12 椭圆简单性质
1已知椭圆Cx2a2+y241焦点(20)C离心率( )
A13 B12 C22 D223
2椭圆x24+y231焦点长弦短弦长分( )
A86 B43
C23 D423
3已知椭圆x2a2+y2b21椭圆x225+y2161相长轴椭圆x2a2+y2b21短轴长椭圆y221+x291短轴长相等( )
Aa225b216
Ba29b225
Ca225b29a29b225
Da225b29
4椭圆x2+my21焦点y轴长轴长短轴长2倍m值( )
A12 B14
C2 D4
5焦点x轴长短半轴长10焦距45椭圆标准方程( )
Ax236+y2161 Bx216+y2361
Cx26+y241 Dy26+x241
6已知长方形ABCDAB4BC3AB焦点点CD椭圆离心率
7已知椭圆短半轴长1离心率08已知椭圆Cx2a2+y2b21(a>b>0)左右焦点分F1(10)F2(10)椭圆C点M4313求椭圆C离心率
力达标
9图已知F1F2分椭圆左右焦点现F2圆心作圆恰椭圆中心交椭圆点MNF1直线MF1圆F2切线椭圆离心率( )
A31 B23
C22 D32
10椭圆(m+1)x2+my21长轴长( )
A2m1m1 B2mm
C2mm D21mm1
11椭圆绕中心旋转90°椭圆两顶点恰旋转前椭圆两焦点样椭圆称偶椭圆列椭圆方程中偶椭圆方程( )
Ax28+y241 Bx23+y251
Cx26+y221 Dx26+y291
12已知点P(21)椭圆x2a2+y2b21(a>b>0)点M(ab)面点O坐标原点|OM|取值时椭圆离心率( )
A33 B12
C22 D32
13(选题)图已知F1F2分椭圆x2a2+y2b21(a>b>0)左右焦点点P该椭圆第象限点∠F1PF2分线交x轴Q点满足OF24OQ椭圆离心率e( )
A18 B14
C12 D34
14面直角坐标系xOy中椭圆C中心原点焦点F1F2x轴离心率22F1直线l交CAB两点△ABF2周长16椭圆C方程
15图椭圆x24+y224长轴AB分成8等份分点作x轴垂线交椭圆半部分P1P2P3P4P5P6P7七点F椭圆焦点|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|+|P6F|+|P7F|
16(1)求椭圆x29+y241相焦点离心率55椭圆标准方程
(2)已知椭圆两焦点间距离8两顶点坐标分(60)(60)求焦点x轴椭圆标准方程
17椭圆x2a2+y2b21(a>b>0)点PF1F2分椭圆左右焦点椭圆点Q线段PF2延长线QF1⊥QPsin ∠F1PQ513该椭圆离心率取值范围( )
A26261
B1553
C1522
D262622
1已知椭圆Cx2a2+y241焦点(20)C离心率( )
A13 B12 C22 D223
答案C
解析椭圆C焦点(20)焦点x轴c2a24c2a28a22椭圆C离心率eca22
2椭圆x24+y231焦点长弦短弦长分( )
A86 B43
C23 D423
答案B
解析题意知a2b3c1长弦两焦点长2a4短弦垂直x轴长度xc1时坐标绝值2倍长度3
3已知椭圆x2a2+y2b21椭圆x225+y2161相长轴椭圆x2a2+y2b21短轴长椭圆y221+x291短轴长相等( )
Aa225b216
Ba29b225
Ca225b29a29b225
Da225b29
答案D
解析椭圆x225+y2161长轴长10
椭圆y221+x291短轴长6
题意知椭圆x2a2+y2b21焦点x轴
a5b3a225b29
4椭圆x2+my21焦点y轴长轴长短轴长2倍m值( )
A12 B14
C2 D4
答案B
解析椭圆x2+my21焦点y轴短半轴长1长轴长短轴长2倍1m2解m14
5焦点x轴长短半轴长10焦距45椭圆标准方程( )
Ax236+y2161 Bx216+y2361
Cx26+y241 Dy26+x241
答案A
解析题意c25a+b10a2b2+c2解a6b4椭圆标准方程x236+y2161
6已知长方形ABCDAB4BC3AB焦点点CD椭圆离心率
答案12
解析图AB2c4
∵点C椭圆
∴|CB|+|CA|2a3+58
∴e2c2a4812
7已知椭圆短半轴长1离心率0答案(24]
解析∵e1(ba) 2b10∴0<1(1a) 2≤32
1长轴长取值范围(24]
8已知椭圆Cx2a2+y2b21(a>b>0)左右焦点分F1(10)F2(10)椭圆C点M4313求椭圆C离心率
解2a|MF1|+|MF2|(43+1) 2+(13) 2+(431) 2+(13) 2a2已知c1椭圆C离心率eca1222
力达标
9图已知F1F2分椭圆左右焦点现F2圆心作圆恰椭圆中心交椭圆点MNF1直线MF1圆F2切线椭圆离心率( )
A31 B23
C22 D32
答案A
解析∵F1直线MF1圆F2切线
∴∠F1MF290°|MF2|c∵|F1F2|2c
∴|MF1|3c椭圆定义|MF1|+|MF2|c+3c2a∴椭圆离心率e21+331
10椭圆(m+1)x2+my21长轴长( )
A2m1m1 B2mm
C2mm D21mm1
答案C
解析椭圆方程化简x211+m+y21m1
题意知m>0∴11+m<1m∴amm
∴椭圆长轴长2a2mm
11椭圆绕中心旋转90°椭圆两顶点恰旋转前椭圆两焦点样椭圆称偶椭圆列椭圆方程中偶椭圆方程( )
Ax28+y241 Bx23+y251
Cx26+y221 Dx26+y291
答案A
解析题意知bc时椭圆绕中心旋转90°椭圆两顶点恰旋转前椭圆两焦点选项A符合题意选A
12已知点P(21)椭圆x2a2+y2b21(a>b>0)点M(ab)面点O坐标原点|OM|取值时椭圆离心率( )
A33 B12
C22 D32
答案C
解析点P(21)椭圆x2a2+y2b21(a>b>0)4a2+1b21M(ab)面点O坐标原点
|OM|(a2+b2)(4a2+1b2)5+4b2a2+a2b2≥5+24b2a2·a2b23
仅a22b2时等号成立时4a2+1b21a22b2解a26b23
ea2b2a21222选C
13(选题)图已知F1F2分椭圆x2a2+y2b21(a>b>0)左右焦点点P该椭圆第象限点∠F1PF2分线交x轴Q点满足OF24OQ椭圆离心率e( )
A18 B14
C12 D34
答案CD
解析∵OF24OQ∴|QF2|34c|OQ|14c
∣QF1∣54c
∵PQ∠F1PF2分线
∴|PF1||PF2||QF1||QF2|53
|PF1|+|PF2|2a
∴|PF1|5a4|PF2|3a4
△PF1F2中
余弦定理cos∠F1PF22516a2+916a24c22×5a4×3a417153215e2
∵1解1414面直角坐标系xOy中椭圆C中心原点焦点F1F2x轴离心率22F1直线l交CAB两点△ABF2周长16椭圆C方程
答案x216+y281
解析设椭圆方程x2a2+y2b21(a>b>0)e22知ca22b2a212△ABF2周长|AB|+|BF2|+|AF2|(|AF1|+|AF2|)+(|BF1|+|BF2|)4a16a4∴b28∴椭圆C方程x216+y281
15图椭圆x24+y224长轴AB分成8等份分点作x轴垂线交椭圆半部分P1P2P3P4P5P6P7七点F椭圆焦点|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|+|P6F|+|P7F|
答案28
解析根题意椭圆x24+y224长轴AB分成8等份设焦点F2分点作x轴垂线交椭圆半部分P1P2P3P4P5P6P7七点F椭圆焦点根椭圆称性知|P1F|+|P7F||P7F2|+|P7F|2a理余两2a|P4F|a
∴|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|+|P6F|+|P7F|7a28
16(1)求椭圆x29+y241相焦点离心率55椭圆标准方程
(2)已知椭圆两焦点间距离8两顶点坐标分(60)(60)求焦点x轴椭圆标准方程
解(1)∵c945
∴求椭圆焦点(50)(50)
设求椭圆方程x2a2+y2b21(a>b>0)
∵eca55c5
∴a5b2a2c220
∴求椭圆方程x225+y2201
(2)∵椭圆焦点x轴
∴设标准方程x2a2+y2b21(a>b>0)
∵2c8∴c4
a6∴b2a2c220
∴椭圆方程x236+y2201
17椭圆x2a2+y2b21(a>b>0)点PF1F2分椭圆左右焦点椭圆点Q线段PF2延长线QF1⊥QPsin ∠F1PQ513该椭圆离心率取值范围( )
A26261
B1553
C1522
D262622
答案D
解析∵QF1⊥QP∴点QF1F2直径原点圆心圆∵点Q椭圆部
∴F1F2直径圆椭圆
∴c∴c2∵sin ∠F1PQ513∴cos ∠F1PQ1213
设|PF1|m|PF2|n
|PF1|+|PF2|m+n2a△PF1F2中余弦定理4c2m2+n22mn·1213
∴4c2(m+n)22mn2mn·1213
4c24a25013mn∴mn2625(a2c2)
基等式mn≤m+n22a2
仅mn时取等号
题意知QF1⊥QP
∴m≠n∴mn∴2625(a2c2)e2>126∴e>2626综2626
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1已知椭圆Cx2a2+y241焦点(20)C离心率( )
A13 B12 C22 D223
2椭圆x24+y231焦点长弦短弦长分( )
A86 B43
C23 D423
3已知椭圆x2a2+y2b21椭圆x225+y2161相长轴椭圆x2a2+y2b21短轴长椭圆y221+x291短轴长相等( )
Aa225b216
Ba29b225
Ca225b29a29b225
Da225b29
4椭圆x2+my21焦点y轴长轴长短轴长2倍m值( )
A12 B14
C2 D4
5焦点x轴长短半轴长10焦距45椭圆标准方程( )
Ax236+y2161 Bx216+y2361
Cx26+y241 Dy26+x241
6已知长方形ABCDAB4BC3AB焦点点CD椭圆离心率
7已知椭圆短半轴长1离心率0
力达标
9图已知F1F2分椭圆左右焦点现F2圆心作圆恰椭圆中心交椭圆点MNF1直线MF1圆F2切线椭圆离心率( )
A31 B23
C22 D32
10椭圆(m+1)x2+my21长轴长( )
A2m1m1 B2mm
C2mm D21mm1
11椭圆绕中心旋转90°椭圆两顶点恰旋转前椭圆两焦点样椭圆称偶椭圆列椭圆方程中偶椭圆方程( )
Ax28+y241 Bx23+y251
Cx26+y221 Dx26+y291
12已知点P(21)椭圆x2a2+y2b21(a>b>0)点M(ab)面点O坐标原点|OM|取值时椭圆离心率( )
A33 B12
C22 D32
13(选题)图已知F1F2分椭圆x2a2+y2b21(a>b>0)左右焦点点P该椭圆第象限点∠F1PF2分线交x轴Q点满足OF24OQ椭圆离心率e( )
A18 B14
C12 D34
14面直角坐标系xOy中椭圆C中心原点焦点F1F2x轴离心率22F1直线l交CAB两点△ABF2周长16椭圆C方程
15图椭圆x24+y224长轴AB分成8等份分点作x轴垂线交椭圆半部分P1P2P3P4P5P6P7七点F椭圆焦点|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|+|P6F|+|P7F|
16(1)求椭圆x29+y241相焦点离心率55椭圆标准方程
(2)已知椭圆两焦点间距离8两顶点坐标分(60)(60)求焦点x轴椭圆标准方程
17椭圆x2a2+y2b21(a>b>0)点PF1F2分椭圆左右焦点椭圆点Q线段PF2延长线QF1⊥QPsin ∠F1PQ513该椭圆离心率取值范围( )
A26261
B1553
C1522
D262622
1已知椭圆Cx2a2+y241焦点(20)C离心率( )
A13 B12 C22 D223
答案C
解析椭圆C焦点(20)焦点x轴c2a24c2a28a22椭圆C离心率eca22
2椭圆x24+y231焦点长弦短弦长分( )
A86 B43
C23 D423
答案B
解析题意知a2b3c1长弦两焦点长2a4短弦垂直x轴长度xc1时坐标绝值2倍长度3
3已知椭圆x2a2+y2b21椭圆x225+y2161相长轴椭圆x2a2+y2b21短轴长椭圆y221+x291短轴长相等( )
Aa225b216
Ba29b225
Ca225b29a29b225
Da225b29
答案D
解析椭圆x225+y2161长轴长10
椭圆y221+x291短轴长6
题意知椭圆x2a2+y2b21焦点x轴
a5b3a225b29
4椭圆x2+my21焦点y轴长轴长短轴长2倍m值( )
A12 B14
C2 D4
答案B
解析椭圆x2+my21焦点y轴短半轴长1长轴长短轴长2倍1m2解m14
5焦点x轴长短半轴长10焦距45椭圆标准方程( )
Ax236+y2161 Bx216+y2361
Cx26+y241 Dy26+x241
答案A
解析题意c25a+b10a2b2+c2解a6b4椭圆标准方程x236+y2161
6已知长方形ABCDAB4BC3AB焦点点CD椭圆离心率
答案12
解析图AB2c4
∵点C椭圆
∴|CB|+|CA|2a3+58
∴e2c2a4812
7已知椭圆短半轴长1离心率0
解析∵e1(ba) 2b10
1
8已知椭圆Cx2a2+y2b21(a>b>0)左右焦点分F1(10)F2(10)椭圆C点M4313求椭圆C离心率
解2a|MF1|+|MF2|(43+1) 2+(13) 2+(431) 2+(13) 2a2已知c1椭圆C离心率eca1222
力达标
9图已知F1F2分椭圆左右焦点现F2圆心作圆恰椭圆中心交椭圆点MNF1直线MF1圆F2切线椭圆离心率( )
A31 B23
C22 D32
答案A
解析∵F1直线MF1圆F2切线
∴∠F1MF290°|MF2|c∵|F1F2|2c
∴|MF1|3c椭圆定义|MF1|+|MF2|c+3c2a∴椭圆离心率e21+331
10椭圆(m+1)x2+my21长轴长( )
A2m1m1 B2mm
C2mm D21mm1
答案C
解析椭圆方程化简x211+m+y21m1
题意知m>0∴11+m<1m∴amm
∴椭圆长轴长2a2mm
11椭圆绕中心旋转90°椭圆两顶点恰旋转前椭圆两焦点样椭圆称偶椭圆列椭圆方程中偶椭圆方程( )
Ax28+y241 Bx23+y251
Cx26+y221 Dx26+y291
答案A
解析题意知bc时椭圆绕中心旋转90°椭圆两顶点恰旋转前椭圆两焦点选项A符合题意选A
12已知点P(21)椭圆x2a2+y2b21(a>b>0)点M(ab)面点O坐标原点|OM|取值时椭圆离心率( )
A33 B12
C22 D32
答案C
解析点P(21)椭圆x2a2+y2b21(a>b>0)4a2+1b21M(ab)面点O坐标原点
|OM|(a2+b2)(4a2+1b2)5+4b2a2+a2b2≥5+24b2a2·a2b23
仅a22b2时等号成立时4a2+1b21a22b2解a26b23
ea2b2a21222选C
13(选题)图已知F1F2分椭圆x2a2+y2b21(a>b>0)左右焦点点P该椭圆第象限点∠F1PF2分线交x轴Q点满足OF24OQ椭圆离心率e( )
A18 B14
C12 D34
答案CD
解析∵OF24OQ∴|QF2|34c|OQ|14c
∣QF1∣54c
∵PQ∠F1PF2分线
∴|PF1||PF2||QF1||QF2|53
|PF1|+|PF2|2a
∴|PF1|5a4|PF2|3a4
△PF1F2中
余弦定理cos∠F1PF22516a2+916a24c22×5a4×3a417153215e2
∵1
答案x216+y281
解析设椭圆方程x2a2+y2b21(a>b>0)e22知ca22b2a212△ABF2周长|AB|+|BF2|+|AF2|(|AF1|+|AF2|)+(|BF1|+|BF2|)4a16a4∴b28∴椭圆C方程x216+y281
15图椭圆x24+y224长轴AB分成8等份分点作x轴垂线交椭圆半部分P1P2P3P4P5P6P7七点F椭圆焦点|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|+|P6F|+|P7F|
答案28
解析根题意椭圆x24+y224长轴AB分成8等份设焦点F2分点作x轴垂线交椭圆半部分P1P2P3P4P5P6P7七点F椭圆焦点根椭圆称性知|P1F|+|P7F||P7F2|+|P7F|2a理余两2a|P4F|a
∴|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|+|P6F|+|P7F|7a28
16(1)求椭圆x29+y241相焦点离心率55椭圆标准方程
(2)已知椭圆两焦点间距离8两顶点坐标分(60)(60)求焦点x轴椭圆标准方程
解(1)∵c945
∴求椭圆焦点(50)(50)
设求椭圆方程x2a2+y2b21(a>b>0)
∵eca55c5
∴a5b2a2c220
∴求椭圆方程x225+y2201
(2)∵椭圆焦点x轴
∴设标准方程x2a2+y2b21(a>b>0)
∵2c8∴c4
a6∴b2a2c220
∴椭圆方程x236+y2201
17椭圆x2a2+y2b21(a>b>0)点PF1F2分椭圆左右焦点椭圆点Q线段PF2延长线QF1⊥QPsin ∠F1PQ513该椭圆离心率取值范围( )
A26261
B1553
C1522
D262622
答案D
解析∵QF1⊥QP∴点QF1F2直径原点圆心圆∵点Q椭圆部
∴F1F2直径圆椭圆
∴c
设|PF1|m|PF2|n
|PF1|+|PF2|m+n2a△PF1F2中余弦定理4c2m2+n22mn·1213
∴4c2(m+n)22mn2mn·1213
4c24a25013mn∴mn2625(a2c2)
基等式mn≤m+n22a2
仅mn时取等号
题意知QF1⊥QP
∴m≠n∴mn
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