专题三 含参数函数等式恒成立问题
等式问题数学中重容含参数函数等式恒成立问题重点中难点．类问题含参数含变量知识效交汇利考查学生综合解题力检验学生思维灵活性创造性正符合高考强调力立意强调数学思想方法命题思想恒成立问题成年全国高考数学试题热点．
模块1 整理方法 提升力
处理含参数函数等式（未知数）恒成立问题方法考虑分离参数法猜想值法（必条件法）．果分离参数法猜想没作难点分离参数法次求导洛必达法．果猜想法续3种：猜想没作二利猜想减少分类讨三猜想基础强化答案．改造形式解答题优先选择曲利分离参数法转化曲两函数函数化边考虑函数图象轴交点情况（质曲）．
洛必达法
果（）时两函数趋零趋穷极限存存．果存极限值相．称类极限型型定式极限．类极限般洛必达法求．
定理1：函数满足条件：
（1）．
（2）某心邻域导．
（3）存穷．
．
定理2：函数满足条件：
（1）．
（2）某心邻域导．
（3）存穷．
．
定理1定理2中分子分母分求导求极限方法称洛必达法．
洛必达法时需注意：
（1）必须型型定式极限．
（2）型型定式极限函数满足定理中满足条件继续洛必达法．
（3）法判定极限状态判定极限振荡存洛必达法失效时需方法计算．
（4）定理中换时定理中条件作相应修改定理然成立．
例1
已知函数（）．
（1）求值
（2）恒成立求正数值．
解析（1）定义域．
①时函数增函数．
②时递增递减．值．
（i）时．
（ii）时．
综述时时．
（2）令恒成立恒成立．
法1：（分离参数法）等式恒成立恒成立恒成立．
令令递增递增．
洛必达法正数值．
法2：（猜想直接值法）构造函数．
①时函数递增．
②时函数递减合题意．
综述正数值．
法3：（先猜想猜想强化）常等式（）．时式子恒成立恒成立．
面证明取证明等式恒成立．构造函数（）函数递增等式恒成立正数值．
法4：（先猜想猜想强化）恒成立．
法3．
法5：（先猜想猜想强化）等式恒成立恒成立恒成立．洛必达法．
法3．
点评法1（分离参数法）恒成立问题转化求值法2（值法）恒成立问题转化求值．见值法分离参数法质相通质等式恒成立问题转化求函数值问题区求函数中否含参数．
法3法4法5先求出必条件然必条件进行强化需解题敏感度判断力．果必条件法2值法进行结合减少法2分类讨．
例2
设函数．
（1）求单调区间
（2）整数时求值．
解析（1）．
①时恒成立递增．
②时．递减递增．
（2）时恒成立．
法1：（分离参数法）恒成立恒成立．令令恒成立递增（（1）知函数递增）．唯根时时递减递增值值．
法2：（猜想直接值法）令令．
①时恒成立递增恒成立．
②时（整数）知时时值．令恒成立单调递减．．时恒成立时恒成立．
综述值．
法3：（先猜想猜想强化）恒成立时该式子成立．证值．
令递减递增．值．
点评整数先猜想猜想强化优先采解题方法．果整数条件掉必条件强化减少分类讨时猜想没作法1分离参数法法2值法进行求解．
例3
设函数．
（1）求单调区间
（2）时求取值范围．
解析（1）时．．递增区间递减区间．
（2）法1：（分离参数法）恒成立恒成立．
时式子显然成立时分离参数恒成立．令令
递增递增递增．
洛必达法．
法2：（猜想直接值法）．
①时递增递增．
②时时递减递减恒成立．
综述取值范围．
法3：（先猜想猜想强化）时恒成立．
时恒成立恒成立．洛必达法．
递增递增．
点评恒成立问题值法分离参数法两种常方法．果分离函数容易求值选分离参数法否选值法．值法考查学生分类讨思想般遵循构造函数——分类讨两部曲展开．稍难恒成立问题果分离参数法处理需次求导洛必达法．题中法2值法法1分离参数法简单处理
值处理值容易．
猜想值法模式解决恒成立问题重模式猜想般方法：特殊值代入等式放缩洛必达法端点效应．
模块2 练巩固 整合提升
练1：已知函数．
（1）求曲线点处切线方程
（2）求证：时
（3）设实数恒成立求值．
解析（1）切线方程．
证明（2）构造函数．递增．时．
解析（3）法1：（猜想直接值法）构造函数．
①时递增．
②时递增．
③时递减恒成立．
综述值．
法2：（先猜想猜想强化）（2）知猜想值．面证明
时恒成立．
构造函数．时递减恒成立．
练2：设函数．
（1）证明：单调递减单调递增
（2）意求取值范围．
证明（1）令递增时时单调递减单调递增．
解析（2）（1）知递减递增意．构造函数递减递增．取值范围．
练3：已知函数．
（1）时求曲线处切线方程
（2）时求取值范围．
解析（1）定义域．时．曲线处切线方程．
（2）法1：（分离参数法）时．令令递增递增．
洛必达法．取值范围．
法2：（猜想直接值法）．
①时递增．
②时令（）递增．
（i）时递增．
（ii）时存时递减．
综述取值范围．
法3：（变形猜想直接值法）时．令记称轴开口方抛物线．
①时递增．
②时判式两根妨设．韦达定理时递减．
综述取值范围．
法4：（通猜想减少分类讨）时．．
记称轴开口方抛物线．时递增．取值范围．
法5：（通猜想减少分类讨）时．洛必达法．
法4．
练4：已知函数曲线点处切线方程．
（1）求值
（2）果时求取值范围．
解析（1）
．
（2）法1：（分离参数法）令（）．
令令令．
时递增递减递增递减．
时递增递增递增递增．
洛必达法理时．
法2：（猜想直接值法）（1）知考虑函数时．
令时判式．
①时递减时时
．时恒成立．
②时开口方称轴轴两交点二次函数．时递增．时恒成立．
③时增函数时恒成立．
④时开口方称轴轴两交点二次函数．恒成立增函数③恒成立．
⑤时开口方称轴轴交点二次函数恒成立增函数③恒成立．
综述取值范围．
法3：（通猜想减少分类讨）（1）知．．
考虑函数时．
令开口方抛物线判式．
①时递减时时．时恒成立．
②时开口方称轴轴两交点二次函数．时递增．时恒成立．
综述取值范围．
法4：（通猜想减少分类讨）洛必达法．
法2需讨法2①②③三种情况．
法5：（通猜想减少分类讨）洛必达法．
法2需讨法2①．
点评法1分离参数法利高阶导数洛必达法减少解题技巧性．法2值法构造函数需恒成立求出取值范围．表达式较复杂复杂根源前面带直接求导会式子变更复杂提取变纯粹点．正负取决正负找3界：012范围作出重漏划分．
法3法4法5猜想值法分通特殊值代入洛必达法相应必条件效缩参数取值范围时需讨法2分类中干情况减少分类讨降低题目难度．
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等式问题数学中重容含参数函数等式恒成立问题重点中难点．类问题含参数含变量知识效交汇利考查学生综合解题力检验学生思维灵活性创造性正符合高考强调力立意强调数学思想方法命题思想恒成立问题成年全国高考数学试题热点．
模块1 整理方法 提升力
处理含参数函数等式（未知数）恒成立问题方法考虑分离参数法猜想值法（必条件法）．果分离参数法猜想没作难点分离参数法次求导洛必达法．果猜想法续3种：猜想没作二利猜想减少分类讨三猜想基础强化答案．改造形式解答题优先选择曲利分离参数法转化曲两函数函数化边考虑函数图象轴交点情况（质曲）．
洛必达法
果（）时两函数趋零趋穷极限存存．果存极限值相．称类极限型型定式极限．类极限般洛必达法求．
定理1：函数满足条件：
（1）．
（2）某心邻域导．
（3）存穷．
．
定理2：函数满足条件：
（1）．
（2）某心邻域导．
（3）存穷．
．
定理1定理2中分子分母分求导求极限方法称洛必达法．
洛必达法时需注意：
（1）必须型型定式极限．
（2）型型定式极限函数满足定理中满足条件继续洛必达法．
（3）法判定极限状态判定极限振荡存洛必达法失效时需方法计算．
（4）定理中换时定理中条件作相应修改定理然成立．
例1
已知函数（）．
（1）求值
（2）恒成立求正数值．
解析（1）定义域．
①时函数增函数．
②时递增递减．值．
（i）时．
（ii）时．
综述时时．
（2）令恒成立恒成立．
法1：（分离参数法）等式恒成立恒成立恒成立．
令令递增递增．
洛必达法正数值．
法2：（猜想直接值法）构造函数．
①时函数递增．
②时函数递减合题意．
综述正数值．
法3：（先猜想猜想强化）常等式（）．时式子恒成立恒成立．
面证明取证明等式恒成立．构造函数（）函数递增等式恒成立正数值．
法4：（先猜想猜想强化）恒成立．
法3．
法5：（先猜想猜想强化）等式恒成立恒成立恒成立．洛必达法．
法3．
点评法1（分离参数法）恒成立问题转化求值法2（值法）恒成立问题转化求值．见值法分离参数法质相通质等式恒成立问题转化求函数值问题区求函数中否含参数．
法3法4法5先求出必条件然必条件进行强化需解题敏感度判断力．果必条件法2值法进行结合减少法2分类讨．
例2
设函数．
（1）求单调区间
（2）整数时求值．
解析（1）．
①时恒成立递增．
②时．递减递增．
（2）时恒成立．
法1：（分离参数法）恒成立恒成立．令令恒成立递增（（1）知函数递增）．唯根时时递减递增值值．
法2：（猜想直接值法）令令．
①时恒成立递增恒成立．
②时（整数）知时时值．令恒成立单调递减．．时恒成立时恒成立．
综述值．
法3：（先猜想猜想强化）恒成立时该式子成立．证值．
令递减递增．值．
点评整数先猜想猜想强化优先采解题方法．果整数条件掉必条件强化减少分类讨时猜想没作法1分离参数法法2值法进行求解．
例3
设函数．
（1）求单调区间
（2）时求取值范围．
解析（1）时．．递增区间递减区间．
（2）法1：（分离参数法）恒成立恒成立．
时式子显然成立时分离参数恒成立．令令
递增递增递增．
洛必达法．
法2：（猜想直接值法）．
①时递增递增．
②时时递减递减恒成立．
综述取值范围．
法3：（先猜想猜想强化）时恒成立．
时恒成立恒成立．洛必达法．
递增递增．
点评恒成立问题值法分离参数法两种常方法．果分离函数容易求值选分离参数法否选值法．值法考查学生分类讨思想般遵循构造函数——分类讨两部曲展开．稍难恒成立问题果分离参数法处理需次求导洛必达法．题中法2值法法1分离参数法简单处理
值处理值容易．
猜想值法模式解决恒成立问题重模式猜想般方法：特殊值代入等式放缩洛必达法端点效应．
模块2 练巩固 整合提升
练1：已知函数．
（1）求曲线点处切线方程
（2）求证：时
（3）设实数恒成立求值．
解析（1）切线方程．
证明（2）构造函数．递增．时．
解析（3）法1：（猜想直接值法）构造函数．
①时递增．
②时递增．
③时递减恒成立．
综述值．
法2：（先猜想猜想强化）（2）知猜想值．面证明
时恒成立．
构造函数．时递减恒成立．
练2：设函数．
（1）证明：单调递减单调递增
（2）意求取值范围．
证明（1）令递增时时单调递减单调递增．
解析（2）（1）知递减递增意．构造函数递减递增．取值范围．
练3：已知函数．
（1）时求曲线处切线方程
（2）时求取值范围．
解析（1）定义域．时．曲线处切线方程．
（2）法1：（分离参数法）时．令令递增递增．
洛必达法．取值范围．
法2：（猜想直接值法）．
①时递增．
②时令（）递增．
（i）时递增．
（ii）时存时递减．
综述取值范围．
法3：（变形猜想直接值法）时．令记称轴开口方抛物线．
①时递增．
②时判式两根妨设．韦达定理时递减．
综述取值范围．
法4：（通猜想减少分类讨）时．．
记称轴开口方抛物线．时递增．取值范围．
法5：（通猜想减少分类讨）时．洛必达法．
法4．
练4：已知函数曲线点处切线方程．
（1）求值
（2）果时求取值范围．
解析（1）
．
（2）法1：（分离参数法）令（）．
令令令．
时递增递减递增递减．
时递增递增递增递增．
洛必达法理时．
法2：（猜想直接值法）（1）知考虑函数时．
令时判式．
①时递减时时
．时恒成立．
②时开口方称轴轴两交点二次函数．时递增．时恒成立．
③时增函数时恒成立．
④时开口方称轴轴两交点二次函数．恒成立增函数③恒成立．
⑤时开口方称轴轴交点二次函数恒成立增函数③恒成立．
综述取值范围．
法3：（通猜想减少分类讨）（1）知．．
考虑函数时．
令开口方抛物线判式．
①时递减时时．时恒成立．
②时开口方称轴轴两交点二次函数．时递增．时恒成立．
综述取值范围．
法4：（通猜想减少分类讨）洛必达法．
法2需讨法2①②③三种情况．
法5：（通猜想减少分类讨）洛必达法．
法2需讨法2①．
点评法1分离参数法利高阶导数洛必达法减少解题技巧性．法2值法构造函数需恒成立求出取值范围．表达式较复杂复杂根源前面带直接求导会式子变更复杂提取变纯粹点．正负取决正负找3界：012范围作出重漏划分．
法3法4法5猜想值法分通特殊值代入洛必达法相应必条件效缩参数取值范围时需讨法2分类中干情况减少分类讨降低题目难度．
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