测量平差课后习题答案张书毕

测量差参考答案 Ch1Ch4
第 1 页 44 页

测量差第章
题目：独立观测值 1L 2L 中误差分σˆ1 σˆ2求列函数中误差：
21 32)1(LLS  21
2
1 35)2(LLLS  )cos(
sin)3(
21
1
LL
LS

解答：
（1） 1L 独立观测值
  2
2
2
12
2
2
1
21 94
3
23232S 

 








 LL
∴ 2
2
2
1 94  S
（2） 21
1
35
2 LLL
S 
 1
2
3LL
S 

函数式进行全微分：
21121 )3()35
2(LLs dLdLLd 
2
2
2
1
2
1
2
21 9)35
2(  LLLS 
（3）函数式进行全微分：
2
21
2
211
1
21
2
2
2
21
2
211
1
21
2
211211
)(cos
)sin(sin
)(cos
cos
)(cos
)sin(sin
)(cos
)sin(sin)cos(cos
dL
LL
LLLdL
LL
L
dL
LL
LLLdL
LL
LLLLLLds









2
2
2
21
2
2112
1
2
21
2
2 )
)(cos
)sin(sin()
)(cos
cos( 



 

 LL
LLL
LL
L
S
解答：
3
4 测量差参考答案 Ch1Ch4
第 2 页 44 页

 
1
2 1 0
1 3 1
0 1 2
5 1 11 0 0 8 4 82 1 0 1 0 0
1 1 11 3 1 0 1 0 0 1 0 4 2 40 1 2 0 0 1 1 1 50 0 1 8 4 8
5 1 1
8 4 8 5 2 1
1 1 1 1 2 4 24 2 4 8 1 2 51 1 5
8 4 8
LL
LL LL
LLLL
LL
LLLL
I
E
P
QP
QP
P
QP 






   

 
     


Q
协数阵
2
2
32
0 5
0
5 2 1
4 2 4 25 1 2 5
LL LL
LL
QD
D









  

Q
Q
协方差阵

题目：已知观测量 L 协方差阵 LLD组成函数
X AL Y BX
AB 常数阵
求协方差阵 DXL YLD XYD
解答：
5 测量差参考答案 Ch1Ch4
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     
     
 
D E
( )( ( ) )
T
XL
T
T
LL
XEXLEL
E AL AE L L E L
AE L E L L E L
AD

  
  


[( ( ))( ( )) ]
[( ( ))( ( ) )]
[( ( ))( ( )) ]
T
YL
T
T
XL
DEYEYLEL
E BX BE X L E L
BE X E X L E L
BD
  
  
  

[( ( ))( ( )) ]
[( ( ))( ( )) ]
[( ( ))( ( )) ]
T
XY
T
T
TTT
LX XL
DEXEXYEY
E AL AE L BX E BX
AE AL AE L BX E BX
AD B AD B
  
  
  


解答：
题意知
   
 
   
 
12
1 3 1 2 3
12＇＇＇＇ 2
22
13
3＇＇
2
22
1 3 1 2 322
＇＇＇＇ 2
22
13
cos cos sin cos cos
sin sin
sin sin
sin
cos cos sin cos cos
sin sin
sin sin
AB AB AB AB
AB AB
AB AB AB AB
xx
AB AB
STSTd x d d
STd
STSTD
ST

       

       



  

      
   

 
3
2
＇＇
2
1
3
2
sin
0015
sin cos 2000cos60 1000sin
1000 0015
x x x
x AB AB
x
Dm
S T m
m


 
  



  
    
  
o

6 测量差参考答案 Ch1Ch4
第 4 页 44 页

题目：设 P1 点 P2 点坐标：





mY
mX
001000
001000
1
1





mY
mX
001500
001800
2
2
量 TYXYX 2111 协方差阵： 2)(
8230
2612
3142
0223
cm















（1）试求坐标差函数 12 XXX  12 YYY  方差—协方差阵
（2）求两点间边长 22 YXS  坐标方位角 )arctan( XYT  方差
—协方差阵
解答：
（1）量 TYXYX 2111 协方差阵
  52
1
111 2112
11
22 22
2
2
1
2
2 











 XXXX
XXX
XXX
X 
 理
  62
1
111 2112
11
22 22
2
2
1
2
2 











 YYYY
YYY
YYY
Y 

  1
1
111
111
222
2
1 












YXYX
YXYX
YX 

∴ 










 61
15
2
2
YXY
YXX
YXD



（2）函数式进行全微分：
7 测量差参考答案 Ch1Ch4
第 5 页 44 页

2 2 2 2SXY
XYd d d
XYXY

     
2 2 2 2TXY
XYd d dXYXY
       
协方差传播方程
2 2 2 2 2
222 2 2 2
( ) ( ) 2SXYXY
XYXY
XYXYXY
      
              2410186 m
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2( ) ( ) 2 ()TXYXY
YYXY
XYXYXY      
              2101045 m
2
2
8294 10
XXY
ST
XYY
T
SS X
TXY
Y
m


  
  


     



方差—协方差阵：
2 4 2 8 2
2 8 2 10 2
618 10 94 10
94 10 54 10
STS
ST
STT
mmD
mm



  

  


解答：
8 测量差参考答案 Ch1Ch4
第 6 页 44 页

0 0
0 0
cos
1
1 016 284259
1
1 099 46266
10
( sin )
( cos )
P A APAP
P A APAP
A APAP
A APAP
A APAP
A APAP
sin
x dxZ dZy dy
dx d d dAPAPAP
d d d
dy d d dAPAPAP
d d d
dxdZ dy
SXXT
SYYT
SXTSTT
SXT
SYTSTT
SYT


           
  
  
  
  
  

Q
（cos ）
（sin ）
2
2
2
2
＇＇2
016 284259
0 1 099 46266
0 0 0
100 0 0
1 0 016 284259 0 10 0 00 1 099 46266 016 099
284259 46266
0 0 0
27
A
A
AP
AP
A
A
AP
AP
Z
d
d
d
d
X
Y
S
T
X
Y
S
T
D











   



协方差传播律：
32
2 3 2
2 3 2
74 407
407 350
2774
350
10
10
10
x
y
m
m
m






  
 测量差参考答案 Ch1Ch4
第 7 页 44 页

017 006
246266 584259
xy
PP
P m m
mm
p
XY
    

  
点坐标中误差：
点值代入函数：
点坐标x246266 017my584259 006m

解答：
11 00075 3008
5 00075 15 0029ABh
ms
S m m
  
  
  
     
站站千米
千米千米

题目：设半侧回观测次方中误差 0ˆ 试问测回角度中误差等
少
解答：设半侧回测角度  半测回  A 方角观测值
21 AA  43 AA 
  2
02
0
2
02
ˆ2
1
1
ˆ0
0ˆ11 

 









理   2
02
0
2
02
ˆ2
1
1
ˆ0
0ˆ11 

 









2
 
2
02

2
2 ˆ
2
1
2
1
0
0
2
1
2
1 

 






















测回角度中误差  ˆ

10
11 测量差参考答案 Ch1Ch4
第 8 页 44 页

．解答：

解设路线总长 S 公里测量学附合路线计算步骤路线闭合差
BAh HhhHf  21
路线中点  1 2 1 2
11
22h A Bv v f H h h H      
线路中点高程
 
 BA
BA
BAAA
HHh
h
HHhh
HhhHhHvhHH









 


2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1ˆ
2
1
21
21111中点

设公里高差观测中误差 0 021 )2(  shh  误差传播定律
)(16104
25)52(4
1)52(4
1
)2(4
1)2(4
1
4
1
4
1
2
1
2
1
0
0
2
1
2
1
222
2
0
2
0
22
2
2
ˆ2
11
2
1
kmSSss
sshh
h
h
H
























 


 中点

题目：
角度测２０测回中误差±０．４２＇＇问增加少测回
12
13 测量差参考答案 Ch1Ch4
第 9 页 44 页

中误差±０２８＇＇
解答：
设测回中误差σ0需增加 n 测回：

01 042
20
 
01 042 20 

02 028
n+20
 
02 028 20n 
式解出 n：

2
2
20 042 20 25028n   

解答：

 
    
     
 
 
 
 
1 1 2 2
1
1
12
1
1 0
1
10
1
nn
n
xx
x
n
n
x
pLx p L p L p Lpp
p
pp
pppQ p p p p p
p p
p
pp
    


   


L
L
LMOMM
L

题目：已知独立观测值  TLL 21L  方差阵 


 80
016DLL 单位权方差
22
0  试求权阵 PLL 权 P1P2
14
15 测量差参考答案 Ch1Ch4
第 10 页 44 页

解答： 8
1
2
1
2
0
1 
L
P


4
1
2
2
2
0
2 
L
P



∴











4
10
08
1
LLP
解答：题意求出 xx yy xyQQQ ：
  































n
i i
i
n
n
nxx p
p
p
p
Q
1
2
2
1
2
1
21
100
00
010
001




 






理：
2
11

nn
i i i
yy xy yx
iiii
QQQpp
  

  
 















n
i i
i
n
i i
ii
n
i i
i
yyxyxx
yyyx
xyxx
F
FF
pfpffpf
QfQffQf
f
f
QQ
QQ
ffpQ
1
2
2
2
1
21
1
2
2
1
2
221
2
1
2
1
21
2
21


题目：
已知观测值量 L协数阵单位阵方程：
V BX L
0TTB BX B L
1 T()TXBBBL
ˆL LV
式中： B 已知系数阵 TBB逆矩阵
求协数阵 XXQ LLQ
16
17 测量差参考答案 Ch1Ch4
第 11 页 44 页

证明V X ˆL 均互丌相关
解答：
（1）L 协数阵单位阵E

11
1 1 1
Q ( ) (( ) )
()())()
TTTTT
XX
TTTTT
BBBEBBB
BBBBBBBB

  


ˆ ˆ ˆL L V L BX L BX     

1()TTT
LL XXQ BQ B B B B B
(2) V BX L
11( ) (( ) ) 0TTT
VX XX LXQ BQ Q B B B B B B    
ˆ L L V L BX V   
ˆ 0LV VV XV VV VV XVLVQ Q Q BQ Q Q BQ      

解：
⑴千米观测高差中误差
错误未找引源
 2
0
0
11*4 *1622 53 080226
09
p
n
mm


   


⑵段观测高差中误差
1 1 0 2 2 0
3 3 0
133 207
09
s mm s mm
s mm
   

   

⑶ 段高差均值中误差
18 测量差参考答案 Ch1Ch4
第 12 页 44 页

12
1
3
1
094 146
22
0636
2
mm mm
mm


   

中 2中
中

⑷全长次观测高差中误差
0 262s mm全
⑸全长高差均值中误差
185mm
2
 全
全

测量差第二章

题目：确定某航摄片中块梯形面积卡觃量底边长 1l
底边长 2l 高h 求积仦量面积 S设梯形面积未知参
数
~
X试附参数条件差法列出差函数模型
解答
带参数条件差法方程数解求：
4 3 1 1n t r n t u     
方程数 2c r u  
~ ~ ~ ~
12
1 02 l l h s  

2 测量差参考答案 Ch1Ch4
第 13 页 44 页

~~
0sx

题目：图 27 示水准网中A 已知水准点 1P 2P 3P 定点
观测高差量 1 2 3 4 5
T
L h h h h h 现选取 1P 2P 3P 点高程未知参
数 1 2 3
T
XXXX 试列出间接差函数模型
解答：
~~
11
~~
2 2
~~
3 3
~ ~ ~
4 23
~ ~ ~
5 21
5 3 2 3
A
A
A
n t r n t u
h X H
h X H
h X H
h X X
h X X
     






题目图示水准网中 AB点已知水准点 12PP点定水准
点观测高差 1 2 3 4h h h h 三段高差未知参数 12 X X X T
X 3试
附限制条件间接差函数模型

解答：
4 2 2
5
n t r
u t s r u
  
   
3
4
A
P2
h2
h1
h1
P1
P3
h4
h 2
h 4
B
h 3
h 1
P1
P2
A 测量差参考答案 Ch1Ch4
第 14 页 44 页

11
22
32
43
1 2 3 0AB
hX
hX
hX
hX
HXXXH




    

测量差第三章
题目：试确定图形条件差时条件式数条件方程式
解答：
 a 条件方程式数： 4 2 2r 
条件方程式：
1 4 3 0ABH h h h H    
1 2 3 0AH h h h H    
 b 条件方程式数： 8 4 4r   
条件方程式：
4 5 8
3 8 7
2 7 6
1 6 5
0
0
0
0
h h h
h h h
h h h
h h h
  
  
  
  

 c 条件方程式数： 12 8 4r   
条件方程式：

2
1 2 3
3 4 6 5
7 9 8 6
8 12 11 10
0
0
0
0
h h h
h h h h
h h h h
h h h h
  
   
   
    测量差参考答案 Ch1Ch4
第 15 页 44 页

 d 条件方程式数： 4 3 1r   
条件方程式： 1 2 3 4 360 0LLLL    
题目：图 318 示水准网AB 两点高程已知观测高差路线
长度表 36 列试条件差法计算未知点高程差值 2P 3P
间差高差值 7
ˆh 中误差
表 36
高差观测值m 应线路长度km 已知点高程m
1
2
3
4
5
6
7
1359
2009
0363
0640
0657
1000
1650
h
h
h
h
h
h
h








1
1
2
2
1
1
2
1
2
35000
36000
H
H



图 318

解答：
7 3 4n t r n t    
差值条件方程：
1 2 3
5 6 7
3 4 6
13
0
0
0
h0AB
h h h
h h h
h h h
H h H
   
  
  
   

改正数条件方程：
3
h3
P2
A P1 B
P3
P2
h5
h6
h1
h2 h4 测量差参考答案 Ch1Ch4
第 16 页 44 页

1 2 5
5 6 7
3 4 6
13
70
70
30
40
v v v
v v v
v v v
vv
    
   
   
  

令 C1观测值全倒数：
1
1
1
2
2
1
1
2
P




 





1 1 1TTN APAK NWV PAK     ：
   
 
1
3 1 0 1
1 4 1 0
0 1 5 2
1 0 2 3
04607 01461 01236 02360
01461 03146 01124 01236
01236 01124 03258 02584
02360 01236 02584 05843
043 28 44 03 38 12 20
1359 2012 0259 0640 0653 0999 1652
T
T
N
N
mm
h h V







    
   ()m

面求差 7h中误差：  
1
2
3
7 4
5
6
7
0 0 0 0 0 0 1
h
h
h
h h
h
h
h





 






测量差参考答案 Ch1Ch4
第 17 页 44 页

  ~
0
V PV 355700000001+ 30()4
T
Tf mmr    
1 07416TTT
ffQ f Qf f QA N AQf  
中误差： 7h
V PV+ +26
T
ffQ mmr 
题目：图示中点三角形角观测值等精度独立观测
值试条件差法计算观测角值差值 CD 边长
差相中误差(公式重新编辑)
解答：
n9t4r5
条件方程：

改正数条件方程：
4
1 2 7
3 4 8
5 6 9
7 8 9
531
642
ˆ ˆ ˆ 180 0
ˆ ˆ ˆ 180 0
ˆ ˆ ˆ 180 0
ˆ ˆ ˆ 180 0
ˆ ˆ ˆsin sin sin 10ˆ ˆ ˆsin sin sin
LLL
LLL
LLL
LLL
LLL
LLL
   
   
   
   

o
o
o
o 测量差参考答案 Ch1Ch4
第 18 页 44 页

1 2 7
3 4 8
5 6 9
7 8 9
1 1 2 2 3 3
4 4 5 5 6 6
＇＇＇＇642
5 3 1
31 0
11 0
19 0
18 0
cot cot cot
cot cot cot 0
sin sin sin1 33sin sin sin
v v v
v v v
v v v
v v v
v L v L v L
v L v L v L w
LLLw LLL
   
   
   
   

    
   


0AV W：
10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 00000 00000
00000 00000 10000 10000 00000 00000 00000 10000 00000
00000 00000 00000 00000 10000 10000 00000 00000 10000
00000 00000 00000
16724 10998 1500
A 

00000 00000 00000 10000 10000 10000
5 26086 22723 18467 00000 00000 00000







31000
11000
19000
18000
330000
w



 



1p E Q p E  
30000 00000 00000 10000 05726
00000 30000 00000 10000 11081
00000 00000 30000 10000 04256
10000 10000 10000 30000 00000
05726 11081 04256 00000 216364
TN AQA





 测量差参考答案 Ch1Ch4
第 19 页 44 页

1
12508
10612
07710
2798
16278
K N w






 1 14716 30410 22530 44359 16771 50279 15306 07814 10508 TTv p A K      
＇＇＇
＇＇＇
＇＇＇
＇＇＇
＇＇＇
＇＇＇
＇＇＇
＇＇＇
＇＇＇
30 52 417
42 16382
33 40571
20 58 22
ˆ 23 45142
28 26 029
106 50 412
125 20384
127 48 404
L L v






   





o
o
o
o
o
o
o
o
o

26
57
ˆ ˆsin sinˆ
ˆ ˆsin sinCD
LLS AB
LL


两边取微分：
52
67
2 5 6 7
ˆˆ6 2 6 2
ˆ 25＇＇＇＇
5 7 5 7
ˆ ˆ6 2 6 2
67＇＇＇＇
5 7 5 7
＇＇
ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ2 5 6 7
sin sin sin sincot cotsin sin sin sin
sin sin sin sincot cotsin sin sin sin
ˆ cot cot cot cot
CD
CD
LL
S
LL
S
LLLL
CD
ddLLLLd AB L AB LLLLL
ddLLLLAB L AB LLLLL
d
L d L d L d L dS





     令
测量差参考答案 Ch1Ch4
第 20 页 44 页

 
1
＇＇
0
0
0 10998 0 0 27223 18467 03028 0 0
55072
ˆ 3485
ˆ 818
TT
TTT
ff
T
ff ff
f
Q f Qf f QA N AQf
V pV
r
Q cm




  
   

CD 边相中误差：
1
25200
ffCD
CDS



题目：设某差问题条件差方法进行法方程式：
1
2
10 2 6 02 4 6
k
k
         

试求：（1）单位权中误差 0 （ 2）已知某差函数式 T
FLf 
 计算
  44ff p    16af p   4bf p  中 ff p
222
12
12
n
n
fff
p p p   试求该差
值函数权倒数1 Fp 中误差 F
解答：
（1）条件差法方程知
1
1
0
10 2 62 4 6
T
T
aa
AP A W
N AP A W



           

求单位权中误差 0ˆ
TV PV
r 
W 维数 r 2r 
11
11
TTT
TTTT
aa
V P A K V K AP
VPV KAPPPAK KNK



  
Q
6 测量差参考答案 Ch1Ch4
第 21 页 44 页

K 求量 1 182
TT
aaK V PV K N K  

0
18ˆ 32
TV PV
r   
（2）
 
1 1 1 1
ˆ ˆ
1 1 1 1
1
1
()
( )([ ][ ])* *([ ][ ])
10 2 1644 16 4 44 40 42 4 4
TTT
FF aaLL
TTT
aa
T
aa
Q fQf fP PANAPf
f P f f P A N AP f
ffp afp bfp N afp bfp
   
   


  

  
               

0 30 4 60F FFQ     
题目：设等精度观测条件方程：
1 2 3
3 4 7
2 5 6 7
20
10
10
v v v
v v v
v v v v
    
    
     
试组成法方程
解答：条件方程：
1 1 1 0 0 0 0
0 0 1 1 0 0 1
0 1 0 0 1 1 1
A

 

 2 1 1 TW   
1
1
1
1
1
1
1
p




 





法方程 1 0TAP A K W 中 1 TN AP A 1KNW

解答：
⑴题意知：
7
8 测量差参考答案 Ch1Ch4
第 22 页 44 页

 
 
8
5
1
13
1 3 5
18
ˆsinˆsin
ˆsin
ˆ ˆsin 180
ˆ ˆ ˆsin sin
ˆ ˆsin sin
LBC BD BC BC
BD AB AB BD L
LBD
AB LL
LLL
AB BC
LL





o

全微分 AB 边权函数式：
     
    
13 11 133 55 88＇＇
1
2
1 3 1 1 3 5 8＇＇
8
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆcot cot cot cot cot
ˆ
ˆˆ ˆcot cot 0 cot 0 cot 0 0 cot
ˆ
ˆ
AB
T
BCd L L L dL L L dL L dL L dL
dL
dLBC LLLLLLL
dL
f dL


      

   


M
⑵
差 9
ˆBE BC L 9
ˆL 没参加差 99
ˆLL
9BE BC L

99
1 1BE
BE
LLQQP 

  

．题目：试差条件法求证单水准路线（图 323）中差
弱点水准路线中央
1h 2h

解答：
10 测量差参考答案 Ch1Ch4
第 23 页 44 页

设公里测量中误差 0 h1 水准路线长度 X h2 水准路线长度
SX
  1
1 1 1
1
ˆ 11AA
hH H h v Hv
    

 11
2
1 1 1 1
ˆ ˆ 2
1 1 1 1
111 1
h h h v
HH
v h v v
D 

 

 
1 0 2 0
1 1 2
1
1
2
2 2
220
1 1 02
0

()
10
0
0 ( )
hh
AB
vv
XSX
Xv H h h HS
hh h
X
XXXXS
XSSSSX
S
   


    
    
 
     

 
2 2
20
1 1 02
0
010
0 ( )hv
X
XXS
XSSX
S


   

 11
2 2
1 1 1 1
ˆ ˆ 2
1 1 1 1
111 1
h h h v
HH
v h v v
XDXS


  

式 X 求导等零： 11ˆ ˆ 1 2 0HH
XdD S  
XS2 时 11ˆ ˆHHD 取值
题目：已知条件式 0AV W中W AL 观测值协数阵
1
LLQP 现函数式 ()TF f L V
(1)试求 FFQ (2)试证：V F 互丌相关
解答：
(1) 0AV WW AL 1 0TAP A K W    11 TK AP A W
11 测量差参考答案 Ch1Ch4
第 24 页 44 页

法方程：
  
 
1
111
111
T
TT
TT
VPAK
P A AP A W
P A AP A AL





  

  11TTF f AP A AL
     111 1 1 1TTTTTTF f LPAAPA AL f EPAAPA AL       
     
     
   
   
  
111 1 1 1
111 1 1 1
111 1 1 1
111 1 1 1
11
(
)
TTTTT
FF LL
TTTTT
LL LL
TTTTT
LL LL LL
TTTT
LL
TTT
LL LL LL
D f EPAAPA AQ EAAPA AP f
fQ PAAPA AQ EAAPA AP f
fQ QAAPA AP PAAPA AQ
PA APA AQA APA AP f
f Q Q A AP A AQ f
   
   
   
   

  
   
   


(2)   111TTV P A AP A AL  
()TF f L V   111TTTf E P A AP A A L

    
     
    
111 1 1 1
1 1 11 1 1 1 1 1
111 1 1 1 1
()
0
TTTT
VF LL
TTTTTT
LL LL
TTTT
LL
Q PAAPA Q EAAPA AP f
PA APA AQ PA APA AQA APA AP f
PAAPA AQ PAAPA AP f
   
       
    
  
  
  


解答：
条件方程：
   
 
1 1 1 1 2 3 2 2 2 3
2 3 3 3 1
ˆ ˆtan tan
ˆtan 0
S f i j S f i j
S f i j


            
    
12 测量差参考答案 Ch1Ch4
第 25 页 44 页

测量差第四章

题目：直角三角形中测三边长 12LL 3L选取直接观测值
差值未知数试列出该图误差方程式
解答：
3 2nt选取两未知数分： 1 1 2 2
ˆ ˆ ˆ ˆLXLX
差值方程：

11
22
22
3 2 1
ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
LX
LX
LXX




误差方程：

       
1 1 1
2 2 2
00
12
3 1 2 32 2 2 20 0 0 0
2 1 2 1
ˆ
ˆ
ˆ ˆ
v x l
v x l
XXv x x l
XXXX


    


中
 
 
   
0
1 1 1
0
2 2 2
2200
3 3 2 1
l L X
l L X
l L X X


  

题目：三角形 ABC 中测丌等精度观测值：

11
22
33
51 20113 1
88 08219 2
40 31284 2
P
P
P






o
o
o

1
2 测量差参考答案 Ch1Ch4
第 26 页 44 页

选取直接观测差值未知参数试间接差计算角差值
解答：
2 3tn
设： 11X 22X
差值方程：
11
22
22
3 1 2
X
X
X +X




： 1 1 1
2 2 2
+V
+V



0
1 1 1
0
2 2 2
ˆX X
ˆX X
x
x



∴ 误差方程：

111
222
1233
V x l
V x l
V x x l
中：
0
1 1 1
0
2 2 2
00
3 1 2
( ) 0
( ) 0
(180 ) 16
lX
lX
l X X


   
   
    o

： VBXl
10
01
11
B

 


0
0
16
l

 


100
0 2 0
0 0 2
P

 


： V minT PV 
1ˆ ()TTx B PB B Pl
1()TTV B B PB B Pl l
代入数：
032
064
064
V



∴ LLV
51 20 1098
88 08 2126
40 31 2776
 
 
 
o
o
o
测量差参考答案 Ch1Ch4
第 27 页 44 页

题目：直角三角形 ABC 中已知 AB100000m(误差)测边长
AC 角度 A观测值 1 115470 lm ＇＇＇
2 29 5955l  中误差设
1
5l mm  2
＇＇4l  试间接差法求三角形 ABC 差值
解答：
间接差法知：
2 1
2
n t u
c
  

列差值方程：
11
ˆ ˆ cosl AB X
22
ˆ ˆlX
知误差方程式

221vLx


11 0
1
1
cosL l AB X
0
2 2 1L l X
取测角中误差伟单权中误差
∴ 2
1
2
22
1 2 064l
l
P s mm

064
1P  

0
1
02
1
sin
(cos )
1
XABBX

 

6666
1



3
 
0
1
112 10
1
sin
cos
Xv AB L
X x

 测量差参考答案 Ch1Ch4
第 28 页 44 页

 1 20
1
0
21
1l AB
COSXL
lX
 

0001562
0



T
bbNB ：
28448756bbN 
TW B PL ：
0067W 
ˆ 0
ˆ 0
bb
bb
N x W
N x W

：
152342 10bbx N W
   
V B x l

：
5
5
1 10
23342 10
V


 

1
＇＇＇
2
115470
29 5955
l m
l



 

解答
n7 t3ut间接差：
0
1 1 1 1 A
0
2 3 3 2 A
0
3 1 1 3 B
0
4 2 2 4 B
00
5 1 3 1 3 5
00
6 1 2 1 2 6
00
7 2 3 2 3 7
ˆv x +X h H
ˆv x +X h H
ˆv x +X h H
ˆv x X h +H
ˆ ˆv x +x X +X h
ˆ ˆv x x +X X h
ˆ ˆv x +x X +X h

令
4 测量差参考答案 Ch1Ch4
第 29 页 44 页

0
11
0
24
0
32
5000 1359 6359
6000 0640 5360
5000 2009 7009
A
B
A
X H h m
X H h m
X H h m
    
    
    

代入具体数：
11
23
0
3 1 1 3 1
42
5 1 3 1 2 5 1 3
00
6 1 2 1 2 6 1 2
00
7 2 3 2 3 7 2 3
ˆ
ˆ
ˆ ˆ 4
ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ 7
ˆ ˆ ˆ ˆ 1
ˆ ˆ ˆ ˆ 1
B
vx
vx
v x X h H x
vx
v x x h h h x x
v x x X X h x x
v x x X X h x x


     

         
       
         
改正数单位（mm）
：
1 0 0
0 0 1
1 0 0
0 1 0
1 0 1
1 1 0
0 1 1
B




 



 l 0 0 4 0 7 1 1 
T

令单位权 3km
3 0 0 0 0 0 0
0 3 0 0 0 0 0
0 0 15 0 0 0 0
0 0 0 15 0 0 0
0 0 0 0 3 0 0
0 0 0 0 0 3 0
0 0 0 0 0 0 2
P




 





法方程：测量差参考答案 Ch1Ch4
第 30 页 44 页

ˆ 0TTB PBx B Pl
1
2
3
ˆ 04133
ˆ 01333
ˆ 26867
x
x
x
   
      
      

参数差值：
1
2
3
ˆ 63586
ˆ 53599 (m)
ˆ 70177
X
X
X


ˆV Bx l：
 04133 26867 44133 01333 39000 128000 18200 TV     
     
1
11
2 22
3 33
444
555
66
6
77
7
ˆ
13568
ˆ 20117
ˆ 03586
ˆ 06401
06531ˆ
09987ˆ
16518ˆ
h hv
h hv
h hv
h m v mm mh
vhh
vhh
vhh
                                              

未知点高程值：
1
2
3
ˆ 63586
ˆ 53599 (m)
ˆ 70177
X
X
X


解答：
题意：n4t2余观测数 r2
设 p 点坐标：（ ˆ ˆXp Yp ）中：
ˆXp 0ˆpx Xp 0ˆ ˆ pYp y Yp
5 测量差参考答案 Ch1Ch4
第 31 页 44 页

1
2
0
3
0
4
ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ 180
ˆ ˆ 180
AP AB
BP BC
CP BC
DP BD
L
L
L
L
   
   
    
    
推出：

4
1 1 1
2 2 2
0
1 1 3
0
11
ˆˆ arctan ˆ
ˆˆ arctan ˆ
ˆˆ arctan 180ˆ
ˆˆ arctan 180ˆ
AB
pA
AB
PA
pB
BC
PA
pA
PA
pA
BD
PA
YYL L v
XX
YYL L v
XX
YYL L v
XX
YYL L v
XX




    
    
      
      
改正数方程：
测量差参考答案 Ch1Ch4
第 32 页 44 页

0
0
00
110 2 0 2 0 2 0 2
00
220 2 0 2 0 2 0 2
0
3 0 2 0 2
()()ˆ ˆ
()()()()
()()ˆ ˆ
()()()()
()ˆ
()()
PAPA
P P ABAP
PAPAPAPA
PBPB
P P BCBP
PBPBPAPB
PC
PCPC
YYXXv x y LXXYYXXYY
YYXXv x y LXXYYXXYY
YYv XXYY



              
              
     0
0
0
0
30 2 0 2
00
0
340 2 0 2 0 2 0 2
0
0 2 0 2
0
0
()ˆ 180()()
()()ˆ ˆ 180()()()()
()
()()
()
()
PC
P P BCCP
PCPC
PDPD
P P BDDP
P D P D P D P d
PA
PAPA
PB
PB
XXx y LXXYY
YYXXv x y LXXYYXXYY
YY
XXYY
YY
XXB




         
             

  


：
0
0 2 0 2
0
0 2 0 22 0 2
00
0 2 0 20 2 0 2
00
020 2 0 2
()
()()
()
()()()
()()
()()()()
()()
()(()()
PA
PAPA
PB
PAPBPB
PCPC
PCPCPCPC
PDPD
PDPPDPD
XX
XXYY
XX
XXYYYY
XXYY
XXYYXXYY
XXYY
XXYXXYY




 
   
     
        
       02
1
2
3
4
1
0
22
022
00
0
)
ˆ
ˆ
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
ˆ
min
ˆ ()
ˆ ˆ
d
P
P
T
TT
xy
xx yy
xx yy
Y
xX y
L
Ll L
L
P
v Bx l
v Pv
x B PB B Pl
X X x
QQQQ













 
 


 



 



 


  

Tv Pv
r 测量差参考答案 Ch1Ch4
第 33 页 44 页

题目：图示测边网中AB 点已知点CD 点定点已知点
坐标 A(00)B(221413350)精度测边长观测值：
1
2
3
4
5
27908062
20044592
36577034
20480046
29402438
Sm
Sm
Sm
Sm
Sm






试间接差求 CD 点坐标差值协数阵
解答：
题意知总双侧数 5n  必观测数 4t  余观测数 1r n t   设 CD 坐
标定参数 ¶ µ ¶ µc c c cXYDY记 ¶ µ µ µ ¶ µ µ ¶0 0 0 0cccccccddcddXxxYyyDxxYyy       
误差方程式
µ ¶  µ 
µ ¶  µ 
µ ¶  µ 
µ ¶  µ 
µ ¶  µ 
22
1 1 1
22
2 2 2
22
3 3 3
22
4 4 4
22
5 5 5
c A c A
DADA
DBDB
c B c c
c D c D
SSVXXYY
SSVXXYY
SSVXXYY
SSVXXYY
SSVXXYY
     
     
     
     
     

µ
¶
¶
µ
µ
¶
¶
µ
µ  
¶
µ
µ
µ
¶
¶
µ
¶
0 0 0 0i i i i
i c c D D c c D D
c c D Doooo
i i i i
i c c D D
c c D Doooo
SSSSSXYXYSXYXY
XYXY
SSSSV x y x y l
XYXY
                                    
                                    

改正数方程：
6
S1 S3
S4
S5
S2
B
A C
D 测量差参考答案 Ch1Ch4
第 34 页 44 页

   
µ
   
µ
   
¶
   
¶
   
¶
   
¶
   
µ
 
00
112 2 2 20 0 0 0
00
222 2 2 20 0 0 0
00
332 2 2 20 0 0 0
00
4 2 2 20 0 0
c A c A
cc
c A c A c A c A
DADA
DD
DADADADA
DBDB
DD
DBDBDBDB
c B c B
c
c B c B c B
XXYYV x y S
XXYYXXYY
XXYYV x y S
XXYYXXYY
XXYYV x y S
XXYYXXYY
XXYYVx
XXYYXX
  
     
  
     
  
     

      
µ
   
¶
   
¶
   
µ
   
µ
420
0 0 0 0 0 0 0 0
4 2 2 2 2 2 2 2 20000 0000 0000 0000
c
cB
c D c D c D c D
D D c c
cDcD cDcD cDcD cDcD
yS
YY
XXYYXXYYV x y x y
XXYYXXYYXXYYXXYY


      
   

¶ ¶
µ µ
¶ ¶
¶ ¶
¶ ¶ ¶ ¶
11
22
33
44
5 5 3 3
00
00
00
00
ccoo
DDoo
DDoo
ccoo
c c D Doooo
SS
XX
SS
YY
SSB
XX
SS
XX
SSSS
XXXX
                           
              
            
                                



















1
2
3
4
5
S
S
lS
S
S








µ
 
µ µ
1
0
0 0 0
min

TTTT
T
TT
V BX l V PB B PV B PBx B Pl
V PV
x B PB B Pl
X X x L L V
V BX l

        

    


1T
bb bbQ N N B PB
计算结果 MATLAB 代码：测量差参考答案 Ch1Ch4
第 35 页 44 页

>>s127908062s220044592s336577034s420480046s529402438
>> s22141335
>> cosa1(s*s+s1*s1s4*s4)(2*s*s1)
>> sina1sqrt(1cosa1^2)
>> cosa2(s^2+s2^2s3^2)(2*s*s2)
>> sina2sqrt(1cosa2^2)
>> xcs1*cosa1ycs1*sina1
xc
19187e+004
yc
20266e+004
>> xds2*cosa2yds2*sina2
xd
10068e+004
yd
17332e+004
>> xb22141335
>> l1s1sqrt(xc^2+yc^2)
l1
36380e012
>> l2s2sqrt(xd^2+yd^2)
l2 测量差参考答案 Ch1Ch4
第 36 页 44 页

0
>> l3s3sqrt((xbxd)^2+yd^2)
l3
72760e012
>> l4s4sqrt((xcxb)^2+yc^2)
l4
0
>> l5s5sqrt((xcxd)^2+(ycyd)^2)
l5
00182
>> L[l1l2l3l4l5]＇
L
00000
0
00000
0
00182
>> scdsqrt((xcxd)^2+(ycyd)^2)
scd
29402e+004
>> b11xcs1b12ycs1b130b140
>> b210b220b23xds2b24yds2 测量差参考答案 Ch1Ch4
第 37 页 44 页

>> b310b320b33(xdxb)s3b34yds3
>> b41(xcxb)s4b42ycs4b430b440
>> b51(xcxd)scdb52(ycyd)scdb53b51b54b52
>>
B[b11b12b13b14b21b22b23b24b31b32b33b34b41b42b43b44b51b52b53b
54]
B
06875 07262 0 0
0 0 05023 08647
0 0 08806 04739
01442 09895 0 0
09950 00998 09950 00998
>> Peye(5)
P
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
>> Xinv(B＇*P*B)*B＇*P*L
X
00058 测量差参考答案 Ch1Ch4
第 38 页 44 页

00012
00094
00084
>> VB*XL
V
00031
00026
00042
00020
00024
>> Qinv(B＇*P*B)
Q
16907 04211 12191 11004
04211 07678 02545 02297
12191 02545 15765 13282
11004 02297 13282 21444

解答
n6t3ut 间接差： 7 测量差参考答案 Ch1Ch4
第 39 页 44 页

1 1 1
2 2 3 1
3 3 3
4 4 2 3
5 5 2 1
6 6 2
ˆ
ˆ ˆ
ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ
B
C
A
h v X H
h v X X
h v H X
h v X X
h v X X
h v X H
  
  
  
  
  
  

0 0 0
1 1 1 2 2 2 3 3 3
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆXX X x X x X X x     令
0
1 B 1
0
2 A 6
0
3 C 3
ˆX H h 3953 1100 5053
ˆX H h 5000 3452 8452
ˆX H h 7650 0200 7450
    
    
   

代入具体数：
11
2 1 3
33
4 2 3
5 1 2
62
ˆ 0
ˆ ˆ 1
ˆ 0
ˆ ˆ 2
ˆ ˆ 5
ˆ 0
vx
v x x
vx
v x x
v x x
vx

   
  
  
   

改正数单位（mm）
BP L 矩阵：
1 0 0
10 1
0 1 1
0 1 1
11 0
0 1 0
B


 



100000
010000
001000
000100
000010
000001
P



 





0
1
0
2
5
0
l


 




误差方程系数 B 项l 组成法方程 ˆ 0TTB PBx B Pl
1
2
3
ˆ3 1 1 6
ˆ1 4 2 * 3 0
ˆ1 2 3 3
x
x
x
     
              
            

解测量差参考答案 Ch1Ch4
第 40 页 44 页

1
2
3
ˆ 346
ˆ 115 ( )
ˆ 138
x
x mm
x
   
      
      

计算参数差值 0ˆ ˆX X x：
0
111
0
2 2 2
0
333
ˆ ˆ ˆ 1593
ˆ ˆ ˆ 9602 ( )
ˆ ˆ ˆ 883
XXx
X X x m
xXX
                                       

误差方程计算求观测量差值 ˆh h V：
1
11
2 22
3 3 3
444
55
5
66
6
ˆ 109654
ˆ 239416
ˆ 019862
ˆ 099823
340361ˆ
34505ˆ
h hv
h hv
h h v
hvh
hvh
hvh
                                         

题目：ABC 已知点 12PP定点网中观测 12 角度 6
条边长已知测角中误差＇＇15 边长测量中误差 20 cm起算数
观测值分列表中试间接差法观测值差值
解答：
题 n 18 18 误差方程中 12 角度误差方程 4 边长误差方
程必观测数 4t  1 1 2 2
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
T
XXYXY 
测角中误差该边角网单位权观测值中误差测边权：
2 2
22
22
15 05625( )2S
S
p cm
   秒
（）首先计算定点坐标利观测值已知坐标求出 12AP AP 似坐标
8 测量差参考答案 Ch1Ch4
第 41 页 44 页

方位角具体计算公式 213 3 772 06＇1987 146 24＇3667AP AB AP ABLLL           
进步坐标增量公式 1 1 1 1
00
11cos sin A AP AP A AP APXXSYYS      求定似
坐标： 00
12(6638752944099) (56569282475556)PP
（二）计算坐标方位角改正数方程系数似坐标方位角
0 0 0 0

0 2 0 2 0 2 0 2ˆ ˆ ˆ ˆ
()()()()
jk jk jk jk
jk j j k k
jk jk jk jk
YXYXx y x ySSSS
           计算计算时 0 0 0SXY 米单
位 ˆ ˆxy数值较采厘米单位时 206265  关计算见表1
表1
方

 系数（秒cm）
1ˆx 1ˆy 2ˆx 2ˆy
AP1
AP2
BP2
CP1
CP2
P1
P2
02244
0
0
02614
0
00384
03379
0
0
02194
0
04095
0
07966
02434
0
03864
00384
0
02572
05528
0
0084
04095
边似坐标方位角
21
22
1 1 2
72 06＇1989 146 24＇3667
156 14＇0069 282 15＇5609
229 59＇3050 354 38＇2084
AP AP
BP CP
CP P P



   
   
   

边似坐标方位角推出
（三）计算测边误差方程系数
0 0 0 0
0 0 0 0ˆ ˆ ˆ ˆjk jk jk jk
i j j k k i
jk jk jk jk
XYXYv x y x y lSSSS
        
系数测量差参考答案 Ch1Ch4
第 42 页 44 页

表2
方

边长误差方程系数
1ˆx 1ˆy 2ˆx 2ˆy
AP1
AP2
BP2
CP1
CP2
P1
P2

0833
0
0
0643
0
0996
0553
0
0
0766
0
0093
0
0307
0915
0
0212
0996
0
0952
0403
0
0977
0093
（四）确定误差方程计算 00()i i jk jhlL   0
i i jkl L S 时利似坐标求
出边似坐标方位角似边长确定l 系数进步出误
差方程系数项见表3
表3
编号 1ˆx 1ˆy 2ˆx 2ˆy l p
角 i
1
2
3
4
5
6
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
05532
02434
07966
02434
06298
03864
08055
05528
02572
05528
06368
0084
26
011
002
048
030
042
1
1
1
1
1
1 测量差参考答案 Ch1Ch4
第 43 页 44 页

7
8
9
10
11
12
02244
00384
0186
02998
00384
02614
03379
04095
00716
01901
04095
02194
07966
0835
00384
00384
0348
03864
02572
01523
04095
04095
03255
0084
002
005
097
024
105
509
1
1
1
1
1
1
边
iS
13
14
15
16
17
18
0
0
0
0643
0833
0996
0
0
0
0766
0553
0093
0307
0915
0212
0
0
0996
0952
0403
0977
0
0
0093
01
121
97
107
0
01
05625
05625
05625
05625
05625
05625
法方程
1
1
2
2
ˆ14270 00861 08608 00229 27469
ˆ00861 10459 03363 01437 61620 0ˆ08608 03363 43174 02866 89415
ˆ00229 01437 02866 34194 12148
x
y
x
y
   
                
        

（五）差值计算精度评定法方程解出参数改正数：
1
1 1
2
2
ˆ 35297 07970
ˆ 68065 00137 09888ˆ 33647 01583 00775 02709
ˆ 08997 00074 00481 00249 02965
bb
x
y Nx
y

 
 
 
称

式解出 ˆx 根 ˆV Bx l改正数
V[ 146 121 247 084 299 096 062 003 067 209
275 314 199 938 953 322 082 084]T 测量差参考答案 Ch1Ch4
第 44 页 44 页

求出观测值差值41622
单位权中误差 0ˆ 32967
TV PV
nt  12PP横坐标协数点位中误差分
1 1 1 1 2 2 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ207970 09888 02709 02965XXYYXXYYQQQQ   
1 1 1 1 1
2 2
ˆ ˆ ˆ ˆ0
ˆ ˆ ˆ ˆ0 2 2 2
ˆ 41622(cm)
ˆ 24833(cm)
PXXYY
PXXYY
QQ
QQ


  
  

解答
ˆ ˆL BX d
0
0
0
ˆ
ˆ ( ( )) 0
ˆ 0 ( ( ))
L V Bx BX d
V Bx L BX d
V Bx W W L BX d
   
     
      

根附参数条件差法方程
1 ˆ 0
0
T
T
AP A K Bx W
BK
   


时 A E W l   代入式
1 ˆ 0P K Bx l    （1）
0TBK （2）
(1) TBP ：
1 ˆ 0
ˆ 0
TTT
TTT
B PP K B PBx B Pl
B K B PBx B Pl
   
  

0TBK
ˆ 0TTB PBx B Pl
证

9

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测量平差课后习题答案张书毕

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