1.[2014·江苏卷] 已知集合A={-2-134}B={-123}A∩B=________.
1.{-13} [解析] 题意A∩B={-13}.
2.[2014·江苏卷] 已知复数z=(5-2i)2(i虚数单位)z实部________.
2.21 [解析] 根复数法运算公式知z=(5-2i)2=52-2×5×2i+(2i)2=21-20i实部21虚部-20
图11
3.[2014·江苏卷] 图11示算法流程图输出n值______.
3.5 [解析] 根流程图判断题2n>20否成立.成立n1开始次增加1成立输出n值.题4次循环25>20成立输出n值5
4.[2014·江苏卷] 12364数中次机取2数取2数积6概率________.
4 [解析] 基事件(12)(13)(16)(23)(26)(36)6种情况积6(16)(23)求事件概率
5.[2014·江苏卷] 已知函数y=cos xy=sin(2x+φ)(0≤φ<π)图横坐标交点φ值________.
5 [解析] x=分代入两函数sin=解π+φ=+2kπ(k∈Z)π+φ=+2kπ(k∈Z)化简解φ=-+2kπ(k∈Z)φ=+2kπ(k∈Z).φ∈[0π)φ=
6.[2014·江苏卷] 解片济林生长情况机抽测中60株树木底部周长(单位:cm)数均区间[80130]频率分布直方图图12示抽测60株树木中____株树木底部周长100 cm
图12
6.24 [解析] 频率分布直方图数[8090]频率0015×10=015数[90100]频率0025×10=025样容量60株求(015+025)×60=24(株).
7.[2014·江苏卷] 项均正数等数列{an}中a2=1a8=a6+2a4a6值________.
7.4 [解析] 等数列定义a8=a2q6a6=a2q4a4=a2q2a2q6=a2q4+2a2q2an>0q4-q2-2=0解q2=2a6=a2q4=1×22=4
8.[2014·江苏卷] 设甲乙两圆柱底面积分S1S2体积分V1V2侧面积相等=值________.
8 [解析] ====圆柱侧面积S侧=2πrhS侧1=2πr1h1=S侧2=2πr2h2====×=
9.[2014·江苏卷] 面直角坐标系xOy中直线x+2y-3=0圆(x-2)2+(y+1)2=4截弦长________.
9 [解析] 题意圆心(2-1)r=2圆心直线距离d== 弦长2=2 =
10.[2014·江苏卷] 已知函数f(x)=x2+mx-1意x∈[mm+1]f(x)<0成立实数m取值范围________.
10 [解析] f(x)=x2+mx-1开口二次函数函数值区间端点处取意x∈[mm+1]f(x)<0需
解m∈
11.[2014·江苏卷] 面直角坐标系xOy中曲线y=ax2+(ab常数)点P(2-5)该曲线点P处切线直线7x+2y+3=0行a+b值________.
11.-3 [解析] 易知y′=2ax-根题意解
a+b=-3
12.[2014·江苏卷] 图13示行四边形ABCD中已知AB=8AD=5=3·=2·值________.
图13
12.22 [解析] CP=3PDAP·BP=2AP=AD+DP=AD+ABBP=BC+CP=AD-ABAP·BP=·=AD2-AD·AB-AB2=2AB=8AD=52=25-×64-AB·ADAB·AD=22
13.[2014·江苏卷] 已知f(x)定义R周期3函数x∈[03)时f(x)=函数y=f(x)-a区间[-34]10零点(互相)实数a取值范围________.
13 [解析] 先画出y=x2-2x+区间[03]图x轴方图称x轴方利周期3图移区间[-34]f(x)区间[-34]图图示中f(-3)=f(0)=f(3)=05f(-2)=f(1)=f(4)=05
函数y=f(x)-a区间[-34]10零点(互相)等价y=f(x)图直线y=a10交点图a∈
14.[2014·江苏卷] △ABC角满足sin A+sin B=2sin Ccos C值______.
14 [解析] 设△ABC角ABC边分abc正弦定理a+b=2c
cos C====-≥-=
仅3a2=2b2=时等号成立.
15.[2014·江苏卷] 已知α∈sin α=
(1)求sin值
(2)求cos值.
15.解: (1)α∈sin α=
cos α=-=-
sin=sincos α+cossin α=
×+×=-
(2)(1)知sin 2α=2sin αcos α=2××
=-
cos 2α=1-2sin2α=1-2×=
cos=coscos 2α+sinsin 2α=
×+×=-
16.[2014·江苏卷] 图14示三棱锥P ABC中DEF分棱PCACAB中点.已知PA⊥ACPA=6BC=8DF=5
求证:(1)直线PA∥面DEF
(2)面BDE⊥面ABC
图14
16.证明: (1)DE分棱PCAC中点DE∥PAPA⊄面DEFDE⊂面DEF直线PA∥面DEF
(2)DEF分棱PCACAB中点PA=6BC=8DE∥PADE=PA=3EF=BC=4DF=5DF2=DE2+EF2∠DEF=90°DE⊥EFPA⊥ACDE∥PADE⊥ACAC∩EF=EAC⊂面ABCEF⊂面ABCDE⊥面ABC
DE⊂面BDE面BDE⊥面ABC
17.[2014·江苏卷] 图15示面直角坐标系xOy中F1F2分椭圆+=1(a>b>0)左右焦点顶点B坐标(0b)连接BF2延长交椭圆点A点A作x轴垂线交椭圆点C连接F1C
(1)点C坐标BF2=求椭圆方程
(2)F1C⊥AB求椭圆离心率e值.
图15
17.解: 设椭圆焦距2c F1(-c 0) F2(c 0).
(1)B(0 b) BF2==aBF2= a=
点C椭圆+=1解b2=1
求椭圆方程+y2=1
(2)B(0 b) F2(c 0)直线 AB 直线 AB 方程 +=1
解方程组
点 A 坐标
AC 垂直x 轴 椭圆称性点 C 坐标
直线 F1C斜率=直线AB斜率-F1C⊥AB·=-1b2=a2-c2整理a2=5c2e2=
e=
18.[2014·江苏卷] 图16示保护河古桥OA规划建座新桥BC时设立圆形保护区.规划求:新桥BC河岸AB垂直保护区边界圆心M线段OABC相切圆古桥两端OA该圆意点距离均少80 m.测量点A位点O正北方60 m处点C位点O正东方170 m处(OC河岸)tan∠BCO=
(1)求新桥BC长.
(2)OM长时圆形保护区面积?
图16
18.解: 方法:
(1)图示 O坐标原点 OC 直线 x 轴 建立面直角坐标系xOy
条件知A(0 60) C(1700)
直线 BC 斜率kBC=-tan∠BCO=-
AB⊥BC 直线AB斜率kAB=
设点 B 坐标(ab)
kBC==- kAB==
解a=80 b=120
BC==150
新桥BC长150 m
(2)设保护区边界圆M半径r m OM=d m (0≤d≤60).
条件知 直线BC方程y=-(x-170)
4x+3y-680=0
圆M直线BC相切 点 M(0 d)直线BC距离r
r==
OA圆M意点距离均少80 m
解10≤d≤35
d=10时 r = 圆面积
OM=10 m时 圆形保护区面积.
方法二:
(1)图示 延长 OA CB 交点F
tan∠FCO=
sin∠FCO= cos∠FCO=
OA=60OC=170
OF=OC tan∠FCO= CF== AF=OF-OA=
OA⊥OC cos∠AFB =sin∠FCO=
AB⊥BCBF=AFcos∠AFB= BC=CF-BF=150
新桥BC长150 m
(2)设保护区边界圆 MBC切点D连接 MDMD⊥BCMD圆M半径设
MD=r mOM=d m (0≤d≤60).
OA⊥OC sin∠CFO=cos∠FCO
(1)知sin∠CFO==== r=
OA圆M意点距离均少80 m
解10≤d≤35
d=10时 r=圆面积
OM=10 m时 圆形保护区面积.
19.[2014·江苏卷] 已知函数f(x)=ex+e-x中e然数底数.
(1)证明:f(x)R偶函数.
(2)关x等式mf(x)≤e-x +m-1(0+∞)恒成立求实数m取值范围.
(3)已知正数a满足:存x0∈[1+∞)f(x0)19.解: (1)证明:意 x∈Rf(-x)=e-x+e -(-x)=e-x+ex=f(x)
f(x)R偶函数.
(2)条件知 m(ex+e-x-1)≤e-x-1(0+∞)恒成立.
令 t=ex(x>0) t>1 m≤-=
-意 t>1成立.
t-1++ 1≥2 +1=3 -≥-
仅 t=2 x = ln 2时等号成立.
实数 m 取值范围
(3)令函数 g(x)=ex+- a(-x3+3x)g′ (x) =ex-+3a(x2-1).
x≥1时ex->0x2-1≥0a>0 g′(x)>0g(x)[1+∞)单调递增函数 g(x)[1+∞)值 g(1)= e+e-1-2a
存x0∈[1+∞)ex0+e-x0-a(-x+ 3x0 )<0 成立 仅值g(1)<0
e+e-1-2a<0 a>
令函数h(x) = x -(e-1)ln x-1 h′(x)=1- 令 h′(x)=0 x=e-1
x∈(0e-1)时h′(x)<0h(x)(0e-1)单调递减函数
x∈(e-1+∞)时h′(x)>0h(x)(e-1+∞)单调递增函数.
h(x)(0+∞)值h(e-1).
注意h(1)=h(e)=0x∈(1e-1)⊆(0e-1)时h(e-1)≤h(x)
h(x)
①a∈⊆(1e)时 h(a)<0
a-1<(e-1)ln aea-1
③a∈(e+∞)⊆(e-1+∞)时h(a)>h(e)=0a-1>(e-1)ln aea-1>ae-1
综述a∈时ea-1
20.[2014·江苏卷] 设数列{an}前n项Sn意正整数n总存正整数mSn=am称{an}H数列.
(1)数列{an}前n项Sn=2n(n∈N*)证明:{an}H数列.
(2)设{an}等差数列首项a1=1公差d<0{an}H数列求d值.
(3)证明:意等差数列{an}总存两H数列{bn}{cn}an=bn+cn(n∈N*)成立.
20.解: (1)证明:已知n≥1时an+1=Sn+1-Sn=2n+1-2n=2n意正整数n总存正整数m=n+1Sn=2n=am
{an}H数列.
(2)已知S2=2a1+d=2+d{an}H数列存正整数mS2=am2+d=1+(m-1)d(m-2)d=1d<0m-2<0m=1d=-1
d=-1时an=2-nSn=2整数n∈N*意正整数n总存正整数m=2-Sn=2-Sn=2-m=am{an}H数列d值-1
(3)证明:设等差数列{an}公差dan =a1+(n-1)d=na1+(n-1)(d-a1)(n∈N*).
令bn=na1cn=(n-1)(d-a1)an=bn+cn(n∈N*).
证{bn}H数列.
设{bn}前n项TnTn=a1(n∈N*).意正整数n总存正整数m=Tn=bm{bn}H数列.
理证{cn}H数列.
意等差数列{an}总存两H数列{bn}{cn}an=bn+cn(n∈N*)成立.
21.[2014·江苏卷] A.[选修41:证明选讲]
图17示AB圆O直径CD圆O位AB异侧两点.
证明:∠OCB=∠D
图17
证明:BC圆O两点OB=OC
∠OCB=∠B
CD圆O位AB异侧两点
∠B∠D弧两圆周角
∠B=∠D∠OCB=∠D
[2014·江苏卷] B.[选修42:矩阵变换]
已知矩阵A=B=量α=xy实数.=求x+y值.
解:已知==)
Bα= )))=).
=)=).
解
x+y=
[2014·江苏卷] C.[选修44:坐标系参数方程]
面直角坐标系xOy中已知直线l参数方程(t参数)直线l抛物线y2=4x相交AB两点求线段AB长.
解:直线l参数方程代入抛物线方程y2=4x
=4
解t1=0t2=-8
AB=|t1-t2|=8
[2014·江苏卷] D.[选修45:等式选讲]
已知x>0y>0证明:(1+x+y2)(1+x2+y)≥9xy
证明:x>0y>0
1+x+y2≥3>0
1+x2+y≥3>0
(1+x+y2)(1+x2+y)≥3·3=9xy
22.[2014·江苏卷] 盒中9球中4红球3黄球2绿球球颜色外完全相.
(1)盒中次机取出2球求取出2球颜色相概率P
(2)盒中次机取出4球中红球黄球绿球数分记x1x2x3机变量X表示x1x2x3中数求X概率分布数学期E(X).
22.解:(1)取2颜色相球2红球2黄球2绿球P===
(2)机变量X取值234
{X=4}表示机事件取4球4红球P(X=4)==
{X=3}表示机事件取4球3红球1颜色球3黄球1颜色球P(X=3)===P(X=2)=1-P(X=3)-P(X=4)=1--=
机变量X概率分布表:
X
2
3
4
P
机变量X数学期
E(X)=2×+3×+4×=
23.[2014·江苏卷] 已知函数f0(x)=(x>0)设fn(x)fn-1(x)导数n∈N*
(1)求2f1+f2值
(2)证明:意n∈N*等式=成立.
23.解: (1)已知f1(x)=f′0(x)=′=-
f2(x)=f1′(x)=′-′=
--+
f1=-f2=-+
2f1+f2=-1
(2)证明:已知xf0(x)=sin x等式两边分x求导f0(x)+xf0′(x)=cos x
f0(x)+xf1(x)=cos x=sin
类似
2f1(x)+xf2(x)=-sin x=sin(x+π)
3f2(x)+xf3(x)=-cos x=sin
4f3(x)+xf4(x)=sin x=sin(x+2π).
面数学纳法证明等式nfn-1(x)+xfn(x)=sinn∈N*成立.
(i)n=1时知等式成立.
(ii)假设n=k时等式成立kfk-1(x)+xfk(x)=sin
[kfk-1(x)+xfk(x)]′=kfk-1′(x)+fk(x)+xfk′(x)=(k+1)fk(x)+xfk+1(x)
′=cos·′=sin
(k+1)fk(x)+xfk+1(x)=sin
n=k+1时等式成立.
综合(i)(ii)知等式nfn-1(x)+xfn(x)=sinn∈N*成立.
令x=nfn-1+fn=sin(n∈N*)
=(n∈N*).
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