253 相似三角形
基础练
知识点 1 相似三角形相关定义
1图1示D△ABC边AB点∠ADC∠ACB∠ACD ∠A∠AACABAD( )DCCB时△ADC △ACB
图1
2[教材家谈谈变式] 列说法中错误 ( )
A两全等三角形定相似三角形
B两等腰三角形定相似
C两等边三角形定相似
D两等腰直角三角形定相似
3△ABC∽△DEFAB4cmDE8cm△ABC△DEF相似 △DEF△ABC相似
知识点 2 相似三角形应
4图2△ADE∽△ACB
图2
(1)AD( )AE( )DECB
(2)∠ADE ∠AED
5已知△ABC∽△DEFAB6cmBC4cmAC9cm△DEF短边长8cm长边长 ( )
A16cm B18cm
C45cm D13cm
6图3已知△ABC∽△DEBBE3CE2EDAB值 ( )
图3
A35 B53 C25 D52
7图4正方形网格中两相似三角形△ABC△DEF∠BAC度数 ( )
图4
A105° B115° C125° D135°
8图5△DEF∽△ABC求∠D∠EDF长
图5
知识点 3 利行线判定三角形相似
9图6点F行四边形ABCD边CD射线AF交BC延长线点E
图6
∵AD∥BC∴△EFC∽△
∵AB∥CD∴△EFC∽△
10图7Rt△ABC中∠C90°AC4BC3DE⊥AC点EDEDB求AD长
图7
力提升
11图8△ABC中点D线段BC△ABC∽△DBA列结定正确 ( )
图8
AAB2BC·BD BAB2AC·BD
CAB·ADBD·BC DAB·ADAD·CD
12图9Rt△ABC中∠C90°顶点A圆心适长半径画弧分交ABAC点MN分点MN圆心12MN长半径画弧两弧交点P射线AP交边BC点D△DAC∽△ABC∠B °
图9
13图10△ABC中EBC点CF⊥AB点FED⊥AB点DGAC边点∠1∠2求证△AFG∽△ABC
图10
14图11AB⊥BC点BDC⊥BC点CAB4DC6BC14点PBC移动PCD顶点三角形△ABP相似时求PB长
图11
15图12△ABC中∠C90°AC3cmBC4cm动点P点B出发2cms速度点C移动动点Q点C出发1cms速度点A移动中点达终点时点停止移动动点PQ时出发少秒时PQ∥AB
图12
16三角形(等腰三角形)顶点引出条射线边相交顶点交点间线段三角形分割成两三角形果分两三角形中等腰三角形原三角形相似条线段做三角形完美分割线
(1)图13①△ABC中∠A48°CD△ABC完美分割线ADCD∠ACB °
图13
(2)图②△ABC中AC2BC2CD△ABC完美分割线△ACDCD底边等腰三角形求完美分割线CD长
答案
1∠B AC ∽
2B
312 2
4(1)AC AB (2)∠C ∠B
5B [解析] 设△DEF长边长x cm∵△ABC∽△DEFAB6 cmBC4 cmAC9 cm△DEF短边长8 cm∴8∶4x∶9解x18∴长边长18 cm
6A [解析] ∵BE3CE2∴BCBE+CE5∵△ABC∽△DEB∴ABDEBCEB53∴DEAB35
7D [解析] △ABC∽△EDF∠BAC∠DEF∠DEF90°+45°135°∠BAC135°
8解△ABC中∠A180°∠B∠C180°75°45°60°∵△DEF∽△ABC∴∠D∠A60°∠E∠B75°DEABDFAC∴68DF11∴DF334
9AFD EAB
10解Rt△ABC中∵AC4BC3∴AB5∵DE⊥AC∠C90°∴DE∥BC∴△ADE∽△ABC∴DEBCADAB∵DEDB∴DE5AD∴5AD3AD5解AD258AD长258
11A
1230 [解析] 作图知AD分∠CAB∴∠CAD∠DAB∵△DAC∽△ABC∴∠CAD∠B∴∠CAB2∠B∵∠CAB+∠B90°∴3∠B90°∴∠B30°
13证明∵CF⊥ABED⊥AB∴∠AFC∠ADE90°∴∠2+∠AFG∠1+∠B90°∵∠1∠2∴∠AFG∠B∴FG∥BC∴△AFG∽△ABC
14解(1)△ABP∽△PCD时ABPCBPCD414BPBP6解BP2BP12
(2)△ABP∽△DCP时ABCDBPCP46BP14BP解BP56综PB长21256时两三角形相似
15解设t s时PQ∥ABBP2t cmQCt cmPC(42t)cm根题意Rt△ABC∽Rt△QPCACQCBCPC3t442t解t12检验t12列分式方程解点P移动速度2 cms点Q移动速度1 cmst取值范围0≤t≤2t12满足题目求答12 s时PQ∥AB
16解(1)96 [解析] ADCD时∠ACD∠A48°∵△BDC∽△BCA∴∠BCD∠A48°∴∠ACB∠ACD+∠BCD96°
(2)已知ADAC2∵△BAC∽△BCD∴BCBDBABC设BDx(2)2x(x+2)∵x>0∴x
31∵△BCD∽△BAC∴CDACBDBC312∴CD312×262完美分割线CD长62
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基础练
知识点 1 相似三角形相关定义
1图1示D△ABC边AB点∠ADC∠ACB∠ACD ∠A∠AACABAD( )DCCB时△ADC △ACB
图1
2[教材家谈谈变式] 列说法中错误 ( )
A两全等三角形定相似三角形
B两等腰三角形定相似
C两等边三角形定相似
D两等腰直角三角形定相似
3△ABC∽△DEFAB4cmDE8cm△ABC△DEF相似 △DEF△ABC相似
知识点 2 相似三角形应
4图2△ADE∽△ACB
图2
(1)AD( )AE( )DECB
(2)∠ADE ∠AED
5已知△ABC∽△DEFAB6cmBC4cmAC9cm△DEF短边长8cm长边长 ( )
A16cm B18cm
C45cm D13cm
6图3已知△ABC∽△DEBBE3CE2EDAB值 ( )
图3
A35 B53 C25 D52
7图4正方形网格中两相似三角形△ABC△DEF∠BAC度数 ( )
图4
A105° B115° C125° D135°
8图5△DEF∽△ABC求∠D∠EDF长
图5
知识点 3 利行线判定三角形相似
9图6点F行四边形ABCD边CD射线AF交BC延长线点E
图6
∵AD∥BC∴△EFC∽△
∵AB∥CD∴△EFC∽△
10图7Rt△ABC中∠C90°AC4BC3DE⊥AC点EDEDB求AD长
图7
力提升
11图8△ABC中点D线段BC△ABC∽△DBA列结定正确 ( )
图8
AAB2BC·BD BAB2AC·BD
CAB·ADBD·BC DAB·ADAD·CD
12图9Rt△ABC中∠C90°顶点A圆心适长半径画弧分交ABAC点MN分点MN圆心12MN长半径画弧两弧交点P射线AP交边BC点D△DAC∽△ABC∠B °
图9
13图10△ABC中EBC点CF⊥AB点FED⊥AB点DGAC边点∠1∠2求证△AFG∽△ABC
图10
14图11AB⊥BC点BDC⊥BC点CAB4DC6BC14点PBC移动PCD顶点三角形△ABP相似时求PB长
图11
15图12△ABC中∠C90°AC3cmBC4cm动点P点B出发2cms速度点C移动动点Q点C出发1cms速度点A移动中点达终点时点停止移动动点PQ时出发少秒时PQ∥AB
图12
16三角形(等腰三角形)顶点引出条射线边相交顶点交点间线段三角形分割成两三角形果分两三角形中等腰三角形原三角形相似条线段做三角形完美分割线
(1)图13①△ABC中∠A48°CD△ABC完美分割线ADCD∠ACB °
图13
(2)图②△ABC中AC2BC2CD△ABC完美分割线△ACDCD底边等腰三角形求完美分割线CD长
答案
1∠B AC ∽
2B
312 2
4(1)AC AB (2)∠C ∠B
5B [解析] 设△DEF长边长x cm∵△ABC∽△DEFAB6 cmBC4 cmAC9 cm△DEF短边长8 cm∴8∶4x∶9解x18∴长边长18 cm
6A [解析] ∵BE3CE2∴BCBE+CE5∵△ABC∽△DEB∴ABDEBCEB53∴DEAB35
7D [解析] △ABC∽△EDF∠BAC∠DEF∠DEF90°+45°135°∠BAC135°
8解△ABC中∠A180°∠B∠C180°75°45°60°∵△DEF∽△ABC∴∠D∠A60°∠E∠B75°DEABDFAC∴68DF11∴DF334
9AFD EAB
10解Rt△ABC中∵AC4BC3∴AB5∵DE⊥AC∠C90°∴DE∥BC∴△ADE∽△ABC∴DEBCADAB∵DEDB∴DE5AD∴5AD3AD5解AD258AD长258
11A
1230 [解析] 作图知AD分∠CAB∴∠CAD∠DAB∵△DAC∽△ABC∴∠CAD∠B∴∠CAB2∠B∵∠CAB+∠B90°∴3∠B90°∴∠B30°
13证明∵CF⊥ABED⊥AB∴∠AFC∠ADE90°∴∠2+∠AFG∠1+∠B90°∵∠1∠2∴∠AFG∠B∴FG∥BC∴△AFG∽△ABC
14解(1)△ABP∽△PCD时ABPCBPCD414BPBP6解BP2BP12
(2)△ABP∽△DCP时ABCDBPCP46BP14BP解BP56综PB长21256时两三角形相似
15解设t s时PQ∥ABBP2t cmQCt cmPC(42t)cm根题意Rt△ABC∽Rt△QPCACQCBCPC3t442t解t12检验t12列分式方程解点P移动速度2 cms点Q移动速度1 cmst取值范围0≤t≤2t12满足题目求答12 s时PQ∥AB
16解(1)96 [解析] ADCD时∠ACD∠A48°∵△BDC∽△BCA∴∠BCD∠A48°∴∠ACB∠ACD+∠BCD96°
(2)已知ADAC2∵△BAC∽△BCD∴BCBDBABC设BDx(2)2x(x+2)∵x>0∴x
31∵△BCD∽△BAC∴CDACBDBC312∴CD312×262完美分割线CD长62
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