数学破题36计
第18计 转换开门 必充
●计名释义
转换化实施化重理念转换重操作
转换寻找身彼彼全盘负责转换前面常冠等价二字等价转换
条件角度问题转换寻找解决问题充条件化时寻找解决问题充分条件甚探究中必条件
●典例示范
例1 设01分析 n1时结果显然kk+1时关键利递推式
解答 （i)n1时a11+a>1命题真
(ii)假设nk时命题真ak>1 nk+1欲ak+1>1须ak+1
插语 ak>1<1递推式ak+1+a推出ak+1>1问题处转化寻象
递推式中ak出现分母ak+1成立必须找ak取值范围
续解 欲ak+1+a>1必须须切n∈N+ ak<
插语 问题转化数学纳法证明1续解 （i)n1显然1nk+1ak+1+a>(1a)+a1 ak>1<1+a<0+a
1a2<1(1+a)(1a)<11+a< +a<1+a（i)(ii)知切n∈N+1点评 证完？证完证原等式已证明原等式等价身
例2 复面复数应点位 （ ）
A第 B第二象限 C第三象限 D第四象限
解答 里负数复数应点位第三象限选C
点评 解实施复数实数转换
例3 设f (x)log3(x+6)反函数f 1(x)［f 1(m)+6］［f 1(n)+6］27 f(m+n)
解答 f (x)log3(x+6)f 1(x)3x6∴［f 1(m)+6］［f 1(n)+6］273m·3n33m+n3∴f(m+n)log3(3+6)2
点评 解实施函数反函数间互相转换
例4 定义R函数f (x)图象关点（0）称满足f (x) f (x+)f (1)1f (0)2f (1)+f (2)+f (3)+…+f (2006)值（ ）
A1 B2 C3 D4
解答 f (x) f (x+)f (x+3) f［(x+）+］f (x+)f (x)知f (x)正周期T3周期函数f (x)图象关点（0）称知（xy）称点（xy）yf (x)必yf (x)yf (x) 已知f (x)f (x+)f (x) f (x+)x代x+f (x) f (x)知f (x)R偶函数：f (1)f (1)1f (2) f (23)f (1)1f (3) f (0+3) f (0)2
∴f (1)+f (2)+f (3)0数列3项0 20063×668+2f (2006)0×668+f (1)+f (2)2选A
点评 解实施繁简转换
例5 函数f (x)定义域中意x1x2(x1≠x2)结：①f (x1+x2) f (x1)·f (x2)②f (x1· x2) f (x1)+f (x2)③>0④解答 取x110x2100 lg(10+100)lg110lg10×lg1002知①成立lg(10×100)lg10003lg10+lg1001+23知②成立>0显然成立③正确lglg55lg④成立
综②③成立
点评 解实施虚实转换特殊值种转换更简洁直观
●应训练
1函数y(x≠kπk∈Z)值域 ( )
A［2+∞） B（12］ C（04］ D ［4＋∞）
2{an}等差数列首项a1>0a2003+a2004>0a2003·a2004<0前n项Sn>0成立然数n ( )
A4005 B4006 C4007 D4008
3设复数z满足i|1+z| ( )
A0 B1 C D2
4棱长１正方体分顶点三条棱中点面截该正方体截８三棱锥剩凸面体体积 ( )
A B C D
5双曲线2x2y2k(k>0)焦点相应准线距离2k ( )
A1 B4 C6 D8
●参考答案
1D 令usin2x02B ∵a1>0a2003+a2004>0a2003·a2004<0{an}等差数列
∴{an}表示首项正数公差负数单调递减等差数列a2003绝值正数a2004绝值负数（第负数）|a2003|>|a2004|
∵等差数列{an}中a2003+a2004a1+a4006>0S4006>0
∴Sn>0成立然数n4006
3C 利合分性质解zi ∴|1+z||1i|
4B 设三棱锥体积V′剩凸面体体积
V18V′ ∴V18V′1×8
5C 双曲线a2b2k∴c2a2+b2条件：c22 ∴b22c：k2· ∴k26kk>0∴k6
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第18计 转换开门 必充
●计名释义
转换化实施化重理念转换重操作
转换寻找身彼彼全盘负责转换前面常冠等价二字等价转换
条件角度问题转换寻找解决问题充条件化时寻找解决问题充分条件甚探究中必条件
●典例示范
例1 设0
解答 （i)n1时a11+a>1命题真
(ii)假设nk时命题真ak>1 nk+1欲ak+1>1须ak+1
插语 ak>1<1递推式ak+1+a推出ak+1>1问题处转化寻象
递推式中ak出现分母ak+1成立必须找ak取值范围
续解 欲ak+1+a>1必须须切n∈N+ ak<
插语 问题转化数学纳法证明1
1a2<1(1+a)(1a)<11+a< +a<1+a
例2 复面复数应点位 （ ）
A第 B第二象限 C第三象限 D第四象限
解答 里负数复数应点位第三象限选C
点评 解实施复数实数转换
例3 设f (x)log3(x+6)反函数f 1(x)［f 1(m)+6］［f 1(n)+6］27 f(m+n)
解答 f (x)log3(x+6)f 1(x)3x6∴［f 1(m)+6］［f 1(n)+6］273m·3n33m+n3∴f(m+n)log3(3+6)2
点评 解实施函数反函数间互相转换
例4 定义R函数f (x)图象关点（0）称满足f (x) f (x+)f (1)1f (0)2f (1)+f (2)+f (3)+…+f (2006)值（ ）
A1 B2 C3 D4
解答 f (x) f (x+)f (x+3) f［(x+）+］f (x+)f (x)知f (x)正周期T3周期函数f (x)图象关点（0）称知（xy）称点（xy）yf (x)必yf (x)yf (x) 已知f (x)f (x+)f (x) f (x+)x代x+f (x) f (x)知f (x)R偶函数：f (1)f (1)1f (2) f (23)f (1)1f (3) f (0+3) f (0)2
∴f (1)+f (2)+f (3)0数列3项0 20063×668+2f (2006)0×668+f (1)+f (2)2选A
点评 解实施繁简转换
例5 函数f (x)定义域中意x1x2(x1≠x2)结：①f (x1+x2) f (x1)·f (x2)②f (x1· x2) f (x1)+f (x2)③>0④
综②③成立
点评 解实施虚实转换特殊值种转换更简洁直观
●应训练
1函数y(x≠kπk∈Z)值域 ( )
A［2+∞） B（12］ C（04］ D ［4＋∞）
2{an}等差数列首项a1>0a2003+a2004>0a2003·a2004<0前n项Sn>0成立然数n ( )
A4005 B4006 C4007 D4008
3设复数z满足i|1+z| ( )
A0 B1 C D2
4棱长１正方体分顶点三条棱中点面截该正方体截８三棱锥剩凸面体体积 ( )
A B C D
5双曲线2x2y2k(k>0)焦点相应准线距离2k ( )
A1 B4 C6 D8
●参考答案
1D 令usin2x0
∴{an}表示首项正数公差负数单调递减等差数列a2003绝值正数a2004绝值负数（第负数）|a2003|>|a2004|
∵等差数列{an}中a2003+a2004a1+a4006>0S4006>0
∴Sn>0成立然数n4006
3C 利合分性质解zi ∴|1+z||1i|
4B 设三棱锥体积V′剩凸面体体积
V18V′ ∴V18V′1×8
5C 双曲线a2b2k∴c2a2+b2条件：c22 ∴b22c：k2· ∴k26kk>0∴k6
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