2022届高考数学二轮专题测练等数列基概念性质
选择题（20题100分）
1 列数列中构成等数列
A 2345 B 1－2－48 C 0124 D 16－84－2
2 b≠0abc 成等数列bac
A 充分必条件 B 必充分条件
C 充分必条件 D 充分必条件
3 等数列 an 满足 anan+1＝4n公
A 2 B ±2 C 4 D ±4
4 设 an 等数列 a1+a2+a31a2+a3+a42 a6+a7+a8
A 12 B 24 C 30 D 32
5 数列 an 成等数列充条件
A an+1anq（q 常数） B an+12anan+2≠0
C ana1qn−1（q 常数） D an+1anan+2
6 已知等数列 an 满足 a114a3a54a4−1 a2
A 2 B 1 C 12 D 18
7 数列 an 中a12 n 奇数时an+1an+2 n 偶数时an+12an−1 a12
A 32 B 34 C 66 D 64
8 直角三角形三边长成等数列
A 三边长 ＼（3＼mathbin{：}4＼mathbin{：}5＼） B 三边长 ＼（3＼mathbin{：}＼sqrt 2＼mathbin{：}1＼）
C 较锐角正弦 5−12 D 较锐角正弦 5−12
9 等数列前三项积 2三项积 4项积 64该数列
A 13 项 B 12 项 C 11 项 D 10 项
10 已知等数列 an 满足 a114a3a54a4−1 a2 等
A 2 B 1 C 12 D 18
11 已知 αβγ 成公 2 等数列α∈02π sinαsinβsinγ 成等数列 α 值
A 2π3 0 B 4π3
C 2π3 4π3 D 2π3 4π3 0
12 项均正数等数列 an 中 a63 4a4+a8
A 值 12 B 值 12 C 值 9 D 值 9
13 数列 an 满足 a12∀pr∈N*ap+raparan 等数列
A 充分必条件 B 必充分条件
C 充分必条件 D 充分必条件
14 设 an 项均正数穷数列Ai 边长 aiai+1 矩形面积（i12⋯） An 等数列充条件
A an 等数列
B a1a3⋯a2n−1⋯ a2a4⋯a2n⋯ 等数列
C a1a3⋯a2n−1⋯ a2a4⋯a2n⋯ 均等数列
D a1a3⋯a2n−1⋯ a2a4⋯a2n⋯ 均等数列公相
15 等数列 an 中a32a78 a5
A 4 B −4 C ±4 D 5
16 直角三角形三边长成等数列
A 三边长 3∶4∶5 B 三边长 321
C 较锐角正弦 5−12 D 较锐角正弦 5−12
17 已知实数 −1axb−9 次成等数列实数 x 值
A 3 −3 B 3 C −3 D 确定
18 数列 an 中 an2−an−12p（n≥2n∈N*p 常数）称 an 等方差数列．列等方差数列判断：
① an 等方差数列 an2 等差数列
② −1n 等方差数列
③ an 等方差数列 akn（k∈N*k 常数）等方差数列
④ an 等方差数列等差数列该数列常数列．
中正确命题序号 （正确命题序号填）．
A ①②③ B ①②④ C ②③④ D ①②③④
19 数列 an 前 n 项 Sn3an−2数列通项公式
A an32n−1 B an3×12n−1
C an3n−2 D an3n−1
20 穷数列相邻两项间添加项等两相邻项样操作做该数列次H扩展．已知数列 12．第次H扩展 132第二次H扩展 14352．第 10 次H扩展数列项数
A 1023 B 1025 C 513 D 511
二填空题（5题25分）
21 9 1 等中项 ．
22 （1）等数列 an 中 a1+a240a3+a460 a7+a8
（2）等数列 an 中a6⋅a7⋅a864 a3⋅a11
（3）等数列 an 中a39a63 a12 ．
23 已知数列 an 满足 log2an+11+log2ann∈N* a1+a2+a3+⋯+a101 log2a101+a102+…+a110 ．
24 已知数列 an 满足：意 n∈N* 均 an+1pan+2p−2（p 常数p≠0 p≠1） a2a3a4a5∈−18−6−261130 a1 取值集合 ．
25 已知数列 an 满足：意 n∈N* 均 an+1pan+2p−2（p 常数p≠0 p≠1） a2a3a4a5∈−18−6−261130 a1 取值集合 ．
三解答题（5题65分）
26 分求列两数等差中项等中项．
（1）−2 −8
（2）2−3 2+3．
27 年太阳技术生活中应步伐日益加快．某区 2006 年太阳电池年生产量达 7 亿瓦实际安装量 5 亿瓦．假设干年太阳电池年生产量逐年递增 3 亿瓦年安装量增长率保持 30．
（1） 2006 年第 1 年写出第 n 年太阳电池年产量 an 年安装量 bn．
（2）年年安装量少年生产量
28 已知数列 an 满足 a112an+12an+2n−2n奇数−an−nn偶数bna2n中 n∈N+．
（1）求 a2+a3 值
（2）判断数列 bn 否等数列证明结．
29 已知递增等数列 an 满足 a38 a3+2 a2a4 等差中项．
（1）求数列 an 通项公式
（2） bnlog2an+1Sn 数列 bn 前 n 项求 S20 值．
30 数列 an 前 n 项 Sn 满足 Sn2an−λ（λ>0n∈N*）．
（1）证明：数列 an 等数列求 an
（2） λ4bnann奇log2ann偶（n∈N*）求数列 bn 前 2n 项 T2n．
答案
第部分
1 D
2 B 解析b≠0abc 成等数列⇔b±ac．
b≠0abc 成等数列bac必充分条件．
3 A
4 D 解析设等数列 an 公 q a1+a2+a3a11+q+q21
a2+a3+a4a1q+a1q2+a1q3a1q1+q+q2q2
a6+a7+a8a1q5+a1q6+a1q7a1q51+q+q2q532．
5 B
6 C
7 C 解析 n 偶数时 an+12an−1 an+1an−12a12
a1a3a5a7a9a11 构成 2 首项 2 公等数列
a11a1×2564
n 奇数时 an+1an+2
a12a11+266．
8 D 解析题中条件设三边 aaqaq2（q>1）
勾股定理：a2+a2q2a2q4 q4−q2−10⇒q21+52
设较锐角 A边 a sinAaaq221+55−12．
选D．
9 B 解析设数列通项公式 ana1qn−1
前三项分 a1a1qa1q2
三项分 a1qn−3a1qn−2a1qn−1．
题意 a13q32a13q3n−64
两式相 a16q3n−18 a12qn−12．
a1⋅a1q⋅a1q2⋯⋯a1qn−164
a1nqnn−1264
a12qn−1n642解 n12．
10 C
解析 a3a54a4−1
a1q2⋅a1q44a1q3−1
a114 代入式整理 q6−16q3+640
解 q2
a2a1q12．
11 C 解析 αβγ 成公 2 等数列α∈02π
β12αγ4α
等数列中项零
α≠0
sinαsinβsinγ 成等数列
sin2βsinα⋅sinγ
sin212αsinα⋅sin4α
选项中 α 值代入等式进行检验
α2π3α4π3 合题意．
12 A
13 A
14 D
15 A
解析通解：设公 q（q≠0 q≠1）
题知 a3a1q22 ⋯⋯①a7a1q68 ⋯⋯②
②① q44
q22
a5a3q22×24选A．
优解：等数列性质 a52a3a72×816
a3a5a7 间隔项偶数项
a3a5a7 符号相
a54．
选A．
16 D 解析题中条件设三边 aaqaq2q>1
勾股定理：a2+a2q2a2q4
q4−q2−10⇒q21+52
设较锐角 A边 a
sinAaaq221+55−12．
选D．
17 C 解析实数 −1axb−9 次成等数列 x2−1×−9⇒x±3
x3 时a2−1×3−3显然存样实数 a x−3题选C．
18 D 解析① an 等方差数列
an2−an−12p（n≥2n∈N*p 常数）成立
an2 首项 a12公差 p 等差数列
② an2−an−12−12n−−12n−11−−12
数列 −1n 等方差数列
③数列 an 中项列举出：
a1a2⋯akak+1ak+2⋯a2k⋯a3k⋯
数列 akn 中项列举出：aka2ka3k⋯
ak+12−ak2ak+22−ak+12ak+32−ak+22⋯a2k2−ak2p
ak+12−ak2+ak+22−ak+12+ak+32−ak+22+⋯+a2k2−a2k−12a2k2−ak2kp
类似：akn2−akn−12akn−12−akn−22⋯akn+32−akn+22akn+22−akn+12akn+12−akn2p
连加 akn+12−akn2kp数列 akn 等方差数列
④ an 等方差数列等差数列
an2−an−12p an−an−1dd≠0
an+an−1pd联立解 and2+p2d
an 常数列 d0 时显然 an 常数列
该数列常数列．
19 A 解析数列 an 前 n 项 Sn3an−2⋯⋯①
n≥2 时Sn−13an−1−2⋯⋯②
① − ② an3an−3an−1
an32an−1
n1S13a1−2
a11
数列 an 1 首项32 公等数列
an32n−1．
20 B
解析设第 n 次H扩展数列项数 an
第 n+1 次H扩展数列项数 an+12an−1
an+1−12an−1
an+1−1an−12
a1−13−12
an−1 2 首项2 公等数列
an−12⋅2n−1
an2n+1
a10210+11025．
第二部分
21 ±3
解析9 1 等中项 ±9×1±3．
22 13516±3
23 100
解析 log2an+11+log2an log2an+1log22an
an+12an数列 an a1 首项2 公等数列
a1+a2+…+a101
a101+a102+…+a110a1+a2+…+a10×21002100
log2a101+a102+…+a110log22100100．
24 0−2−66
解析题意an+1+2pan+2记 bnan+2 bn+1pbn
a2a3a4a5∈−18−6−261130
b2b3b4b5∈−16−4061332
① b2b3b4b50 a2a3a4a5−2时 a1−2满足条件
② bk≠0k2345数列 bn p 公等数列
b2−4b38b4−16b532 a2−6a36a4−18a530 时p−2．
b1b2p−4−22a1b1−20
b232b3−16b48b5−4 a230a3−18a46a5−6 时p−12．
时b1b2p32−12−64a1b1−2−66．
a1 取值集合 0−2−66．
25 0−2−66
解析题意an+1+2pan+2记 bnan+2 bn+1pbn
a2a3a4a5∈−18−6−261130
b2b3b4b5∈−16−4061332．
① b2b3b4b50 a2a3a4a5−2时 a1−2满足条件
② bk≠0k2345数列 bn p 公等数列．
b2−4b38b4−16b532 a2−6a36a4−18a530 时p−2．
b1b2p−4−22a1b1−20
b232b3−16b48b5−4 a230a3−18a46a5−6 时p−12．
时b1b2p32−12−64a1b1−2−66．
a1 取值集合 0−2−66．
第三部分
26 （1） A−5G±4．
（2） A2G±1．
27 （1） an7+3n−1bn5×1+30n−1n∈N*．
（2） 年安装量少年生产量 bn≥an
解 n7 时a725b7≈243
n8 时a828b8314
第 8 年起年安装量少年生产量．
28 （1） a112
题：a21a3−3
a2+a3−2．
（2） 数列 bn 等数列．
证明：b1a22a11
bn+1a2n+22a2n+1+4n2−an−2n+4n−2a2n−2bn
数列 bn 首项 1公 −2 等数列．
29 （1） 等数列 an 递增数列等差中项性质 2a3+2a2+a4．
结合等数列通项公式 a1q2828+2a1q+8q
解方程组 q12 q2．
q12 数列 an 递减数列符合题意．
q2代入 a12
an2×2n−12n an2n．
（2） （1） an+12n+1
bnlog2an+1log22n+1n+1．
Sn 数列 bn 前 n 项
等差数列前n项公式 S2020×2+20×19×12230
S20230．
30 （1） Sn2an−λ
n1 时 a1λ
n≥2 时Sn−12an−1−λ
Sn−Sn−12an−2an−1 an2an−2an−1
an2an−1
an λ 首项2 公等数列
anλ⋅2n−1．
（2） λ4 an4⋅2n−12n+1
bn2n+1n奇n+1n偶
T2n22+3+24+5+26+7+⋯+22n+2n+122+24+26+⋯+22n+3+5+⋯+2n+14−22n⋅41−4+n3+2n+124n+1−43+nn+2
T2n4n+13+n2+2n−43．
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选择题（20题100分）
1 列数列中构成等数列
A 2345 B 1－2－48 C 0124 D 16－84－2
2 b≠0abc 成等数列bac
A 充分必条件 B 必充分条件
C 充分必条件 D 充分必条件
3 等数列 an 满足 anan+1＝4n公
A 2 B ±2 C 4 D ±4
4 设 an 等数列 a1+a2+a31a2+a3+a42 a6+a7+a8
A 12 B 24 C 30 D 32
5 数列 an 成等数列充条件
A an+1anq（q 常数） B an+12anan+2≠0
C ana1qn−1（q 常数） D an+1anan+2
6 已知等数列 an 满足 a114a3a54a4−1 a2
A 2 B 1 C 12 D 18
7 数列 an 中a12 n 奇数时an+1an+2 n 偶数时an+12an−1 a12
A 32 B 34 C 66 D 64
8 直角三角形三边长成等数列
A 三边长 ＼（3＼mathbin{：}4＼mathbin{：}5＼） B 三边长 ＼（3＼mathbin{：}＼sqrt 2＼mathbin{：}1＼）
C 较锐角正弦 5−12 D 较锐角正弦 5−12
9 等数列前三项积 2三项积 4项积 64该数列
A 13 项 B 12 项 C 11 项 D 10 项
10 已知等数列 an 满足 a114a3a54a4−1 a2 等
A 2 B 1 C 12 D 18
11 已知 αβγ 成公 2 等数列α∈02π sinαsinβsinγ 成等数列 α 值
A 2π3 0 B 4π3
C 2π3 4π3 D 2π3 4π3 0
12 项均正数等数列 an 中 a63 4a4+a8
A 值 12 B 值 12 C 值 9 D 值 9
13 数列 an 满足 a12∀pr∈N*ap+raparan 等数列
A 充分必条件 B 必充分条件
C 充分必条件 D 充分必条件
14 设 an 项均正数穷数列Ai 边长 aiai+1 矩形面积（i12⋯） An 等数列充条件
A an 等数列
B a1a3⋯a2n−1⋯ a2a4⋯a2n⋯ 等数列
C a1a3⋯a2n−1⋯ a2a4⋯a2n⋯ 均等数列
D a1a3⋯a2n−1⋯ a2a4⋯a2n⋯ 均等数列公相
15 等数列 an 中a32a78 a5
A 4 B −4 C ±4 D 5
16 直角三角形三边长成等数列
A 三边长 3∶4∶5 B 三边长 321
C 较锐角正弦 5−12 D 较锐角正弦 5−12
17 已知实数 −1axb−9 次成等数列实数 x 值
A 3 −3 B 3 C −3 D 确定
18 数列 an 中 an2−an−12p（n≥2n∈N*p 常数）称 an 等方差数列．列等方差数列判断：
① an 等方差数列 an2 等差数列
② −1n 等方差数列
③ an 等方差数列 akn（k∈N*k 常数）等方差数列
④ an 等方差数列等差数列该数列常数列．
中正确命题序号 （正确命题序号填）．
A ①②③ B ①②④ C ②③④ D ①②③④
19 数列 an 前 n 项 Sn3an−2数列通项公式
A an32n−1 B an3×12n−1
C an3n−2 D an3n−1
20 穷数列相邻两项间添加项等两相邻项样操作做该数列次H扩展．已知数列 12．第次H扩展 132第二次H扩展 14352．第 10 次H扩展数列项数
A 1023 B 1025 C 513 D 511
二填空题（5题25分）
21 9 1 等中项 ．
22 （1）等数列 an 中 a1+a240a3+a460 a7+a8
（2）等数列 an 中a6⋅a7⋅a864 a3⋅a11
（3）等数列 an 中a39a63 a12 ．
23 已知数列 an 满足 log2an+11+log2ann∈N* a1+a2+a3+⋯+a101 log2a101+a102+…+a110 ．
24 已知数列 an 满足：意 n∈N* 均 an+1pan+2p−2（p 常数p≠0 p≠1） a2a3a4a5∈−18−6−261130 a1 取值集合 ．
25 已知数列 an 满足：意 n∈N* 均 an+1pan+2p−2（p 常数p≠0 p≠1） a2a3a4a5∈−18−6−261130 a1 取值集合 ．
三解答题（5题65分）
26 分求列两数等差中项等中项．
（1）−2 −8
（2）2−3 2+3．
27 年太阳技术生活中应步伐日益加快．某区 2006 年太阳电池年生产量达 7 亿瓦实际安装量 5 亿瓦．假设干年太阳电池年生产量逐年递增 3 亿瓦年安装量增长率保持 30．
（1） 2006 年第 1 年写出第 n 年太阳电池年产量 an 年安装量 bn．
（2）年年安装量少年生产量
28 已知数列 an 满足 a112an+12an+2n−2n奇数−an−nn偶数bna2n中 n∈N+．
（1）求 a2+a3 值
（2）判断数列 bn 否等数列证明结．
29 已知递增等数列 an 满足 a38 a3+2 a2a4 等差中项．
（1）求数列 an 通项公式
（2） bnlog2an+1Sn 数列 bn 前 n 项求 S20 值．
30 数列 an 前 n 项 Sn 满足 Sn2an−λ（λ>0n∈N*）．
（1）证明：数列 an 等数列求 an
（2） λ4bnann奇log2ann偶（n∈N*）求数列 bn 前 2n 项 T2n．
答案
第部分
1 D
2 B 解析b≠0abc 成等数列⇔b±ac．
b≠0abc 成等数列bac必充分条件．
3 A
4 D 解析设等数列 an 公 q a1+a2+a3a11+q+q21
a2+a3+a4a1q+a1q2+a1q3a1q1+q+q2q2
a6+a7+a8a1q5+a1q6+a1q7a1q51+q+q2q532．
5 B
6 C
7 C 解析 n 偶数时 an+12an−1 an+1an−12a12
a1a3a5a7a9a11 构成 2 首项 2 公等数列
a11a1×2564
n 奇数时 an+1an+2
a12a11+266．
8 D 解析题中条件设三边 aaqaq2（q>1）
勾股定理：a2+a2q2a2q4 q4−q2−10⇒q21+52
设较锐角 A边 a sinAaaq221+55−12．
选D．
9 B 解析设数列通项公式 ana1qn−1
前三项分 a1a1qa1q2
三项分 a1qn−3a1qn−2a1qn−1．
题意 a13q32a13q3n−64
两式相 a16q3n−18 a12qn−12．
a1⋅a1q⋅a1q2⋯⋯a1qn−164
a1nqnn−1264
a12qn−1n642解 n12．
10 C
解析 a3a54a4−1
a1q2⋅a1q44a1q3−1
a114 代入式整理 q6−16q3+640
解 q2
a2a1q12．
11 C 解析 αβγ 成公 2 等数列α∈02π
β12αγ4α
等数列中项零
α≠0
sinαsinβsinγ 成等数列
sin2βsinα⋅sinγ
sin212αsinα⋅sin4α
选项中 α 值代入等式进行检验
α2π3α4π3 合题意．
12 A
13 A
14 D
15 A
解析通解：设公 q（q≠0 q≠1）
题知 a3a1q22 ⋯⋯①a7a1q68 ⋯⋯②
②① q44
q22
a5a3q22×24选A．
优解：等数列性质 a52a3a72×816
a3a5a7 间隔项偶数项
a3a5a7 符号相
a54．
选A．
16 D 解析题中条件设三边 aaqaq2q>1
勾股定理：a2+a2q2a2q4
q4−q2−10⇒q21+52
设较锐角 A边 a
sinAaaq221+55−12．
选D．
17 C 解析实数 −1axb−9 次成等数列 x2−1×−9⇒x±3
x3 时a2−1×3−3显然存样实数 a x−3题选C．
18 D 解析① an 等方差数列
an2−an−12p（n≥2n∈N*p 常数）成立
an2 首项 a12公差 p 等差数列
② an2−an−12−12n−−12n−11−−12
数列 −1n 等方差数列
③数列 an 中项列举出：
a1a2⋯akak+1ak+2⋯a2k⋯a3k⋯
数列 akn 中项列举出：aka2ka3k⋯
ak+12−ak2ak+22−ak+12ak+32−ak+22⋯a2k2−ak2p
ak+12−ak2+ak+22−ak+12+ak+32−ak+22+⋯+a2k2−a2k−12a2k2−ak2kp
类似：akn2−akn−12akn−12−akn−22⋯akn+32−akn+22akn+22−akn+12akn+12−akn2p
连加 akn+12−akn2kp数列 akn 等方差数列
④ an 等方差数列等差数列
an2−an−12p an−an−1dd≠0
an+an−1pd联立解 and2+p2d
an 常数列 d0 时显然 an 常数列
该数列常数列．
19 A 解析数列 an 前 n 项 Sn3an−2⋯⋯①
n≥2 时Sn−13an−1−2⋯⋯②
① − ② an3an−3an−1
an32an−1
n1S13a1−2
a11
数列 an 1 首项32 公等数列
an32n−1．
20 B
解析设第 n 次H扩展数列项数 an
第 n+1 次H扩展数列项数 an+12an−1
an+1−12an−1
an+1−1an−12
a1−13−12
an−1 2 首项2 公等数列
an−12⋅2n−1
an2n+1
a10210+11025．
第二部分
21 ±3
解析9 1 等中项 ±9×1±3．
22 13516±3
23 100
解析 log2an+11+log2an log2an+1log22an
an+12an数列 an a1 首项2 公等数列
a1+a2+…+a101
a101+a102+…+a110a1+a2+…+a10×21002100
log2a101+a102+…+a110log22100100．
24 0−2−66
解析题意an+1+2pan+2记 bnan+2 bn+1pbn
a2a3a4a5∈−18−6−261130
b2b3b4b5∈−16−4061332
① b2b3b4b50 a2a3a4a5−2时 a1−2满足条件
② bk≠0k2345数列 bn p 公等数列
b2−4b38b4−16b532 a2−6a36a4−18a530 时p−2．
b1b2p−4−22a1b1−20
b232b3−16b48b5−4 a230a3−18a46a5−6 时p−12．
时b1b2p32−12−64a1b1−2−66．
a1 取值集合 0−2−66．
25 0−2−66
解析题意an+1+2pan+2记 bnan+2 bn+1pbn
a2a3a4a5∈−18−6−261130
b2b3b4b5∈−16−4061332．
① b2b3b4b50 a2a3a4a5−2时 a1−2满足条件
② bk≠0k2345数列 bn p 公等数列．
b2−4b38b4−16b532 a2−6a36a4−18a530 时p−2．
b1b2p−4−22a1b1−20
b232b3−16b48b5−4 a230a3−18a46a5−6 时p−12．
时b1b2p32−12−64a1b1−2−66．
a1 取值集合 0−2−66．
第三部分
26 （1） A−5G±4．
（2） A2G±1．
27 （1） an7+3n−1bn5×1+30n−1n∈N*．
（2） 年安装量少年生产量 bn≥an
解 n7 时a725b7≈243
n8 时a828b8314
第 8 年起年安装量少年生产量．
28 （1） a112
题：a21a3−3
a2+a3−2．
（2） 数列 bn 等数列．
证明：b1a22a11
bn+1a2n+22a2n+1+4n2−an−2n+4n−2a2n−2bn
数列 bn 首项 1公 −2 等数列．
29 （1） 等数列 an 递增数列等差中项性质 2a3+2a2+a4．
结合等数列通项公式 a1q2828+2a1q+8q
解方程组 q12 q2．
q12 数列 an 递减数列符合题意．
q2代入 a12
an2×2n−12n an2n．
（2） （1） an+12n+1
bnlog2an+1log22n+1n+1．
Sn 数列 bn 前 n 项
等差数列前n项公式 S2020×2+20×19×12230
S20230．
30 （1） Sn2an−λ
n1 时 a1λ
n≥2 时Sn−12an−1−λ
Sn−Sn−12an−2an−1 an2an−2an−1
an2an−1
an λ 首项2 公等数列
anλ⋅2n−1．
（2） λ4 an4⋅2n−12n+1
bn2n+1n奇n+1n偶
T2n22+3+24+5+26+7+⋯+22n+2n+122+24+26+⋯+22n+3+5+⋯+2n+14−22n⋅41−4+n3+2n+124n+1−43+nn+2
T2n4n+13+n2+2n−43．
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