常州市2015届高三第学期期末调研测试
数学Ⅰ试题 2015年2月
填空题：题14题题5分计70分．请答案填写答题卡相应位置．
（第6题）
1． 设集合 ▲ ．
2． 设复数（i虚数单位）值 ▲ ．
3． 已知双曲线离心率实数a值 ▲ ．
4． 函数定义域 ▲ ．
5． 函数正周期 ▲ ．
6． 右图算法流程图输出值 ▲ ．
7． 现5道试题中甲类试题2道乙类试题3道现中机取2道试题少1道试题乙类试题概率 ▲ ．
8． 实数满足约束条件目标函数值 ▲ ．
9． 曲线点处切线方程 ▲ ．
10． 已知函数函数值域 ▲ ．
11． 已知量设量满足值 ▲ ．
12． 设等数列公（）前n项等差中项 ▲ ．
13． 等式意满足实数恒成立实数值 ▲ ．
14． 面直角坐标系中已知圆圆均轴相切圆心原点线两点
横坐标积6设圆圆相交两点直线：点直线意点间距离值 ▲ ．
二解答题：题6题计90分．请答题卡指定区域作答解答时应写出文字说明证明程演算步骤．
15．（题满分14分）
△ABC中角ABC边分abc．已知．
（1）求值（2）求值（3）求△ABC面积．
16．（题满分14分）
（第16题）
图四棱锥底面ABCD 行四边形面PBD⊥面 ABCD PBPD⊥⊥分中点连结．求证：
（1）∥面
（2）⊥面．
17．（题满分14分）
某学校支持生物课程基研究植物生长计划利学校空建造间室面积900m2矩形温室温室划出三块全等矩形区域分种植三种植物相邻矩形区域间间隔1m三块矩形区域前墙保留 1m 宽通道左右两块矩形区域分相邻左右墙保留 3m 宽通道图．设矩形温室室长（m）三块种植植物矩形区域总面积（m2）．
（1）求关函数关系式
（2）求值．
18．（题满分16分）
面直角坐标系中已知椭圆：离心率直线椭圆右焦点交椭圆两点．
（1）求椭圆标准方程
（2）已知点连结点作垂直轴直线设直线直线交点试探索变化时否存条定直线点恒直线？存请求出直线方程存请说明理．
19．（题满分16分）
已知数列（）满足 中．
（1）时求关表达式求取值范围
（2）设集合．
①求证：
②否存实数属？存请求出实数存请说明理．
20．（题满分16分）
已知实数函数函数．
（1）时令求函数极值
（2）时令否存实数函数
定义域中意实数均存实数成立存求出实数取值集合存请说明理．
数学Ⅱ（附加题） 2015年2月
21．选做题ABCD 四题中选做两题题10分计20分．请答题卡指定区域作答解答时应写出文字说明证明程演算步骤．
（第21A题）
A．选修4—1：证明选讲
已知AB圆O直径P半圆意
点PC分线半圆中点
求证：直线PC点
B．选修4—2：矩阵变换
已知矩阵满足：中互相等实常数
非零面列量求矩阵
C．选修4—4：坐标系参数方程
已知两动点分两条直线运动横坐标分角正弦余弦记求动点轨迹普通方程
D．选修4—5：等式选讲
已知证明：
必做题第22题第23题题10分计20分．请答题卡指定区域作答解答时应写出文字说明证明程演算步骤．
22． (题满分10分)
位网民网光顾某淘宝店番浏览该店铺中五种商品购买意已知该网民购买两种商品概率均购买两种商品概率均购买种商品概率假设该网民否购买五种商品相互独立
（1）求该网民少购买4种商品概率
（2）机变量表示该网民购买商品种数求概率分布数学期
23．（题满分10分）
设正数满足（）．
（1）时证明：
（2）时等式成立请推广（）正数情形纳出般性结数学纳法证明．
常州市教育学会学生学业水监测
参考答案评分标准
填空题：题14题题5分70分
1． 2． 3．8 4． 5． 6．127 7．
8．1 9． 10． 11． 12． 13． 14．
二解答题：题6题计90分．解答时应写出文字说明证明程演算步骤．
15．解：（1）
． ………………………2分
正弦定理
化简． ………………………5分
（2）．
． ………………………8分
（3）
． ……………………10分
．
………………………12分
．
△ABC面积． ………………………14分
16．证明：（1）连结AC
ABCD 行四边形O中点． ………………………2分
△中分中点
∥． ………………………4分
面面
∥面． ………………………6分
（2）连结．中点PBPD
PO⊥BD．
面PBD⊥面ABCD面
面面
⊥面．
⊥．……………………8分
⊥面面
⊥面．
面⊥． ………………………10分
⊥∥⊥． ………………………12分
面面
⊥面． ………………………14分
17．解：（1）题设
． ………………………6分
（2） ……………………8分
仅时等号成立． ………………………10分
． ………………………12分
答：矩形温室室长60 m时三块种植植物矩形区域总面积m2 ． ………………………14分
18． 解：（1）题设解
椭圆标准方程． ………………………4分
（2）令者．
时时
满足题意定直线． ………………………6分
面证明点恒直线．
设垂直轴点坐标证明直线． ………………………8分
．① ………………………10分
∵
………………………13分
①式代入式 ． ………………………15分
∴点恒直线直线直线直线三线恒点
存条定直线：点恒直线． ………………16分
19．解：（1）时
． ………………………2分
． ………………………4分
（2）①题意． ……………6分
令．
令． ………………………8分
②存实数时属． ………………………9分
假设存实数时属．
∴
． ………………………11分
时属存三整数（）
． ………………………13分
互质整数
矛盾．
存实数属． ………………………16分
20．解：（1）
令． ………………………1分
列表：
x
0
+
↘
极值
↗
极值极值． ………………………4分
（2）时假设存实数满足条件恒成立． ………………………5分
1）时 化
令问题转化：意恒成立（*）
．
令．
①时
函数时单调递减
函数时单调递增（*）
成立满足题意 ………………………7分
②时
记时
函数时单调递增
函数时单调递减时（*）成立
恒成立时 ………………9分
2）时化
令问题转化：意恒成立
（**）
．
令．
①时
函数时单调递增
函数时单调递增时（**）成立11分
②时
ⅰ）必函数单调递减函数时单调递减时（**）成立 ………………………13分
ⅱ）时
函数单调递减函数时单调递减时（**）成立
恒成立时 ………………15分
综述恒成立时 实数取值集合． ………………………16分
高三数学Ⅱ（附加题） 参考答案
21选做题ABCD 四题中选做两题题10分计20分．
A．选修4—1：证明选讲
证明： 连结． ………………………2分
圆周角弧圆心角
． ………………………5分
理分线． ………………………8分
PC分线分线条PC重合
直线PC点 ………………………10分
B．选修4—2：矩阵变换
解：题意方程两根．
．① ………………………2分
………………………5分
．
．． ………………………8分
矩阵 ………………………10分
C．选修4—4：坐标系参数方程
解：设 ………………………2分
两式方相加． ………………………5分
………………………8分
动点轨迹普通方程（）．………………………10分
D．选修4—5：等式选讲
证明：
………………………4分
………………………8分
………………………10分
必做题第22题第23题题10分计20分．
22．解：（1）记该网民购买i种商品事件：
……………2分
该网民少购买4种商品概率
答：该网民少购买4种商品概率 ………………………3分
（2）机变量取值
………………………8分
：机变量概率分布：
0
1
2
3
4
5
………………………10分
23．解：（1）证明：（）均正实数
左—右
0
原等式成立． ………………………4分
（2）纳等式：
（）．…5分
记
（）时（1）知等式成立
假设（）时等式成立
．
时
…………………………7分
等式成立． …………………………9分
综述等式（）成立．…10分
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数学Ⅰ试题 2015年2月
填空题：题14题题5分计70分．请答案填写答题卡相应位置．
（第6题）
1． 设集合 ▲ ．
2． 设复数（i虚数单位）值 ▲ ．
3． 已知双曲线离心率实数a值 ▲ ．
4． 函数定义域 ▲ ．
5． 函数正周期 ▲ ．
6． 右图算法流程图输出值 ▲ ．
7． 现5道试题中甲类试题2道乙类试题3道现中机取2道试题少1道试题乙类试题概率 ▲ ．
8． 实数满足约束条件目标函数值 ▲ ．
9． 曲线点处切线方程 ▲ ．
10． 已知函数函数值域 ▲ ．
11． 已知量设量满足值 ▲ ．
12． 设等数列公（）前n项等差中项 ▲ ．
13． 等式意满足实数恒成立实数值 ▲ ．
14． 面直角坐标系中已知圆圆均轴相切圆心原点线两点
横坐标积6设圆圆相交两点直线：点直线意点间距离值 ▲ ．
二解答题：题6题计90分．请答题卡指定区域作答解答时应写出文字说明证明程演算步骤．
15．（题满分14分）
△ABC中角ABC边分abc．已知．
（1）求值（2）求值（3）求△ABC面积．
16．（题满分14分）
（第16题）
图四棱锥底面ABCD 行四边形面PBD⊥面 ABCD PBPD⊥⊥分中点连结．求证：
（1）∥面
（2）⊥面．
17．（题满分14分）
某学校支持生物课程基研究植物生长计划利学校空建造间室面积900m2矩形温室温室划出三块全等矩形区域分种植三种植物相邻矩形区域间间隔1m三块矩形区域前墙保留 1m 宽通道左右两块矩形区域分相邻左右墙保留 3m 宽通道图．设矩形温室室长（m）三块种植植物矩形区域总面积（m2）．
（1）求关函数关系式
（2）求值．
18．（题满分16分）
面直角坐标系中已知椭圆：离心率直线椭圆右焦点交椭圆两点．
（1）求椭圆标准方程
（2）已知点连结点作垂直轴直线设直线直线交点试探索变化时否存条定直线点恒直线？存请求出直线方程存请说明理．
19．（题满分16分）
已知数列（）满足 中．
（1）时求关表达式求取值范围
（2）设集合．
①求证：
②否存实数属？存请求出实数存请说明理．
20．（题满分16分）
已知实数函数函数．
（1）时令求函数极值
（2）时令否存实数函数
定义域中意实数均存实数成立存求出实数取值集合存请说明理．
数学Ⅱ（附加题） 2015年2月
21．选做题ABCD 四题中选做两题题10分计20分．请答题卡指定区域作答解答时应写出文字说明证明程演算步骤．
（第21A题）
A．选修4—1：证明选讲
已知AB圆O直径P半圆意
点PC分线半圆中点
求证：直线PC点
B．选修4—2：矩阵变换
已知矩阵满足：中互相等实常数
非零面列量求矩阵
C．选修4—4：坐标系参数方程
已知两动点分两条直线运动横坐标分角正弦余弦记求动点轨迹普通方程
D．选修4—5：等式选讲
已知证明：
必做题第22题第23题题10分计20分．请答题卡指定区域作答解答时应写出文字说明证明程演算步骤．
22． (题满分10分)
位网民网光顾某淘宝店番浏览该店铺中五种商品购买意已知该网民购买两种商品概率均购买两种商品概率均购买种商品概率假设该网民否购买五种商品相互独立
（1）求该网民少购买4种商品概率
（2）机变量表示该网民购买商品种数求概率分布数学期
23．（题满分10分）
设正数满足（）．
（1）时证明：
（2）时等式成立请推广（）正数情形纳出般性结数学纳法证明．
常州市教育学会学生学业水监测
参考答案评分标准
填空题：题14题题5分70分
1． 2． 3．8 4． 5． 6．127 7．
8．1 9． 10． 11． 12． 13． 14．
二解答题：题6题计90分．解答时应写出文字说明证明程演算步骤．
15．解：（1）
． ………………………2分
正弦定理
化简． ………………………5分
（2）．
． ………………………8分
（3）
． ……………………10分
．
………………………12分
．
△ABC面积． ………………………14分
16．证明：（1）连结AC
ABCD 行四边形O中点． ………………………2分
△中分中点
∥． ………………………4分
面面
∥面． ………………………6分
（2）连结．中点PBPD
PO⊥BD．
面PBD⊥面ABCD面
面面
⊥面．
⊥．……………………8分
⊥面面
⊥面．
面⊥． ………………………10分
⊥∥⊥． ………………………12分
面面
⊥面． ………………………14分
17．解：（1）题设
． ………………………6分
（2） ……………………8分
仅时等号成立． ………………………10分
． ………………………12分
答：矩形温室室长60 m时三块种植植物矩形区域总面积m2 ． ………………………14分
18． 解：（1）题设解
椭圆标准方程． ………………………4分
（2）令者．
时时
满足题意定直线． ………………………6分
面证明点恒直线．
设垂直轴点坐标证明直线． ………………………8分
．① ………………………10分
∵
………………………13分
①式代入式 ． ………………………15分
∴点恒直线直线直线直线三线恒点
存条定直线：点恒直线． ………………16分
19．解：（1）时
． ………………………2分
． ………………………4分
（2）①题意． ……………6分
令．
令． ………………………8分
②存实数时属． ………………………9分
假设存实数时属．
∴
． ………………………11分
时属存三整数（）
． ………………………13分
互质整数
矛盾．
存实数属． ………………………16分
20．解：（1）
令． ………………………1分
列表：
x
0
+
↘
极值
↗
极值极值． ………………………4分
（2）时假设存实数满足条件恒成立． ………………………5分
1）时 化
令问题转化：意恒成立（*）
．
令．
①时
函数时单调递减
函数时单调递增（*）
成立满足题意 ………………………7分
②时
记时
函数时单调递增
函数时单调递减时（*）成立
恒成立时 ………………9分
2）时化
令问题转化：意恒成立
（**）
．
令．
①时
函数时单调递增
函数时单调递增时（**）成立11分
②时
ⅰ）必函数单调递减函数时单调递减时（**）成立 ………………………13分
ⅱ）时
函数单调递减函数时单调递减时（**）成立
恒成立时 ………………15分
综述恒成立时 实数取值集合． ………………………16分
高三数学Ⅱ（附加题） 参考答案
21选做题ABCD 四题中选做两题题10分计20分．
A．选修4—1：证明选讲
证明： 连结． ………………………2分
圆周角弧圆心角
． ………………………5分
理分线． ………………………8分
PC分线分线条PC重合
直线PC点 ………………………10分
B．选修4—2：矩阵变换
解：题意方程两根．
．① ………………………2分
………………………5分
．
．． ………………………8分
矩阵 ………………………10分
C．选修4—4：坐标系参数方程
解：设 ………………………2分
两式方相加． ………………………5分
………………………8分
动点轨迹普通方程（）．………………………10分
D．选修4—5：等式选讲
证明：
………………………4分
………………………8分
………………………10分
必做题第22题第23题题10分计20分．
22．解：（1）记该网民购买i种商品事件：
……………2分
该网民少购买4种商品概率
答：该网民少购买4种商品概率 ………………………3分
（2）机变量取值
………………………8分
：机变量概率分布：
0
1
2
3
4
5
………………………10分
23．解：（1）证明：（）均正实数
左—右
0
原等式成立． ………………………4分
（2）纳等式：
（）．…5分
记
（）时（1）知等式成立
假设（）时等式成立
．
时
…………………………7分
等式成立． …………………………9分
综述等式（）成立．…10分
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