高考专题—放缩法
缩法等式证明中种常方法种非常重方法证明程中适进行放缩化繁简化难易达事半功倍效果放缩范围较难握常常出现放缩出结出相反结现象放缩法时确定放缩目标尤重想正确确定放缩目标必须根欲证结抓住题目特点掌握放缩技巧真正做弄懂弄通根题目类型采恰处放缩方法题解活培养提高思维逻辑推理力分析问题解决问题力
数列等式综合问题常常出现高考压轴题中历年高考命题热点类问题效考查学生综合运数列等式知识解决问题力．文介绍类数列关等式问题解决类问题常常放缩法求解途径般两条：先求放缩二先放缩求．
．先求放缩
例1．正数数列前项满足试求：
（1）数列通项公式
（2）设数列前项求证：
解：（1）已知时作差：正数数列公差2等差数列
（2）
注：般先分析数列通项公式．果数列前项直接求者通变形求采先求放缩方法证明等式．求方式般等差等差数列（里谓差数列指数列满足条件）求者利分组裂项倒序相加等方法求．
二．先放缩求
1．放缩成等差数列求
例2．已知项均正数数列前项
(1) 求证：
(2) 求证：
解：（1）条件中令 条件述两式相减注意
∴
（2）
2．放缩成等数列求
例3．（1）设an∈N*a≥2证明：
（2）等数列{an}中前n项AnA7A9A8成等差数列．设数列{bn}前n项Bn证明：Bn＜．
解：（1）n奇数时an≥a．
n偶数时a－1≥1an≥a2
．
（2）∵∴公．
∴． ．
∴．
3．放缩差数列求
例4．已知数列满足：．求证：
证明：号
．数列递增数列
累加：．
令两式相减：
．
4．放缩裂项相消求
例5．m（m≥2）数排列P1P2…Pn中1≤i＜j≤m时Pi＞Pj（前面某数面某数）称PiPj构成逆序 排列全部逆序总数称该排列逆序数 记排列逆序数an排列21逆序数排列321逆序数．
（1）求a4a5写出an表达式
（2）令证明n12…
解（1）已知
（2）
综
注：常放缩结：（1）
（2）．
练1已知数列{a}满足：a1
（1） 求数列{a}通项公式
（2） 设mNmn2证明（a+）（mn+1）
分析：06年河北省高中数学竞赛道解答题（1）家知道数列递推公式通项公式重引导重视数列递推公式
已知a学生形 AB常数）形式次线性递推关系数列通构造新数列求通项公式方法已陌生题中递推关系显然类型否通定系数法构造新数列呢
妨设较系数c1
{}首项公等数列
(2) 问数列二项式定理等式证明综合问题综合性较强
证mn时显然成立易验证仅mn2时等号成立
设面先研究单调性>n时
数列{}递减数列n2须证证事实等式成立综原等式成立
2设数列{}满足
（1） 求{}通项公式
（2）
求证：数列{}前n项
分析：（1）时妨设
已知条件式较系数
首项2公2等数列
（3） （1）知 时
n1时1适合式
方法：(步难度较较关键式缩常数易想必须执果索分析推测出)
方法二 数列中简单尝试方法相重学生做题时想裂项相消法发现种处理达目n3时
易验证n12时 综
面举数列中利放缩法证明等式问题
3已知正项数列{}满足
（1） 判断数列{}单调性
（2） 求证：
分析：（1）
数列{}递增数列
(2) 妨先证
证：原解答中放缩技巧太强面出种证法
时
易验证n1时式成立
综成立
4求证：
证明：
题采第三项开始拆项放缩技巧放缩拆项时定第项开始须根具体题型分放太宽缩太窄真正做恰倒处
5已知求证：
证明：
6 已知数列{an}前n项Sn满足：Sn2an +(1)nn≥1．
（Ⅰ）写出求数列{an}前3项a1a2a3
（Ⅱ）求数列{an}通项公式
（Ⅲ）证明：意整数m>4
解数列{}通项公式：
⑶已知：
( m>4)
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缩法等式证明中种常方法种非常重方法证明程中适进行放缩化繁简化难易达事半功倍效果放缩范围较难握常常出现放缩出结出相反结现象放缩法时确定放缩目标尤重想正确确定放缩目标必须根欲证结抓住题目特点掌握放缩技巧真正做弄懂弄通根题目类型采恰处放缩方法题解活培养提高思维逻辑推理力分析问题解决问题力
数列等式综合问题常常出现高考压轴题中历年高考命题热点类问题效考查学生综合运数列等式知识解决问题力．文介绍类数列关等式问题解决类问题常常放缩法求解途径般两条：先求放缩二先放缩求．
．先求放缩
例1．正数数列前项满足试求：
（1）数列通项公式
（2）设数列前项求证：
解：（1）已知时作差：正数数列公差2等差数列
（2）
注：般先分析数列通项公式．果数列前项直接求者通变形求采先求放缩方法证明等式．求方式般等差等差数列（里谓差数列指数列满足条件）求者利分组裂项倒序相加等方法求．
二．先放缩求
1．放缩成等差数列求
例2．已知项均正数数列前项
(1) 求证：
(2) 求证：
解：（1）条件中令 条件述两式相减注意
∴
（2）
2．放缩成等数列求
例3．（1）设an∈N*a≥2证明：
（2）等数列{an}中前n项AnA7A9A8成等差数列．设数列{bn}前n项Bn证明：Bn＜．
解：（1）n奇数时an≥a．
n偶数时a－1≥1an≥a2
．
（2）∵∴公．
∴． ．
∴．
3．放缩差数列求
例4．已知数列满足：．求证：
证明：号
．数列递增数列
累加：．
令两式相减：
．
4．放缩裂项相消求
例5．m（m≥2）数排列P1P2…Pn中1≤i＜j≤m时Pi＞Pj（前面某数面某数）称PiPj构成逆序 排列全部逆序总数称该排列逆序数 记排列逆序数an排列21逆序数排列321逆序数．
（1）求a4a5写出an表达式
（2）令证明n12…
解（1）已知
（2）
综
注：常放缩结：（1）
（2）．
练1已知数列{a}满足：a1
（1） 求数列{a}通项公式
（2） 设mNmn2证明（a+）（mn+1）
分析：06年河北省高中数学竞赛道解答题（1）家知道数列递推公式通项公式重引导重视数列递推公式
已知a学生形 AB常数）形式次线性递推关系数列通构造新数列求通项公式方法已陌生题中递推关系显然类型否通定系数法构造新数列呢
妨设较系数c1
{}首项公等数列
(2) 问数列二项式定理等式证明综合问题综合性较强
证mn时显然成立易验证仅mn2时等号成立
设面先研究单调性>n时
数列{}递减数列n2须证证事实等式成立综原等式成立
2设数列{}满足
（1） 求{}通项公式
（2）
求证：数列{}前n项
分析：（1）时妨设
已知条件式较系数
首项2公2等数列
（3） （1）知 时
n1时1适合式
方法：(步难度较较关键式缩常数易想必须执果索分析推测出)
方法二 数列中简单尝试方法相重学生做题时想裂项相消法发现种处理达目n3时
易验证n12时 综
面举数列中利放缩法证明等式问题
3已知正项数列{}满足
（1） 判断数列{}单调性
（2） 求证：
分析：（1）
数列{}递增数列
(2) 妨先证
证：原解答中放缩技巧太强面出种证法
时
易验证n1时式成立
综成立
4求证：
证明：
题采第三项开始拆项放缩技巧放缩拆项时定第项开始须根具体题型分放太宽缩太窄真正做恰倒处
5已知求证：
证明：
6 已知数列{an}前n项Sn满足：Sn2an +(1)nn≥1．
（Ⅰ）写出求数列{an}前3项a1a2a3
（Ⅱ）求数列{an}通项公式
（Ⅲ）证明：意整数m>4
解数列{}通项公式：
⑶已知：
( m>4)
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