选择题
1.设两条异面直线成角θ方量夹角θ( )
A.相等 B.互补
C.互余 D.相等互补
解析:∵异面直线夹角θ∈方量夹角θ ′∈[0π]∴D正确.
答案:D
2图正方体ABCD-A1B1C1D1中BC1角面BB1D1D成角( )
A.∠C1BB1 B.∠C1BD
C.∠C1BD1 D.∠C1BO
解析:设A1C1∩B1D1=O易知OC1垂直面BB1D1D∠C1BOBC1角面BB1D1D成角.
答案:D
3.已知两面法量分u=(010)v=(011)两面成二面角( )
A.45° B.135°
C.45°135° D.90°
解析:∵cos〈uv〉===
∴〈uv〉=45°∴二面角45°180°-45°=135°
答案:C
4图长方体ABCD-A1B1C1D1中AB=2BC=2DD1=3ACBD1成角余弦值( )
A.0 B.
C.- D.
解析:建立空间直角坐标系图示
∵AB=BC=2DD1=3
∴B(220)A(200)C(020)D1(003).
∴=(-220)=(-2-23).·=4-4+0=0
∴cos〈〉=0
答案:A
5.直三棱柱ABC-A1B1C1中∠BCA=90°MN分A1B1A1C1中点BC=CA=CC1BMAN成角余弦值( )
A. B.
C. D.
解析:建立图示空间直角坐标系C-xyz设BC=2B(020)A(200)M(112)N(102)=(1-12)=(-102)BMAN成角θ余弦值cos θ===
答案:C
二填空题
6.面法量n=(330)直线l方量v=(111)lα成角余弦值________.
解析:设lα成角θsin θ=|cos〈nv〉|===∴cos θ=
答案:
7.量a=(0-13)b=(224)分二面角两半面二面角棱垂直二面角余弦值________.
解析:题意知设二面角θθab成角补角.
∵a·b=(0-13)·(224)=0-2+12=10
|a|=|b|=2
∴cos〈ab〉===
求二面角余弦值±
答案:±
8.正三角形ABC正三角形BCD面垂直二面角A-BD-C正弦值________.
解析:取BC中点O连接AODO建立图示空间直角坐标系O-xyz
设BC=1A
O(000)BD
==
=
设面ABD法量n=(xyz)
取x=1y=-z=1
面ABD法量n=(1-1)
=面BCD法量.
cos〈n〉=sin〈n〉=
答案:
三解答题
9.图四棱锥P-ABCD中PA⊥面ABCDAC⊥BDOE线段PC点AC⊥BE
(1)求证:PA∥面BED
(2)BC∥ADBC=AD=2PA=3AB=CD求PB面PCD成角正弦值.
解:(1)证明:∵AC⊥BDAC⊥BEBD∩BE=B
∴AC⊥面BDE连接OEAC⊥OE
PA⊥面ABCD
∴AC⊥PAOEPA⊂面PAC
∴OE∥PA
OE⊂面BEDPA⊄面BED
∴PA∥面BED
(2)∵BC∥ADBC=AD=2AB=CD
AC⊥BD
∴等腰梯形ABCD中OB=OC=1OA=OD=2
(1)知OE⊥面ABCD分射线OBOCOExyz轴正半轴建立空间直角坐标系O-xyz图示B(100)C(010)D(-200)P(0-23).
设面PCD法量n=(xyz)
取x=1y=z=-2
∴n=(1-2-2).
=(12-3)
∴cos〈n〉==
PB面PCD成角正弦值
10(2018·全国卷Ⅰ)图四边形ABCD正方形EF分ADBC中点DF折痕△DFC折起点C达点P位置PF⊥BF
(1)证明:面PEF⊥面ABFD
(2)求DP面ABFD成角正弦值.
解:(1)证明:已知BF⊥PFBF⊥EFPF∩EF=F
BF⊥面PEF
BF⊂面ABFD
面PEF⊥面ABFD
(2)作PH⊥EF垂足H(1)PH⊥面ABFD
H坐标原点方y轴正方||单位长度建立图示空间直角坐标系H-xyz
(1)DE⊥PEDP=2DE=1
PE=
PF=1EF=2PE⊥PF
PH=EH=
H(000)PD=
=面ABFD法量.
设DP面ABFD成角θsin θ===
DP面ABFD成角正弦值
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