2023高中数学必修一知识点总结

2023高中数学必修1知识点纳
第章 集合函数概念
集合关概念：
1集合含义：某指定象集起成集合中象元素
2集合中元素三特性：
（1）元素确定性 （2）元素互异性 （3）元素序性
说明：(1)定集合集合中元素确定象者者定集合元素
(2)定集合中两元素象相象入集合时仅算元素
(3)集合中元素等没先序判定两集合否样仅需较元素否样需考查排列序否样
(4)集合元素三特性集合身具确定性整体性
3集合表示：{ … } {校篮球队员}{太洋西洋印度洋北冰洋}
（1）拉丁字母表示集合：A{校篮球队员}B{12345}
（2）集合表示方法：列举法描述法
（Ⅰ）列举法：集合中元素列举出然括号括
（Ⅱ）描述法：集合中元素公属性描述出写括号表示集合方法确定条件表示某象否属集合方法
①语言描述法：例：{直角三角形三角形}
②数学式子描述法：例：等式x3>2解集{x∈R| x3>2}{x| x3>2}
（3）图示法（文氏图）：
4常数集记法：
非负整数集（然数集）记作：N
正整数集 N* N+ 整数集 Z 理数集Q 实数集 R
5属概念
集合元素通常写拉丁字母表示：a集合A元素说a属集合A 记作 a∈A 相反a属集合A 记作 aA
6集合分类：
1．限集 含限元素集合2．限集 含限元素集合3．空集 含元素集合
二集合间基关系
1包含关系———子集
两集合AB果集合A元素集合B元素说两集合包含关系称集合A集合B子集记作AB
注意： 两种（1）AB部分（2）AB集合
反 集合A包含集合B集合B包含集合A记作A BB A
集合A中n元素集合A子集数2n
2．相等关系(5≥55≤555)
实例：设 A{x|x210} B{11} 元素相
结：两集合AB果集合A元素集合B元素时集合B元素集合A元素说集合A等集合B：AB
① 集合身子集AA
②真子集果ABAB说集合A集合B真子集记作AB(BA)
③果 AB BC AC
④ 果AB 时 BA AB
3 含元素集合做空集记Φ
规定 空集集合子集 空集非空集合真子集
三集合运算
1．交集定义：般属A属B元素组成集合做AB交集．
记作A∩B(读作A交B)A∩B{x|x∈Ax∈B}．
2集定义：般属集合A属集合B元素组成集合做AB集记作：A∪B(读作AB)A∪B{x|x∈Ax∈B}．
3交集集性质：A∩A AA∩φ φ A∩B B∩AA∪A AA∪φ A A∪B B∪A
4全集补集
（1）全集：果集合S含研究集合全部元素集合作全集通常U表示
S


CsA
A
（2）补集：设S集合AS子集（AS）S中
属A元素组成集合做S中子集A补集（余集）
记作： CSA CSA {x | xS xA}
（3）性质：⑴CU(C UA)A ⑵(C UA)∩AΦ ⑶(C UA)∪AU
(4)(C UA)∩(C UB)C U(A∪B) (5)(C UA)∪(C UB)C U(A∩B)

二函数关概念
1．函数概念：设AB非空数集果某确定应关系f集合A中意数x集合B中唯确定数f(x)应称f：A→B集合A集合B函数．记作： yf(x)x∈A．中x做变量x取值范围A做函数定义域x值相应y值做函数值函数值集合{f(x)| x∈A }做函数值域．
注意：1果出解析式yf(x)没指明定义域函数定义域指式子意义实数集合2函数定义域值域写成集合区间形式．
定义域补充：
函数式意义实数x集合称函数定义域求函数定义域时列等式组：(1)分式分母等零 (2)偶次方根开方数零 (3)数式真数必须零(4)指数数式底必须零等1 (5)果函数基函数通四运算结合成定义域部分意义x值组成集合（6）指数零底等零 (7)实际问题中函数定义域保证实际问题意义
(注意：求出等式组解集函数定义域)
2构成函数三素：定义域应关系值域
注意：（1）构成函数三素定义域应关系值域．值域定义域应关系决定果两函数定义域应关系完全致称两函数相等（函数）
（2）两函数相等仅定义域应关系完全致表示变量函数值字母关 相函数判断方法：①定义域致②表达式相 (两点必须时具备)
值域补充
(1)函数值域取决定义域应法采取什方法求函数值域应先考虑定义域
(2)应熟悉掌握次函数二次函数指数数函数三角函数值域求解复杂函数值域基础
3 函数图象知识纳
(1)定义：面直角坐标系中函数 yf(x) (x∈A)中x横坐标函数值y坐标点P(xy)集合C做函数 yf(x)(x ∈A)图象．
C点坐标(xy)均满足函数关系yf(x)反满足yf(x)组序实数xy坐标点(xy)均C 记C{ P(xy) | y f(x) x∈A }
图象C般条光滑连续曲线(直线)意行Y轴直线交点干条曲线离散点组成
(2) 画法：
A描点法：根函数解析式定义域求出xy应值列表(xy)坐标坐标系描出相应点P(x y)滑曲线点连接起
B图象变换法：
常变换方法三种移变换称变换伸缩变换
Ⅰ称变换
（1）y f(x)x轴方图象翻y∣f(x)∣图象：书P21例5
（2） y f(x)y f(x)图象关y轴称
（3） y f(x)y f(x)图象关x轴称
Ⅱ移变换 f(x)f(xa) 左加右减 f(x)f(x)a 加减
(3)作：A直观出函数性质B利数形结合方法分析解题思路C提高解题速度发现解题中错误
4．区间概念
（1）区间分类：开区间闭区间半开半闭区间（2）穷区间（3）区间数轴表示．
5．映射
定义：般设AB两非空集合果某确定应法f集合A中意元素x集合B中唯确定元素y应称应f：AB集合A集合B映射记作f：AB
定集合AB映射果a∈Ab∈B元素a元素b应元素b做元素a象元素a做元素b原象
说明函数种特殊映射映射种特殊应①集合AB应法f确定②应法方性强调集合A集合B应BA应关系般
③映射f：A→B说应满足：（Ⅰ）集合A中元素集合B中象象唯（Ⅱ）集合A中元素集合B中应象（Ⅲ）求集合B中元素集合A中原象
6函数表示法：
常函数表示法优点：
1 函数图象连续曲线直线折线离散点等等注意判断图形否函数图象：作垂直x轴直线曲线交点
2 解析法：必须注明函数定义域
3 图象法：描点法作图注意：确定函数定义域化简函数解析式观察函数特征
4 列表法：选取变量代表性应反映定义域特征．
注意：解析法：便算出函数值列表法：便查出函数值图象法：便量出函数值
补充：分段函数
定义域部分解析表达式函数范围里求函数值时必须变量代入相应表达式分段函数解析式写成方程应写成函数值种表达式左括号括起分注明部分变量取值情况．注意：（1）分段函数函数误认函数（2）分段函数定义域段定义域集值域段值域集．
补充二：复合函数
果yf(u)(u∈M)ug(x)(x∈A) yf[g(x)]F(x)(x∈A) 称fg复合函数
7．函数单调性
（1）．增函数
设函数yf(x)定义域I果定义域I某区间D意两变量x1x2x1果区间D意两变量值x1x2x1注意：1函数单调性定义域某区间性质函数局部性质
2必须区间D意两变量x1x2x1（2） 图象特点
果函数yf(x)某区间增函数减函数说函数yf(x)区间具(严格)单调性单调区间增函数图象左右升减函数图象左右降
(3)函数单调区间单调性判定方法
(A) 定义法：
1 取x1x2∈Dx1ug(x)
yf(u)
yf[g(x)]
增
增
增
增
减
减
减
增
减
减
减
增
(B)图象法(图象升降)
(C)复合函数单调性：复合函数f[g(x)]单调性构成函数ug(x)yf(u)单调性密切相关规律：
复合函数单调性：口诀：增异减
注意：1函数单调区间定义域子区间 单调性相区间起写成集
（4）判断函数单调性常结
①函数单调性相反
②函数恒正恒负时函数单调性相反
③函数函数（C常数）单调性相
④C > 0（C常数）时单调性相
C < 0（C常数）时单调性相反
⑤函数增（减）函数增（减）函数
⑥增（减）函数增（减）函数
增（减）函数减（增）函数
⑦设定义域增函数增函数减函数
8．函数奇偶性
（1）偶函数
般函数f(x)定义域意xf(－x)f(x)f(x)做偶函数．
（2）奇函数
般函数f(x)定义域意xf(－x)—f(x)f(x)做奇函数．
注意：1 函数奇函数偶函数称函数奇偶性函数奇偶性函数整体性质
函数没奇偶性奇函数偶函数
2 函数奇偶性定义知函数具奇偶性必条件定义域意x－x定定义域变量（定义域关原点称）．
（3）具奇偶性函数图象特征
偶函数图象关y轴称奇函数图象关原点称．
总结：利定义判断函数奇偶性格式步骤：1 首先确定函数定义域判断定义域否关原点称2 确定f(－x)f(x)关系3 作出相应结：f(－x) f(x) f(－x)－f(x) 0f(x)偶函数f(－x) －f(x) f(－x)＋f(x) 0f(x)奇函数．
注意：函数定义域关原点称函数具奇偶性必条件．首先函数定义域否关原点称称函数非奇非偶函数称(1)根定义判定 (2)时判定f(x)±f(x)较困难考虑根否f(x)±f(x)0f(x)f(x)±1判定 (3)利定理助函数图象判定
函数奇偶性性质
① 奇函数关原点称区间单调性单调性完全相
偶函数关原点称区间单调性单调性恰恰相反
②奇函数图象关原点称偶函数图象关轴称
③偶函数
④奇函数定义域中含0必
⑤定义关原点称区间意函数表示成奇函数偶函数（差）设定义域R函数
⑥复合函数奇偶性特点：偶偶奇外
⑦奇偶函数穷（定义域关原点称意数集）
9函数解析表达式
（1）函数解析式函数种表示方法求两变量间函数关系时求出间应法二求出函数定义域
（2）求函数解析式方法：定系数法换元法消参法等A果已知函数解析式构造时定系数法B已知复合函数f[g(x)]表达式时换元法时注意元取值范围已知表达式较简单时凑配法C已知抽象函数表达式常解方程组消参方法求出f(x)
10．函数（）值（定义见课p30页）
（1） 利二次函数性质（配方法）求函数（）值
（2） 利图象求函数（）值
（3） 利函数单调性判断函数（）值：果函数yf(x)区间[ab]单调递增区间[bc]单调递减函数yf(x)xb处值f(b)果函数yf(x)区间[ab]单调递减区间[bc]单调递增函数yf(x)xb处值f(b)
第二章 基初等函数
指数函数
（）指数指数幂运算
1．根式概念：
负数没偶次方根0次方根0记作0
注意：(1)
(2) n奇数时 n偶数时
2．分数指数幂
正数正分数指数幂意义规定：
正数正分数指数幂意义：
0正分数指数幂等00负分数指数幂没意义
3．实数指数幂运算性质
（1）
（2）
（3）
注意：化简程中偶数轻易约分
（二）指数函数性质
1指数函数概念：般函数 做指数函数中x变量函数定义域R．
注意：指数函数底数取值范围底数负数零1． a>0a≠1
2指数函数图象性质

0a>1




图






性质
定义域R 值域（0+∞）
（1）定点（01）x0时y1
(2)R减函数
(2)R增函数
（3）x>0时0x<0时y>1
（3）x>0时y>1
x<0时0

图象特征
函数性质


性
x轴正负方限延伸
函数定义域R
函数图象x轴方
函数值域R+
图象关原点y轴称
非奇非偶函数
函数图象定点（01）
定点（01）


0左右图象逐渐降
减函数
第象限图象坐标1
x>0时0第二象限图象坐标1
x<0时y>1
图象升趋势越越缓
函数值开始减极快
某值减速度较慢


a>1
左右图象逐渐升
增函数
第象限图象坐标1
x>0时y>1
第二象限图象坐标1
x<0时0图象升趋势越越陡
函数值开始增长较慢
某值增长速度极快
注意： 指数增长模型：yN(1+p)x 指数型函数： ykax
3 考点：（1）abN b>0时aN1侧b<0时aN1 异侧
（2）指数函数单调性底数决定底数明确时候进行讨掌握利单调性较幂底找应指数函数底数指数插进1(a0)进行传递者利（1）知识
（3）求指数型函数定义域底数掉指数式子值域求法单调性
（4）分辨底指数函数图象利a1ax1截图象应底数
(5)指数型函数：yN(1+p)x 简写：ykax
二数函数
（）数
1．数概念：般果 数x 做a 底N 数记作：
（ a— 底数 N— 真数— 数式）
说明：1 注意底数限制a>0a≠12 真数N>0 3 注意数书写格式．
2两重数：
（1）常数：10底数
（2）然数：理数e 底数数 ．
3数式指数式互化

数式 指数式
数底数← a → 幂底数
数← x → 指数
真数← N → 幂
结：（1）负数零没数
（2）logaa1 loga10 特 lg101 lg10 lne1 ln10
(3) 数恒等式：
（二）数运算性质
果 a > 0a ¹ 1M > 0 N > 0 ：
1 两正数积数等两正数数
2 两正数商数等两正数数差
3 正数n次方数等正数数n倍
说明
1) 简易语言表达积数数……
2) 时逆运公式
3) 真数取值必须(0＋∞)
4) 特注意：

注意：换底公式
利换底公式推导面结
① ②③
（二）数函数
1数函数概念：函数 (a>0a≠1) 做数函数中x变量函数定义域（0+∞）．
注意：（1） 数函数定义指数函数类似形式定义注意辨
： 数函数称数型函数．
（2） 数函数底数限制：a>0a≠1
2数函数图性质：数函数(a>0a≠1)

0 ＜ a ＜ 1
a ＞ 1



图
y
x
0
(10)

y
x
0
(10)



性质
定义域：（0＋∞） 值域：R
点(1 0) x ＝1时y＝0
(0+∞)减函数
(0+∞)增函数
x>1时y<0
x1时y0
00
x>1时y>0
x1时y0
0
重结：logab中a b (01) (1+∞)时logab>0
ab(01) (1+∞) 时logab<0
口诀：底真0（底真0）
（中底指底数真指真数0指logab值） 3图底数 a函数 影响
规律 底枝头低 头低尾巴翘
4考点：
Ⅰlogab ab1侧时 logab >0ab1异侧时 logab <0
Ⅱ数函数单调性底数决定底数明确时候进行讨掌握利单调性较数底找应数函数底数真数利（1）知识解决插进1(logaa)进行传递
Ⅲ求指数型函数定义域求真数>0值域求法单调性
Ⅳ分辨底数函数图象利1logaa y1截图象应底数
Ⅴyax(a>0a ≠1) ylogax(a>0a ≠1) 互反函数图象关yx称

5 较两幂形式数方法
(1) 底数相指数两幂较利指数函数单调性判断
(2) 底数指数相两幂较利商法判断
(3) 底数指数两幂较应通中间值判断常10
6 较方法
(1) 利函数单调性(底数)(2) 利中间值（01）(3) 变形较(4) 作差较
（三）幂函数
1幂函数定义：般形函数称幂函数中x变量α常数．
2幂函数性质纳．
（1）幂函数（0+∞）定义图象点（11）
（2）α>0 时幂函数图象通原点[0+ ∞）增函数．特α>1时幂函数图象凸0<α<1时幂函数图象凸
（3）α<0 时幂函数图象（0+∞）减函数．第象限x右边趋原点时图象y轴右方限逼y轴正半轴x趋+∞时图象x轴方限逼x轴正半轴．
第三章 函数应
方程根函数零点
1函数零点概念：函数yf(x)f(x)0 实数x做函数零点（实质函数yf(x)x轴交点横坐标）
2函数零点意义：方程f(x)0 实数根⇔函数yf(x)图象x轴交点⇔函数yf(x)零点
3零点定理：函数yf(x)区间[ab]图象连续断f(a)f(b)<0函数yf(x)区间（ab）少零点cf( c)0时c方程 f(x)0 根
4函数零点求法：求函数yf(x)零点：
（1） （代数法）求方程f(x)0 实数根
（2） （法）求根公式方程函数yf(x)图象联系起利函数性质找出零点．
5二次函数零点：二次函数f(x)ax2+bx+c(a≠0)．
1）△＞0方程f(x)0两等实根二次函数图象x轴两交点二次函数两零点．
2）△＝0方程f(x)0两相等实根（二重根）二次函数图象x轴交点二次函数二重零点二阶零点．
3）△＜0方程f(x)0实根二次函数图象x轴交点二次函数零点．
二二分法
1概念：区间[ab]连续断f(a)f(b)<0函数yf(x)通断函数f(x)零点区间分二区间两端点逐步逼零点进零点似值方法做二分法
2二分法求方程似解步骤
⑴确定区间[ab]验证f(a)f(b)<0定精确度ε
⑵求区间(ab)中点c
⑶计算f(c)
①f(c)0c函数零点
②f(a)f(c)<0令bc（时零点x0∈(ac)）
③f(c)f(b)<0令ac（时零点x0∈(cb)）
(4)判断否达精确度ε：|ab|<ε零点似值a(b)否重复⑵~⑷
三函数应：
（1）评价模型： 定模型利学知识解模型验证否符合实际情况
（2）增长函数模型：次函数：yax+b(a>0)
指数函数：yax(a>1) 指数型函数： ykax(k>0a>1)
幂函数： yxn（ n∊N*) 数函数：ylogax(a>1)
二次函数：yax2+bx+c(a>0)
增长快慢：V(ax)>V(xn)>V(logax)
解等式 (1) log2x< 2x < x2 (2) log2x< x2 < 2x
（3）分段函数应：注意端点重复取求函数值先判断变量区间
（4）二次函数模型： yax2+bx+c(a≠0) 先求函数定义域求函数称轴定义域话代进求出值话定义域离称轴点代进求值
（5）数学建模：
(6)元二次方程ax2+bx+c0 （a>0） 根分布
两根（mn )
两仅（mn)
x1∈(mn) x2∈(pq)
y
x
n
m



m
n



m
n
p
q



f(m)f(n)<0

两根K
两根K
根K根K
y
x
k

k

k



f(k)<0




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