1 1 欧拉公式 zx+iy
实部Re z 虚部 Im z
2运算 ①
②
③
④
⑤ 轭复数
轭技巧
运算律 P1页
3代数表示
z面点应量应
辐角 z≠0时量zx轴正间夹角θ记作θArg z k±1±2±3…
位π<≤π做Arg z辐角值 记作
4寻找arg z
例:z1i
zi
z1+i
z1 π
5 极坐标:
利欧拉公式
6 高次幂n次方
满足方程ω值称zn次方根记作
第二章解析函数
1极限
2函数极限
① 复变函数
应
注:实际情况相定义域值域变化
例
② 称时A极限
☆ 时连续
例1 证明点连续
证:
点连续
3导数
例2 时
证:
例3证明导
解:令
时存导
定理:处导uv处微满足CR条件
例4证明导
解: 中 uv 关xy微
满足CR条件 点导
例5
解:
满足CR条件 点导
例6:
解: 中
根CR条件
该函数处导
4解析
邻域导时称处解析
CR条件必须明确uv
四运算
☆
例:证明
解:
点处满足CR条件
处处解析
练:求列函数导数
解
根CR方程
时存导数导数0点存导数
初等函数
Ⅰ常数
Ⅱ指数函数
① 定义域 ② ③ ④
Ⅲ数函数 称满足做数函数记作
分类:类求法(验)
目标:寻找 幅角值
:
程:
例:求 值
Ⅳ幂函数 意复数时
例1:求值
解:
例2:求
Ⅴ三角函数
定义:意复数关系式余弦函数正弦函数
例:求
解:
第三章复变函数积分
1复积分
定理31 设C复面逐段光滑曲线C连续C积
注:①C线 ②方式元样
方法:思路:复数→实化
函数微分相
方法二:参数方程法 ☆核心:C参数
C:
例: 求 ①C:0→直线段②
解:①C:
②
★ 结果样
2柯西积分定理
例:
C:a圆心ρ半径圆方:逆时针
解:C:
☆ 积分路径关:①单联通 ②处处解析
例:求中C连接O点摆线:
解:已知直线段LC构成条闭曲线全面解析
函数曲线C积分化着直线段L积分
★关键:①恰参数 ②合适准确带入z
3定积分
定义32 设函数区域D连续D函数满足条件
定理37 式
例: 计算
解:
练:计算
解:
4柯西积分公式
定理 处处解析简单闭曲线C围成区域
例1:
解:
例2:
解:
例3:
解:
注:①C:
② 次分式
③找 D处处解析
例4:
解:5 解析函数高阶导数
公式: n12……
应点:①
②
③精准分离
例:
6 调函数
满足称做D调函数
D解析
称轭调函数
第四章 级数理
1复数 距离
谈极限
时 极限点 记作
推广:度量空间谈极限
2 极限性质
3
4 级数问题
部分数列
收敛反发散
性质:1 收敛收敛
2收敛发散推出发散
3
绝收敛
收敛 条件收敛
等级数 :
时收敛发散
幂级数
求收敛域
例:求收敛半径收敛圆
解: 级数收敛半径R1收敛圆
泰勒级数
泰勒定理:设函数圆K:解析K展成幂级数
中 (n012……)展式唯
例 1:求处泰勒展式
解 :全面解析
处泰勒展式
例2: 函数展成幂级数
解:
罗朗级数
罗朗定理 函数圆环D:解析
时
中
例:函数圆环(1) (2)
展成罗朗级数
解:(1)
(2)
孤立奇点
定义:函数心邻域解析点解析称孤立奇点
例 : 奇点
级极点
性奇点
第5章 留数理(残数)
定义: 设函数限项点孤立奇点心邻域解析称积分值函数点处留数
记作:
中C方逆时针
例1:求函数处留数
解:级零点级极点
例2:求函数处留数
解:性奇点
第7章 傅里叶变换
通种途径复杂问题简单化便研究
定义:满足某条件函数 定义称
傅里叶变换
时 傅里叶逆变换
注:①傅里叶变换函数变函数
②傅里叶逆变换函数变函数
③求傅里叶变换傅里叶逆变换关键计算积分
④两种常见积分方法:凑微分分部积分
复积分:①
②
③
④
⑤
注:
例1:求
解:
例2:求
解:
函数
定义:果意区间连续函数恒称函数
例1:求函数
解:
例2:求正弦函数傅氏变换
解:
☆
第8章 拉普拉斯变换
设时定义
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