1.图正方体中EF分D1C1B1C1中点
PQ分A1C1EFACBD交点
(1)求证:DBFE四点面
(2)A1C面DBFE交点R求证:PQR三点线
2.已知直线异面面行面行求证∥.
F
E
C
B
y
Z
x
G
D
A
3 图示面体底面长方体截面截中
图示建立空间直角坐标系.
①求点坐标
②求异面直线成角
③求点C截面距离.
4 图三棱锥P—ABC中 PC面ABCPCAC2ABBCDPB点CD面PAB.
(I) 求证:AB面PCB
(II) 求异面直线APBC成角
(III)求二面角CPAB余弦值.
5 图直二面角D—AB—E中四边形ABCD边长2正方形AEEBFCE点BF⊥面ACE
(1)求证AE⊥面BCE
(2)求二面角B—AC—E余弦值.
6 已知正三棱柱底面边长2点M侧棱
(Ⅰ)PAC中点MBB1中点求证BP面AMC1
(Ⅱ)AM面成角试求BM长
P
A
B
C
D
E
7 图底面矩形四棱锥P—ABCD中PA⊥底面ABCDPA=AB=1BC=2.
(1)求证:面PDC⊥面PAD
(2)EPD中点求异面直线AE
PC成角余弦值
8 已知:正三棱柱ABC—A1B1C1中AB aAA1 2a D侧棱BB1中点求证:
(Ⅰ)求证:面ADC1⊥面ACC1A1
(Ⅱ)求面ADC1面ABC成二面角余弦值.
9 已知直四棱柱底面菱形
棱中点线段中点.
(Ⅰ)求证:直线面
(Ⅱ)求证:直线面
(Ⅲ)求面面成二面角
10 棱长1正方体PQ分棱ABCC1分点满足
(1)求证:A1P⊥面AQD
(2)求直线PQ面AQD成角正弦值
Q
P
D1 C1
A1 B1
D C
A B
11 图长方体ABCD-A1B1C1D1中 EF分线段B1D1A1B点D1E2EB1BF2FA1.
(1)求证EF∥AC1
(2)EF两异面直线B1D1A1B公垂线段求证该长方体正方体.
D1 C1
A1 B1
E
F
D C
A B
12 图正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中AA1AB点EM分A1BC1C中点点A1BM三点面A1BMN交C1D1点N
(Ⅰ)求证:EM∥面A1B1C1D1
(Ⅱ)求二面角B—A1N—B1正切值
参考答案
1.(1)证明:EF分D1C1B1C1中点
四边形行四边形
EFDB四点面
(2)确定面
面PQR三点线
2.证明作面
∵∥⊂∴∥
∵⊄⊂∴∥∥
异面∴必相交∴∥
F
E
C
B
y
Z
x
G
D
A
3解(1)
(2)
(3)
4(I)证明:(I) ∵PC面ABC面ABC
∴PCAB
∵CD面PAB面PAB
∴CDAB.
∴AB面PCB.
(II)(I) AB面PCB∵PCAC2∵ABBC求BC.
B原点图建立坐标系.
A(00)B(000)C(00)P(02).
.+0+02.
.
∴异面直线APBC成角.
(III)设面PAB法量m (xyz).
解
令 1 m (01).
设面PAC法量n().
解 令1 n (110).
.
∴二面角CPAB余弦值
5 (1)证明面ACE
∵二面角D—AB—E直二面角
面ABE
(Ⅱ)线段AB中点原点OOE直线x轴
AB直线y轴O点行AD直线z轴建立
空间直角坐标系O—xyz图
面BCEBE面BCE
中点
设面AEC法量
解
令面AEC法量
面BAC法量
∴二面角B—AC—E余弦值
6(Ⅰ)证明:连AC1MC1
取AC1中点G连MG
PGBMPGBM
四边形PGMB行四边形BP MG
BP面AMC1
(II)建立图空间直角坐标系
设
点M坐标
面法量.
题意
7解:A原点AB直线x轴AD直线y轴
P
A
B
C
D
E
AP直线z轴建立空间直角坐标系A(000)
B(100)C(120)D(020)P(001)
E(01).
∴=(-100)=(020)=(001)
=(01) =(12-1)
(1) 面PDC⊥面PAD.
(2)∵cos==
∴求角余弦值.
8
解(Ⅰ)A点原点AA1z轴ABy轴A点AB垂直直线x轴图建立空间直角坐标系
A(000) B(0a0)C()
D(0aa)C1()
取AC1中点MM点坐标(aaa)
(0aa)
(0a0)
∴AC1⊥DMAC⊥DM
∴DM⊥面ACC1A1
DM面ADC1
∴面ADC1⊥面ACC1A1
(Ⅱ)设面ADC1法量(xyz)
·(xyz) 0 (0aa)·(xyz) 0
妨取 面ABC法量(002a)
面ABC面ADC1夹角
∴cos
9 解:设ACBDOMO分C1ACA中点
MOC1C直四棱柱知C1C⊥面ABCD
MO⊥面ABCD菱形ABCD中BD⊥AC
OBOCOM两两垂直O原点OB
OCOM直线分轴轴轴图
建立空间直角坐标系设|OB|1B(100)
B1(102)A(00)C(00)
C1(02)
(I)FM分B1BC1A中点知:F(101)
M(001)(100)
线MF∥OB
面ABCDOB面ABCD
∥面ABCD
(II)(100)(100)面(面ACC1A1)法量
面MF⊥面ACC1A1
(III)面ABCD法量
设法量
设面AFC1面ABCD成二面角
30° 面AFC1面ABCD成二面角30°
10 解(1)D原点DADCDD1直线分
xyz轴建立空间直角坐标系0-xyzD(000)A(100) B(110)
A1(101)C1(011)P(1)Q(01)
.
(2)设PQ面AQD成角θ
直线PQ面AQD成角正弦值
11 D C
A B
D1 C1
A1 B1
E
F
x
y
z
(1)图D原点DADCDD1直线x轴y轴z轴
建立空间直角坐标系设DAa DCbDD1c
E(a b c)F(a b c)A(a00)C1(0bc)
∵FEAC1线∴FE∥AC1
(2)∵D1(00c)B1(a b c) A1(a 0 c)B(a b0)
∴
∵EF两异面直线B1D1A1B公垂线段∴EF⊥B1D1EF⊥A1B
∴-a2+b20b2-c20∴abc
∴该长方体正方体
12 (Ⅰ)建立图示空间直角坐标系设AB2aAA1a(a>0)
A1(2a0a)B(2a 2a 0) C(02a0)C1(02aa)
∵EA1B中点MCC1中点 ∴E(2a a )M(02a )
∴EM A1B1C1D1
(Ⅱ)设面A1BM法量(x y z )
(02a -a )
面A1B1C1D1法量设二面角
:二面角锐二面角
.
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