中学高考——2014·湖南（理科数学）

2014·湖南卷(理科数学)
1．[2014·湖南卷] 满足＝i(i虚数单位)复数z＝(　　)
　 　　　　　 　　　　　 　　　　

A＋i B－i
C．－＋i D．－－i
1．B　[解析] ＝iz＋i＝ziz＝＝＝
2．[2014·湖南卷] 容量N总体抽取容量n样选取简单机抽样系统抽样分层抽样三种方法抽取样时总体中体抽中概率分p1p2p3(　　)
A．p1＝p2＜p3 B．p2＝p3＜p1
C．p1＝p3＜p2 D．p1＝p2＝p3
2．D　[解析] 简单机抽样系统抽样分层抽样等概率抽样体抽中概率均
3．[2014·湖南卷] 已知f(x)g(x)分定义R偶函数奇函数f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1f(1)＋g(1)＝(　　)
A．－3 B．－1 C．1 D．3
3．C　[解析] f(x)偶函数g(x)奇函数
f(1)＋g(1)＝f(－1)－g(－1)＝(－1)3＋(－1)2＋1＝1
4．[2014·湖南卷] 展开式中x2y3系数(　　)
A．－20 B．－5
C．5 D．20
4．A　[解析] 题意通项公式Tr＋1＝C(－2y)r＝C(－2)rx5－ryr令r＝3C(－2)r＝C××(－2)3＝－20
5．[2014·湖南卷] 已知命题p：x＞y－x＜－y命题q：x＞yx2＞y2命题①p∧q②p∨q③p∧(綈q)④(綈p)∨q中真命题(　　)
A．①③ B．①④
C．②③ D．②④
5．C　[解析] 题意知命题p真命题命题q假命题．真值表知p∧q假p∨q真p∧(綈q)真(綈p)∨q假．
6．[2014·湖南卷] 执行图1­1示程序框图．果输入t∈[－22]输出S属(　　)
A．[－6－2] B．[－5－1]
C．[－45] D．[－36]

图1­1
6．D　[解析] (特值法)t＝－2时t＝2×(－2)2＋1＝9S＝9－3＝6D正确．
7．[2014·湖南卷] 块石材表示体三视图图1­2示该石材切削磨加工成球球半径等(　　)

图1­2
A．1 B．2 C．3 D．4
7．B　[解析] 三视图知石材三棱柱(相应长方体半)知球三棱柱切球．题意知正视图三角形切圆半径球半径r＝＝2
8．[2014·湖南卷] 某市生产总值连续两年持续增加第年增长率p第二年增长率q该市两年生产总值年均增长率(　　)
A B
C D－1
8．D　[解析] 设年均增长率x(1＋p)(1＋q)＝(1＋x)2解x＝－1
9．[2014·湖南卷] 已知函数f(x)＝sin(x－φ)
∫0f(x)dx＝0函数f(x)图条称轴(　　)
A．x＝ B．x＝
C．x＝ D．x＝
9．A　[解析] ∫0f(x)dx＝0∫0f(x)dx＝－cos(x－φ)0＝－cos＋cos
φ＝0取φ＝x＝函数f(x)图条称轴．
10．[2014·湖南卷] 已知函数f(x)＝x2＋ex－(x<0)g(x)＝x2＋ln(x＋a)图存关y轴称点a取值范围(　　)
A．(－∞) B．(－∞)
C D
10．B　[解析] 题意设存P(－mn)f(x)图Q(mn)g(x)图m2＋e－m－＝m2＋ln(m＋a)解m＋a＝ee－m－a＝ee－m－－m(m＞0)a∈(－∞)．
()选做题(请考生第111213三题中选两题作答果全做前两题计分)
11．[2014·湖南卷] 面直角坐标系中倾斜角直线l曲线C：(α参数)交AB两点|AB|＝2坐标原点O极点x轴正半轴极轴建立极坐标系直线l极坐标方程________．
11．ρcos θ－ρsin θ＝1　[解析] 题意设直线l：y＝x＋b曲线C：普通方程(x－2)2＋(y－1)2＝1|AB|＝2知圆心(21)直线l：y＝x＋bl：y＝x－1l极坐标方程ρcos θ－ρsin θ－1＝0
12．[2014·湖南卷] 图1­3示已知ABBC⊙O两条弦AO⊥BCAB＝BC＝2⊙O半径等________．

图1­3
12　[解析] 设圆半径r记AOBC交点D题知AD＝1相交弦定理1×(2r－1)＝×解r＝
13．[2014·湖南卷] 关x等式|ax－2|＜3解集a＝________．
13．－3　[解析] 题意－3＜ax－2＜3－1＜ax＜5 －＜x＜－1＜－3x＜5a＝－3
(二)必做题(14～16题)
14．[2014·湖南卷] 变量xy满足约束条件z＝2x＋y值－6k＝________
14．－2　[解析] 画出行域图中阴影部分示难出z＝2x＋y点A(kk)处取值3k＝－6解k＝－2

15．[2014·湖南卷] 图1­4正方形ABCD正方形DEFG边长分ab(a＜b)原点OAD中点抛物线y2＝2px(p＞0)CF两点＝________．

图1­4
15．1＋　[解析] 题意CF代入抛物线方程a＝pb2＝2a化简b2－2ab－a2＝0 2－2－1＝0解＝1＋
16．[2014·湖南卷] 面直角坐标系中O原点A(－10)B(0)C(30)动点D满足||＝1|＋＋|值________．
16．1＋　[解析] ||＝1动点DC圆心半径1圆设D(3＋cos αsin α)
OA＋OB＋OD＝(2＋cos α＋sin α)|OA＋OB＋OD|2＝(2＋cos α)2＋(＋sin α)2＝8＋4cos α＋2sin α＝8＋2sin (α＋φ)
(|＋＋|2)max＝8＋2|＋＋|max＝＋1
17．[2014·湖南卷] 某企业甲乙两研发组研发新产品成功概率分现安排甲组研发新产品A乙组研发新产品B设甲乙两组研发相互独立．
(1)求少种新产品研发成功概率．
(2)新产品A研发成功预计企业获利润120万元新产品B研发成功预计企业获利润100万元．求该企业获利润分布列数学期．
17．解：记E＝{甲组研发新产品成功}F＝{乙组研发新产品成功}题设知
P(E)＝P(E)＝P(F)＝P(F)＝
事件EFEFEFEF相互独立．
(1)记H＝{少种新产品研发成功}H＝E FP(H)＝P(E)P(F)＝×＝
求概率P(H)＝1－P(H)＝1－＝
(2)设企业获利润X(万元)X取值0100120220P(X＝0)＝P(E F)＝×＝P(X＝100)＝P(E F)＝×＝
P(X＝120)＝P(E F)＝×＝
P(X＝220)＝P(EF)＝×＝
求分布列
X
0
100
120
220
P




数学期
E(X)＝0×＋100×＋120×＋220×＝＝＝140
18．[2014·湖南卷] 图1­5示面四边形ABCD中AD＝1CD＝2AC＝

图1­5
(1)求cos∠CAD值
(2)cos∠BAD＝－sin∠CBA＝求BC长．
18．解：(1)△ADC中余弦定理
cos∠CAD＝
题设知cos∠CAD＝＝
(2)设∠BAC＝αα＝∠BAD－∠CAD
cos∠CAD＝cos∠BAD＝－
sin∠CAD＝＝
＝
sin∠BAD＝＝＝
sin α＝sin (∠BAD－∠CAD)
　 ＝sin∠BADcos∠CAD－cos∠BADsin∠CAD
　　 ＝×－×
　　 ＝
△ABC中正弦定理＝
BC＝＝＝3
19．[2014·湖南卷] 图1­6示四棱柱ABCD ­A1B1C1D1棱长相等AC∩BD＝OA1C1∩B1D1＝O1四边形ACC1A1四边形BDD1B1均矩形．
(1)证明：O1O⊥底面ABCD
(2)∠CBA＝60°求二面角C1­OB1­D余弦值．


图1­6
19．解：(1)图(a)四边形ACC1A1矩形CC1⊥AC理DD1⊥BD
CC1∥DD1CC1⊥BDAC∩BD＝OCC1⊥底面ABCD
题设知O1O∥C1CO1O⊥底面ABCD
(2)方法： 图(a)O1作O1H⊥OB1H连接HC1
(1)知O1O⊥底面ABCDO1O⊥底面A1B1C1D1O1O⊥A1C1

图(a)
四棱柱ABCD ­A1B1C1D1棱长相等四边形A1B1C1D1菱形
A1C1⊥B1D1A1C1⊥面BDD1B1A1C1⊥OB1OB1⊥面O1HC1
进OB1⊥C1H∠C1HO1二面角C1­OB1­D面角．
妨设AB＝2∠CBA＝60°OB＝OC＝1OB1＝
Rt△OO1B1中易知O1H＝＝2O1C1＝1C1H＝＝＝
cos∠C1HO1＝＝＝
二面角C1­OB1­D余弦值
方法二：四棱柱ABCD ­A1B1C1D1棱长相等四边形ABCD菱形AC⊥BDO1O⊥底面ABCDOBOCOO1两两垂直．

图(b)
图(b)O坐标原点OBOCOO1直线分x轴y轴z轴建立空间直角坐标系O ­xyz妨设AB＝2∠CBA＝60°OB＝OC＝1相关点坐标O(000)
B1(02)C1(012)．
易知n1＝(010)面BDD1B1法量．
设n2＝(xyz)面OB1C1法量
取z＝－x＝2y＝2n2＝(22－)．
设二面角C1­OB1­Dθ易知θ锐角
cos θ＝|cos〈〉|＝＝＝
二面角C1­OB1­D余弦值
20．[2014·湖南卷] 已知数列{an}满足a1＝1|an＋1－an|＝pnn∈N*
(1){an}递增数列a12a23a3成等差数列求p值
(2)p＝{a2n－1}递增数列{a2n}递减数列求数列{an}通项公式．
20．解：(1){an}递增数列an＋1－an＝|an＋1－an|＝pna1＝1a12a23a3成等差数列4a2＝a1＋3a33p2－p＝0解p＝p＝0
p＝0时an＋1＝an{an}递增数列矛盾p＝
(2){a2n－1}递增数列a2n＋1－a2n－1>0(a2n＋1－a2n)＋(a2n－a2n－1)>0①
<|a2n＋1－a2n|<|a2n－a2n－1|②
①②知a2n－a2n－1>0a2n－a2n－1＝＝③
{a2n}递减数列理a2n＋1－a2n<0a2n＋1－a2n＝－＝④
③④知an＋1－an＝
an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝1＋－＋…＋＝1＋
·＝＋·
数列{an}通项公式an＝＋·
21．[2014·湖南卷] 图1­7O坐标原点椭圆C1：＋＝1(a＞b＞0)左右焦点分F1F2离心率e1双曲线C2：－＝1左右焦点分F3F4离心率e2已知e1e2＝|F2F4|＝－1
(1)求C1C2方程
(2)F1作C1垂直y轴弦ABMAB中点．直线OMC2交PQ两点时求四边形APBQ面积值．

图1­7
21．解： (1)e1e2＝·＝a4－b4＝a4a2＝2b2F2(b0)
F4(b0)b－b＝|F2F4|＝－1b＝1a2＝2C1C2方程分＋y2＝1－y2＝1


(2)AB垂直y轴点F1(－10)设直线AB方程x＝my－1(m2＋2)y2－2my－1＝0
易知方程判式0设A(x1y1)B(x2y2)y1y2述方程两实根y1＋y2＝y1y2＝
x1＋x2＝m(y1＋y2)－2＝AB中点M直线PQ斜率－
PQ方程y＝－xmx＋2y＝0
(2－m2)x2＝42－m2>0x2＝y2＝|PQ|＝2＝2设点A直线PQ距离d点B直线PQ距离d2d＝点AB直线mx＋2y＝0异侧(mx1＋2y1)(mx2＋2y2)<0|mx1＋2y1|＋|mx2＋2y2|＝|mx1＋2y1－mx2－2y2|2d＝
|y1－y2|＝＝2d＝
四边形APBQ面积S＝|PQ|·2d＝＝2·
0<2－m2≤2m＝0时S取值2
综述四边形APBQ面积值2
22．[2014·湖南卷] 已知常数a＞0函数
f(x)＝ln(1＋ax)－
(1)讨f(x)区间(0＋∞)单调性
(2)f(x)存两极值点x1x2f(x1)＋f(x2)＞0求a取值范围．
22．解：(1)f′(x)＝－＝(*)
a≥1时f′(x)>0时f(x)区间(0＋∞)单调递增．
0x1＝2
x∈(0x1)时f′(x)<0
x∈(x1＋∞)时f′(x)>0
f(x)区间(0x1)单调递减
区间(x1＋∞)单调递增．
综述
a≥1时f(x)区间(0＋∞)单调递增
0＜a＜1时f(x)区间单调递减区间单调递增．
(2)(*)式知a≥1时f′(x)≥0
时f(x)存极值点f(x)两极值点必0f(x)极值点x1＝2x2＝－2f(x)定义知
x>－x≠－2
－2>－－2≠－2
解a≠时(*)式易知x1x2分f(x)极值点极值点．
f(x1)＋f(x2)＝ln(1＋ax1)－＋ln(1＋ax2)－＝ln[1＋a(x1＋x2)＋a2x1x2]－
＝ln(2a－1)2－＝ln(2a－1)2＋－2
令2a－1＝x00记g(x)＝ln x2＋－2
(i)－1g(x)区间(－10)单调递减
g(x)0(ii)0g′(x)＝－＝<0
g(x)区间(01)单调递减
g(x)>g(1)＝00
综述满足条件a取值范围


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