数学破题36计
第12计 刀开门 切口启封
●计名释义
西餐宴摆着漂亮什锦萨 众然称没动手 原东西罩透明玻璃盒里知开家作谦互相请
孩顾礼节着餐刀盒直戳七戳八戳戳玻璃盒花纹处时盒子竟莲花样动启开 家惊喜夸孩子见识 实孩子成功敢试试试中碰盒子入口
数学解题尝没遇种情境？时苦心焦虑寻找破题入口实时正站入题门口前敢动手试
●典例示范
例1 已知5sinβsin(2α+β)求证：
分析 题型条件等式证明容三角函数变换条件结三角等式正宗解法（刀开门）首先考虑三角函数角变换否找外切入口呢？说抛开函数常数找数试试意
解答 化条件考察结右式数量关系知合分定理问题获解决
左端分子分母分进行差化积等式成立
点评 真正刀开门首先考虑常数常数函数面前然玩意首先考虑例变换例变换三角变换面前玩意数学解题时入口号情况刀刀更
例2 设m正整数 方程mx2+2(2m1)x+4m70(x未知量)少整数根 求m值
分析 根求根公式x 讨少整数根相复杂果常量m(m求常量)变量x相互转化解决问题简单
解答 原方程化(x2+4x+4)m2x+7
m
插语 m题破题刀方程中m高次数1问题简化
续解 x整数m正整数 x≠2≥13≤x≤1x3 1 0 1 代入原方程求出符合条件m值15m1m5时原方程少整数根
点评 数学问题中常量具特殊性常常暗示着某种巧妙解题思路充分挖掘巧妙转化便问题轻松解决
例3 设函数f (x)x2+x+a(a∈R*)满足f (n)<0 试判断f (n+1)符号
分析 道题似代数题果开门找条件结联系思路会应运生
解答 f (n)<0函数
f (x)x2+x+a图x轴2
相异交点图示设横坐标
x1x2x12等实根x1x2
10 例3题图
f (n+1)(n+1)2 +(n+1)+a>0(a>0)
点评 利数形结合数形结合构建解题思路重立足点灵活运常解题化难易化繁简
例4 抛物线y22px顶点O作2条互相垂直弦OAOB求证：直线AB定点
解答 OA⊥OBOAOB斜率成负倒数关系
设OA斜率kOA方程：ykx代入抛物线y22px中求A点坐标OB方程代入抛物线方程求B点坐标时斜率发生变化置换A点坐标中k B点坐标(2pk2 2pk)
lAB：y
直线AB定点(2p 0)容易验证斜率k±1时结成立
点评 找寻等关系挖掘命题中元素间等关系常找简洁解题思路
例5 已知xyz∈R x+y+z1求证x2+y2+z2≥
解答 运均值代换法令x α+β+γ0
x2+y2+z2
(仅αβγ0xyz时成立)
点评 运等价代换运等价代换作切入点探究解题思路中学数学重技
●应训练
1已知M椭圆动点椭圆定点A(2) F椭圆右焦点试求|MA|+2|MF|值求时点M坐标
2已知函数f (x)ax 中a>0 求a取值范围函数f (x)区间［0+∞)单调函数
3图示已知梯形
ABCD中|AB|2|CD|
点E分线段
成λ双曲线
CDE三点AB
焦点时求双曲线离心率e取值范围 第3题图
4已知ab>0a+b1求证：
5．图示三棱柱ABC—A1B1C1中侧面ABB1A1面积S侧棱CC1面距离a求三棱柱体积
第5题图
●参考答案
1．解析 挖掘隐含条件数量关系
简洁解题铺道路注意椭圆离心率
结中线段|MF|系数间数量关系
作MB垂直右准线l垂足B
图示
|MB|2|MF| |MA|+2|MF||MA|+|MB| 第1题解图
易知点M线段AB时|MA|+2|MF|取值8时点M坐标（2）
2解析 探究a值应倒思考
设x1
注意x1x2<0 a≥1f (x1)f (x2)>0 a≥1时函数f (x)区间［0+∞)单调减函数显然0点评 运逆思维直接条件探究结果难凑效时反果索建立解题思路重策略
3解析 学生题手然注意题中图案予启示解题思路赫然见
事实图形称性设直线ABx轴AB中垂线y轴建立面直角坐标系xOy
注意|AB|2|CD|设OC题意记A(c0)C E(x0 y0)
定分点坐标公式
设双曲线方程点CE坐标代入方程 ①
②
①代入②e代入e2
题设知e2∈［7 10］ 离心率e范围
点评 挖掘题图信息题中图案启示切入易解题灵感
4解析 容易估计ab时等号成立 获巧妙证法
构造
理
两式相
注意ab≤≥4 (a+)(b+)≥(仅ab时取号)等号成立条件切入独具匠心思考方法
点评 启特例联想数学命题成立特殊情形入手常找巧妙解题思路
5解析 三棱柱补成图示行六面体知行六面体体积等aS明显三棱柱ABC—A1B1C1三棱柱ACD—A1C1D1体积相等三棱柱ABC—A1B1C1体积等
种方法求解问题效果十分明显
点评 清分分合合通分割整合数学问题化熟悉结易解决形式建立解题思路重途径
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第12计 刀开门 切口启封
●计名释义
西餐宴摆着漂亮什锦萨 众然称没动手 原东西罩透明玻璃盒里知开家作谦互相请
孩顾礼节着餐刀盒直戳七戳八戳戳玻璃盒花纹处时盒子竟莲花样动启开 家惊喜夸孩子见识 实孩子成功敢试试试中碰盒子入口
数学解题尝没遇种情境？时苦心焦虑寻找破题入口实时正站入题门口前敢动手试
●典例示范
例1 已知5sinβsin(2α+β)求证：
分析 题型条件等式证明容三角函数变换条件结三角等式正宗解法（刀开门）首先考虑三角函数角变换否找外切入口呢？说抛开函数常数找数试试意
解答 化条件考察结右式数量关系知合分定理问题获解决
左端分子分母分进行差化积等式成立
点评 真正刀开门首先考虑常数常数函数面前然玩意首先考虑例变换例变换三角变换面前玩意数学解题时入口号情况刀刀更
例2 设m正整数 方程mx2+2(2m1)x+4m70(x未知量)少整数根 求m值
分析 根求根公式x 讨少整数根相复杂果常量m(m求常量)变量x相互转化解决问题简单
解答 原方程化(x2+4x+4)m2x+7
m
插语 m题破题刀方程中m高次数1问题简化
续解 x整数m正整数 x≠2≥13≤x≤1x3 1 0 1 代入原方程求出符合条件m值15m1m5时原方程少整数根
点评 数学问题中常量具特殊性常常暗示着某种巧妙解题思路充分挖掘巧妙转化便问题轻松解决
例3 设函数f (x)x2+x+a(a∈R*)满足f (n)<0 试判断f (n+1)符号
分析 道题似代数题果开门找条件结联系思路会应运生
解答 f (n)<0函数
f (x)x2+x+a图x轴2
相异交点图示设横坐标
x1x2x1
1
f (n+1)(n+1)2 +(n+1)+a>0(a>0)
点评 利数形结合数形结合构建解题思路重立足点灵活运常解题化难易化繁简
例4 抛物线y22px顶点O作2条互相垂直弦OAOB求证：直线AB定点
解答 OA⊥OBOAOB斜率成负倒数关系
设OA斜率kOA方程：ykx代入抛物线y22px中求A点坐标OB方程代入抛物线方程求B点坐标时斜率发生变化置换A点坐标中k B点坐标(2pk2 2pk)
lAB：y
直线AB定点(2p 0)容易验证斜率k±1时结成立
点评 找寻等关系挖掘命题中元素间等关系常找简洁解题思路
例5 已知xyz∈R x+y+z1求证x2+y2+z2≥
解答 运均值代换法令x α+β+γ0
x2+y2+z2
(仅αβγ0xyz时成立)
点评 运等价代换运等价代换作切入点探究解题思路中学数学重技
●应训练
1已知M椭圆动点椭圆定点A(2) F椭圆右焦点试求|MA|+2|MF|值求时点M坐标
2已知函数f (x)ax 中a>0 求a取值范围函数f (x)区间［0+∞)单调函数
3图示已知梯形
ABCD中|AB|2|CD|
点E分线段
成λ双曲线
CDE三点AB
焦点时求双曲线离心率e取值范围 第3题图
4已知ab>0a+b1求证：
5．图示三棱柱ABC—A1B1C1中侧面ABB1A1面积S侧棱CC1面距离a求三棱柱体积
第5题图
●参考答案
1．解析 挖掘隐含条件数量关系
简洁解题铺道路注意椭圆离心率
结中线段|MF|系数间数量关系
作MB垂直右准线l垂足B
图示
|MB|2|MF| |MA|+2|MF||MA|+|MB| 第1题解图
易知点M线段AB时|MA|+2|MF|取值8时点M坐标（2）
2解析 探究a值应倒思考
设x1
注意x1x2<0 a≥1f (x1)f (x2)>0 a≥1时函数f (x)区间［0+∞)单调减函数显然0
3解析 学生题手然注意题中图案予启示解题思路赫然见
事实图形称性设直线ABx轴AB中垂线y轴建立面直角坐标系xOy
注意|AB|2|CD|设OC题意记A(c0)C E(x0 y0)
定分点坐标公式
设双曲线方程点CE坐标代入方程 ①
②
①代入②e代入e2
题设知e2∈［7 10］ 离心率e范围
点评 挖掘题图信息题中图案启示切入易解题灵感
4解析 容易估计ab时等号成立 获巧妙证法
构造
理
两式相
注意ab≤≥4 (a+)(b+)≥(仅ab时取号)等号成立条件切入独具匠心思考方法
点评 启特例联想数学命题成立特殊情形入手常找巧妙解题思路
5解析 三棱柱补成图示行六面体知行六面体体积等aS明显三棱柱ABC—A1B1C1三棱柱ACD—A1C1D1体积相等三棱柱ABC—A1B1C1体积等
种方法求解问题效果十分明显
点评 清分分合合通分割整合数学问题化熟悉结易解决形式建立解题思路重途径
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