第五章 洛朗级数
第节 洛朗展式
双边幂级数
设级数 ()
收敛圆绝闭致收敛解析函数
考虑函数项级数 ()
作代换
()收敛圆绝闭致收敛解析函数
()区域绝闭致收敛解析函数
仅时()()收敛区域
时称双边幂级数
关双边幂级数性质见p185 定理
定理1 (洛朗定理)
设函数f(z)圆环:解析H
中
圆满足数展式唯
证明:作圆周含圆环圆环解析柯西积分公式
中
现考虑
(致收敛)
函数界
:中
展式唯性:设
意取某正整数界
展式唯
注解:称f(z)解析部分称部分
例1 求函数分圆环1<|z|<2洛朗级数式
解:果1<|z|<2利时幂级数展式
果样
例2 洛朗级数展式:
例3 洛朗级数展式:
例4 求函数圆环1<|z|<3洛朗级数展式
解:1<|z|<3利时幂级数展式
第二节 解析函数孤立奇点
1.解析函数孤立奇点定义
设函数f(z)掉圆心圆盘确定解析称f(z)孤立奇点Df(z)洛朗展式
中
圆
例0孤立奇点
般述函数f(z)洛朗展式中含负幂情况(部分情况)孤立奇点分类:
⑴果部分说f(z)奇点时令整圆盘解析函数f(z)
⑵果部分限项:称f(z)阶极点
⑶果部分限项称f(z)性奇点
例0分奇点单极点性奇点
2.孤立奇点判定
定理1 f(z)奇点必充分条件: 中复数
证明:(必性)假设f(z)洛朗级数展式:
式右边幂级数收敛半径少R函数解析显然存着
(充分性)设f(z)洛朗级数展式
假设存着两正数M
取
n123…时式中令趋0f(z)奇点
推1 f(z)奇点必充分条件:存着某正数f(z)界
面研究极点特征
设函数f(z)解析f(z)阶极点f(z)洛朗展式:
里
里解析函数反果函数f(z)表示成面形状解析函数推出f(z)m阶极点
定理2 f(z)极点必充分条件:
证明:必性显然证明充分性定理假设存着某正数解析等零F(z)奇点洛朗级数展式:
设中解析等零
里解析f(z)m阶极点
推2设函数f(z)解析f(z)m阶极点必充分条件:里m正整数等0复数
关解析函数性奇点面结:
定理3 f(z)性奇点必充分条件:存限穷极限
例:0函数性奇点难出存
解:z正实轴趋0时趋
z负实轴趋0时趋0
z虚轴趋0时没极限
第三节 解析函数穷远点性质
1.解析函数穷远点性质
设函数f(z)区域解析穷远点称f(z)孤立奇点区域f(z)洛朗级数展式:
中系数定理51中类似公式确定
令R>0R0解析函数洛朗级数展式:
果w0奇点(m阶)极点性奇点分说f(z)奇点(m阶)极点性奇点
(1)果时n123…f(z)奇点
(2)果限(少)整数nf(z)极点设正整数mn>m时称f(z)m阶极点
(3)果限整数n>0说f(z)性奇点
注解1f(z)奇点说f(z)穷远点解析
注解2段结推广穷远点情形综合:
定理1设函数f(z)区域解析f(z)奇点极点性奇点必充分条件:存着极限穷极限存限穷极限
推 设函数f(z)区域解析f(z)奇点必充分条件:存着某正数f(z)界
第四节 整函数亚纯函数
1.整函数分类
果f(z)限复面C解析
称整函数显然穷远点整函数扩充复面唯孤立奇点孤立奇点类型整函数分类:
定理1 设整函数
⑴奇点(常数)
⑵阶极点
次项式
⑶性奇点穷等(时称超越整函数)例:
2.亚纯函数定义性质
果函数f(z)限面极点外类型奇点称亚纯函数
亚纯函数整函数推广穷极点例亚纯函数极点理函数
亚纯函数限复面限极点穷远点极点(n>m时)奇点(时)里复常数mn正整数
定理1 理函数扩充复面极点外没类型奇点
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