第1题 集合性质运算
I．题源探究·黄金母题
例1已知集合
求．
解析甴已知利数轴易
．
II．考场精彩·真题回放
例22018高考全国1理2已知集合（ ）
A． B．
C． D．
答案B
解析试题分析：首先利元二次等式解法求出解集求集合A根集合补集中元素特征求结果．
试题解析：解等式选B．
例32018高考全国2理2已知集合中元素数（ ）
A．9 B．8 C．5 D．4
答案A
解析试题分析：根枚举法确定圆部整点数．
试题解析：．时时时9选A．
例42018高考天津理1设全集集合（ ）
A． B．
C． D．
答案B
解析试题分析：题意首先求然进行交集运算求终结果．
试题解析：题意：结合交集定义：．选B．
例52018高考北京理8设集合（ ）
A．意实数 B．意实数
C．仅时 D．仅时
答案D
解析试题分析：求出应集合利集合间包含关系进行求解．
试题解析：命题逆否命题：选D．
III．理基础·解题原理
考点 集合基概念
1．元素集合
（1）集合中元素三特性：确定性互异性序性
（2）集合中元素集合关系：元素集合间关系属属两种表示符号
（3）集合表示法：列举法描述法Venn图．
2．常见数集表示符号
然数集表示正整数集表示整数集表示理数集表示实数集表示．
考点二 集合间基关系
（1）子集：意（）[源学科网ZXXK]
（2）真子集：集合存元素Ü（Ý）
（3）性质：
（4）集合相等：．
考点三 集合交补运算：
（1）集：
（2）交集：
（3）补集：全集表示集合相全集补集．
（4）集合运算性质：
①
②
③
④ ．
IV．题型攻略·深度挖掘
考试方
类试题考查题型通常基选择题填空题形式出现难度较函数定义域值域解等式联系．
技方法
解决类问题般参运算集合化简形式进行运算果等式解集函数定义域值域关数集间运算先化简集合常助数轴求交集．求集合基运算时认清集合元素属性（点集数集情形）化简集合正确求解集合运算两先决条件．
易错指导
（1）涉集合间关系时未指明集合非空考虑空集性（）两种
（2）子集数问题注意集合子集非空集合真子集集合身子集列举时千万忘记
（3）数轴法判断集合间关系时端点值否取定注意回代检验方法确定．果两集合端点值相两集合否取端点值决定两集合间关系．
V．举反三·触类旁通
考1 集合关系判断
例62018湖北七校联盟2月考集合（ ）
A． B． C． D．
答案D
踪练
1．2018豫南九校六模已知集合列结正确（ ）
A． B． C． D．
答案C
解析
选C． 学科~网
2．2018宁夏银川中二模设集合
A． B． C． D．
答案C
解析
选．
考2 根集合关系求参数值范围
例72017高考课标II理2设集合．
A． B． C． D．
答案C
点评集合中元素三特性中互异性解题影响较特含字母集合求出字母值注意检验集合中元素否满足互异性．两防范：忽视元素互异性二保证运算准确性．
例82017高考江苏1已知集合实数值 ▲ ．
答案1
解析题意显然时满足题意答案1．
考点元素互异性
名师点睛(1)认清元素属性解决集合问题时认清集合中元素属性(点集数集情形)化简集合正确求解两先决条件．
(2)注意元素互异性．解决含参数集合问题时注意检验集合中元素互异性否会满足互异性导致解题错误．
(3)防范空集．解决关等集合问题时忽略空集情况定先考虑否成立防漏解．
踪练
1．2018衡水金卷三已知集合实数取值范围（ ）
A． B． C． D．
答案B
解析集合解．．
2．2018河北衡水调研七设集合全集（ ）
A． B． C． D．
答案C
解析选C．
3．2018江西新余中四模已知集合实数取值范围（ ）
A． B． C． D．
答案C
考3 集合中子集元素数问题
例92017高考全国III理1已知集合ABAB中元素数
A．3 B．2 C．1 D．0
答案B
解析集合中元素点集题意结合A表示 圆心 半径单位圆点组成集合集合B表示直线 点组成集合圆 直线 相交两点 中两元素．选B．学科网
名师点睛求集合基运算时认清集合元素属性(点集数集情形)化简集合正确求解集合运算两先决条件．集合中元素三特性中互异性解题影响较特含字母集合求出字母值注意检验集合中元素否满足互异性．
例102018高考北京理20
设正整数集合．集合中意元素记
．
（I）时求值
（II）时设子集满足：中意元素相时奇数时偶数．求集合中元素数值
（III）定2设子集满足：中意两元素．写出集合元素数说明理．
答案（I）（II） 值4（III）答案见解析．
试题解析：解：（Ⅰ）
．
（Ⅱ）设．
题意知奇数中1数13．
．
述集合中元素分成四组：
．
验证组中两元素均．
组中两元素时集合B元素集合B中元素数超4．
集合满足条件[源学#科#网]
集合B中元素数值4．
（Ⅲ）设
．
中元素验证．
中两元素时集合B元素中元素数超．
取．
令集合B元素数满足条件．
B满足条件元素数集合．
名师点睛解决新定义问题两着手点（1）正确理解新定义．耐心阅读分析含义准确提取信息解决类问题前提剥新定义新法新运算外表利学知识陌生性质转化熟悉性质解决类问题突破口．（2）合理利关性质破解新定义型问题关键．解题时善题设条件出数式中发现性质素合理利．
例112018高考海21定穷数列穷数列满足：意称接．
（1）设首项1公等数列判断数列否接说明理
（2）设数列前四项：接数列记集合求中元素数
（3）已知公差等差数列存数列满足：接中少100正数求取值范围．
答案（1）接（2）（3）．
解析（1）已知接．
（2）接数列
中两相等．
（3）接
．
①恒成立符合条件
②令．
偶数时奇数时．
存中少100正数．
综：．
踪练
1．2018广东佛山模拟集合中元素数（ ）
A． B． C． D．
答案D
2．2018湖北部分重点中学联考二已知集合集合子集数（ ）
A． B． C． D．
答案B
解析集合
集合子集数8选B．
3．2018河南天联考三已知集合真子集数（ ）
A． 1 B． 3 C． 5 D． 7
答案B
解析联立解两元素真子集数
选B．
考4 集合等式
例122017高考新课标理1已知集合
A． B． C． D．
答案A
解析选A．
例132018四川成七中模已知集合实数取值范围（ ）
A． B． C． D．
答案D
踪练
1．河北涞水波峰中学联考已知集合取值范围（ ）
A． B． C． D．
答案D
解析选D．学科#网
2．2018河南商丘二模已知集合实数取值范围（ ）
A． B． C． D．
答案B
3．2018齐鲁名校教科研协作体已知集合集合
A． ． B． C． D．
答案C
解析 选C．
考5 集合解析
例142018重庆二模设集合记点集表示轨迹长度（ ）
A． B． C． D．
答案D
解析题意圆圆心圆变化时该圆绕着原点转动集合A表示区域图示环形区域．学科网
原点直线距离直线恰圆环圆相切．
表示直线截圆环圆弦长．
点集表示轨迹长度．选D．
名师点睛解答题关键正确理解题意弄懂集合含义然问题转化求圆弦长问题处理圆中求弦长时半径弦心距半弦长构成直角三角形然利勾股定理求解．
例152018江苏徐州期中考设集合中元素数时实数取值范围________．
答案
解析
圆心半径圆半部分表示斜率行线中直线轴截距直线圆相切时圆心直线距离等半径圆心直线距离解（舍）图知取值范围实数取值范围
答案．
方法点睛题考查集合交集直线圆位置关系数形结合思想应属难题． 数形结合根数量图形间应关系通数形相互转化解决数学问题种重思想方法中学数学四种重数学思想尤解决选择题填空题发挥着奇特功效提高解题力速度．运种方法关键运种方法关键正确作出函数图象熟练掌握函数图象种变换充分利数形结合思想方法够问题化难简迎刃解．
踪练
1．2018北京丰台期末考全集非空集合中点面直角坐标系形成图形关轴轴直线均称．列命题：
①
②中少8元素
③中元素数定偶数
④．
中正确命题数（ ）
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
答案C
①正确
②确定4元素正确
③根题意知确定4元素确定四确定8中元素数定偶数正确
④中点面直角坐标系形成图形关轴轴直线均称知正确综：①③④正确选C．
名师点睛图象变换：（1）移：左加右减加减
（2）称：①变图象关y轴称②变成图象关x轴称
③变成图象关原点称④变成x轴正方图象关y轴称⑤变成x轴方图象关x轴称．
2．2018豫南九校期末考已知集合集合中子集数__________．
答案4
解析题意知中元素圆直线交点圆心(1－2)直线2x＋y－5＝0距离直线圆相交．集合两元素．集合中子集数4．
3．设集合
．实数取值范围 ．
答案．
考6 集合计数原理数学纳法
例162018北京首师附零模设中定义．
（Ⅰ）写出
（Ⅱ）求值
（Ⅲ）求值．
答案（Ⅰ）（Ⅱ）63（Ⅲ）8．
解析试题分析：（Ⅰ）根题设新定义写出
（Ⅱ）题： 取首项公差等差数列利等差数列求值值
（Ⅲ）题取
时区间中整数均时集合 进确定值．
试题解析：
（Ⅰ）
（Ⅱ）题： 取首项公差等差数列
值63．
（Ⅲ）题： 取
时．
区间中整数均表示中时值8．学科&网
名师点睛题综合考查集合数列推理综合运解答中涉集合关系等差数列求等知识应类题目难点出现读题需仔细分析题意准确理解题设中新定义涵找出解题突破点着重考查学生分析问题解答问题力试题定难度属难题．
例172018北京东城期中考试已知集合中． 表示中值数．
（）设集合分求．
（）集合求证： ．
（）否存值？存求出值存请说明理．
答案（1）（2）见解析（3）．
试题解析：
（）
．
（）证明：∵值∴
集合取
时妨设
时∴仅时
值两两∴．
（）存值值
妨设
∴中少数取值值．
例182015江苏高考23已知集合整整令表示集合含元素数．
（1）写出值
（2）时写出表达式数学纳法证明．
答案（1）13（2）
分析（1）根题意分类计数：13（2）（1）知时表达式余数进行分类难利数学纳法进行证明
解析（1）．
（2）时（）．
面数学纳法证明：
①时结成立
②假设（）时结成立时基础新增加元素中产生分情形讨：
3）时
结成立
4）时
结成立
5）时
结成立
6）时
结成立．
综述结满足然数均成立．
点评数学纳法证明正整数关命题时步骤：
①纳奠基：证明取第然数时命题成立[源ZxxkCom]
②纳递推：假设()时命题成立证明时命题成立
③①②出结．
踪练
1．数列： 满足： ．记前项规定．定义集合 ．
（Ⅰ）数列： 求集合
（Ⅱ）集合证明： [源学科网ZXXK]
（Ⅲ）定正整数．满足数列求集合元素数值．
答案（Ⅰ）．（Ⅱ）见解析（Ⅲ）．
（Ⅲ）设集合妨设
（Ⅱ）知
理．证． 元素数．
试题解析：（Ⅰ）
．
（Ⅱ）集合定义知成立k
．
．
（Ⅲ）非空．
设集合妨设（Ⅱ）知
理．
．
元素数．
取常数数列： 令适合题意元素数恰．
综元素数值．
名师点睛题新定义概念题考察学生逻辑思维力全面考察分析问题解决问题力道难题．
2．2018北京阳区期末考已知集合中 ． 表示 中值数．
（Ⅰ）集合求[源学科网ZXXK]
（Ⅱ）集合求证： 值两两求
（Ⅲ）求值．（含代数式表示）
答案（Ⅰ）（Ⅱ）见解析（Ⅲ）．
试题解析：（Ⅰ）取两数相加值
（Ⅱ）形式 项．
集合中式 ：
时时
时妨设．
值两两．
．
（Ⅲ）妨设．
中少数．
设成等差数列
式 值等（）
中．掉重复样集合．
值．
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I．题源探究·黄金母题
例1已知集合
求．
解析甴已知利数轴易
．
II．考场精彩·真题回放
例22018高考全国1理2已知集合（ ）
A． B．
C． D．
答案B
解析试题分析：首先利元二次等式解法求出解集求集合A根集合补集中元素特征求结果．
试题解析：解等式选B．
例32018高考全国2理2已知集合中元素数（ ）
A．9 B．8 C．5 D．4
答案A
解析试题分析：根枚举法确定圆部整点数．
试题解析：．时时时9选A．
例42018高考天津理1设全集集合（ ）
A． B．
C． D．
答案B
解析试题分析：题意首先求然进行交集运算求终结果．
试题解析：题意：结合交集定义：．选B．
例52018高考北京理8设集合（ ）
A．意实数 B．意实数
C．仅时 D．仅时
答案D
解析试题分析：求出应集合利集合间包含关系进行求解．
试题解析：命题逆否命题：选D．
III．理基础·解题原理
考点 集合基概念
1．元素集合
（1）集合中元素三特性：确定性互异性序性
（2）集合中元素集合关系：元素集合间关系属属两种表示符号
（3）集合表示法：列举法描述法Venn图．
2．常见数集表示符号
然数集表示正整数集表示整数集表示理数集表示实数集表示．
考点二 集合间基关系
（1）子集：意（）[源学科网ZXXK]
（2）真子集：集合存元素Ü（Ý）
（3）性质：
（4）集合相等：．
考点三 集合交补运算：
（1）集：
（2）交集：
（3）补集：全集表示集合相全集补集．
（4）集合运算性质：
①
②
③
④ ．
IV．题型攻略·深度挖掘
考试方
类试题考查题型通常基选择题填空题形式出现难度较函数定义域值域解等式联系．
技方法
解决类问题般参运算集合化简形式进行运算果等式解集函数定义域值域关数集间运算先化简集合常助数轴求交集．求集合基运算时认清集合元素属性（点集数集情形）化简集合正确求解集合运算两先决条件．
易错指导
（1）涉集合间关系时未指明集合非空考虑空集性（）两种
（2）子集数问题注意集合子集非空集合真子集集合身子集列举时千万忘记
（3）数轴法判断集合间关系时端点值否取定注意回代检验方法确定．果两集合端点值相两集合否取端点值决定两集合间关系．
V．举反三·触类旁通
考1 集合关系判断
例62018湖北七校联盟2月考集合（ ）
A． B． C． D．
答案D
踪练
1．2018豫南九校六模已知集合列结正确（ ）
A． B． C． D．
答案C
解析
选C． 学科~网
2．2018宁夏银川中二模设集合
A． B． C． D．
答案C
解析
选．
考2 根集合关系求参数值范围
例72017高考课标II理2设集合．
A． B． C． D．
答案C
点评集合中元素三特性中互异性解题影响较特含字母集合求出字母值注意检验集合中元素否满足互异性．两防范：忽视元素互异性二保证运算准确性．
例82017高考江苏1已知集合实数值 ▲ ．
答案1
解析题意显然时满足题意答案1．
考点元素互异性
名师点睛(1)认清元素属性解决集合问题时认清集合中元素属性(点集数集情形)化简集合正确求解两先决条件．
(2)注意元素互异性．解决含参数集合问题时注意检验集合中元素互异性否会满足互异性导致解题错误．
(3)防范空集．解决关等集合问题时忽略空集情况定先考虑否成立防漏解．
踪练
1．2018衡水金卷三已知集合实数取值范围（ ）
A． B． C． D．
答案B
解析集合解．．
2．2018河北衡水调研七设集合全集（ ）
A． B． C． D．
答案C
解析选C．
3．2018江西新余中四模已知集合实数取值范围（ ）
A． B． C． D．
答案C
考3 集合中子集元素数问题
例92017高考全国III理1已知集合ABAB中元素数
A．3 B．2 C．1 D．0
答案B
解析集合中元素点集题意结合A表示 圆心 半径单位圆点组成集合集合B表示直线 点组成集合圆 直线 相交两点 中两元素．选B．学科网
名师点睛求集合基运算时认清集合元素属性(点集数集情形)化简集合正确求解集合运算两先决条件．集合中元素三特性中互异性解题影响较特含字母集合求出字母值注意检验集合中元素否满足互异性．
例102018高考北京理20
设正整数集合．集合中意元素记
．
（I）时求值
（II）时设子集满足：中意元素相时奇数时偶数．求集合中元素数值
（III）定2设子集满足：中意两元素．写出集合元素数说明理．
答案（I）（II） 值4（III）答案见解析．
试题解析：解：（Ⅰ）
．
（Ⅱ）设．
题意知奇数中1数13．
．
述集合中元素分成四组：
．
验证组中两元素均．
组中两元素时集合B元素集合B中元素数超4．
集合满足条件[源学#科#网]
集合B中元素数值4．
（Ⅲ）设
．
中元素验证．
中两元素时集合B元素中元素数超．
取．
令集合B元素数满足条件．
B满足条件元素数集合．
名师点睛解决新定义问题两着手点（1）正确理解新定义．耐心阅读分析含义准确提取信息解决类问题前提剥新定义新法新运算外表利学知识陌生性质转化熟悉性质解决类问题突破口．（2）合理利关性质破解新定义型问题关键．解题时善题设条件出数式中发现性质素合理利．
例112018高考海21定穷数列穷数列满足：意称接．
（1）设首项1公等数列判断数列否接说明理
（2）设数列前四项：接数列记集合求中元素数
（3）已知公差等差数列存数列满足：接中少100正数求取值范围．
答案（1）接（2）（3）．
解析（1）已知接．
（2）接数列
中两相等．
（3）接
．
①恒成立符合条件
②令．
偶数时奇数时．
存中少100正数．
综：．
踪练
1．2018广东佛山模拟集合中元素数（ ）
A． B． C． D．
答案D
2．2018湖北部分重点中学联考二已知集合集合子集数（ ）
A． B． C． D．
答案B
解析集合
集合子集数8选B．
3．2018河南天联考三已知集合真子集数（ ）
A． 1 B． 3 C． 5 D． 7
答案B
解析联立解两元素真子集数
选B．
考4 集合等式
例122017高考新课标理1已知集合
A． B． C． D．
答案A
解析选A．
例132018四川成七中模已知集合实数取值范围（ ）
A． B． C． D．
答案D
踪练
1．河北涞水波峰中学联考已知集合取值范围（ ）
A． B． C． D．
答案D
解析选D．学科#网
2．2018河南商丘二模已知集合实数取值范围（ ）
A． B． C． D．
答案B
3．2018齐鲁名校教科研协作体已知集合集合
A． ． B． C． D．
答案C
解析 选C．
考5 集合解析
例142018重庆二模设集合记点集表示轨迹长度（ ）
A． B． C． D．
答案D
解析题意圆圆心圆变化时该圆绕着原点转动集合A表示区域图示环形区域．学科网
原点直线距离直线恰圆环圆相切．
表示直线截圆环圆弦长．
点集表示轨迹长度．选D．
名师点睛解答题关键正确理解题意弄懂集合含义然问题转化求圆弦长问题处理圆中求弦长时半径弦心距半弦长构成直角三角形然利勾股定理求解．
例152018江苏徐州期中考设集合中元素数时实数取值范围________．
答案
解析
圆心半径圆半部分表示斜率行线中直线轴截距直线圆相切时圆心直线距离等半径圆心直线距离解（舍）图知取值范围实数取值范围
答案．
方法点睛题考查集合交集直线圆位置关系数形结合思想应属难题． 数形结合根数量图形间应关系通数形相互转化解决数学问题种重思想方法中学数学四种重数学思想尤解决选择题填空题发挥着奇特功效提高解题力速度．运种方法关键运种方法关键正确作出函数图象熟练掌握函数图象种变换充分利数形结合思想方法够问题化难简迎刃解．
踪练
1．2018北京丰台期末考全集非空集合中点面直角坐标系形成图形关轴轴直线均称．列命题：
①
②中少8元素
③中元素数定偶数
④．
中正确命题数（ ）
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
答案C
①正确
②确定4元素正确
③根题意知确定4元素确定四确定8中元素数定偶数正确
④中点面直角坐标系形成图形关轴轴直线均称知正确综：①③④正确选C．
名师点睛图象变换：（1）移：左加右减加减
（2）称：①变图象关y轴称②变成图象关x轴称
③变成图象关原点称④变成x轴正方图象关y轴称⑤变成x轴方图象关x轴称．
2．2018豫南九校期末考已知集合集合中子集数__________．
答案4
解析题意知中元素圆直线交点圆心(1－2)直线2x＋y－5＝0距离直线圆相交．集合两元素．集合中子集数4．
3．设集合
．实数取值范围 ．
答案．
考6 集合计数原理数学纳法
例162018北京首师附零模设中定义．
（Ⅰ）写出
（Ⅱ）求值
（Ⅲ）求值．
答案（Ⅰ）（Ⅱ）63（Ⅲ）8．
解析试题分析：（Ⅰ）根题设新定义写出
（Ⅱ）题： 取首项公差等差数列利等差数列求值值
（Ⅲ）题取
时区间中整数均时集合 进确定值．
试题解析：
（Ⅰ）
（Ⅱ）题： 取首项公差等差数列
值63．
（Ⅲ）题： 取
时．
区间中整数均表示中时值8．学科&网
名师点睛题综合考查集合数列推理综合运解答中涉集合关系等差数列求等知识应类题目难点出现读题需仔细分析题意准确理解题设中新定义涵找出解题突破点着重考查学生分析问题解答问题力试题定难度属难题．
例172018北京东城期中考试已知集合中． 表示中值数．
（）设集合分求．
（）集合求证： ．
（）否存值？存求出值存请说明理．
答案（1）（2）见解析（3）．
试题解析：
（）
．
（）证明：∵值∴
集合取
时妨设
时∴仅时
值两两∴．
（）存值值
妨设
∴中少数取值值．
例182015江苏高考23已知集合整整令表示集合含元素数．
（1）写出值
（2）时写出表达式数学纳法证明．
答案（1）13（2）
分析（1）根题意分类计数：13（2）（1）知时表达式余数进行分类难利数学纳法进行证明
解析（1）．
（2）时（）．
面数学纳法证明：
①时结成立
②假设（）时结成立时基础新增加元素中产生分情形讨：
3）时
结成立
4）时
结成立
5）时
结成立
6）时
结成立．
综述结满足然数均成立．
点评数学纳法证明正整数关命题时步骤：
①纳奠基：证明取第然数时命题成立[源ZxxkCom]
②纳递推：假设()时命题成立证明时命题成立
③①②出结．
踪练
1．数列： 满足： ．记前项规定．定义集合 ．
（Ⅰ）数列： 求集合
（Ⅱ）集合证明： [源学科网ZXXK]
（Ⅲ）定正整数．满足数列求集合元素数值．
答案（Ⅰ）．（Ⅱ）见解析（Ⅲ）．
（Ⅲ）设集合妨设
（Ⅱ）知
理．证． 元素数．
试题解析：（Ⅰ）
．
（Ⅱ）集合定义知成立k
．
．
（Ⅲ）非空．
设集合妨设（Ⅱ）知
理．
．
元素数．
取常数数列： 令适合题意元素数恰．
综元素数值．
名师点睛题新定义概念题考察学生逻辑思维力全面考察分析问题解决问题力道难题．
2．2018北京阳区期末考已知集合中 ． 表示 中值数．
（Ⅰ）集合求[源学科网ZXXK]
（Ⅱ）集合求证： 值两两求
（Ⅲ）求值．（含代数式表示）
答案（Ⅰ）（Ⅱ）见解析（Ⅲ）．
试题解析：（Ⅰ）取两数相加值
（Ⅱ）形式 项．
集合中式 ：
时时
时妨设．
值两两．
．
（Ⅲ）妨设．
中少数．
设成等差数列
式 值等（）
中．掉重复样集合．
值．
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