§21 函数概念表示
考试求 1解构成函数素会求简单函数定义域值域2实际情景中会根需选择恰方法(图法列表法解析法)表示函数3解简单分段函数简单应.
1.函数概念
般设AB非空数集果某应关系f集合A中数x集合B中存唯确定数f(x)应应关系f作定义集合A函数记作f:A→By=f(x)x∈A
2.函数定义域值域
(1)函数y=f(x)x∈A中x作变量x取值范围A作函数定义域x值相应y值作函数值函数值集合{f(x)|x∈A}作函数值域.
(2)果两函数定义域相应关系完全致称两函数相等.
3.函数表示法
表示函数常方法解析法图法列表法.
4.分段函数
(1)函数定义域子集应关系分式子表示种函数称分段函数.
(2)分段函数部分组成表示函数.分段函数定义域等段函数定义域集值域等段函数值域集.
微思考
1.直线x=a(a常数)函数y=f(x)图少交点?
提示 01.
2.函数定义中非空数集AB函数定义域值域什关系?
提示 函数定义域集合A值域集合B子集.
题组 思考辨析
1.判断列结否正确(请括号中√×)
(1)A=RB={x|x>0}f:x→y=|x|应AB函数.( × )
(2)两函数定义域值域相两函数相等.( × )
(3)y=+函数.( × )
(4)函数y=f(x)图条封闭曲线.( × )
题组二 教材改编
2.函数f(x)=+定义域________.
答案 [02)∪(2+∞)
解析 题意
解x≥0x≠2
∴原函数定义域[02)∪(2+∞).
3.已知函数f(x)=f(2)=________
答案 2
解析 f(2)=f(1)=21=2
4.已知函数f(x)=f(x)值域________.
答案 (01)∪[2+∞)
解析 x≤1时f(x)=x2+2
∴f(x)∈[2+∞)
x>1时f(x)=
∴f(x)∈(01).
综f(x)值域(01)∪[2+∞).
题组三 易错纠
5.列图形中表示M={x|0≤x≤1}定义域N={y|0≤y≤1}值域函数图( )
答案 C
解析 A选项中值域满足B选项中定义域满足D选项函数图函数定义知选项C正确.
6.已知f()=x+-1f(x)=________
答案 x2+x-1x≥0
解析 令t=t≥0x=t2
∴f(t)=t2+t-1(t≥0)
∴f(x)=x2+x-1x≥0
第1课时 函数概念表示
题型 函数概念
1.列曲线表示yx间关系中yx函数( )
答案 C
2.列组函数相等( )
A.f(x)=x2-2x-1(x∈R)g(s)=s2-2s-1(s∈Z)
B.f(x)=x-1g(x)=
C.f(x)=g(x)=
D.f(x)=g(x)=x
答案 C
3.已知集合P={x|0≤x≤4}Q={y|0≤y≤2}列PQ应关系f函数________.(填序号)
①f:x→y=x②f:x→y=x③f:x→y=x④f:x→y=
答案 ③
解析 ③中f:x→y=xx∈[04]时y=x∈⊈Q满足函数定义.
思维升华 (1)函数定义求第非空数集A中元素第二非空数集B中元素应B中存A中元素应元素.
(2)构成函数三素中定义域应关系相值域定相.
题型二 求函数解析式
例1 求列函数解析式:
(1)已知f(1-sin x)=cos2x求f(x)解析式
(2)已知f =x2+求f(x)解析式
(3)已知f(x)次函数3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17求f(x)解析式
(4)已知f(x)满足2f(x)+f(-x)=3x求f(x)解析式.
解 (1)(换元法)设1-sin x=tt∈[02]
sin x=1-t∵f(1-sin x)=cos2x=1-sin2x
∴f(t)=1-(1-t)2=2t-t2t∈[02].
f(x)=2x-x2x∈[02].
(2)(配凑法)∵f =x2+=2-2
∴f(x)=x2-2x∈(-∞-2]∪[2+∞).
(3)(定系数法)∵f(x)次函数
设f(x)=ax+b(a≠0)
∴3[a(x+1)+b]-2[a(x-1)+b]=2x+17
ax+(5a+b)=2x+17
∴解
∴f(x)解析式f(x)=2x+7
(4)(解方程组法)∵2f(x)+f(-x)=3x①
∴x-x换2f(-x)+f(x)=-3x②
①②解f(x)=3x
思维升华 函数解析式求法
(1)配凑法:已知条件f(g(x))=F(x)F(x)改写成关g(x)表达式然x代g(x)便f(x)表达式.
(2)定系数法:已知函数类型(次函数二次函数)定系数法.
(3)换元法:已知复合函数f(g(x))解析式换元法时注意新元取值范围.
(4)解方程组法:已知关f(x)f f (-x)等表达式根已知条件构造出外等式组成方程组通解方程组求出f(x).
踪训练1 (1)(2020·济南模拟)f =f(x)=________
答案 (x≠0x≠1)
解析 f(x)==(x≠0x≠1).
(2)已知y=f(x)二次函数方程f(x)=0两相等实根f′(x)=2x+2f(x)=________
答案 x2+2x+1
解析 设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)f′(x)=2ax+b
∴2ax+b=2x+2a=1b=2
∴f(x)=x2+2x+c
f(x)=0x2+2x+c=0两相等实根
∴Δ=4-4c=0c=1f(x)=x2+2x+1
(3)已知f(x)满足f(x)-2f =2xf(x)=________
答案 --
解析 ∵f(x)-2f =2x①
代①中xf -2f(x)=②
①+②×2-3f(x)=2x+
∴f(x)=--
题型三 分段函数
命题点1 求分段函数函数值
例2 已知f(x)=f +f 值( )
A B.- C.-1 D.1
答案 D
解析 f =f +1=f +1=cos+1=
f =cos=cos =-
∴f +f =-=1
命题点2 分段函数方程等式问题
例3 (1)(2020·长春模拟)已知函数f(x)=f(a)+f(1)=0实数a值等( )
A.-3 B.-1 C.1 D.3
答案 A
解析 ∵f(1)=21=2∴f(a)+2=0∴f(a)=-2
a≤0时f(a)=a+1=-2∴a=-3
a>0时f(a)=2a=-2方程解
综a=-3
(2)已知函数f(x)=等式f(x)≤1解集( )
A.(-∞2] B.(-∞0]∪(12]
C.[02] D.(-∞0)∪[12]
答案 D
解析 ∵x≥1时log2x≤1∴1≤x≤2
x<1x≠0时≤1解x<0
∴f(x)≤1解集(-∞0)∪[12].
思维升华 (1)分段函数求值问题解题思路
①求函数值:出现f(f(a))形式时应外次求值.
②求变量值:先假设求值分段函数定义区间段然求出相应变量值切记代入检验.
(2)分段函数方程等式问题求解思路
范围段分类讨求解讨结果起.
踪训练2 (1)(2021·河北冀州中模拟)设f(x)=f(f(-1))=_______f(x)值________.
答案 0 2-3
解析 ∵f(-1)=2
∴f(f(-1))=f(2)=2+-3=0
x≥1时f(x)=x+-3≥2-3
仅x=时取等号f(x)min=2-3
x<1时f(x)=x2+1≥1x=0时取等号
∴f(x)min=1
综f(x)值2-3
(2)设函数f(x)=满足f(x)+f >1x取值范围________.
答案
解析 x>时>1恒成立∴x>
0
课时精练
1.列图函数图数( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 B
解析 图①关x轴称x>0时x应2y图②中x0应2y①②均函数图图③④函数图.
2.列集合A集合B应关系f函数( )
A.A={-101}B={-101}f:A中数方
B.A={01}B={-101}f:A中数求方根
C.A=ZB=Qf:A中数取倒数
D.A=RB={正实数}f:A中数取绝值
答案 A
解析 选项B中A中元素出现情况选项CD中均出现元素0应元素情况.
3.已知函数f(x)=f(f(8))等( )
A.-1 B.- C D.2
答案 C
解析 ∵f(8)=1-log28=1-3=-2
∴f(f(8))=f(-2)=2-2+1=
4.设函数f =xf(x)表达式( )
A(x≠-1) B(x≠-1)
C(x≠-1) D(x≠-1)
答案 C
解析 令t=x=
∴f(t)=
f(x)=(x≠-1).
5.已知函数f(x)=f(x0)=3实数x0值( )
A.-1 B.1 C.-11 D.-1-
答案 C
解析 条件知x0≥0时f(x0)=2x0+1=3x0=1x0<0时f(x0)=3x=3x0=-1实数x0值-11
6图△AOD直角边长1等腰直角三角形面图形OBD四分圆扇形点P线段ABPQ⊥ABPQ交AD交弧DB点Q设AP=x(0
答案 A
解析 观察知阴影部分面积y变化情况:(1)0
答案 lg 2
解析 令x5=2x=
∴f(2)==lg 2
8.已知函数f(x)=f(f(-1))=3b=______
答案 3
解析 ∵f(-1)=b-1
∴f(b-1)=3
b-1≥1b≥2时
2b-1-1=3解b=3
b-1<1b<2时b-1+b=3解b=2(舍)
综b=3
9.已知函数f(x)=满足f(a)>1实数a取值范围________.
答案 (-20)∪(0+∞)
解析 f(a)>1
①解a>0
②解-2①②知-20
10.已知函数f(x)满足f +f(-x)=2x(x≠0)f(-2)=________f =________
答案
解析 令x=2f +f(-2)=4①
令x=-f(-2)-2f =-1②
联立①②解f(-2)=f =
11.已知函数f(x)解析式f(x)=
(1)求f f f(-1)值
(2)画出函数图
(3)求f(x)值.
解 (1)∵>1
∴f =-2×+8=5
∵0<<1
∴f =+5=
∵-1<0∴f(-1)=-3+5=2
(2)函数图图.
函数y=3x+5图截取x≤0部分
函数y=x+5图截取0
图中实线组成图形函数f(x)图.
(3)函数图知x=1时f(x)取值6
12行驶中汽车刹车时惯性作继续前滑行段距离停段距离作刹车距离.某种路面某种型号汽车刹车距离y(m)汽车车速x(kmh)满足列关系:y=+mx+n(mn常数).图根次实验数绘制刹车距离y(m)汽车车速x(kmh)关系图.
(1)求出y关x函数解析式
(2)果求刹车距离超252 m求行驶速度.
解 (1)题意函数图
解m=n=0
∴y=+(x≥0).
(2)令+≤252
-72≤x≤70
∵x≥0∴0≤x≤70
行驶速度70 kmh
13.设函数f(x)=满足f(x+1)
解析 画出f(x)图图示
图知
解x<0x取值范围(-∞0).
14.已知函数f(x)=a[f(a)-f(-a)]>0实数a取值范围________.
答案 (-∞-2)∪(2+∞)
解析 a=0时显然成立.
a>0时等式a[f(a)-f(-a)]>0等价a2-2a>0解a>2
a<0时等式a[f(a)-f(-a)]>0等价-a2-2a<0解a<-2
综述实数a取值范围(-∞-2)∪(2+∞).
15.具性质:f =-f(x)函数称满足倒负变换函数列函数满足倒负变换函数________.
①y=x-②y=ln ③y=④f(x)=
答案 ①④
解析 ①f(x)=x-f =-x=-f(x)满足题意
②f(x)=ln f =ln ≠-f(x)满足
③f ==ex-1-f(x)=-≠f 满足
④f =
f =
f =-f(x)满足倒负变换.
16.已知函数f(x)=
(1)求f(2)f f(3)f
(2)(1)中求结果发现f(x)f 什关系?证明发现
(3)求f(2)+f +f(3)+f +…+f(2 021)+f 值.
解 (1)f(x)==1-
f(2)=1-=f =1-=
f(3)=1-=f =1-=
(2)(1)中求结果发现f(x)+f =1
证明:f(x)+f =+=+=1
(3)(2)知f(x)+f =1
∴f(2)+f =1f(3)+f =1
f(4)+f =1…f(2 021)+f =1
∴f(2)+f +f(3)+f +…+f(2 021)+f =2 020
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