难点19 解等式
等式生产实践相关学科学中应广泛学高等数学重工具等式高考数学命题重点解等式应非常广泛求函数定义域值域求参数取值范围等高考试题中解等式求较高函数概念特二次函数指数函数数函数等关概念性质密切联系应重视历年高考题目关解等式容年年直接考查解等式间接考查解等式
●难点磁场
(★★★★)解关x等式＞1(a≠1)
●案例探究
［例1］已知f(x)定义［－11］奇函数f(1)1mn∈［－11］m+n≠0时＞0
(1)定义证明f(x)［－11］增函数
(2)解等式：f(x+)＜f()
(3)f(x)≤t2－2at+1x∈［－11］a∈［－11］恒成立求实数t取值范围
命题意图：题道函数等式相结合题目考查学生分析力化力属★★★★★级题目
知识托：题涉函数单调性奇偶性单调性贯穿始终求问题分解转化函数中热点问题问题求变量取值范围等式思想起关键作
错解分析：(2)问中利单调性转化等式时x+∈［－11］∈［－11］必少恰容易忽略方
技巧方法：(1)问单调性证明利奇偶性灵活变通已知条件等式关键(3)问利单调性f(x)转化成1点睛笔
(1)证明：取x1＜x2x1x2∈［－11］f(x1)－f(x2)f(x1)+f(－x2)·(x1－x2)
∵－1≤x1＜x2≤1
∴x1+(－x2)≠0已知＞0 x1－x2＜0
∴f(x1)－f(x2)＜0f(x)［－11］增函数
(2)解：∵f(x)［－11］增函数
∴ 解：{x|－≤x＜－1x∈R}
(3)解：(1)知f(x)［－11］增函数f(1)1x∈［－11］恒f(x)≤1f(x)≤t2－2at+1x∈［－11］a∈［－11］恒成立t2－2at+1≥1成立t2－2at≥0记g(a)t2－2ata∈［－11］g(a)≥0需g(a)［－11］值等0g(－1)≥0g(1)≥0解t≤－2t0t≥2∴t取值范围：{t|t≤－2t0t≥2}
［例2］设等式x2－2ax+a+2≤0解集M果M［14］求实数a取值
范围
命题意图：考查二次等式解系数关系集合集合间关系属★★★★级题目
知识托：题涉元二次等式根系数关系集合集合间关系分类讨数学思想
错解分析：M符合题设条件情况出发点集合间关系考虑否全面易遗漏构造关a等式全面合理易出错
技巧方法：该题实质二次函数区间根问题充分考虑二次方程二次等式二次函数间联系关键数形结合思想题目更加明朗
解：M［14］n种情况：M时Δ＜0二M≠时Δ＞0分三种情况计算a取值范围
设f(x)x2 －2ax+a+2Δ(－2a)2－(4a+2)4(a2－a－2)
(1)Δ＜0时－1＜a＜2M［14］
(2)Δ0时a－12a－1时M{－1}［14］a2时m{2}［14］
(3)Δ＞0时a＜－1a＞2设方程f(x)0两根x1x2x1＜x2M［x1x2］M［14］1≤x1＜x2≤4
解：2＜a＜
∴M［14］时a取值范围(－1)
●锦囊妙计
解等式学生运算化简等价转化力较高求着高考命题原力立意进步转化解等式考查会更热点解等式需注意面问题：
(1)熟练掌握元次等式(组)元二次等式(组)解法
(2)掌握序轴标根法解高次等式分式等式特注意式处理方法
(3)掌握理等式三种类型等价形式指数数等式种基类型解法
(4)掌握含绝值等式种基类型解法
(5)解等式程中充分运分析力原等式等价转化易解等式
(6)含字母等式正确分类标准进行分类讨
●歼灭难点训练
选择题
1(★★★★★)设函数f(x)已知f(a)＞1a取值范围( )
A(－∞－2)∪(－+∞) B(－)
C(－∞－2)∪(－1) D(－2－)∪(1+∞)
二填空题
2(★★★★★)已知f(x)g(x)奇函数f(x)＞0解集(a2b)g(x)＞0解集()f(x)·g(x)＞0解集__________
3(★★★★★)已知关x方程sin2x+2cosx+a0解a取值范围__________
三解答题
4(★★★★★)已知适合等式|x2－4x+p|+|x－3|≤5x值3
(1)求p值
(2)f(x)解关x等式f－1(x)＞(k∈R+)
5(★★★★★)设f(x)ax2+bx+cf(1)问否存abc∈R等式：x2+≤f(x)≤2x2+2x+切实数x成立证明结
6(★★★★★)已知函数f(x)x2+px+q意θ∈Rf(sinθ)≤0f(sinθ+2)≥2
(1)求pq间关系式
(2)求p取值范围
(3)果f(sinθ+2)值14求p值求时f(sinθ)值
7(★★★★)解等式loga(x－)＞1
8(★★★★★)设函数f(x)ax满足条件：x∈(－∞0)时f(x)＞1x∈(01时等式f(3mx－1)＞f(1+mx－x2)＞f(m+2)恒成立求实数m取值范围
参考答案
难点磁场
解：原等式化：＞0
［(a－1)x+(2－a)］(x－2)＞0
a＞1时原等式(x－)(x－2)＞0解
≥20≤a＜1时原等式解＜2a＜0a＞1a＞1时原等式解(－∞)∪(2+∞)
a＜1时a＜0解集(2)0＜a＜1解集(2)
综述：a＞1时解集(－∞)∪(2+∞)0＜a＜1时解集(2)a0时解集a＜0时解集(2）
歼灭难点训练
1解析：f(x)f(a)＞1：
① ② ③
解①a＜－2解②－＜a＜1解③x∈
∴a取值范围(－∞－2)∪(－1）
答案：C
二
2解析：已知b＞a2∵f(x)g(x)均奇函数∴f(x)＜0解集(－b－a2)g(x)＜0解集(－)f(x)·g(x)＞0：
∴x∈(a2)∪(－－a2)
答案：(a2)∪(－－a2)
3解析：原方程化cos2x－2cosx－a－10令tcosxt2－2t－a－10原问题转化方程t2－2t－a－10［－11］少实根令f(t)t2－2t－a－1称轴t1画图象分析解a∈［－22］
答案：［－22］
三
4解：(1)∵适合等式|x2－4x+p|+|x－3|≤5x值3
∴x－3≤0∴|x－3|3－x
|x2－4x+p|－x2+4x－p原等式x2－3x+p+2≥0解集{x|x≤3}子集∴|x2－4x+p|x2－4x+p
∴原等式x2－4x+p+3－x≤0x2－5x+p－2≤0令x2－5x+p－2(x－3)(x－m)m2p8
(2)f(x)∴f－1(x)log8 (－1＜x＜1
∴log8＞log8∴log8(1－x)＜log8k∴1－x＜k∴x＞1－k
∵－1＜x＜1k∈R+∴0＜k＜2时原等式解集{x|1－k＜x＜1}k≥2时原等式解集{x|－1＜x＜1
5解：f(1)a+b+c令x2+2x2+2x+x－1f(x)≤2x2+2x+推
f(－1)≤
f(x)≥x2+推f(－1)≥∴f(－1)∴a－b+c
2(a+c)5a+cb1∴f(x)ax2+x+(－a)
题意：ax2+x+(－a)≥x2+切x∈R成立
∴a≠1Δ1－4(a－1)(2－a)≤0(2a－3)2≤0
∴f(x)x2+x+1
易验证：x2+x+1≤2x2+2x+x∈R成立
∴存实数ab1c1等式：x2+≤f(x)≤2x2+2x+切x∈R成立
6解：(1)∵－1≤sinθ≤11≤sinθ+2≤3x∈［－11］时f(x)≤0x∈［13］时f(x)≥0∴x1时f(x)0∴1+p+q0∴q－(1+p)
(2)f(x)x2+px－(1+p)
sinθ－1时f(－1)≤0∴1－p－1－p≤0∴p≥0
(3)注意f(x)［13］递增∴x3时f(x)值9+3p+q149+3p－1－p14∴p3
时f(x)x2+3x－4求x∈［－11］时f(x)值f(x)(x+)2－显然函数［－11］递增
∴x－1时f(x)值f(－1)1－3－4－6
7解：(1)a＞1时原等式等价等式组
①
②
1－a＞1－a＜0x＜0∴＜x＜0
(2)0＜a＜1时原等式等价等式组：
①x＞1x＜0②0 ＜x＜∴1＜x＜
综a＞1时等式解集{x|＜x＜00＜a＜1时等式解集{x|1＜x＜}
8解：已知0＜a＜1f(3mx－1)＞f(1+mx－x2)＞f(m+2)x∈(01恒成立
x∈(01恒成立
整理x∈(01)时恒成立x∈(01时恒成立x1时恒成立
∵x∈(01减函数∴＜－1
∴m＜恒成立m＜0
∵x∈(01减函数
∴＜－1
∴m＞恒成立m＞－1x∈(01)时恒成立m∈(－10)①
x1时∴m＜0 ②
∴①②两式求交集m∈(－10）x∈(01时f(3mx－1)＞f(1+mx－x2)＞f(m+2)恒成立m取值范围(－10)
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等式生产实践相关学科学中应广泛学高等数学重工具等式高考数学命题重点解等式应非常广泛求函数定义域值域求参数取值范围等高考试题中解等式求较高函数概念特二次函数指数函数数函数等关概念性质密切联系应重视历年高考题目关解等式容年年直接考查解等式间接考查解等式
●难点磁场
(★★★★)解关x等式＞1(a≠1)
●案例探究
［例1］已知f(x)定义［－11］奇函数f(1)1mn∈［－11］m+n≠0时＞0
(1)定义证明f(x)［－11］增函数
(2)解等式：f(x+)＜f()
(3)f(x)≤t2－2at+1x∈［－11］a∈［－11］恒成立求实数t取值范围
命题意图：题道函数等式相结合题目考查学生分析力化力属★★★★★级题目
知识托：题涉函数单调性奇偶性单调性贯穿始终求问题分解转化函数中热点问题问题求变量取值范围等式思想起关键作
错解分析：(2)问中利单调性转化等式时x+∈［－11］∈［－11］必少恰容易忽略方
技巧方法：(1)问单调性证明利奇偶性灵活变通已知条件等式关键(3)问利单调性f(x)转化成1点睛笔
(1)证明：取x1＜x2x1x2∈［－11］f(x1)－f(x2)f(x1)+f(－x2)·(x1－x2)
∵－1≤x1＜x2≤1
∴x1+(－x2)≠0已知＞0 x1－x2＜0
∴f(x1)－f(x2)＜0f(x)［－11］增函数
(2)解：∵f(x)［－11］增函数
∴ 解：{x|－≤x＜－1x∈R}
(3)解：(1)知f(x)［－11］增函数f(1)1x∈［－11］恒f(x)≤1f(x)≤t2－2at+1x∈［－11］a∈［－11］恒成立t2－2at+1≥1成立t2－2at≥0记g(a)t2－2ata∈［－11］g(a)≥0需g(a)［－11］值等0g(－1)≥0g(1)≥0解t≤－2t0t≥2∴t取值范围：{t|t≤－2t0t≥2}
［例2］设等式x2－2ax+a+2≤0解集M果M［14］求实数a取值
范围
命题意图：考查二次等式解系数关系集合集合间关系属★★★★级题目
知识托：题涉元二次等式根系数关系集合集合间关系分类讨数学思想
错解分析：M符合题设条件情况出发点集合间关系考虑否全面易遗漏构造关a等式全面合理易出错
技巧方法：该题实质二次函数区间根问题充分考虑二次方程二次等式二次函数间联系关键数形结合思想题目更加明朗
解：M［14］n种情况：M时Δ＜0二M≠时Δ＞0分三种情况计算a取值范围
设f(x)x2 －2ax+a+2Δ(－2a)2－(4a+2)4(a2－a－2)
(1)Δ＜0时－1＜a＜2M［14］
(2)Δ0时a－12a－1时M{－1}［14］a2时m{2}［14］
(3)Δ＞0时a＜－1a＞2设方程f(x)0两根x1x2x1＜x2M［x1x2］M［14］1≤x1＜x2≤4
解：2＜a＜
∴M［14］时a取值范围(－1)
●锦囊妙计
解等式学生运算化简等价转化力较高求着高考命题原力立意进步转化解等式考查会更热点解等式需注意面问题：
(1)熟练掌握元次等式(组)元二次等式(组)解法
(2)掌握序轴标根法解高次等式分式等式特注意式处理方法
(3)掌握理等式三种类型等价形式指数数等式种基类型解法
(4)掌握含绝值等式种基类型解法
(5)解等式程中充分运分析力原等式等价转化易解等式
(6)含字母等式正确分类标准进行分类讨
●歼灭难点训练
选择题
1(★★★★★)设函数f(x)已知f(a)＞1a取值范围( )
A(－∞－2)∪(－+∞) B(－)
C(－∞－2)∪(－1) D(－2－)∪(1+∞)
二填空题
2(★★★★★)已知f(x)g(x)奇函数f(x)＞0解集(a2b)g(x)＞0解集()f(x)·g(x)＞0解集__________
3(★★★★★)已知关x方程sin2x+2cosx+a0解a取值范围__________
三解答题
4(★★★★★)已知适合等式|x2－4x+p|+|x－3|≤5x值3
(1)求p值
(2)f(x)解关x等式f－1(x)＞(k∈R+)
5(★★★★★)设f(x)ax2+bx+cf(1)问否存abc∈R等式：x2+≤f(x)≤2x2+2x+切实数x成立证明结
6(★★★★★)已知函数f(x)x2+px+q意θ∈Rf(sinθ)≤0f(sinθ+2)≥2
(1)求pq间关系式
(2)求p取值范围
(3)果f(sinθ+2)值14求p值求时f(sinθ)值
7(★★★★)解等式loga(x－)＞1
8(★★★★★)设函数f(x)ax满足条件：x∈(－∞0)时f(x)＞1x∈(01时等式f(3mx－1)＞f(1+mx－x2)＞f(m+2)恒成立求实数m取值范围
参考答案
难点磁场
解：原等式化：＞0
［(a－1)x+(2－a)］(x－2)＞0
a＞1时原等式(x－)(x－2)＞0解
≥20≤a＜1时原等式解＜2a＜0a＞1a＞1时原等式解(－∞)∪(2+∞)
a＜1时a＜0解集(2)0＜a＜1解集(2)
综述：a＞1时解集(－∞)∪(2+∞)0＜a＜1时解集(2)a0时解集a＜0时解集(2）
歼灭难点训练
1解析：f(x)f(a)＞1：
① ② ③
解①a＜－2解②－＜a＜1解③x∈
∴a取值范围(－∞－2)∪(－1）
答案：C
二
2解析：已知b＞a2∵f(x)g(x)均奇函数∴f(x)＜0解集(－b－a2)g(x)＜0解集(－)f(x)·g(x)＞0：
∴x∈(a2)∪(－－a2)
答案：(a2)∪(－－a2)
3解析：原方程化cos2x－2cosx－a－10令tcosxt2－2t－a－10原问题转化方程t2－2t－a－10［－11］少实根令f(t)t2－2t－a－1称轴t1画图象分析解a∈［－22］
答案：［－22］
三
4解：(1)∵适合等式|x2－4x+p|+|x－3|≤5x值3
∴x－3≤0∴|x－3|3－x
|x2－4x+p|－x2+4x－p原等式x2－3x+p+2≥0解集{x|x≤3}子集∴|x2－4x+p|x2－4x+p
∴原等式x2－4x+p+3－x≤0x2－5x+p－2≤0令x2－5x+p－2(x－3)(x－m)m2p8
(2)f(x)∴f－1(x)log8 (－1＜x＜1
∴log8＞log8∴log8(1－x)＜log8k∴1－x＜k∴x＞1－k
∵－1＜x＜1k∈R+∴0＜k＜2时原等式解集{x|1－k＜x＜1}k≥2时原等式解集{x|－1＜x＜1
5解：f(1)a+b+c令x2+2x2+2x+x－1f(x)≤2x2+2x+推
f(－1)≤
f(x)≥x2+推f(－1)≥∴f(－1)∴a－b+c
2(a+c)5a+cb1∴f(x)ax2+x+(－a)
题意：ax2+x+(－a)≥x2+切x∈R成立
∴a≠1Δ1－4(a－1)(2－a)≤0(2a－3)2≤0
∴f(x)x2+x+1
易验证：x2+x+1≤2x2+2x+x∈R成立
∴存实数ab1c1等式：x2+≤f(x)≤2x2+2x+切x∈R成立
6解：(1)∵－1≤sinθ≤11≤sinθ+2≤3x∈［－11］时f(x)≤0x∈［13］时f(x)≥0∴x1时f(x)0∴1+p+q0∴q－(1+p)
(2)f(x)x2+px－(1+p)
sinθ－1时f(－1)≤0∴1－p－1－p≤0∴p≥0
(3)注意f(x)［13］递增∴x3时f(x)值9+3p+q149+3p－1－p14∴p3
时f(x)x2+3x－4求x∈［－11］时f(x)值f(x)(x+)2－显然函数［－11］递增
∴x－1时f(x)值f(－1)1－3－4－6
7解：(1)a＞1时原等式等价等式组
①
②
1－a＞1－a＜0x＜0∴＜x＜0
(2)0＜a＜1时原等式等价等式组：
①x＞1x＜0②0 ＜x＜∴1＜x＜
综a＞1时等式解集{x|＜x＜00＜a＜1时等式解集{x|1＜x＜}
8解：已知0＜a＜1f(3mx－1)＞f(1+mx－x2)＞f(m+2)x∈(01恒成立
x∈(01恒成立
整理x∈(01)时恒成立x∈(01时恒成立x1时恒成立
∵x∈(01减函数∴＜－1
∴m＜恒成立m＜0
∵x∈(01减函数
∴＜－1
∴m＞恒成立m＞－1x∈(01)时恒成立m∈(－10)①
x1时∴m＜0 ②
∴①②两式求交集m∈(－10）x∈(01时f(3mx－1)＞f(1+mx－x2)＞f(m+2)恒成立m取值范围(－10)
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