数学破题36计
第27计 方程开门 欲擒
●计名释义
数学顾名思义关数科学数运算求值成数学首容数学干容——函数方程等式关数容
方程函数两方研究数关系映射角度问题函数研究数象方程相反研究象数（原象）
方程解题步骤：（1）设x 数（原象x）先作假设（2）放x 假x放函数（笼子）中(3)关x 函数解析式运算列出等式——方程（笼子关闭）(4)擒x解方程x抓出
●典例示范
例1 求二项式展开式中常数项
分析 数学运算中求值问题解决问题工具函数方程式设方程先找函数
解答 二项展开式通项公式Tr+1C
插语 n常数条件关r函数式T（r)f(r)
续解 Tr+1Cr…（1）rCx
欲Tr+1常数须0
插语 函数值满足条件转入方程
续解 解方程r4求常数项T5(1)4C210
点评 欲擒方程解题基策略欲擒体现列方程体现象放函数中入套
例2 求sin20°cos70°+sin10°sin50°值
解答 令xsin20°cos70°+sin10°sin50°构造应偶式ycos20°sin70°+cos10°cos50°
x+y（sin20°cos70°+cos20°sin70°)+(sin10°sin50°+cos10°cos50°)
sin90°+cos40°1+cos40° ①
xy（sin20°cos70°cos20°sin70°）+(sin10°sin50°cos10°cos50°)
sin(20°70°)+cos(10°+50°)cos40°] ②
①+②xsin20°cos70°+sin10°sin50°
点评 构造方程组利偶方程组解决问题充分助方程思想解题方法
例3 已知双曲线C：（1a2)x2+a2y2a2(a>1)设该双曲线支顶点A支直线
yx相交P点条A焦点M(0m)顶点开口抛物线通点P 设PM斜率k≤k≤求实数a取值范围
解答 双曲线方程知A(01)抛物线方程 x24(m1)(ym)
双曲线直线相交解点P坐标(aa)点P抛物线
∴a24(m1)(am) ①
MP斜率kmak+a
mak+a代入①a24(ak+a1) (ak)
4ak2+4(a1)ka0 ②
根题意方程②区间[]实根
令f (k)4ak2+4(a1)ka称轴方程 k<0
∴≤a≤4 ∴实数a取值范围［4］
点评 根直线圆锥曲线位置关系构造含参数方程转化根分布问题求解
例4 （Ⅰ）已知数列{cn}中cn2n+3n数列{cn+1pcn}等数列求常数p值（Ⅱ）设{an}{bn}公相等两等数列cnan+bn求证：数列{cn}等数列
解答 （Ⅰ）题意知c2pc1c3pc2c4pc3成等数列
∴(c3pc2)2(c2pc1)(c4pc3)展开整理 (c22c1c3)p2+(c1c4c2c3)p+c23c2c40
c15c213c335c497代入式p25p+60解p2p3
p2时3 p3时2均适合
满足条件p值23
（Ⅱ）假设数列{cn}等数列c22c1c3(a2+b2)2(a1+b1)(a3+b3)
(a1q+b1r)2(a1+b1)(a1q2+b1r2)中qr分{an}{bn}公
化简整理a1b1r2+a1b1q22a1b1qr0(qr)20解qr
题设中两数列公相等矛盾数列{cn}等数列
点评 里选取等数列前三项根等中项意义列方程求出p值验证般情况第(Ⅱ)问反证法中通构建方程获证
●应训练
1设(2x)5a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5a1+a3+a5
2已知椭圆1(a>b>0)AB椭圆两点线段AB垂直分线x轴交点
P(x00)求证：
3设{an}等差数列Sn数列{an}前n项已知S77S1575Tn数列前n项求Tn
●参考答案
1分析 式二项式展开式中偶数项系数偶数项二项式系数直接二项式系数性质求解赋值法构造方程求解
解：f (x)(2x)5a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5
令x1：f (1)(21)5a0+a1+a2+a3+a4+a51 ①
令x1f (1)［2(1)］5a0a1+a2a3+a4a535 ②
两式相加2：a1+a3+a5121
2证明 AB中点M
AB垂直分线l：yk(xx0) ①
lx轴相交k≠0kAB
kOM·（）kOM
∴OM直线方程yx代入①xk(xx0)
证结变方程解椭圆取值范围问题
述方程解xx0 (x点M横坐标)
点M椭圆1部a解点评 方程思想解决某范围问题特简单容易找出问题突破口
3设等差数列{an}前n项Snan2+bn
S77S1575解ab
∴Snn2n ∴
∴数列首项2公差等差数列
Tnn2 n
点评 等差数列（公差0）前n项公式关n二次函数等差数列前n项直接设Snan2+bn形式达化繁简目
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第27计 方程开门 欲擒
●计名释义
数学顾名思义关数科学数运算求值成数学首容数学干容——函数方程等式关数容
方程函数两方研究数关系映射角度问题函数研究数象方程相反研究象数（原象）
方程解题步骤：（1）设x 数（原象x）先作假设（2）放x 假x放函数（笼子）中(3)关x 函数解析式运算列出等式——方程（笼子关闭）(4)擒x解方程x抓出
●典例示范
例1 求二项式展开式中常数项
分析 数学运算中求值问题解决问题工具函数方程式设方程先找函数
解答 二项展开式通项公式Tr+1C
插语 n常数条件关r函数式T（r)f(r)
续解 Tr+1Cr…（1）rCx
欲Tr+1常数须0
插语 函数值满足条件转入方程
续解 解方程r4求常数项T5(1)4C210
点评 欲擒方程解题基策略欲擒体现列方程体现象放函数中入套
例2 求sin20°cos70°+sin10°sin50°值
解答 令xsin20°cos70°+sin10°sin50°构造应偶式ycos20°sin70°+cos10°cos50°
x+y（sin20°cos70°+cos20°sin70°)+(sin10°sin50°+cos10°cos50°)
sin90°+cos40°1+cos40° ①
xy（sin20°cos70°cos20°sin70°）+(sin10°sin50°cos10°cos50°)
sin(20°70°)+cos(10°+50°)cos40°] ②
①+②xsin20°cos70°+sin10°sin50°
点评 构造方程组利偶方程组解决问题充分助方程思想解题方法
例3 已知双曲线C：（1a2)x2+a2y2a2(a>1)设该双曲线支顶点A支直线
yx相交P点条A焦点M(0m)顶点开口抛物线通点P 设PM斜率k≤k≤求实数a取值范围
解答 双曲线方程知A(01)抛物线方程 x24(m1)(ym)
双曲线直线相交解点P坐标(aa)点P抛物线
∴a24(m1)(am) ①
MP斜率kmak+a
mak+a代入①a24(ak+a1) (ak)
4ak2+4(a1)ka0 ②
根题意方程②区间[]实根
令f (k)4ak2+4(a1)ka称轴方程 k<0
∴≤a≤4 ∴实数a取值范围［4］
点评 根直线圆锥曲线位置关系构造含参数方程转化根分布问题求解
例4 （Ⅰ）已知数列{cn}中cn2n+3n数列{cn+1pcn}等数列求常数p值（Ⅱ）设{an}{bn}公相等两等数列cnan+bn求证：数列{cn}等数列
解答 （Ⅰ）题意知c2pc1c3pc2c4pc3成等数列
∴(c3pc2)2(c2pc1)(c4pc3)展开整理 (c22c1c3)p2+(c1c4c2c3)p+c23c2c40
c15c213c335c497代入式p25p+60解p2p3
p2时3 p3时2均适合
满足条件p值23
（Ⅱ）假设数列{cn}等数列c22c1c3(a2+b2)2(a1+b1)(a3+b3)
(a1q+b1r)2(a1+b1)(a1q2+b1r2)中qr分{an}{bn}公
化简整理a1b1r2+a1b1q22a1b1qr0(qr)20解qr
题设中两数列公相等矛盾数列{cn}等数列
点评 里选取等数列前三项根等中项意义列方程求出p值验证般情况第(Ⅱ)问反证法中通构建方程获证
●应训练
1设(2x)5a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5a1+a3+a5
2已知椭圆1(a>b>0)AB椭圆两点线段AB垂直分线x轴交点
P(x00)求证：
3设{an}等差数列Sn数列{an}前n项已知S77S1575Tn数列前n项求Tn
●参考答案
1分析 式二项式展开式中偶数项系数偶数项二项式系数直接二项式系数性质求解赋值法构造方程求解
解：f (x)(2x)5a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5
令x1：f (1)(21)5a0+a1+a2+a3+a4+a51 ①
令x1f (1)［2(1)］5a0a1+a2a3+a4a535 ②
两式相加2：a1+a3+a5121
2证明 AB中点M
AB垂直分线l：yk(xx0) ①
lx轴相交k≠0kAB
kOM·（）kOM
∴OM直线方程yx代入①xk(xx0)
证结变方程解椭圆取值范围问题
述方程解xx0 (x点M横坐标)
点M椭圆1部a
3设等差数列{an}前n项Snan2+bn
S77S1575解ab
∴Snn2n ∴
∴数列首项2公差等差数列
Tnn2 n
点评 等差数列（公差0）前n项公式关n二次函数等差数列前n项直接设Snan2+bn形式达化繁简目
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