动探究体现体位教师通学生参学启发调整激励体现引导作学生体意识合作交流力起着积极作．
281锐角三角函数
第２课时 余弦函数正切函数
1．理解余弦正切概念(重点）
２．熟练运锐角三角函数概念进行关计算．(重点)
情境导入
教师提问样定义直角三角形中锐角正弦什样定义
学生回答教师提出新问题：节课中知道图示Rｔ△ABＣ中∠C＝90°锐角∠Ａ确定时∠A边斜边确定．现问：边间否确定呢？什？
二合作探究
探究点：余弦函数正切函数定义
类型 利余弦定义求三角函数值
Rt△ABC中∠C＝90°AＢ＝１3ＡC1２cｏｓＡ＝( )
A Ｂ C D
解析：∵Rt△AＢC中∠C＝9０°AB13AＣ12∴coｓA选Ｃ
方法总结直角三角形中锐角余弦等角邻边斜边值
变式训练：见学练优课时练课堂达标训练 第2题
类型二 利正切定义求三角函数值
图边长1正方形组成网格中△ABC三顶点均格点ｔaｎA( )
A． B
C D．
解析直角△ＡＢＣ中∵∠ＡBＣ９0°∴taｎＡ＝选D
方法总结：直角三角形中锐角正切等边邻边值．
变式训练：见学练优课时练课堂达标训练 第5题
探究点二：三角函数增减性
类型 判断三角形函数增减性
着锐角α增cｏsα值( )
Ａ．增 Ｂ减
C变 D确定
解析：角度０°～90°间变化时余弦值着角度增减选B
方法总结：0°＜α<9０°时ｃosα值着角度增(减）减(增)
类型二 较三角函数
ｓｉｎ70°ｃｏs7０°tａn70°关系( ）
Aｔan70°
Dｃos７0°
方法总结：角度0°≤∠Ａ≤90°间变化时0≤sｉnＡ≤10≤ｃｏsA≤１ｔanＡ≥０
探究点三求三角函数值
类型 三角函数圆综合
图示△ＡBＣ接⊙OAB⊙O直径点D⊙Ｏ点C切线交ＡＤ延长线点ＥAE⊥CE连接CD
(1)求证：ＤC＝ＢC
(2）AB5ＡC4求taｎ∠DＣE值
解析(１)连接OC求证DＣＢＣ先证明∠CAD∠BAＣ进证明(２)AB＝５AＣ＝４根勾股定理BC＝3易证△AＣE∽△ABC求出CEDE长Rｔ△ＣDE中根三角函数定义求出tan∠DCE值．
（１)证明连接OＣ∵OA＝OＣ∴∠OＡＣ∠OＣA．∵CE⊙Ｏ切线∴∠OＣE＝9０°．∵AＥ⊥ＣE∴∠AEC＝∠OCE9０°∴OC∥AＥ∴∠OCA＝∠ＣＡD∴∠ＣAD∠ＢAＣ∴∴DC＝BC
(2）解：∵AB⊙O直径∴∠ACB90°∴ＢC＝3∵∠CＡE∠BAＣ∠AEＣ∠ACＢ＝90°∴△AＣＥ∽△ABC∴＝＝ＥC∵DCBC＝3∴ED＝＝∴ｔan∠ＤCE＝＝
方法总结：证明圆弦相等转化证明弦弧相等．利圆关性质寻找构造直角三角形求三角函数值遇较复杂问题时通全等相似线段进行转化
变式训练：见学练优课时练课巩固提升 第5题
类型二 利三角形边角关系求三角函数值
图△ABC中AD⊥BC垂足DBC14AＤ12tan∠BAD求sinC值
解析根ｔan∠BAＤ求BD长直角△ACＤ中勾股定理求ＡＣ长然利正弦定义求解
解：∵直角△ABD中ｔan∠ＢAD∴BDAD·tａn∠BＡD＝１２×＝９∴CDBC－BD＝14－９5∴AC＝13∴sinＣ＝．
方法总结：直角三角形中根三角函数定义分清边角关系结合勾股定理解答类问题关键
变式训练见学练优课时练课巩固提升第9题
三板书设计
1余弦函数定义
２正切函数定义
3．锐角三角函数增减性．
数学学中学生注重基概念基础知识认会做题结果失分选择题填空题等概念性较强题目通引导学生进行知识梳理教会学生进行知识纳总结进步帮助学生理解掌握基概念基础知识
281锐角三角函数
第３课时 特殊角三角函数
１历探索３0°45°60°角三角函数值程进步体会三角函数意义(重点)
2够进行3０°45°60°角三角函数值计算(重点）
3．够结合30°４5°60°三角函数值解决简单实际问题(难点)
情境导入
问题１直角三角形中锐角正弦余弦正切值定义？
问题2：两块三角尺中锐角少度设三角尺较短边长1分求出锐角正弦值余弦值正切值
二合作探究
探究点特殊角三角函数值
类型 利特殊三角函数值进行计算
计算
(1)2ｃｏs60°·sｉn3０°－sｉn４5°·sin60°
(2）
解析特殊角三角函数值代入求解．
解(1）原式2××－××＝＝1
（2)原式＝2－3．
方法总结： 解决类题目关键熟记特殊角三角函数值
变式训练见学练优课时练课堂达标训练 第4题
类型二 已知三角函数值求角取值范围
cosα锐角α致范围( )
A．０°<α＜30° Ｂ．30°＜α＜45°
Ｃ45°＜α<6０° D．0°＜α<30°
解析∵cｏs3０°＝coｓ４5°cos６0°＝＜＜∴cｏs6０°
类型三 根三角函数值求角度
ｔaｎ（α+10°)1锐角α度数( )
A２0° B．30° C４0° D．５0°
解析∵ｔan（α＋１０°)１∴taｎ(α＋１0°)∵tａn30°＝∴α＋10°3０°∴α＝20°．选Ａ．
方法总结熟记特殊角三角函数值解决问题关键．
变式训练：见学练优课时练课堂达标训练第9题
探究点二特殊角三角函数值应
类型 利三角形边角关系求线段长
图△ＡBC中∠ABC９0°∠A＝30°Ｄ边ＡB点∠BDC45°ＡＤ4求BC长
解析题意知△BCD等腰直角三角形BD＝BＣRt△ABC中利锐角三角函数定义求出ＢC长
解∵∠Ｂ90°∠ＢDC45°∴△BＣD等腰直角三角形∴BＤBCRｔ△ABC中taｎ∠A＝tａn３0°＝＝解BＣ2(＋1)
方法总结直角三角形中求线段长果特殊角考虑利三角函数定义列出式子求出三角函数值进求出答案
变式训练：见学练优课时练课堂达标训练第２题
类型二 判断三角形形状
已知△AＢC中∠Ａ∠B满足（1taｎＡ)２＋|sinB－|0试判断△ＡBＣ形状
解析：根非负性性质求出tanAsinＢ值根特殊角三角函数值求出∠Ａ∠B度数进出结
解∵(１ｔanA)2+|sinB|＝0∴tanＡ＝１siｎB＝∴∠A＝45°∠Ｂ6０°∠C＝１80°－45°60°75°∴△ABC锐角三角形．
方法总结数绝值偶次方非负数数式绝值偶次方相加０时中项必须等0．
变式训练见学练优课时练课堂达标训练第8题
类型三 构造三角函数模型解决问题
求tan30°值构造图示直角三角形进行计算．作Ｒt△AＢC∠C＝９0°斜边AＢ２直角边AC1BC∠ＡBＣ＝30°∴ｔan30°＝图基础通添加适辅助线探究ｔan１5°ｔａｎ75°值．
解析根角分线性质勾股定理首先求出CD长进出ｔan１5°tａｎ７5°求出．
解作∠Ｂ分线交AC点D作ＤE⊥AB垂足E．∵BD分∠ABCCD⊥ＢCDＥ⊥ＡB∴ＣＤ＝DE设ＣＤxＡD＝1xAE2－BE2－BＣ＝2－Rt△ADE中DE2＋AＥ２＝AD2x2+(2－)2(1－x）2解ｘ＝23∴ｔａn15°２－tａn75°＝2+
方法总结：解决问题关键添加辅助线构造含１5°7５°直角三角形根三角函数定义求出15°7５°三角函数值
变式训练：见学练优课时练课巩固提升第2题
三板书设计
１特殊角三角函数值：
3０°
4５°
60°
ｓinα
cosα
tanα
１
２应特殊角三角函数值解决问题
课程设计中引入非常直接三角尺引入直击课题时前两节学知识进行整体复效果．讲解特殊角三角函数值时讲解细说前面部分教学成功学生理解
28．１锐角三角函数
第4课时 计算器求锐角三角函数值锐角
1．初步掌握计算器求三角函数值方法(重点)
2．熟练运计算器求三角函数值解决实际问题．(难点)
情境导入
教师讲解：通面节课学知道锐角∠A30°4５°60°等特殊角时求特殊角正弦值余弦值正切值果锐角∠A特殊角样三角函数值呢？助计算器求锐角三角函数值
二合作探究
探究点计算器求锐角三角函数值锐角
类型 已知角度计算器求函数值
计算器求列式值(精确０．0０01)：
（１)siｎ47°(2）sｉn12°30′
(3)cos25°18′(4)sin1８°＋cos５5°－ｔaｎ59°．
解析：熟练计算器计算器出结果根效数字概念四舍五入法取似数
解根题意计算器求出
(１）sin47°≈0．731４
(2)siｎ12°3０′≈02164
(３)cos2５°18′≈09０４１
(4)sin18°+ｃos55°－taｎ5９°≈078１７
方法总结解决类问题关键熟练计算器计算器时注意键序
变式训练：见学练优课时练课堂达标训练 第4题
类型二 已知三角函数值计算器求锐角度数
已知列锐角三角函数值计算器求锐角∠Ａ∠Ｂ度数（结果精确0．1°）
(1)siｎA07ｓｉnB0．01
(2)ｃosA０15cosB＝0８
（3)tａnＡ＝2．4ｔanB０5
解析三角函数值求角度数时键第二功键注意键序．
解(1)sinA＝07∠A≈444°siｎB＝０01∠B≈０6°
（2)coｓA＝０１５∠Ａ≈814°cosB0．８∠B≈3６9°
(3)tａnＡ＝24∠Ａ≈６74°tａnB＝０５∠B≈266°
方法总结：解决类问题关键熟练计算器计算器时注意键序．
变式训练：见学练优课时练课堂达标训练 第7题
类型三 利计算器验证结
(１)通计算(计算器)较列数提出猜想：
①sin３0°__＿＿____2siｎ１5°coｓ15°
②sin36°____＿＿_＿2ｓin1８°ｃos1８°
③sｉn45°＿_＿＿＿＿__2sin225°ｃos22．５°
④sin60°__＿__＿_＿２sin３0°ｃoｓ3０°
⑤ｓin80°___＿＿_＿_2sｉｎ40°cos40°
猜想：已知０°＜α＜45°sin2α__＿_＿_＿＿2sinαcｏsα
（2）图△AＢC中AB＝AC1∠BＡC2α请根提示利面积方法验证结．
解析：(1)利计算器分计算①⑤式中左边右边较(2)通计算△ＡBC 面积验证
解(１)通计算知
①sｉｎ30°＝2sｉn１5°cｏs１5°
②ｓin３6°２sin18°ｃos１8°
③ｓｉn45°＝2ｓin2２5°ｃｏs22．5°
④sin60°２ｓin3０°coｓ30°
⑤sｉn80°＝2ｓin40°cos４０°
sｉn2α2sｉｎαcosα
（2)∵S△AＢCAB·sin2α·AC＝siｎ2αＳ△ＡBC×2ＡBsｉnα·AＣcoｓαｓinα·coｓα∴siｎ2α2sinαcosα．
方法总结：题运面积法通方法表示三角形面积三角函数关系种方法面学中会常．
变式训练：见学练优课时练课巩固提升第6题
类型四 计算器较三角函数值
计算器较：2０sin87°____＿＿_＿tａn87°
解析２0sin87°≈20×0９98619974tａn87°≈19．08１∵199７4>1908１∴２０ｓｉn87°>tan87°
方法总结利计算器求值时注意计算器键序
变式训练：见学练优课时练课堂达标训练第8题
探究点二：计算器求三角函数值解决实际问题
图AB公路需Ｃ图中AC＝20km∠CAB＝25°∠ＣBA３7°城市规划需AＢ两间修建条笔直公路
(１)求改直公路AB长
(2)公路改直原缩短少千米
解析：(１)作CＨ⊥ＡBHRｔ△ＡCH中根ＣHＡC·sin∠CＡB求出CH长AH＝AC·cos∠CAB求出AＨ长理求出BH长根ABAH＋BH求AＢ长(2)Ｒt△BＣＨ中ＢC求出BC长ＡC＋ＢCAB出结．
解（1)作ＣＨ⊥ABＨＲt△ＡCH中ＣＨAC·siｎ∠CAB＝ＡC·sｉn２5°≈20×04284kmAＨAC·ｃｏs∠CAB＝AC·cos25°≈２０×0．9１１82kｍRt△BCH中BH＝≈＝１１．1km∴AＢ＝AＨ＋ＢH＝18２+１1１２93kｍ改直公路ＡB长293km
(2)Rt△ＢCH中ＢC≈1４kmAＣ+BCAB2０＋１４－29347ｋm．
答：公路改直原缩短４．7ｋm
方法总结：根题意作出辅助线构造出直角三角形解答类问题关键
变式训练见学练优课时练课巩固提升第４题
三板书设计
1．已知角度计算器求函数值
２已知三角函数值计算器求锐角度数
3计算器求三角函数值解决实际问题
备课时站学生角度思考问题设计教学细节学生更参课堂教学程中学生体验思考程体验成功喜悦失败挫折舍课堂学生课堂投入更情感素丰富课堂语言课堂更加鲜活充满性魅力真正提高课堂教学效率提高成绩
２8２．1 解直角三角形
１．理解解直角三角形意义条件(重点）
２．根元素间关系选择适关系式求出未知元素．(难点）
情境导入
世界遗产意利萨斜塔1350年落成时已倾斜设塔顶中心点B 塔身中心线垂直中心线夹角∠A点B垂直中心线引垂线垂足点C．Ｒt△ABC中∠C＝90°BC＝5２mＡB＝５4．5m求∠A度数．
述Rt△ABＣ中求未知边角
二合作探究
探究点：解直角三角形
类型 利解直角三角形求边角
已知Rｔ△ABＣ中∠C９0°∠Ａ∠Ｂ∠C边分abc列条件解直角三角形
(1）a＝36∠B30°求∠A度数边bc长
(2)a６b6求∠A∠B度数边c长
解析：（1)已知直角边锐角解直角三角形(2)已知两条直角边解直角三角形．
解(1)Rt△ABC中∵∠B30°a36∴∠A＝90°－∠B6０°∵cosB＝c＝＝２4∴b＝sinB·ｃ＝×24＝12
(2)Rｔ△ABC中∵ａ6b＝6∴tanＡ＝∴∠Ａ＝30°∴∠B６０°∴ｃ2a１２
方法总结解直角三角形时应求出未知元素解题时选择包含求元素两已知元素关系式求解
变式训练见学练优课时练课堂达标训练 第4题
类型二 构造直角三角形解决长度问题
副直角三角板图放置点CFD延长线AＢ∥CF∠Ｆ∠ＡＣB90°∠Ｅ＝30°∠Ａ４5°AC＝12试求CＤ长
解析：点B作BM⊥FD点Ｍ求出BMCM长度然△ＥFＤ中求出∠ＥDＦ60°利解直角三角形解答．
解点Ｂ作BM⊥ＦD点M△ＡCB中∠ＡCB90°∠Ａ45°AC＝1２∴BＣ＝AC＝1２∵AB∥ＣF∴BMsｉｎ４5°BC12×＝12ＣMＢM＝１2△EＦD中∠F＝9０°∠E30°∴∠EDF＝6０°∴ＭＤ＝４∴ＣD＝ＣＭ－ＭD１2－4
方法总结解答类题目关键根题意构造直角三角形然利学三角函数关系进行解答．
变式训练：见学练优课时练课巩固提升 第4题
类型三 运解直角三角形解决面积问题
图△AＢC中已知∠Ｃ＝90°sinＡD边AC点∠BDC＝４5°DC＝6求△AＢC面积．
解析：首先利正弦定义设BC＝3kAB７ｋ利BCCD3k６求k值求AB长然利勾股定理求AC长进步求解．
解∵∠C９０°∴Rｔ△AＢＣ中ｓinA＝设BC3kAB7k(k>0）Rt△ＢCD中∵∠ＢCD＝90°∴∠BDC４5°∴∠CBD∠BＤＣ４５°∴BC＝CＤ＝3k＝6∴k2∴AB＝14Rt△ABＣ中AC＝4∴S△ABＣAC·BC＝×４×612△ＡＢC面积１2
方法总结已知条件中线段利三角函数设出辅助未知数列方程解答
变式训练：见学练优课时练课堂达标训练第7题
探究点二解直角三角形综合
类型 解直角三角形等腰三角形综合
已知等腰三角形底边长周长2+求底角度数
解析：先求腰长作底边高利等腰三角形性质求底角余弦求底角度数．
解：图△ＡBＣ中AＢACBC＝∵周长2＋∴AB＝AＣ１A作ＡD⊥BC点DＢD＝Rｔ△ABD中cｏｓ∠ABD＝∴∠AＢＤ４５°等腰三角形底角4５°
方法总结：求角度数时考虑利特殊角三角函数值
变式训练见学练优课时练课巩固提升第２题
类型二 解直角三角形圆综合
已知图Rt△AOB中∠Ｏ9０°ＯＡ半径作⊙OBC切⊙Ｏ点C连接ＡＣ交ＯB点P．
（1)求证BPＢＣ
（2）sｉn∠PAOPC7求⊙O半径
解析(１）连接OC切线性质∠ＯCB９0°OＡ＝OC∠ＯCＡ∠ＯＡC∠AOB９0°出求证结(2)延长AO交⊙Ｏ点E连接CEＲt△AOＰRt△AＣＥ中根三角函数勾股定理列方程解答．
解：(1)连接OＣ∵ＢC⊙O切线∴∠OCB＝90°∴∠ＯCA+∠BＣA＝90°．∵OA＝OC∴∠ＯCA＝∠OＡC∴∠ＯAC+∠BＣA90°∵∠BOＡ＝90°∴∠ＯAC+∠APO＝9０°∵∠ＡＰＯ∠BPC∴∠BPC∠BCＡ∴BＣBP
(2)延长AO交⊙Ｏ点E连接CＥRt△AＯP中∵sin∠ＰAO设OＰ＝xAP3x∴AＯ2x∵AO＝ＯE∴OE２ｘ∴AE4ｘ．∵ｓin∠PＡO∴Ｒt△ＡCE中∴∴＝解x3∴AO＝2x＝６⊙O半径6
方法总结：题考查切线性质三角函数勾股定理等知识解决问题关键根三角函数定义结合勾股定理列出方程
变式训练：见学练优课时练课巩固提升第９题
三板书设计
1解直角三角形基类型解法
2．解直角三角形综合．
节课设计力求体现新课程理念学生探索时间宽松谐氛围学生学更动更轻松力求探索知识程中培养探索力创新精神合作精神激发学生学数学积极性动性
２8２2 应举例
第１课时 解直角三角形简单应
1通生活中实际问题体会锐角三角函数解题程中作(重点）
２．够实际问题转化数学问题建立数学模型运解直角三角形求解．（难点）
情境导入
倡导低碳生活常选择行车作代步工具图①示辆行车实物图图②辆行车部分示意图中车架档ACＣD长分45cｍ6０ｃm互相垂直座杆CE长20cm点ACＥ条直线∠CAB＝75°
求出车架档AD长？
二合作探究
探究点解直角三角形简单应
类型 求河宽度
根网消息益阳市改善市区交通状况计划康富路北端修建通资江北岸新桥．图新桥两端位ＡB两点张测量AB间河宽垂直新桥AＢ直线型道路l测数∠BDＡ７6．１°∠ＢCA６8２°ＣD＝82米．求AB长（精确0１米)．参考数：sin７61°≈097coｓ７6１°≈0２4taｎ７６1°≈4．0sｉｎ682°≈0．93cｏs68．2°≈0３７tan68２°≈25
解析：设ADxmAC＝（ｘ＋82)ｍRt△AＢC中根三角函数AB２5(x＋８2)ｍRt△ABＤ中根三角函数AB＝4x关x方程进步求解
解设AＤ＝xmＡC＝(x＋82)mRt△ABC中tan∠ＢＣA∴AＢAC·tan∠BＣA2５(x+82）Rt△ABD中ｔａｎ∠ＢDＡ＝∴ＡBAD·ｔan∠BDA4x∴25(ｘ＋８2）4x解x＝∴ＡB＝4x＝4×≈5467m．
答AB长约546７m
方法总结解题关键构造出直角三角形通测量角度数测量边长度计算出求物体高度长度．
变式训练见学练优课时练课堂达标训练 第３题
类型二 求达两点高度
图放置水桌面台灯灯臂AB长30cm灯罩BC长20cｍ底座厚度2cm灯臂底座构成∠BAD＝6０°发现光线佳时灯罩BC水线成角30°时灯罩顶端C桌面高度ＣE少(结果精确０１cm参考数≈1732)
解析首先点B作ＢF⊥ＣD点F作BG⊥AD点Ｇ进求出FC长求出BＧ长出答案．
解：点Ｂ作BF⊥CD点F作BG⊥AD点G∴四边形BＦDG矩形∴BGFＤ．Ｒt△BCＦ中∠CBF３０°∴CFBC·siｎ30°＝20×１0cｍRt△ABG中∵∠BＡG6０°∴BＧ＝AB·sin６0°30×＝１５cm∴CECF+FＤ＋ＤE＝10＋１５+21２＋15≈３8０(cｍ)
答时灯罩顶端C桌面高度CE约380cm
方法总结实际问题抽象数学问题画出面图形构造出直角三角形转化解直角三角形问题．
变式训练见学练优课时练课巩固提升第6题
类型三 方案设计类问题
锋家块四边形形状空(图③四边形ＡBCD)中AＤ∥BＣBC＝１．6ｍＡD55ｍCD５2ｍ∠Ｃ＝９0°∠A53°锋爸爸想买辆长4９m宽１9m汽车停放块空锋算算否行锋设计两种方案图①图②示
(1）请通计算说明锋两种设计方案否合理
(2)请利图③设计种锋行性方案说明理(参考数：sｉｎ５3°＝08ｃｏs５３°06tan53°）
解析：(１)方案1图①示Ｒt△AGE中正切函数求AG长进求DG长然汽车宽度较方案2图②示Ｒt△AＬＨ中正切函数求AL长进求DL长然汽车长度较(2)汽车行ＡB停放图③Rｔ△ＡMＮ中正弦函数求AM长进求DM长．Rt△PDM中余弦函数求PM长然汽车长度较
解(1)图①Rt△AＧE中∵∠A53°∴AG＝＝m≈3．68m∴DGADＡG55－368＝1８２m<１．9m方案合理图②Ｒt△ＡLH中∵∠A＝5３°LH＝19m∴ＡL＝≈１43m∴ＤＬ＝ＡDAL＝55１43＝4．０7ｍ＜49m方案合理
(2）图③DA点M作MＮ⊥AＢ点ＮCD点P作PＱ⊥AB点Q连ＰMＲt△AＭN中∵∠A＝５3°ＭN1９m∴ＡM＝≈２．4∴DM＝５5－２43．1mRt△PＤM中∵∠PＭＤ＝∠A５3°ＤM3１m∴PＭ≈５1ｍ＞４9m方案合理．
方法总结题利三角函数解决实际问题关键实际问题转化解直角三角形问题利三角函数解决问题．
变式训练：见学练优课时练课巩固提升第７题
三板书设计
1．求河宽物体高度
2应类问题
节课充分发挥学生观动性引导学生通组讨胆发表意见提高学生学数学兴趣．够学生构造实际问题中直角三角形模型通解直角三角形解决实际问题
28２2 应举例
第２课时 利仰俯角解直角三角形
１学生掌握仰角俯角意义学会正确判断(重点)
2初步掌握实际问题转化解直角三角形问题力(难点）
情境导入
实际生活中解直角三角形着广泛应例通常遇视线水线铅垂线构成直角三角形．测量时视线水线成角中视线水线方角做仰角水线方角做俯角天学仰角俯角关应性问题
二合作探究
探究点：利仰（俯)角解决实际问题
类型 利仰角求高度
星期天身高均16米红涛公园学知识测算座塔高度．图红站A处测塔顶C仰角α4５°涛站B处测塔顶Ｃ仰角β30°测出AB两点距离４15m假设眼睛离头顶10cｍ求塔高（结果保留根号）．
解析：设塔高ｘｍ利锐角三角函数关系出ＰM长利tａn３0°求出x值．
解：设塔底面中心O塔高xmMN∥AB塔中轴线相交点P△CPＭ△CPN直角三角形＝tan4５°∵ｔaｎ４5°1∴PMCPx－1．5Rｔ△ＣPN中ｔaｎ30°解x
答塔高m
方法总结：解决类问题解角角间关系找已知未知相关联直角三角形图形中没直角三角形时通作高垂线构造直角三角形
变式训练：见学练优课时练课堂达标训练 第7题
类型二 利俯角求高度
图两建筑物间旗杆EＧ高15米A点旗杆顶部E点恰矮建筑物墙角C点俯角α6０°A点测D点俯角β３0°旗杆底部G点BC中点求矮建筑物高ＣＤ
解析根点GBC中点判断ＥG△ABC中位线求出ABＲt△ＡBＣRt△AFＤ中利特殊角三角函数值分求出BCDF继求出CＤ长度
解：点D作DF⊥AF点F∵点GBC中点EG∥AB∴EG△ABＣ中位线∴AＢ2EＧ＝3０m．Rｔ△ABＣ中∵∠CＡB＝3０°∴BＣ＝ABtan∠BAＣ＝３0×10mRt△AFＤ中∵AF＝BC10m∴FDAF·tanβ10×1０m∴CD＝ABFD＝30－10＝20m
答矮建筑物高20m
方法总结：题考查利俯角求高度解答题关键构造直角三角形利三角函数知识求解相关线段长度．
变式训练见学练优课时练课堂达标训练第６题
类型三 利俯角求达两点间距离
图测量河宽度AB测量员高21ｍ建筑物CＤ顶端D处测河岸B处俯角４5°测河岸A处俯角30°(ABC条直线)河宽度AB约少ｍ（精确01m参考数：≈141≈1．73）
解析Ｒt△AＣＤ中根已知条件求出AC值Ｒt△BＣＤ中根∠EDB＝45°求出ＢC＝ＣD2１m根AB＝AＣ－BC代值计算
解∵Rt△ＡCD中CＤ＝２1ｍ∠ＤＡC＝30°∴ＡC＝２１m∵Ｒｔ△ＢＣD中∠EDB45°∴∠DBC＝4５°∴ＢCCＤ＝21m∴ＡB＝AC－ＢC＝21－21≈１5．3(ｍ)河宽度ＡB约1５3m
方法总结：解决类问题解角间关系找已知未知相关联直角三角形实际问题化直角三角形中边角关系问题加解决
变式训练：见学练优课时练课巩固提升 第3题
类型四 仰角俯角综合
某数学兴趣组学次数学活动中测量某建筑物AB高建筑物AB相距12m建筑物ＣDC处观察测建筑物顶部A仰角30°底部B俯角4５°求建筑物AＢ高(精确1m供选数≈14≈17)．
解析：点C作AB垂线CE垂足E根题意出四边形CＤBE正方形ＢD＝１2m知BＥ＝CE1２mAE＝CＥ·tａn3０°出AE长进出结．
解：点C作ＡB垂线垂足E∵CD⊥ＢDAB⊥ＢD∠ECB＝45°∴四边形CDBE正方形∵BD12m∴BE＝ＣE＝１2ｍ∴AEＣE·tan30°＝１２×＝4(m)∴AB４＋12≈1９(m）．
答：建筑物AＢ高１9m．
方法总结：题考查解直角三角形应中仰角俯角问题根题意作出辅助线构造出直角三角形解答题关键．
变式训练：见学练优课时练课巩固提升第７题
三板书设计
１．仰角俯角概念
2利仰角俯角求高度
3．利仰角俯角求达两点间距离
4仰角俯角综合．
备课时站学生角度思考问题设计教学程中细节．课前揣摩学生更参课堂教学程中学生体验思考程体验成功喜悦失败挫折舍课堂学生学生做课堂舞台角课堂更加鲜活充满性魅力课反思做反馈工作断总结失断进步样真正提高课堂教学效率
2822 应举例
第3课时 利方位角坡度解直角三角形
１知道测量中方位角坡角坡度概念掌握坡度坡角关系(重点）
2．够应解直角三角形知识解决方位角坡度关问题(难点)
情境导入
修路挖河开渠筑坝时设计图纸注明斜坡倾斜程度图坡面铅垂高度(h)水长度(l)做坡面坡度(坡)记作ｉｉ＝
坡度通常写成１∶m形式i＝1∶6坡面水面夹角做坡角记作αitanα．显然坡度越坡角α越坡面越陡．节课解决方面问题
二合作探究
探究点利方位角解直角三角形
类型 利方位角求垂直距离
图示AＢ两城市相距200ｋｍ现计划两座城市间修筑条高速公路(线段AB)测量森林保护中心PA城市北偏东3０°B城市北偏西45°方．已知森林保护区范围P点圆心100kｍ半径圆形区域请问：计划修筑条高速公路会会穿越保护区(参考数≈1．732≈1．414)
解析：点P作ＰC⊥AＢC垂足ＡＣＢC根三角函数PC表示出．根AB长关PC方程求出ＰC长．判断出条高速公路会会穿越保护区
解点P作PC⊥ABC垂足∠AＰＣ＝30°∠BPC4５°ACＰC·tan30°BCPC·ｔaｎ４５°∵ＡC＋BC＝AB∴PC·tan30°＋PＣ·tan45°＝２0０ＰC+PＣ200解ＰＣ≈１26．8km>100ｋｍ
答：计划修筑条高速公路会穿越保护区．
方法总结解般三角形问题般转化解直角三角形问题解决方法作高线．
变式训练：见学练优课时练课堂达标训练 第1题
类型二 利方位角求水距离
村村通公路工程拉城乡距离加速区农村济建设步伐．图示C村村民欲修建条水泥公路C村区级公路相连公路A处测Ｃ村北偏东６0°方区级公路前进５00ｍB处测C村北偏东30°方节约资源求修公路长度短画出符合条件公路示意图求出公路长度．(结果保留整数)
解析：作CD⊥ABDRt△ACＤ中题意∠CAD＝30°求ＡD．Rt△CBD中题意∠CＢＤ６0°求BＤADBD＝５０0解CＤ
解：图点C作CＤ⊥ＡB垂足落AB延长线CD修公路CD长度公路长度Rｔ△ACD中题意∠ＣAD＝3０°∵tan∠CAD＝∴AD＝＝ＣDRt△CＢＤ中题意∠CBD6０°∵tan∠CBD∴ＢＤＣD．∵ADBＤ５00∴CDＣD＝５00解ＣD≈4３3（m)．
答：修公路长度约4３3m．
方法总结解决关方位角问题中般根题意理清图形中角关系时方位角定直角三角形中需两直线行错角相等角余角等知识转化需角
变式训练：见学练优课时练课巩固提升第４题
探究点二利坡角坡度解直角三角形
类型 利坡角坡度解决梯形问题
图某水库坝横截面梯形ＡBCD坝顶宽BC3米坝高2米背水坡AB坡度ｉ＝1∶1迎水坡CD坡角∠ADC３0°求坝底AD长度
解析首先ＢＣ作ＢE⊥ADCF⊥ＡD四边形ＢEＦC矩形背水坡AB坡度ｉ＝１∶1迎水坡ＣD坡角∠ADＣ３0°根坡度定义求解．
解分ＢC作ＢＥ⊥ADCF⊥ＡD垂足EFBE∥CＦ∵BC∥ＡD∴BCEFＢECＦ题意EFＢC3BＥCＥ＝２∵背水坡AB坡度i＝1∶1∴∠ＢＡE＝45°∴AE2DF２∴ＡＤAE＋EF+DF2＋3＋2５＋２(ｍ)
答坝底AD长度(5+2）m
方法总结解决类问题般构造直角三角形助解直角三角形知识求解
变式训练见学练优课时练课堂达标训练第6题
类型二 利坡角坡度解决三角形问题
图某车库入口处斜坡ＡB坡度i1∶2斜坡ＡB长6m斜坡高度AH（AH⊥ＢC)行车更安全现斜坡坡角改造14°(图中∠ACB１４°)
（1)求车库高度AＨ
(2）求点Ｂ点Ｃ间距离(结果精确１ｍ参考数：sｉｎ14°≈024cos１4°≈0．9７taｎ１4°≈０25)．
解析(1)利坡度i＝1∶2出AH∶BH＝1∶２进利勾股定理求出AH长(2)利taｎ14°求出BC长．
解(1)题意AH∶BH＝1∶2设AH＝xBH２xｘ2＋(２x)2(6）2解x＝６车库高度AＨ6m
（2)∵AH＝6m∴BH＝2AH１２m∴CＨ＝ＢC+BHBC＋12mRt△ＡHC中∠AHC90°taｎ∠ACB∵∠ACB＝1４°∴ｔａn14°＝025解BC１2m．
答点B点C间距离１2ｍ
方法总结题考查解直角三角形应中坡度坡角问题明确坡度等坡角正切值解题关键
变式训练：见学练优课时练课巩固提升第６题
三板书设计
1．方位角意义
2坡度坡意义
3应方位角坡度坡解决实际问题
解直角三角形应实际生活中利培养学生空间想象力求学生通实物观察根文字语言中某条件画出适合图形．方面教学程应学生展开留学生思考时间学生充分思考空间时间学生积极动学．
29１ 投影
第1课时 行投影中心投影
1理解行投影中心投影特征（重点)
2．投影面画出面图形行投影中心投影(难点)
情境导入
北京宫中日晷闻名世界国光辉灿烂文化瑰宝．国古代利日影测定时刻仪器晷面晷针组成太阳光日晷中轴产生投影晷针影子会投晷面着时间推移晷针影长度发生变化晷针影子晷面慢慢移动聪明古显示时刻
节课学关投影知识．
二合作探究
探究点：行投影
类型 判断影子形状
列图形中表示两棵树时刻阳光影子图形（ )
解析选项A影子行较高树影子长度较低树影子正确选项B影子方相错误选项Ｃ影子方相错误选项Ｄ树高影子成正较高树影子长度较低树影子错误选A
方法总结行投影特点：时刻物体影子物体物高影长成例
变式训练：见学练优课时练课堂达标训练 第2题
类型二 行投影作图
某时刻操场三根测杆图示中测杆ＡＢ影子BC画出测杆MN影子ＮＰ测杆XY影子顶端恰落点B处XY＝MN找出XY位置请述问题画面示意图中简述画法
解析：物体顶点作光线行线物体行投影根行投影中物体投影面行时投影全等找XY位置．
解：连接AＣ点M作MP∥ＡC交NC点PNPＭN影子．点Ｂ作ＢX∥ＡCＢX＝ＭPX作XＹ⊥ＮC交NＣ点YXY求．
方法总结：先根物体投影确定光线然利两物体顶端影子应点连线组行线物体顶端作行线面相交确定影子．
变式训练：见学练优课时练课堂达标训练第4题
类型三 行投影相关计算
李航想利太阳光测量楼高带着皮尺栋楼发现面墙栋楼影子针种情况设计种测量方案具体测量方法示意图李航边移动边观察发现站点Ｅ处时落墙影子栋楼落墙影子重叠高度恰相时测李航落墙影子高度CＤ1．2ｍCＥ0．６mＣA30ｍ(点AEC直线)已知李航身高ＥＦ1．6m请帮李航求出楼高AB
解析：点D作DN⊥AB四边形ＣDＭEＡCＤN矩形证明△ＤFM∽△DBN出BN进求AB长．
解：点D作DN⊥AB垂足N交EFM点∴四边形ＣDＭEAＣDN矩形∴AN＝ME＝CD＝1．2ｍDN＝AC＝30mDM＝CＥ＝06m∴MF＝ＥF－ME１61２０．4m∵ＥＦ∥AB∴△ＤFM∽△DＢN＝∴BN＝20m∴AＢ＝BN+AN20+１2２１．2m．
答楼高2１．２m．
方法总结时刻物体高度影长关系：．
变式训练：见学练优课时练课巩固提升第6题
探究点二：中心投影
类型 判断否中心投影
面属中心投影( ）
A太阳光树影 B皮影戏
Ｃ月光房屋影子 Ｄ．海日出
解析中心投影光源灯光行投影光源阳光月光．选项中B选项投影中心投影选B．
方法总结：判断投影中心投影方法光线否相交点果光线相交点投影中心投影
变式训练：见学练优课时练课堂达标训练第６题
类型二 判断影长情况
晚亮路灯散步亮远处走灯远离路灯程中影子（ )
A．逐渐变短 B．先变短变长
C．先变长变短 D．逐渐变长
解析晚亮路灯散步亮远处走灯时候影子长变短远离路灯时候影子短变长选B
方法总结：中心投影光线特点点出发投射线物体投影面行时投影放(位似变换)关系．
变式训练：见学练优课时练课堂达标训练第5题
类型三 中心投影作图
图明爸爸(线段AB)爷爷(线段CD)路灯情景粗线分表示三影子．请根求进行作图(写画法保留作图痕迹)
(1)画出图中灯泡位置
（2)图中画出明身高．
解析(1)利中心投影图形性质连接应点出灯泡位置(2)根灯泡位置出明身高
解(1)图示：O灯泡位置
(2)图示ＥF明身高
方法总结：连接物体影子顶端形成直线必定点光源
变式训练：见学练优课时练课堂达标训练第8题
类型四 中心投影相关计算
图王华晚路灯AB处走C处时测影子CD长1m继续前走3米达E处时测影子EF长2ｍ已知王华身高１５m求路灯A高度AB
解析：根时刻物高影长成正时刻两物体影子物体顶部光线三者构成两直角三角形相似解答
解：王华ＣG处时Ｒt△ＤCG∽Rｔ△DBA＝王华ＥＨ处时Rt△FEH∽Rt△FＢＡ＝＝∴．∵CG＝EＨ15mCＤ１ｍCE3mEF2ｍ设ABxBCy∴＝解y＝3检验y3原方程根．∵＝解ｘ6m路灯Ａ高度AB6m
方法总结：解题关键利中心投影特点知两组相似三角形中组公边利作相等关系求出需线段求公边长度
变式训练见学练优课时练课巩固提升第7题
三板书设计
1．行投影定义应
2中心投影定义应
节探索合作交流设计线皮影戏手影日晷等学生熟悉生活实际出发引入物体投影相关概念通观察图片等活动学生认识中心投影行投影区联系加强动学数学兴趣体现数学应价值
29．1 投影
第２课时 正投影
1．理解正投影概念(重点）
2纳正投影性质正确画出简单面图形正投影．（难点)
情境导入
观察图三图分表示块三角尺阳光射形成投影中图①图②③投影线什区图②③投影线投影面位置关系什区
二合作探究
探究点：正投影
类型 确定正投影形状
图示左面水杯杯口投影面行投影线方箭头示正投影图( )
解析题意光线垂直D符合选Ｄ
方法总结：投影面垂直入射光线时球体投影圆形否椭圆形．投影面面投影形状复杂．
变式训练见学练优课时练课堂达标训练 第2题
类型二 物体正投影关系
木棒长12m正投影长定（ )
Ａ１2m B1２m
C．等1．2ｍ D等1２m
解析正投影长度木棒摆放角度关样摆会超12 m选Ｄ
方法总结：线段行投影面时正投影原线段相等线段行投影面时正投影原线段．
变式训练：见学练优课时练课堂达标训练第6题
类型三 画投影面正投影
画出列立体图形投影线方射方正投影
解析：第图投影线方射方正投影长方形第二图投影线方射方正投影长方形第三图投影线方射方正投影圆圆心
解图示：
方法总结画图时定物体边缘棱顶点体现出见轮廓线画成实线见画成虚线漏掉
变式训练见学练优课时练课堂达标训练第４题
探究点二：正投影综合应
类型 正投影勾股定理综合
长8cｍ木棒ＡＢ已知AＢ行投影面α投影线垂直α．
(１)求影子A1Ｂ1长度（图①)
(２）木棒绕端点Ａ逆时针旋转３０°求旋转木棒影长A2B2(图②)
解析：根行投影正投影定义解答．
解图①A１B1AB８ｃm
图③作ＡE⊥BB2E四边形AA2Ｂ2E矩形∴A2B2ＡE△ABE直角三角形．∵AＢ8ｃm∠BＡＥ30°∴BE＝4cｍＡE＝4cm∴A2B24cm．
方法总结线段行投影面时正投影原线段相等线段行投影面时正投影原线段解直角三角形求投影长度
变式训练见学练优课时练课堂达标训练第８题
类型二 正投影相似三角形综合
长宽4m高3m房间正中央天花板悬挂着白炽灯泡集中光线加灯罩(图示)已知灯罩深ＡＮ８cm灯泡离面２m光线恰相墙角ＤE处灯罩直径BC应少（结果保留两位数≈1414）
解析：根题意画出图形AN＝00８mAM2ｍ房间面边长４m正方形计算出DE长根△ABC∽△AＤE利相似三角形应边成例解答．
解：图光线恰墙角DE处ＡＮ＝008mAM2m房间面边长4m正方形DE4m∵BＣ∥DＥ∴△ABＣ∽△ADＥ∴＝＝∴BC≈0２3(m)
答：灯罩直径BC约０23m
方法总结：解决问题关键画出图形根图形相似性质判定解题
变式训练：见学练优课时练课巩固提升第7题
三板书设计
１正投影概念性质
2正投影综合应
节课学案设计力求具体生动直观．学生操作观察实物模型图片等活动．通观察铁丝圆柱圆锥等图形位置时正投影特征纳出物体正投影般规律根规律画出简单面图形正投影．介绍投影概念时助太阳光线进行投影实例观察样仅直观富真实感激发学生学兴趣
292 三视图
第１课时 三视图
1会投影角度理解视图概念 （重点)
2会画简单体三视图（难点)
情境导入
图示直三棱柱侧棱水投影面垂直请伴起探讨面问题：
（１)水投影面投影面正投影直三棱柱三条侧棱投影什图形？
(2）画出直三棱柱水投影面正投影投影什图形直三棱柱底面什关系？
水投影完全反映物体形状需投影面？
物体正投影方反映物体形状全面反映物体形状常常选择正面侧面两投影面天学三面投影相关知识
二合作探究
探究点：简单体三视图
类型 判断俯视图
面体中俯视图三角形( )
解析：选项A．长方体俯视图长方形错误选项Ｂ圆锥俯视图带圆心圆错误选项C圆柱俯视图圆错误选项D三棱柱俯视图三角形正确选Ｄ
方法总结水面观察物体视图俯视图．
变式训练：见学练优课时练课堂达标训练 第1题
类型二 判断视图
面体中视图三角形（ ）
解析：选项Ａ视图长方形错误选项B．视图长方形错误选项Ｃ视图三角形正确选项Ｄ视图长方形中间条线错误选Ｃ
方法总结：物体三投影面时进行正投影正面前观察物体视图视图
变式训练：见学练优课时练课堂达标训练 第3题
类型三 判断左视图
面四体中左视图视图相体( ）
解析选项A正方体左视图视图正方形合题意选项Ｂ长方体左视图视图矩形矩形长宽样符合题意选项C．球左视图视图圆合题意选项Ｄ圆锥左视图视图等腰三角形合题意选Ｂ
方法总结视图左视图分物体正面左面图形．
变式训练见学练优课时练课堂达标训练第４题
探究点二：简单组合体三视图
四相立方体搭体求体视图左视图俯视图中少两种视图形状相列四种摆放方式中符合求（ )
解析选项A体视图俯视图合题意选项B体视图左视图合题意选项C．体视图左视图合题意选项D．体视图俯视图左视图符合题意选D
方法总结视图左视图俯视图分正面左面面图形理解定义解决问题关键．
变式训练：见学练优课时练课堂达标训练第5题
探究点三：画图形三视图
分画出图中体视图左视图俯视图．
解析正面左右4列正方形数次1３１１左面左右３列正方形数次311面左右4列正方形数次1311
解：图示
方法总结画三视图步骤①确定视图位置画出视图②视图正方画出俯视图注意视图长正③视图正右方画出左视图注意视图高齐俯视图宽相等．注意体见部分轮廓线画成实线部分遮挡见部分轮廓线画成虚线
变式训练：见学练优课时练课巩固提升第７题
三板书设计
1视图俯视图左视图概念
２三视图画法
节课力求突出具体生动直观学生亲操作观察实物模型图片等活动．媒体教学学生更直观感受知识激发学兴趣次教学程中丰富学生观察操作猜想想象交流等活动验培养学生观察力想象力提升空间观念
292 三视图
第2课时 三视图确定体
1会根俯视图画出体视图左视图 (重点)
2．体会立体图形面视图效果会根三视图原立体图形（难点）
情境导入
学生出准备六正方体搭体然学生画出体俯视图选择位学生台演示黑板画出俯视图（右图）教师正方体标数字说明数字含义
问根面俯视图画出体视图左视图学速度快．
二合作探究
探究点：三视图确定体
类型 根三视图判断简单体
体三视图图示体( )
Ａ四棱锥 B四棱柱
C．三棱锥 D．三棱柱
解析视图两矩形组成左视图矩形俯视图三角形出该体三棱柱．选D．
方法总结三视图想象体形状首先应分根视图俯视图左视图想象体前面面左侧面形状然综合起考虑整体形状
变式训练：见学练优课时练课堂达标训练 第1题
类型二 三视图判断实物图形状
列三视图应实物图( )
解析俯视图出实物图面部分长方体面部分圆柱圆柱面长方体顶面两边相切长方体高度相C满足两点选C．
方法总结视图左视图俯视图分物体正面左面面图形题注意圆柱高长方体高关系．
变式训练：见学练优课时练课堂达标训练第3题
类型三 根俯视图中正方形数判断三视图
图立方体搭成体俯视图正方形中数字表示该位置立方体数体视图( )
解析俯视图知立方体搭成体图示：知选项D体视图．
方法总结俯视图想象出体形状然三视图求出该体视图侧视图
变式训练：见学练优课时练课堂达标训练第４题
类型四 视图俯视图判断组成正方体数
图相正方体搭成体视图俯视图组成体正方体数( )
Ａ56 B．67
C．7８ D．8９
解析：俯视图底层4正方体视图面层23正方体组成体正方体数67选B
方法总结：运观察法确定该体列列正方体数解题关键
变式训练见学练优课时练课堂达标训练第2题
类型五 三视图判断组成物体正方体数
干相立方体搭成体三视图图示组成该体立方体（ ）
A．3块 Ｂ４块 C．5块 D６块
解析：俯视图易底层３立方体第二层1立方体组成该体立方体3＋1＝4()选B
方法总结解决类问题时助三种视图表示物体特点视图弄清物体左右形状俯视图弄清物体左右前形状左视图弄清物体前形状综合分析合理猜想结合生活验描绘出草图检验否符合题意
变式训练见学练优课时练课巩固提升 第3题
类型六 三视图确定体探究性问题
(１）请画出符合图示体两种左视图
(2)组成体正方体块数n请写出ｎ值．
解析(1)俯视图该体2行左视图应2列视图3层中列必3正方体列少13
(２)俯视图该组合体3列2行底层正方体数摆放形状视图结合俯视图左边数第２列第２层少1正方体2正方体第３列第2层少1正方体2正方体第３层少１正方体２正方体分相加组成组合体少数数n值
解：（1)图示：
(２)∵俯视图5正方形∴底层5正方体视图第2层少2正方体第3层少１正方体第2层4正方体第3层2正方体∴该组合体少５+2+1＝8正方体５+4+21１正方体∴n89１０１１．
方法总结：解决题明确俯视图中正方形数体底层正方体数
变式训练见学练优课时练课巩固提升第8题
三板书设计
1．三视图判断体形状
2．三视图判断体组成．
课时设计然涉知识丰富忽略学生接受力教学程中需老师加引导．通老师点评出解决问题办法教学中断完善教学水进步提高
２９2 三视图
第３课时 三视图确定体面积体积
1根三视图求体侧面积表面积体积等(重点)
2解决实际生活中面积体积等方面关实际问题．(难点)
情境导入
已知某混凝土道三视图根三视图确定浇灌段种道需混凝土体积(π＝314)
二合作探究
探究点三视图确定体面积体积
类型 三视图求体侧面积
已知图体三视图：
(１)写出体名称
(２）正面长10cm面圆直径4cm求体侧面积(结果保留π)．
解析(1）根该体视图左视图矩形俯视图圆确定该体圆柱（2)根告诉体尺寸确定该体侧面积．
解(１)该体圆柱
(2)∵正面长１0cm面圆直径４cｍ∴该圆柱底面直径4cｍ高10cm∴该体侧面积2πrh＝2π×２×10４0π(cm2）
方法总结：解题时明确侧面积计算方法圆柱侧面积＝底面周长×圆柱高．
变式训练：见学练优课时练课堂达标训练 第3题
类型二 三视图求体表面积
图两长方体组合成立体图形三视图根图中标尺寸（单位：mm)求体表面积
解析先三视图两长方体长宽高分表示出长方体表面积减面长方体面长方体接触面面积
解：根三视图：面长方体长6mm高6mm宽３ｍm面长方体长１0mｍ宽8mm高３ｍｍ体表面积２×(3×8+3×１0+8×1０)+2×(3×６＋6×6)２６８+10８３７６（mm2)
答：体表面积376mm2．
方法总结：三视图求体表面积首先根三视图分析体形状然根三视图投影规律—长正高齐宽相等确定体长宽高等相关数值根相关公式计算体面积．注意：求解组合体表面积时重叠部分应计算．
变式训练见学练优课时练课堂达标训练 第4题
类型三 三视图求体体积
某空间图形三视图图示中视图半径１半圆高１矩形左视图半径1四分圆高1矩形俯视图半径1圆求图形体积(参考公式V球πR3)．
解析：已知中三视图判断出该体形状部底面半径1高1圆柱部半径1球组成组成体代入圆柱体积公式球体积公式答案
解：已知该体部圆柱部球组合体．三视图部圆柱底面半径1高1V圆柱＝π部球半径１Ｖ球＝π体体积．
方法总结：三视图求体体积首先根三视图分析体形状然根三视图投影规律长正高齐宽相等确定体长宽高等相关数值．根相关公式计算体部分体积求
变式训练见学练优课时练课堂达标训练第6题
类型四 三视图确定体面积体积实际应
杭州某零件厂刚接铸造500０件铁质工件订单面出种工件三视图．已知铸造批工件原料生铁工件铸成表面涂层防锈漆完成批工件需原料生铁少吨涂完批工件消耗少千克防锈漆(铁密度7．8gcm31kｇ防锈漆涂4m2铁器面三视图单位cm)
解析：视图左视图出体前两部分组成呈T字形状该体成两长方体计算．
解∵工件体积(30×10+１0×10)×20＝80０0ｃm3∴重量8000×78＝6２4００(g)＝6２4(kg)∴铸造５000件工件需生铁500０×624＝３1２000(kg)＝312(t）．∵件工件表面积2×(3０×２0＋2０×20＋10×30+10×10)＝２８00ｃm2＝028m２∴涂完全部工件需防锈漆500０×028÷435０（kg)
方法总结：题考查三视图确定体求体面积关键体形状求等量关系相应值
变式训练见学练优课时练课巩固提升第７题
三板书设计
1．三视图求体侧面积
2．三视图求体表面积
３三视图求体体积
节重引导学生总结解决类问题方法规律探究实质．组讨程中学生解三视图中相关数应关系长正高齐宽相等找解决问题根通具体例题学生进行练巩固学效果
29３课题学 制作立体模型
1根简单物体三视图制作原实物图形(重点)
2根实物图制作展开图根展开图确定实物图．（难点)
情境导入
面组面图形四等边三角形组成
(1)指出中折叠成面体面图形描纸剪叠叠验证答案
(2）画出面图形折叠成面体三视图指出三视图中样体现长正高齐宽相等
(3)果图中三角形边长1应面体体积表面积少？
二合作探究
探究点根三视图判断立体模型
类型 三视图立体图形
图实物某种状态三视图应实物图应( ）
解析：俯视图出直观图面部分圆台左视图视图出站立圆台Ａ满足两点选A
方法总结题考查三视图识判断熟记简单体三视图解答题关键
变式训练：见学练优课时练课堂达标训练第1题
类型二 根三视图判断实物组成情况
学校卖部货架摆放着某品牌方便面三视图图货架方便面少（ )
A．７盒 B．8盒 C．９盒 D1０盒
解析观察图形第层４盒第二层少2盒第三层少1盒少7盒．选Ａ
方法总结：考查三视图掌握程度灵活运力时考查空间想象力
变式训练见学练优课时练课堂达标训练第2题
类型三 综合性问题
图体三方形状图．
（１)写出体名称
(2)画出种表面展开图
(3)正面高３cｍ面三角形边长2cm求体侧面积
解析：(1)棱柱视图左视图出现长方形根俯视图三角形体三棱柱(2）体表面展开图三长方形两三角形组成(3)侧面积3长方形组成长宽分３cm2cm计算出长方形面积3
解(1)正三棱柱
（２)图示
(3）３×3×218（cm2）
答体侧面积18ｃm２．
方法总结：题考查三视图确定体求体侧面积等相关知识关键知道棱柱侧面长方形底面边形棱柱
变式训练见学练优课时练课堂达标训练第8题
探究点二：面图展开折叠
类型 根展开图判断原实物体
图示立体图形展开图请写出应体名称．
解析：题解答程中动手进行折纸根常见立体图形面展开图特征做出判断．
解体分五棱柱圆柱圆锥．
方法总结：熟练掌握常见立体图形面展开图特征解决类问题关键
变式训练：见学练优课时练课巩固提升第4题
类型二 判断体展开图
图示四幅面图中三棱柱表面展开图 _＿_＿＿＿_＿(填序号）．
解析三棱柱两底展开三角形侧面展开三矩形根题设知①②③符合题意答案①②③
方法总结题考查体展开图注意两底面面展开两全等三角形侧面展开三矩形
变式训练：见学练优课时练课堂达标训练第6题
类型三 展开折叠综合性问题
图正方体表面展开图标注A字母正方体正面果正方体左面右面标注数相等
（1)求ｘ值
（2）求正方体面底面数字．
解析：(1)正方体表面展开图相面间定相隔正方形确定出相面然列出方程求解（２)确定出面底面两数字3１然相加．
解根正方体表面展开图中相面间定相隔正方形A2相面3１相面ｘ3x－2相面
(１)∵正方体左面右面标注数字相等∴ｘ＝３x－2解x＝1
(2）∵标注Ａ字母正方体正面左面右面标注数字相等∴面底面两数字３1∴面底面数字３+14．
方法总结题考查正方体相两面数字注意正方体空间图形相面入手分析解答问题．
变式训练：见学练优课时练课巩固提升第2题
三板书设计
学目
二工具准备
三具体活动
四课题拓广
三视图面展开图方式描绘立体图形生产实际中直接应．解方面例子丰富实践知识进步认识三视图面展开图．
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