数学破题36计
第17计 化开门 江山统
●计名释义
整数法口诀：2×365×735整数法法分数法口诀分数样作法呢？原进行转化变成分子分母整数法
化思想连学生老师问学生：前100偶数少？学生回答：10100
老师问？学生回答：前100然数：
2+4+…+2002×（1+2+…+100）2×505010100
数学解题中化法复杂简单化陌生熟悉化未知已知化●典例示范
例1 已知数列{an}中a11an+12an+1求数列通项公式前n项Sn
分析 数列等差数列等数列中含等差数列含等数列：递推式中常数1掉变成等数列系数2换成1变成等差数列破题工作化寻找入口：等（等差）数列转换
解答 递推式an+12an+1两边加1化(an+1+1)2(an+1)数列{an+1}等数列公q2 an+12n1(a1+1)an2n1Sn2nn1
插语 数列般形式：an+1kan+b(k≠01b≠0)称等差数列等差等数列特例分k1b0时特殊情况换元法化等数列常数匹配定系数法求：
设an+1+ck(an+c)kan+kcan+1kan+kcckccbc
题b1k2解c1
点评 化开门体现题中：熟悉等差数列化熟悉等数列解化采办法换元实际an+1+cbn+1kbn
说滑稽中学生讲等（等差）化什出路呢？
例2 已知三条抛物线yx2+4ax4a+3yx2+(a1)x+a2yx2+2ax2a中少条抛物线x轴交点求实数a取值范围
解答 解答题果正面入手分条抛物线两条抛物线三条抛物线x轴交点三类七种情况加讨程十分繁琐果转化反面思考考虑三条抛物线x轴相交解列等式组：
原命题成立实数a取值范围a≤
点评 数学问题果直接正面入手求解难度较致解题思路受阻果转化考虑问题反面问题轻松解决数学解题中反证法补集法等体现种思想
例3 已知abc均正整数a2+b2+c2+48<4a+6b+12c求值解答 原等式两边均正整数等式a2+b2+c2+48<4a+6b+12c等式a2+b2+c2+48+1≤4a+6b+12c等价等价等式化(a2)2+(b3)2+(c6)2+(c6)2≤0
点评 等式等式应转化转化数学问题常效手段
●应训练
1空间两条异面直线ab成角ab意点P作条直线c直线c直线ab成相等角θθ取值范围 ( )
Aθ∈Φ Bθ∈{}
Cθ∈［] Dθ∈［］
2抛物线yax2(a>0)焦点F作直线交抛物线PQ两点线段PFFQ长分pq等 （ ）
A2a B C4a D
3函数f (x)满足意实数xyf (x)+f (y)x<0时f (x)>0
求证：
●参考答案
1解析 三维空间考虑该问题
显千头万绪右图示
直线b意点A作直线
a′∥aa′b确定面a
点P移动A点问题便转化
A点作条直线c′直线a′b
成角均θ求θ取值范围
易知直线c′面a时 第1题解图
直线c′a′b成角c′⊥a时直线c′a′b成角选D
2解析 般解法先求出焦点F坐标（0)然直线PQ方程抛物线方程联立求出pq值运算程繁杂容易出错
般性PQ直线方程转化特殊性方程取PQx轴行方程y快选出正确答案C应相类选择题填空题者赋予变量特殊值者符合般条件特殊点中求正确答案种般特殊转化常常收事半功倍效果
3证明 易证f (x)奇函数x>0时f (x)<0先入手题设条件转化
整体处理等式左端数列
题意恒
原等式成立
点评 题融函数数列等式体正确解答题关键注意整体式局部数列通项转化
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第17计 化开门 江山统
●计名释义
整数法口诀：2×365×735整数法法分数法口诀分数样作法呢？原进行转化变成分子分母整数法
化思想连学生老师问学生：前100偶数少？学生回答：10100
老师问？学生回答：前100然数：
2+4+…+2002×（1+2+…+100）2×505010100
数学解题中化法复杂简单化陌生熟悉化未知已知化●典例示范
例1 已知数列{an}中a11an+12an+1求数列通项公式前n项Sn
分析 数列等差数列等数列中含等差数列含等数列：递推式中常数1掉变成等数列系数2换成1变成等差数列破题工作化寻找入口：等（等差）数列转换
解答 递推式an+12an+1两边加1化(an+1+1)2(an+1)数列{an+1}等数列公q2 an+12n1(a1+1)an2n1Sn2nn1
插语 数列般形式：an+1kan+b(k≠01b≠0)称等差数列等差等数列特例分k1b0时特殊情况换元法化等数列常数匹配定系数法求：
设an+1+ck(an+c)kan+kcan+1kan+kcckccbc
题b1k2解c1
点评 化开门体现题中：熟悉等差数列化熟悉等数列解化采办法换元实际an+1+cbn+1kbn
说滑稽中学生讲等（等差）化什出路呢？
例2 已知三条抛物线yx2+4ax4a+3yx2+(a1)x+a2yx2+2ax2a中少条抛物线x轴交点求实数a取值范围
解答 解答题果正面入手分条抛物线两条抛物线三条抛物线x轴交点三类七种情况加讨程十分繁琐果转化反面思考考虑三条抛物线x轴相交解列等式组：
原命题成立实数a取值范围a≤
点评 数学问题果直接正面入手求解难度较致解题思路受阻果转化考虑问题反面问题轻松解决数学解题中反证法补集法等体现种思想
例3 已知abc均正整数a2+b2+c2+48<4a+6b+12c求值解答 原等式两边均正整数等式a2+b2+c2+48<4a+6b+12c等式a2+b2+c2+48+1≤4a+6b+12c等价等价等式化(a2)2+(b3)2+(c6)2+(c6)2≤0
点评 等式等式应转化转化数学问题常效手段
●应训练
1空间两条异面直线ab成角ab意点P作条直线c直线c直线ab成相等角θθ取值范围 ( )
Aθ∈Φ Bθ∈{}
Cθ∈［] Dθ∈［］
2抛物线yax2(a>0)焦点F作直线交抛物线PQ两点线段PFFQ长分pq等 （ ）
A2a B C4a D
3函数f (x)满足意实数xyf (x)+f (y)x<0时f (x)>0
求证：
●参考答案
1解析 三维空间考虑该问题
显千头万绪右图示
直线b意点A作直线
a′∥aa′b确定面a
点P移动A点问题便转化
A点作条直线c′直线a′b
成角均θ求θ取值范围
易知直线c′面a时 第1题解图
直线c′a′b成角c′⊥a时直线c′a′b成角选D
2解析 般解法先求出焦点F坐标（0)然直线PQ方程抛物线方程联立求出pq值运算程繁杂容易出错
般性PQ直线方程转化特殊性方程取PQx轴行方程y快选出正确答案C应相类选择题填空题者赋予变量特殊值者符合般条件特殊点中求正确答案种般特殊转化常常收事半功倍效果
3证明 易证f (x)奇函数x>0时f (x)<0先入手题设条件转化
整体处理等式左端数列
题意恒
原等式成立
点评 题融函数数列等式体正确解答题关键注意整体式局部数列通项转化
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