作业1 元函数
1.填空题
(1)已知函数
(2)定义域
(3)定义域
(4)函数连续范围 全面
(5)函数处间断
2.求列极限
(1)
解:
(2)
解:
3.讨极限否存
解:着曲线异极限存
4.证明点分变量 连续作二元函数点连续
解:
知点分变量 连续着曲线异
极限存作二元函数点连续
作业2 偏导数
1.填空题
(1)设
(2)(3)设
(3)设 0
(4)曲线点处切线轴正倾角
2.设 证明
证
3 设求
解:
4.设 证明
解:
5.设函数
(1)试求偏导函数
解:
(2)考察偏导函数点处否连续
点处连续
存点处连续
作业3 全微分应
1.填空题
(1)点处偏导数存该点微
必 条件
(2)函数点处时全增量
全微分
(3)设点处全增量全微分点处全增量全微分关系式
(4)点处
(5)
(6)
(7)
2.证明:点处连续存 处微
证:
存处微
3.设函数
试证:(1)函数点处微
证:
函数点处微
(2)函数点处连续
证:
存
点处连续
作业4 元复合函数求导法
1.填空题
(1)设
(2)设
(3)设
(4)设
2.求列函数偏导数
(1)设中具阶连续偏导数求
解:
(2)设中均微求
解:
3.验证列式
(1)设中微
证:
(2)设中微
证:
4.设中函数具二阶连续偏导数求
解:
4.设中函数具二阶连续偏导数试证:
证:
左边
作业5 隐函数求导法
1.填空题
(1)已知
(2)已知
(3)已知
(4)已知
(5)已知中具阶连续偏导数
2.设中具二阶连续偏导数求.
解:
3.求方程组确定导数
解:已知
4.设函数方程确定函数中均微连续 试证:
证:
5.设函数具二阶连续偏导数满足方程求
解:
特征方程
作业6 方导数梯度
1.填空题
(1)梯度量方函数变化率
(2)函数定点方导数值梯度 模
(3)函数点梯度
(4)函数点处方方导数
函数该点梯度
(5)函数点处方方导数
(6)函数点处指点方方导数
2.求点点处梯度间夹角
解:
夹角余弦
3.求二元函数点方方导数梯度指出该点方减少快?方值变?
解:
该点梯度相反方方减少快
梯度垂直方方值变
4.设轴正转角求函数
点处着方方导数
解:
该函数点处微公式定义出着方方导数:
作业7 偏导数应
1.填空题
(1)已知曲面点切面行面点 坐标
(2)曲面点处切面方程
(3)曲线绕轴旋转周旋转曲面点 处指侧单位法量
(4)曲面点处法线方程
(5)已知曲线点切线行面点坐标.
2.求曲线应点处切线法面方程
解:切点
切线
法面
3.求两圆柱面交线点处切线法面方程
解:
切线法面
4.求曲面点处切面法线方程
解:
切面法线
5.求函数点处曲线点外法线方方导数
解:
指外侧点外法线方方导数
6.证明:曲面意点处切面通原点中具连续导数
证:设切点
切面
令左边等右边原点意点处切面意点处切面通原点
作业8 元函数极值
1.填空题
(1)函数极值 0
(2)函数极值点
(3)函数极值点
(4)函数极值
(5)函数极值
2.证明:函数穷极值点极值点
证:
驻点坐标
偶数时零极值时
该函数穷极值点极值点
3.求函数条件极值
解:令
4.求函数圆域值值
解:先求圆部驻点驻点
求圆周约束极值令
必矛盾
必
求值4值
5.半径半球求体积接长方体
解:设第卦限顶点坐标
令
长宽均高
6.求椭圆长半轴短半轴
解:称性知椭圆中心点问题转化求约束条件值
取
时约束条件
时约束条件
椭圆长半轴短半轴
第七章元函数微分学测试试卷
1.单项选择题(题3分)
(1) 二重极限值 ( D )
(A)0 (B)1 (C) (D)存
(2)二元函数点处两偏导数存( D )
(A)该点微 (B) 该点连续微
(C)该点意方方导数存(D) 结
(3)函数处( A )
(A) 取极值 (B) 取极值 (C) 取极值 (D)否取极值赖
(4)曲线切线中面行切线( B )
(A)1条 (B)2条 (C)少3条 (D)存
(5)设中面运算中( B )
(A)正确 (B) 正确正确
(C) 正确正确 (D) 正确
2.填空题(题3分)
(1)已知理想气体状态方程
(2)设
(3)函数点梯度
(4)已知中微函数
(5)已知曲面点处法线行直线该法线方程
3.设中均二阶微函数求
解:
4.设试新变量变换方程中变量二阶连续偏导数
解:
5.已知中均微函数求
解:函数取全微分
6.设曲面处指外侧法量求函数点处方方导数
解:指侧抛物面外侧
7.第卦限作椭球面切面该切面三坐标面围成四面体体积求切点坐标
解:设切点切面
值问题值问题等价问题焕位已
令
约束条件结合推
第卦限切点
8.设
(1)求
(2)否原点连续?原点否微?说明理
解:(1)
分段点定义求偏导数
(2)原点二重极限存连续
9.已知常数求证:
解:令问题化约束条件值1
令
结合约束条件
该实际问题值定存点唯值
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