难点18 等式证明策略
等式证明方法灵活样容结合高考解答题中常渗透等式证明容纯等式证明历高中数学中难点难点着重培养考生数学式变形力逻辑思维力分析问题解决问题力
●难点磁场
(★★★★)已知a＞0b＞0a+b1
求证：(a+)(b+)≥
●案例探究
［例1］证明等式(n∈N*)
命题意图：题道考查数学纳法等式证明综合性题目考查学生观察力构造力逻辑分析力属★★★★★级题目
知识托：题然数n关命题首先想应数学纳法外涉等式证明中放缩法构造法等
错解分析：题易出现列放缩错误：
样注重形式统忽略关系错误常发生
技巧方法：题证法采数学纳法nknk+1渡采放缩法证法二先放缩裂项放矢直达目标证法三运函数思想助单调性独具匠心发深省
证法：(1)n等1时等式左端等1右端等2等式成立
(2)假设nk(k≥1)时等式成立1+＜2
∴nk+1时等式成立
综合(1)(2)：n∈N*时1+＜2
kk+1时证明列证法：
证法二：意k∈N*：
证法三：设f(n)
意k∈N* ：
∴f(k+1)＞f(k)
意n∈N* f(n)＞f(n－1)＞…＞f(1)1＞0
∴
［例2］求≤a(x＞0y＞0)恒成立a值
命题意图：题考查等式证明求值函数思想学生逻辑分析力属★★★★★级题目
知识托：该题实质定条件求值题目求a值蕴含恒成立等式中需利等式关性质a呈现出等价转化思想解决题目突破口然利函数思想重等式等求值
错解分析：题解法三利三角换元确定a取值范围时惯xycosθsinθ应进行换元令cosθsinθ(0＜θ＜)样a≥sinθ+cosθ种换元错误原：(1)缩xy范围(2)样换元相题增加xy1样条件显然
技巧方法：解法常重等式外解法二方法典型参数a满足等关系a≥f(x)aminf(x)max a≤f(x)amaxf(x)min利基事实较轻松解决类等式中含参数值域问题三角换元法求值恰处原问题转化
解法：a值正数已知等式两边方：
x+y+2≤a2(x+y)2≤(a2－1)(x+y) ①
∴xy＞0∴x+y≥2 ②
仅xy时②中等号成立
较①②a值满足a2－11
∴a22a (a＞0)∴a值
解法二：设
∵x＞0y＞0∴x+y≥2 (xy时成立)
∴≤1值1
知u值
已知a≥u∴a值
解法三：∵y＞0
∴原等式化+1≤a
设tanθθ∈(0)
∴tanθ+1≤atanθ+1≤asecθ
∴a≥sinθ+cosθsin(θ+) ③
∵sin(θ+)值1(时θ)
③式知a值
●锦囊妙计
1等式证明常方法：较法综合法分析法证明等式基方法
(1)较法证等式作差(商)变形判断三步骤变形方式分解配方判断程必须详细叙述果作差式子整理关某变量二次式考虑判式法证
(2)综合法导果分析法执果索两法相互转换互相渗透互前提充分运辩证关系增加解题思路开扩视野
2等式证明常方法：换元法放缩法反证法函数单调性法判式法数形结合法等换元法三角代换均值代换两种应换元法时注意代换等价性放缩性等式证明中重变形方法放缩放矢目标证结中考查等式正面证果易说清楚考虑反证法含少惟含否定词命题适宜反证法
证明等式时题设题目特点联系选择适证明方法熟悉种证法中推理思维掌握相应步骤技巧语言特点
●歼灭难点训练
填空题
1(★★★★★)已知xy正变数ab正常数1x+y值__________
2(★★★★)设正数abcd满足a+db+c|a－d|＜|b－c|adbc关系__________
3(★★★★)m＜np＜q(p－m)(p－n)＜0(q－m)(q－n)＜0mnpq序__________
二解答题
4(★★★★★)已知abc正实数a+b+c1
求证：(1)a2+b2+c2≥
(2)≤6
5(★★★★★)已知xyz∈Rx+y+z1x2+y2+z2证明：xyz∈［0］
6(★★★★★)证明列等式：
(1)xyz∈Rabc∈R+z2≥2(xy+yz+zx)
(2)xyz∈R+x+y+zxyz
≥2()
7(★★★★★)已知imn正整数1＜i≤m＜n
(1)证明：niA＜miA
(2)证明：(1+m)n＞(1+n)m
8(★★★★★)a＞0b＞0a3+b32求证：a+b≤2ab≤1
参考答案
难点磁场
证法：(分析综合法）
欲证原式证4(ab)2+4(a2+b2)－25ab+4≥0证4(ab)2－33(ab)+8≥0证ab≤ab≥8
∵a＞0b＞0a+b1∴ab≥8成立
∵1a+b≥2∴ab≤证
证法二：(均值代换法)
设a+t1b+t2
∵a+b1a＞0b＞0∴t1+t20|t1|＜|t2|＜
显然仅t0ab时等号成立
证法三：(较法）
∵a+b1a＞0b＞0∴a+b≥2∴ab≤
证法四：(综合法)
∵a+b1 a＞0b＞0∴a+b≥2∴ab≤
证法五：(三角代换法）
∵ a＞0b＞0a+b1令asin2αbcos2αα∈(0)
2
歼灭难点训练
1解析：令cos2θsin2θxasec2θybcsc2θ∴x+yasec2θ+bcsc2θa+b+atan2θ+bcot2θ≥a+b+2
答案：a+b+2
2解析：0≤|a－d|＜|b－c|(a－d)2＜(b－c)2(a+b)2－4ad＜(b+c)2－4bc
∵a+db+c∴－4ad＜－4bcad＞bc
答案：ad＞bc
3解析：pq成变量m＜p＜nm＜q＜n
答案：m＜p＜q＜n
二4(1)证法：a2+b2+c2－(3a2+3b2+3c2－1)
［3a2+3b2+3c2－(a+b+c)2］
［3a2+3b2+3c2－a2－b2－c2－2ab－2ac－2bc］
［(a－b)2+(b－c)2+(c－a)2］≥0 ∴a2+b2+c2≥
证法二：∵(a+b+c)2a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc≤a2+b2+c2+a2+b2+a2+c2+b2+c2
∴3(a2+b2+c2)≥(a+b+c)21 ∴a2+b2+c2≥
证法三：∵∴a2+b2+c2≥
∴a2+b2+c2≥
证法四：设a+αb+βc+γ
∵a+b+c1∴α+β+γ0
∴a2+b2+c2(+α)2+(+β)2+(+γ)2
+ (α+β+γ)+α2+β2+γ2
+α2+β2+γ2≥
∴a2+b2+c2≥
∴原等式成立
证法二：
∴≤＜6
∴原等式成立
5证法：x+y+z1x2+y2+z2x2+y2+(1－x－y)2整理成关y元二次方程：
2y2－2(1－x)y+2x2－2x+0∵y∈RΔ≥0
∴4(1－x)2－4×2(2x2－2x+)≥00≤x≤∴x∈［0］
理yz∈［0］
证法二：设x+x′y+y′z+z′x′+y′+z′0
(+x′)2+(+y′)2+(+z′)2
+x′2+y′2+z′2+ (x′+y′+z′)
+x′2+y′2+z′2≥+x′2++x′2
x′2≤x′∈［－］x∈［0］理yz∈［0］
证法三：设xyz三数中负数妨设x＜0x2＞0x2+y2+z2≥x2+＞矛盾
xyz三数中者妨设x＞x2+y2+z2≥x2+x2+x2－x+
x(x－)+＞矛盾
xyz∈［0］
∵式显然成立∴原等式证
7证明：(1)1＜i≤mA m·…·(m－i+1)
m＜n整数k12…i－1
(2)二项式定理：
(1+m)n1+Cm+Cm2+…+Cmn
(1+n)m1+Cn+Cn2+…+Cnm
(1)知miA＞niA (1＜i≤mC
∴miCin＞niCim(1＜m＜n
∴m0Cn0C1mCnCm·nm2C＞n2C…
mmC＞nmCmm+1C＞0…mnC＞0
∴1+Cm+Cm2+…+Cmn＞1+Cn+C2mn2+…+Cnm
(1+m)n＞(1+n)m成立
8证法：a＞0b＞0a3+b32
(a+b)3－23a3+b3+3a2b+3ab2－83a2b+3ab2－6
3［ab(a+b)－2］3［ab(a+b)－(a3+b3)］－3(a+b)(a－b)2≤0
(a+b)3≤23a+b＞0a+b≤22≤a+b≤2
ab≤1
证法二：设ab方程x2－mx+n0两根
a＞0b＞0m＞0n＞0Δm2－4n≥0 ①
2a3+b3(a+b)(a2－ab+b2)(a+b)［(a+b)2－3ab］m(m2－3n)
n ②
②代入①m2－4()≥0
≥0－m3+8≥0m≤2a+b≤2
2≥m 4≥m2m2≥4n4≥4n
n≤1ab≤1
证法三：a＞0b＞0a3+b32
2a3+b3(a+b)(a2+b2－ab)≥(a+b)(2ab－ab)ab(a+b)
6≥3ab(a+b)8≥3ab(a+b)+23a2b+3ab2+a3+b3
(a+b)3a+b≤2(略）
证法四：
≥0
意非负实数ab≥
a＞0b＞0a3+b321≥
∴≤1a+b≤2(略）
证法五：假设a+b＞2
a3+b3(a+b)(a2－ab+b2)(a+b)［(a+b)2－3ab］＞(a+b)ab＞2abab＜1
a3+b3(a+b)［a2－ab+b2］(a+b)［(a+b)2－3ab］＞2(22－3ab)
a3+b322＞2(4－3ab)ab＞1前矛盾a+b≤2(略)
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等式证明方法灵活样容结合高考解答题中常渗透等式证明容纯等式证明历高中数学中难点难点着重培养考生数学式变形力逻辑思维力分析问题解决问题力
●难点磁场
(★★★★)已知a＞0b＞0a+b1
求证：(a+)(b+)≥
●案例探究
［例1］证明等式(n∈N*)
命题意图：题道考查数学纳法等式证明综合性题目考查学生观察力构造力逻辑分析力属★★★★★级题目
知识托：题然数n关命题首先想应数学纳法外涉等式证明中放缩法构造法等
错解分析：题易出现列放缩错误：
样注重形式统忽略关系错误常发生
技巧方法：题证法采数学纳法nknk+1渡采放缩法证法二先放缩裂项放矢直达目标证法三运函数思想助单调性独具匠心发深省
证法：(1)n等1时等式左端等1右端等2等式成立
(2)假设nk(k≥1)时等式成立1+＜2
∴nk+1时等式成立
综合(1)(2)：n∈N*时1+＜2
kk+1时证明列证法：
证法二：意k∈N*：
证法三：设f(n)
意k∈N* ：
∴f(k+1)＞f(k)
意n∈N* f(n)＞f(n－1)＞…＞f(1)1＞0
∴
［例2］求≤a(x＞0y＞0)恒成立a值
命题意图：题考查等式证明求值函数思想学生逻辑分析力属★★★★★级题目
知识托：该题实质定条件求值题目求a值蕴含恒成立等式中需利等式关性质a呈现出等价转化思想解决题目突破口然利函数思想重等式等求值
错解分析：题解法三利三角换元确定a取值范围时惯xycosθsinθ应进行换元令cosθsinθ(0＜θ＜)样a≥sinθ+cosθ种换元错误原：(1)缩xy范围(2)样换元相题增加xy1样条件显然
技巧方法：解法常重等式外解法二方法典型参数a满足等关系a≥f(x)aminf(x)max a≤f(x)amaxf(x)min利基事实较轻松解决类等式中含参数值域问题三角换元法求值恰处原问题转化
解法：a值正数已知等式两边方：
x+y+2≤a2(x+y)2≤(a2－1)(x+y) ①
∴xy＞0∴x+y≥2 ②
仅xy时②中等号成立
较①②a值满足a2－11
∴a22a (a＞0)∴a值
解法二：设
∵x＞0y＞0∴x+y≥2 (xy时成立)
∴≤1值1
知u值
已知a≥u∴a值
解法三：∵y＞0
∴原等式化+1≤a
设tanθθ∈(0)
∴tanθ+1≤atanθ+1≤asecθ
∴a≥sinθ+cosθsin(θ+) ③
∵sin(θ+)值1(时θ)
③式知a值
●锦囊妙计
1等式证明常方法：较法综合法分析法证明等式基方法
(1)较法证等式作差(商)变形判断三步骤变形方式分解配方判断程必须详细叙述果作差式子整理关某变量二次式考虑判式法证
(2)综合法导果分析法执果索两法相互转换互相渗透互前提充分运辩证关系增加解题思路开扩视野
2等式证明常方法：换元法放缩法反证法函数单调性法判式法数形结合法等换元法三角代换均值代换两种应换元法时注意代换等价性放缩性等式证明中重变形方法放缩放矢目标证结中考查等式正面证果易说清楚考虑反证法含少惟含否定词命题适宜反证法
证明等式时题设题目特点联系选择适证明方法熟悉种证法中推理思维掌握相应步骤技巧语言特点
●歼灭难点训练
填空题
1(★★★★★)已知xy正变数ab正常数1x+y值__________
2(★★★★)设正数abcd满足a+db+c|a－d|＜|b－c|adbc关系__________
3(★★★★)m＜np＜q(p－m)(p－n)＜0(q－m)(q－n)＜0mnpq序__________
二解答题
4(★★★★★)已知abc正实数a+b+c1
求证：(1)a2+b2+c2≥
(2)≤6
5(★★★★★)已知xyz∈Rx+y+z1x2+y2+z2证明：xyz∈［0］
6(★★★★★)证明列等式：
(1)xyz∈Rabc∈R+z2≥2(xy+yz+zx)
(2)xyz∈R+x+y+zxyz
≥2()
7(★★★★★)已知imn正整数1＜i≤m＜n
(1)证明：niA＜miA
(2)证明：(1+m)n＞(1+n)m
8(★★★★★)a＞0b＞0a3+b32求证：a+b≤2ab≤1
参考答案
难点磁场
证法：(分析综合法）
欲证原式证4(ab)2+4(a2+b2)－25ab+4≥0证4(ab)2－33(ab)+8≥0证ab≤ab≥8
∵a＞0b＞0a+b1∴ab≥8成立
∵1a+b≥2∴ab≤证
证法二：(均值代换法)
设a+t1b+t2
∵a+b1a＞0b＞0∴t1+t20|t1|＜|t2|＜
显然仅t0ab时等号成立
证法三：(较法）
∵a+b1a＞0b＞0∴a+b≥2∴ab≤
证法四：(综合法)
∵a+b1 a＞0b＞0∴a+b≥2∴ab≤
证法五：(三角代换法）
∵ a＞0b＞0a+b1令asin2αbcos2αα∈(0)
2
歼灭难点训练
1解析：令cos2θsin2θxasec2θybcsc2θ∴x+yasec2θ+bcsc2θa+b+atan2θ+bcot2θ≥a+b+2
答案：a+b+2
2解析：0≤|a－d|＜|b－c|(a－d)2＜(b－c)2(a+b)2－4ad＜(b+c)2－4bc
∵a+db+c∴－4ad＜－4bcad＞bc
答案：ad＞bc
3解析：pq成变量m＜p＜nm＜q＜n
答案：m＜p＜q＜n
二4(1)证法：a2+b2+c2－(3a2+3b2+3c2－1)
［3a2+3b2+3c2－(a+b+c)2］
［3a2+3b2+3c2－a2－b2－c2－2ab－2ac－2bc］
［(a－b)2+(b－c)2+(c－a)2］≥0 ∴a2+b2+c2≥
证法二：∵(a+b+c)2a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc≤a2+b2+c2+a2+b2+a2+c2+b2+c2
∴3(a2+b2+c2)≥(a+b+c)21 ∴a2+b2+c2≥
证法三：∵∴a2+b2+c2≥
∴a2+b2+c2≥
证法四：设a+αb+βc+γ
∵a+b+c1∴α+β+γ0
∴a2+b2+c2(+α)2+(+β)2+(+γ)2
+ (α+β+γ)+α2+β2+γ2
+α2+β2+γ2≥
∴a2+b2+c2≥
∴原等式成立
证法二：
∴≤＜6
∴原等式成立
5证法：x+y+z1x2+y2+z2x2+y2+(1－x－y)2整理成关y元二次方程：
2y2－2(1－x)y+2x2－2x+0∵y∈RΔ≥0
∴4(1－x)2－4×2(2x2－2x+)≥00≤x≤∴x∈［0］
理yz∈［0］
证法二：设x+x′y+y′z+z′x′+y′+z′0
(+x′)2+(+y′)2+(+z′)2
+x′2+y′2+z′2+ (x′+y′+z′)
+x′2+y′2+z′2≥+x′2++x′2
x′2≤x′∈［－］x∈［0］理yz∈［0］
证法三：设xyz三数中负数妨设x＜0x2＞0x2+y2+z2≥x2+＞矛盾
xyz三数中者妨设x＞x2+y2+z2≥x2+x2+x2－x+
x(x－)+＞矛盾
xyz∈［0］
∵式显然成立∴原等式证
7证明：(1)1＜i≤mA m·…·(m－i+1)
m＜n整数k12…i－1
(2)二项式定理：
(1+m)n1+Cm+Cm2+…+Cmn
(1+n)m1+Cn+Cn2+…+Cnm
(1)知miA＞niA (1＜i≤mC
∴miCin＞niCim(1＜m＜n
∴m0Cn0C1mCnCm·nm2C＞n2C…
mmC＞nmCmm+1C＞0…mnC＞0
∴1+Cm+Cm2+…+Cmn＞1+Cn+C2mn2+…+Cnm
(1+m)n＞(1+n)m成立
8证法：a＞0b＞0a3+b32
(a+b)3－23a3+b3+3a2b+3ab2－83a2b+3ab2－6
3［ab(a+b)－2］3［ab(a+b)－(a3+b3)］－3(a+b)(a－b)2≤0
(a+b)3≤23a+b＞0a+b≤22≤a+b≤2
ab≤1
证法二：设ab方程x2－mx+n0两根
a＞0b＞0m＞0n＞0Δm2－4n≥0 ①
2a3+b3(a+b)(a2－ab+b2)(a+b)［(a+b)2－3ab］m(m2－3n)
n ②
②代入①m2－4()≥0
≥0－m3+8≥0m≤2a+b≤2
2≥m 4≥m2m2≥4n4≥4n
n≤1ab≤1
证法三：a＞0b＞0a3+b32
2a3+b3(a+b)(a2+b2－ab)≥(a+b)(2ab－ab)ab(a+b)
6≥3ab(a+b)8≥3ab(a+b)+23a2b+3ab2+a3+b3
(a+b)3a+b≤2(略）
证法四：
≥0
意非负实数ab≥
a＞0b＞0a3+b321≥
∴≤1a+b≤2(略）
证法五：假设a+b＞2
a3+b3(a+b)(a2－ab+b2)(a+b)［(a+b)2－3ab］＞(a+b)ab＞2abab＜1
a3+b3(a+b)［a2－ab+b2］(a+b)［(a+b)2－3ab］＞2(22－3ab)
a3+b322＞2(4－3ab)ab＞1前矛盾a+b≤2(略)
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