目 录
函数极限 2
1集合概念 2
2常量变量 3
2函数 4
3函数简单性态 4
4反函数 5
5复合函数 6
6初等函数 6
7双曲函数反双曲函数 7
8数列极限 8
9函数极限 9
10函数极限运算规 11
11考研数学极限计算答题技巧
函数极限
1集合概念
般 研究 象统称 元素元素组成总体集合(简称集)集合具确定性(定集合元素必须确定)互异性(定集合中元素互相)身材较高构成集合 元素确定
通常字拉丁字母ABC……表示集合写拉丁字母abc……表示集合中元素果a集合A中元素说a属A记作:a∈A否说a属A记作:aA
⑴全体非负整数组成集合做非负整数集(然数集)记作N
⑵正整数组成集合做正整数集记作N+N+
⑶全体整数组成集合做整数集记作Z
⑷全体理数组成集合做理数集记作Q
⑸全体实数组成集合做实数集记作R
集合表示方法
⑴列举法:集合元素列举出{}括起表示集合
⑵描述法:集合元素特征表示集合
集合间基关系
⑴子集:般两集合AB果集合A中意元素集合B元素说AB包含关系称集合A集合B子集记作A B(B A)
⑵相等:集合A集合B子集集合B集合A子集时集合A中元素集合B中元素完全样集合A集合B相等记作A=B
⑶真子集:集合A集合B子集存元素属B属A称集合A集合B真子集
⑷空集:含元素集合做空集记作 规定空集集合子集
⑸述集合间基关系面结:
①集合身子集A A
②集合ABC果AB子集BC子集AC子集
③相等集合做等集样话子集包括真子集等集
集合基运算
⑴集:般属集合A属集合B元素组成集合称AB集记作A∪B(求集时公元素集中出现次)
A∪B={x|x∈Ax∈B}
⑵交集:般属集合A属集合B元素组成集合称AB交集记作A∩B
A∩B={x|x∈Ax∈B}
⑶补集:
①全集:般果集合含研究问题中涉元素称集合全集通常记作U
②补集:集合A全集U中属集合A元素组成集合称集合A相全集U补集简称集合A补集记作CUA
CUA={x|x∈Ux A}
集合中元素数
⑴限集:含限元素集合做限集含限元素集合做限集
⑵card表示限集中元素数例A={abc}card(A)3
⑶般意两集合AB
card(A)+card(B)card(A∪B)+card(A∩B)
问题:
1学校里开运动会设A={x|x参加百米跑学}B={x|x参加二百米跑学}C={x|x参加四百米跑学}学校规定参加述赛学参加两项请集合运算说明项规定解释集合运算含义⑴A∪B⑵A∩B
2面直角坐标系中集合C={(xy)|yx}表示直线y=x角度集合D{(xy)|方程组:2xy1x+4y5}表示什?集合CD间什关系?请分集合语言语言说明种关系
3已知集合A{x|1≤x≤3}B={x|(x1)(xa)0}试判断BA子集?否存实数aA=B成立?
4限集合ABC找出三集合中元素数交集集元素数间关系呢?
5限集合A={1234…n…}B={2468…2n…}设计种较两集合中元素数少方法?
2常量变量
⑴变量定义:观察某现象程时常常会遇种量中量程中起变化称常量量程中变化取数值称变量注:程中种量然变化变化相研究象极微作常量
⑵变量表示:果变量变化连续常区间表示变化范围数轴说区间指介某两点间线段点全体
区间名称
区间满足等式
区间记号
区间数轴表示
闭区间
a≤x≤b
[ab]
开区间
a<x<b
(ab)
半开区间
a<x≤ba≤x<b
(ab][ab)
述限区间外限区间:
[a+∞):表示a实数全体记:a≤x<+∞
(∞b):表示b实数全体记:∞<x<b
(∞+∞):表示全体实数记:∞<x<+∞
注:中∞+∞分读作负穷正穷数仅仅记号
⑶邻域:设αδ两实数δ>0满足等式│xα│<δ实数x全体称点αδ邻域点α称邻域中心δ称邻域半径
2函数
⑴函数定义:果变量x变化范围意取定数值时量y定法f总确定数值应称yx函数变量x变化范围做函数定义域通常x做变量y做函数值(变量)变量y变化范围做函数值域注:表明yx函数记号yf(x)yF(x)等等表示里字母fF表示yx间应法函数关系意采字母表示果变量定义域取确定值时函数确定值应种函数做单值函数否做值函数里讨单值函数
⑵函数相等
函数定义知函数构成素:定义域应关系值域值域定义域应关系决定果两函数定义域应关系完全致称两函数相等
⑶域函数表示方法
a):解析法:数学式子表示变量变量间应关系方法解析法例:直角坐标系中半径r圆心原点圆方程:x2+y2r2
b):表格法:系列变量值应函数值列成表表示函数关系方法表格法例:实际应中常会方表三角函数表等表格法表示函数
c):图示法:坐标面曲线表示函数方法图示法般横坐标表示变量坐标表示变量例:直角坐标系中半径r圆心原点圆图示法表示:
3函数简单性态
⑴函数界性:果属某区间Ix值总│f(x)│≤M成立中Mx关常数称f(x)区间I界否便称界
注:函数果整定义域界称界函数
例题:函数cosx(∞+∞)界
⑵函数单调性:果函数区间(ab)着x增增:(ab)意两点x1x2x1<x2时 称函数区间(ab)单调增加果函数区间(ab)着x增减:(ab)意两点x1x2x1<x2时称函数区间(ab)单调减
例题:函数x2区间(∞0)单调减区间(0+∞)单调增加
⑶函数奇偶性
果函数定义域意x满足做偶函数果函数定义域意x满足做奇函数
注:偶函数图形关y轴称奇函数图形关原点称
⑷函数周期性
函数存零数l关系式定义域x值成立做周期函数l周期
注:说周期函数周期指正周期
例题:函数2π周期周期函数函数tgxπ周期周期函数
4反函数
⑴反函数定义:设函数变量y函数值域取值y0时变量x函数定义域必值x0应末变量x变量y函数函数表示称函数反函数
注:定义知函数函数反函数
⑵反函数存定理:(ab)严格增(减)值域 R反函数必然R确定严格增(减)
注:严格增(减)单调增(减)
例题:yx2定义域(∞+∞)值域[0+∞)y取定非负值求x±加条件y值唯确定x值区间(∞+∞)函数严格增(减)没反函数果加条件求x≥0y≥0xyx2求x≥0时反函数:函数求严格增(减)
⑶反函数性质:坐标面图形关直线yx称
例题:函数函数互反函数图形直角坐标系中关直线yx称右图示:
5复合函数
复合函数定义:yu函数:ux函数:函数值全部部分定义域末y通u联系x函数称函数函数复合成函数简称复合函数记作中u做中间变量
注:意两函数复合复合函数更函数构成
例题:函数函数复合成函数
定义域(∞+∞)中x值应u值(等2)没定义
6初等函数
⑴基初等函数:常五种基初等函数分:指数函数数函数幂函数三角函数反三角函数面表格总结:
函数名称
函数记号
函数图形
函数性质
指数函数
a)x值y总正数
b)x0时y1
数函数
a)图形总位y轴右侧(10)点
b)a>1时区间(01)值负区间(+∞)值正定义域单调增
幂函数
a意实数
里画出部分函数图形部分
令amn
a)m偶数n奇数时y偶函数
b)mn奇数时y奇函数
c)m奇n偶时y(∞0)意义
三角函数
(正弦函数)
里写出正弦函数
a)正弦函数2π周期周期函数
b)正弦函数奇函数
反三角函数
(反正弦函数)
里写出反正弦函数
a)函数值函数函数值限制[π2π2]称反正弦函数值
⑵初等函数:基初等函数常数限次理运算限次函数复合产生解析式表出函数称初等函数
例题:初等函数
7双曲函数反双曲函数
⑴双曲函数:应中常遇双曲函数:(表格描述)
函数名称
函数表达式
函数图形
函数性质
双曲正弦
a):定义域(∞+∞)
b):奇函数
c):定义域单调增
双曲余弦
a):定义域(∞+∞)
b):偶函数
c):图点(01)
双曲正切
a):定义域(∞+∞)
b):奇函数
c):图形夹水直线y1y1间定域单调增
双曲函数三角函数区:
双曲函数性质
三角函数性质
shxthx奇函数chx偶函数
sinxtanx奇函数cosx偶函数
周期函数
周期函数
双曲函数差公式:
⑵反双曲函数:双曲函数反函数称反双曲函数
a):反双曲正弦函数 定义域:(∞+∞)
b):反双曲余弦函数 定义域:[1+∞)
c):反双曲正切函数 定义域:(1+1)
8数列极限
先回忆初等数学中学数列概念
⑴数列:定法第数a1第二数a2…次排列正整数n应着确定数an末称列次序数a1a2…an…数列数列中数做数列项第n项an做数列般项通项
注:数列an作变量正整数n函数:an定义域全体正整数
⑵极限:极限概念求实际问题精确解答产生
例:通作圆接正边形似求出圆面积
设圆首先作圆接正六边形面积记A1作圆接正十二边形面积记A2作圆接正二十四边形面积记A3次循(般接正6×2n1边形面积记An)系列接正边形面积:A1A2A3…An…构成列序数列发现接正边形边数限增加时An限接某确定数值(圆面积)确定数值数学称数列A1A2A3…An… n→∞(读作n趋穷)极限
注:面例子国古代数学家刘徽(公元三世纪)割圆术
⑶数列极限:般数列说存意定正数ε()总存正整数Nn>N时切等式成立末称常数a数列极限者称数列收敛a
记作:
注:定义中正数ε意定等式表达出a限接意思定义中正整数N意定正数ε关着ε定选定
⑷数列极限解释:易理解概念面出解释理解数列极限a解释:常数a数列数轴应点表示出数轴作点aε邻域开区间(aεa+ε)图示:
等式等式等价n>N时点落开区间(aεa+ε)限(N)区间外
注:求数列极限会学里作讨
⑸数列界性:数列存着正数M切满足等式││≤M称数列界正数M存说数列界
定理:数列收敛末数列定界
注:界数列定收敛:数列界数列收敛必条件充分条件例:数列 1111…(1)n+1… 界发散
9函数极限
前面学数列极限已知道数列作类特殊函数变量取 1→∞正整数变量限正整数序连续变化成函数面学函数极限
函数极值两种情况:a):变量限增b):变量限接某定点x0果时函数值限接某常数A做函数存极值已知道函数极值情况函数极限呢
面结合着数列极限学函数极限概念
⑴函数极限(分两种情况)
a)变量趋穷时函数极限
定义:设函数意定正数ε()总存着正数X适合等式 切x应函数值满足等式
末常数A做函数x→∞时极限记作:
面表格函数极限数列极限:
数列极限定义
函数极限定义
存数列常数A正数ε>0总找正整数Nn>N满足<ε称数列x→∞时收敛A记:
存函数常数A正数ε>0总找正数X适合切x满足函数x→∞时极限A记:
表发现什 ??试思考
b)变量趋限值时函数极限先例子
例:函数x→1时函数值变化趋势?函数x1处定义知道实数讲数轴限范围穷点x→1时函数值变化趋势表列出图
中出x→1时→2x1接2接说:2差微量ε定找δ<δ时满足<δ定义:设函数某点x0某心邻域定义存数A果意定ε()总存正数δ0<<δ时<ε称函数x→x0时存极限极限A记:
注:定义中什心邻域呢?讨x→x0程xx0出情况关定义核心问题:出ε否存正数δ心邻域x均满足等式
时候极限定义证明函数极限 A证明方法样呢?
a)先取ε>0
b)写出等式<ε
c)解等式否出心邻域0<<δ
d)ε>0总找出δ0<<δ时<ε成立
10函数极限运算规
前面已学数列极限运算规知道数列作类特殊函数函数极限运算规数列极限运算规相似
⑴函数极限运算规
已知x→x0(x→∞)时
:
推:
求函数极限时利述规复杂函数化干简单函数求极限
例题:求
解答:
例题:求
题果题样求解会发现函数极限存通观察发现分式分子分母没极限种情况办呢?面解出
解答:
注:通例题发现:分式分子分母没极限时运商极限运算规应先分式分子分母转化存极限情形然运规求
函数极限存准
学函数极限存准前先学左右概念
先例子:
例:符号函数
分段函数x左趋0右趋0时函数极限相定义左右极限概念
定义:果x仅左侧(x<x0)趋x0时函数常量A限接称A函数时左极限记:
果x仅右侧(x>x0)趋x0时函数常量A限接称A函数时右极限记:
注:x→x0时函数左右极限存相等方称x→x0时极限
函数极限存准
准:点x0某邻域切xx0点身外(绝值某正数切x)≤≤
末存等A
注:准夹逼准
准二:单调界函数必极限
注:极限函数定单调界
两重极限
:
注:中e理数值:e2718281828459045
二:
注:两重极限加证明
注:牢记两重极限解题中会常
例题:求
解答:令x2tx→∞t→∞
注:解类型题时定注意代换变量趋情况象x→∞时t代换1xt→0
穷量穷量
穷量
先例子:
已知函数x→0时知种情况称趋穷定义:设函数yxx0心邻域定义意定正数N(意数)总找正数δ
时成立称函数时穷量
记:(表示穷量实际没极限)
样出x→∞时限趋定义:设函数yx充分时定义意定正数N(意数)总找正数M时成立称函数x→∞时穷量记:
穷量
零极限变量称穷量
定义:设函数意定正数ε()总存正数δ(正数M)适合等式()切x应函数值满足等式称函数(x→∞)时 穷量
记作:()
注意:穷量穷量变化定量常量0作穷量唯常量穷量穷量区:前者界者界前者发散者收敛0穷量穷量互倒数关系
关穷量两定理
定理:果函数(x→∞)时极限A差(x→∞)时穷量反成立
定理二:穷量利运算定理
a):限穷量代数穷量 b):限穷量积穷量c):常数穷量积穷量
穷量较
通前面学已知道两穷量差积旧穷两穷量商会样呢?接解决问题学两穷量较
定义:设αβ时穷量βx0心领域零
a):果称αβ高阶穷βα低阶穷
b):果称αβ阶穷
c):果称αβ等价穷记作:α∽β(αβ等价)
例:x→0时x3x阶穷
x→0时x23x高阶穷
x→0时sinxx等价穷
等价穷性质
设存
注:性质表明:求两穷极限时分子分母等价穷代利性质简化求极限问题
例题:1求
解答:x→0时sinax∽axtanbx∽bx:
例题: 2求
解答:
注:
注:例题中发现作穷变换时代换式中某项代换某子
函数重性质——连续性
然界中许现象气温变化植物生长等连续变化着种现象函数关系反映函数连续性
定义函数连续性前先学概念——增量
设变量x初值x1变终值x2终值初值差x2x1做变量x增量记:△x:△xx2x1 增量△x正负
例子:函数点x0邻域定义变量x领域x0变x0+△x时函数y相应变应增量:
关系式解释图:
现连续性概念样描述:果△x趋零时函数y应增量△y趋零:末称函数点x0处连续
函数连续性定义:
设函数点x0某邻域定义果称函数点x0处连续称x0函数连续点
面结合着函数左右极限概念学函数左右连续概念:设函数区间(ab]定义果左极限存等:末称函数点b左连续设函数区间[ab)定义果右极限存等:末称函数点a右连续
函数开区间(ab)点连续(ab)连续a点右连续b点左连续闭区间[ab]连续果整定义域连续称连续函数
注:函数定义域某点左右连续称函数点连续否点连续
注:连续函数图形条连续间断曲线
通面学已知道函数连续性时想函数某点连续会出现什情形呢?接着学问题:函数间断点
函数间断点
定义:满足函数连续性点称间断点
包括三种情形:
a):x0定义
b):x→x0时极限
c):x→x0时极限等
面通例题学间断点类型:
例1: 正切函数处没定义点函数间断点称函数穷间断点
例2:函数点x0处没定义x→0时函数值1+1间变动限次称点x0做函数振荡间断点
例3:函数x→0时左极限右极限出函数左右极限然存相等函数点x0存极限发现点x0时函数值产生跳跃现象种间断点称跳跃间断点述三种间断点图形表示出
间断点分类
通常间断点分成两类:果x0函数间断点左右极限存x0称函数第类间断点第类间断点间断点称第二类间断点
间断点
x0函数间断点极限存末x0函数第类间断点时函数连续原:存者存≠令函数点x0处连续种间断点x0称间断点
连续函数性质初等函数连续性
连续函数性质
函数积商连续性
通函数某点连续定义极限四运算法出结:
a):限某点连续函数该点连续函数
b):限某点连续函数积该点连续函数
c):两某点连续函数商该点连续函数(分母该点零)
反函数连续性
函数某区间单调增(单调减)连续末反函数应区间单调增(单调减)连续
例:函数闭区间单调增连续反函数闭区间[11]单调增连续
复合函数连续性
设函数x→x0时极限存等a:函数点ua连续末复合函数x→x0时极限存等:
例题:求
解答:
注:函数作复合成函数点ue连续出述结
设函数点xx0连续函数点uu0连续末复合函数点xx0连续
初等函数连续性
通前面学概念性质出结:基初等函数定义域连续切初等函数定义域连续
闭区间连续函数性质
闭区间连续函数连续区间左端点右连续右端点左连续闭区间连续函数条重性质面学:
值值定理:闭区间连续函数定值值(作证明)
例:函数ysinx闭区间[02π]连续点xπ2处函数值1闭区间[02π]点出函数值点x3π2处函数值1闭区间[02π]点出函数值
介值定理 闭区间连续函数定取介区间两端点函数值间值:μαβ间[ab]间定ξ
推: 闭区间连续函数必取介值值间值
二导数微分
导数概念
学数概念前先讨物理学中变速直线运动瞬时速度问题例:设质点x轴运动时位置x时间t函数求质点t0瞬时速度?知道时间t0增量△t时质点位置增量 质点时间段△t位移段时间质点均速度:质点匀速运动t0瞬时速度质点非匀速直线运动质点t0时瞬时速度认时间段△t限接0时均速度会限接质点t0时瞬时速度:质点t0时瞬时速度产生导数定义:
导数定义:设函数点x0某邻域定义变量xx0处增量△x(x+△x该邻域)时相应函数增量△y△x△x→0时极限存称极限值x0处导数记:记:
函数点x0处存导数简称函数点x0处导否导函数区间(ab)点导称函数区间(ab)导时函数区间(ab)确定x值应着确定导数构成新函数称函数原函数导函数
注:导数差商极限
左右导数
前面左右极限概念导数差商极限出左右导数概念极限存称函数xx0处左导数极限存称函数xx0处右导数
注:函数x0处左右导数存相等函数x0处导充分必条件
函数差求导法
函数差求导法
法:两导函数(差)导数等两函数导数(差)公式写:中uv导函数
例题:已知求
解答:
例题:已知求
解答:
函数积商求导法
常数函数积求导法
法:求常数导函数积导数时常数子提求导记号外面公式写成:
例题:已知求
解答:
函数积求导法
法:两导函数积导数等第子导数第二子加第子第二子导数公式写成:
例题:已知求
解答:
注:三函数相先中两成项
函数商求导法
法:两导函数商导数等分子导数分母导数积减分母导数分子导数积分母导数方公式写成:
例题:已知求
解答:
复合函数求导法
学法前先例子
例题:求
解答: 解答正确
解答错误正确解答应该:
发生错误原变量x求导2x求导
面出复合函数求导法
复合函数求导规
规:两导函数复合成复合函数导数等函数中间变量导数中间变量变量导数公式表示:
中u中间变量
例题:已知求
解答:设分解
注:解题中中间步骤省
例题:已知求
解答:
反函数求导法
根反函数定义函数单调连续函数反函数单调连续出反函数求导法(定理形式出):
定理:单调连续反函数点x导: 注:通定理发现:反函数导数等原函数导数倒数注:里反函数y变量没作记号变换
: y求导x求导
例题:求导数
解答:函数反函数:
例题:求导数
解答:函数反函数:
高阶导数
知道物理学变速直线运动速度v(t)位置函数s(t)时间t导数: 加速度a速度v时间t变化率速度v时间t导数: 种导数导数做st二阶导数面出数学定义:
定义:函数导数然x函数导数做函数二阶导数记作:相应导数做函数阶导数类似二阶导数导数做三阶导数三阶导数导数做四阶导数…般(n1)阶导数导数做n阶导数
分记作:……
二阶二阶导数统称高阶导数见求高阶导数次接连求导求高阶导数时运前面学求导方法
例题:已知求 解答:a0
例题:求数函数n阶导数
解答:
般
隐函数求导法
知道解析法表示函数形式函数y含变量x算式表示ysinxy1+3x等样函数显函数前面遇函数显函数
般果方程F(xy)0中令x某区间取值时相应总满足方程y值存说方程F(xy)0该区间确定x隐函数y隐函数化成显函数形式做隐函数显化注:隐函数容易化显函数求导数时该呢?面解决问题
隐函数求导
已知F(xy)0求时般列步骤进行求解:
a):方程F(xy)0化形式前面学方法进行求导
b):方程F(xy)0化形式方程两边x进行求导y成x函数复合函数求导法进行
例题:已知求
解答:方程易显化运隐函数求导法两边x进行求导
注:隐函数两边x进行求导时定变量y成x函数然利复合函数求导法进行求导
例题:求隐函数x0处导数
解答:两边x求导x0时y0
函数求导数时直接求导时方便某幂函数进行求导时没种较直观方法呢?面学种求导方法:数求导法
数求导法
数求导法:根隐函数求导方法某函数先取函数然数然求导注:方法特适幂函数求导问题
例题:已知x>0求
题直接求导较麻烦先两边取然数然成隐函数进行求导较简便
解答:先两边取数: 成隐函数两边求导
例题:已知求
题复合函数求导法进行求导较麻烦面利数求导法进行求导
解答:先两边取数两边求导
函数微分
学函数微分前先分析具体问题:块正方形金属薄片受温度变化影响时边长x0变x0+△x薄片面积改变少?
解答:设薄片边长x面积AAx函数: 薄片受温度变化影响面积改变量成变量xx0取增量△x时函数A相应增量△A:式出△A分成两部分第部分△x线性函数图中红色部分第二部分图中黑色部分△x→0时△x高阶穷表示:
发现果边长变化时面积改变量似部分代面出微分数学定义:
函数微分定义:设函数某区间定义x0x0+△x区间函数增量表示中A赖△x常数△x高阶穷称函数点x0微做函数点x0相应变量增量△x微分记作dy:
通面学知道:微分变量改变量△x线性函数dy△y差关△x高阶穷量dy称作△y线性部出:△x→0时△y≈dy导数记号: 现发现仅表示导数记号表示两微分值(△x成dx定义变量增量等变量微分)表示:
出:函数某区间导区间定微反成立
微分形式变性
什微分形式边形呢?
设复合函数微分:
复合函数微分写成
见u变量中间变量微分dy总du积表示
性质称微分形式变性
例题:已知求dy
解答:2x+1成中间变量u根微分形式变性
通面学知道微分导数着分割联系前面知道基初等函数导数公式导数
运算法基初等函数微分公式微分运算法样呢?
面学———基初等函数微分公式微分运算法
基初等函数微分公式微分运算法
基初等函数微分公式
函数微分表达式:通基初等函数导数公式出基初等函数微分公式面表格基初等函数导数公式微分公式:(部分公式)
导数公式
微分公式
微分运算法
函数差积商求导法推出相应微分法便理解面表格微分运算法导数运算法:
函数差积商求导法
函数差积商微分法
复合函数微分法前面学微分形式变性详述
例题:设求x3导数
解答:根微分形式变性
微分应
微分表示函数增量线性部计算函数增量时较困难计算微分较简单函数微分似代函数增量微分似计算中应
例题:求似值
解答:发现计算方法特麻烦转化求微分问题
似值1025(精确值1024695)
三导数应
微分学中值定理
出微分学中值定理数学定义前先角度问题:
设连续函数ab定义区间两点(a<b)假定函数(ab)处处导(ab)函数图形处处切线末图形容易直
差商割线AB斜率割线AB作行身移动少次机会达离割线远点P(xc)处成曲线切线曲线斜率切线割线行
成立
注:结果称微分学中值定理称拉格朗日中值定理
拉格朗日中值定理
果函数闭区间[ab]连续开区间(ab)导末(ab)少点c
成立
定理特殊情形:情形称罗尔定理描述:
闭区间[ab]连续开区间(ab)导末(ab)少点c成立
注:定理罗尔17世纪初微积分发明前形式提出
注:两定理加证明什疑问请参考相关书籍
面学条通拉格朗日中值定理推广定理——柯西中值定理
柯西中值定理
果函数闭区间[ab]连续开区间(ab)导≠0末(ab)少点c成立
例题:证明方程01间少实根
证明:难发现方程左端函数导数:
函数[01]连续(01)导罗尔定理
知01间少点c
:方程01间少实根
未定式问题
问题:什样式子称作未定式呢?
答案:函数说x→a(x→∞)时函数趋零穷
极限存存式子称未定式分记型
容易知道未定式极限求法应商极限等极限商法求解该求类问题极限呢?
面学罗彼塔(L'Hospital)法问题答案
注:根柯西中值定理推出
罗彼塔(L'Hospital)法
x→a(x→∞)时函数趋零穷点a某心邻域(│x│>N)时存≠0存
:
种通分子分母求导求极限确定未定式方法谓罗彼塔(L'Hospital)法
注:前求极限法补充前利法求极限利法求解
例题:求
解答:容易出题利前学法易求解未定式中型求解问题利面学法
例题:求
解答:题未定式中型求解问题利罗彼塔法求解
外遇 等型通常转化型利法求解
例题:求
解答:题利前学法求解型先转化型求解
注:罗彼塔法说明:未定式说存存二者极限相存时存时说明罗彼塔法存条件破列
函数单调性判定法
函数单调性函数增减性样判断函数增减性呢?
知道函数某区间单调增(减)区间函数图形切线斜率均正(负)函数导数区间均取正值(负值)通判定函数导数正负判定函数增减性
判定方法:
设函数[ab]连续(ab)导
a):果(ab)>0末函数[ab]单调增加
b):果(ab)<0末函数[ab]单调减少
例题:确定函数增减区间
解答:容易确定函数定义域(-∞+∞)
导数:判出:
x>0时>0单调增区间(0+∞)
x<0时<0单调减区间(∞0)
注:判定方法反讲正确
函数极值求法
学函数极值前先例子:
设函数容易知道点x1x2函数单调区间分界点知点x1左侧附函数值单调增加点x1右侧附函数值单调减存着点x1邻域邻域点x(x1外)<均成立点x2类似情况(说)什点性质呢?
事实学容——函数极值
函数极值定义
设函数区间(ab)定义x0(ab)点
存着x0点邻域邻域点x(x0点外)<均成立
说函数极值
存着x0点邻域邻域点x(x0点外)>均成立
说函数极值
函数极值极值统称函数极值函数取极值点称极值点
知道函数极值定义样求函数极值呢?
学问题前学概念——驻点
x点称函数驻点
判断极值点存方法两种:
方法:
设函数x0点邻域导
情况:x取x0左侧邻值时>0x取x0右侧邻值时<0
函数x0点取极值
情况:x取x0左侧邻值时<0x取x0右侧邻值时>0
函数x0点取极值
注:判定方法适导数x0点存情况
方法求极值般步骤:
a):求
b):求全部解——驻点
c):判断驻点两侧变化规律判断出函数极值
例题:求极值点
解答:先求导数
求出驻点:时x2145
判定函数极值图示
方法二:
设函数x0点具二阶导数时
:a):<0函数x0点取极值
b):>0函数x0点取极值
c):0情形定方法判定
例题:例1例较两种方法区
解答:面已求出函数驻点面求二阶导数
时情形确定方法判定
<0点极值点
>0点极值点
函数值值应
工农业生产工程技术科学实验中常会遇样类问题:定条件样产品料省成低等
类问题数学结求某函数值值问题
样求函数值值呢?前面已知道函数极值局部求[ab]值值时求出开区间(ab)全部极值点加端点值中取值值求
例题:求函数区间[332]值值
解答:区间处处导
先求函数极值x±1
较端点极值点函数值取出值值求
函数值函数值
例题:圆柱形罐头高度H半径R应样配样容积材料省?
解答:题意知:常数
面积
V变条件改变RS取值
:时料省
曲线凹拐点
通前面学知道阶导数正负判定出函数单调区间极值进步研究曲线性态解曲线凹性
定义:
区间I曲线作切线果曲线弧切线面称曲线区间I凹果曲线切线面称曲线区间I凹
曲线凹判定定理
定理:设函数区间(ab)导应曲线凹(凹)充分必条件:
导数区间(ab)单调增(单调减)
定理二:设函数区间(ab)导具阶导数二阶导数末:
(ab)>0[ab]应曲线凹
(ab)<0[ab]应曲线凹
例题:判断函数凹
解答:根定理二判定
函数定义域(0+∞)<0
函数应曲线时凹
拐点定义
连续函数凹弧凹弧分界点称曲线拐点
拐定判定方法
果区间(ab)具二阶导数列步骤判定拐点
(1):求
(2):令0解出方程区间(ab)实根
(3):(2)中解出实根x0检查x0左右两侧邻符号符号相反点拐点相拐点
例题:求曲线拐点
解答:
令0x023
判断023左右两侧邻符号知两点皆曲线拐点
四定积分
定积分概念
原函数概念
已知函数f(x)定义某区间函数果存函数F(x)该区间点
dF'(x)f(x)dx
该区间称函数F(x)函数f(x)原函数
例:sinxcosx原函数
关原函数问题
函数f(x)满足什条件保证原函数定存呢?问题解决存原函数末原函数少呢?
明显出:函数F(x)函数f(x)原函数
:F(x)f(x)
函数族F(x)+C(C常数)中函数定f(x)原函数
:函数f(x)原函数末原函数穷
定积分概念
函数f(x)全体原函数做函数f(x)定积分
记作
面定义知道:果函数F(x)函数f(x)原函数末f(x)定积分函数族
F(x)+C
F(x)+C
例题:求:
解答:
定积分性质
1函数定积分等函数定积分
:
2求定积分时积函数中零常数子提积分号外面
:
求定积分方法
换元法
换元法():设f(u)具原函数F(u)ug(x)导末F[g(x)]f[g(x)]g'(x)原函数
换元公式
例题:求
解答:积分基积分表中查利换元法
设u2x末cos2xcosudu2dx:
换元法(二):设xg(t)单调导函数g'(t)≠0设f[g(t)]g'(t)具原函数φ(t)
φ[g(x)]f(x)原函数(中g(x)xg(t)反函数)
换元公式
例题:求
解答:积分困难根式利三角公式换元
设xasint(π2
关换元法问题
定积分换元法复合函数求导法基础应根具体实例选择方法求定积分象求导样规想熟练求出某函数定积分作量练
分部积分法
种方法利两函数积求导法
设函数uu(x)vv(x)具连续导数知道两函数积求导公式:
(uv)'u'v+uv'移项
uv'(uv)'u'v两边求定积分:
分部积分公式
例题:求
解答:积分换元法易出结果利分部积分法
设uxdvcosxdx末dudxvsinx代入分部积分公式:
关分部积分法问题
分部积分法时应恰选取udv否会南辕北辙选取udv般考虑两点:
(1)v容易求
(2)容易积出
种特殊类型函数积分举例
理函数积分举例
理函数指两项式商表示函数分子高项次数分母高项次数时称假分式
反真分式
求理函数定积分时理函数假分式应先利项式法假分式化成项式真分式形式然求
例题:求
解答:
关理函数积分问题
理函数积分具体方法请家参关书籍请谅
三角函数理式积分举例
三角函数理式指三角函数常数限次四运算构成函数
例题:求
解答:
关三角函数理式积分问题
三角函数正弦余弦函数表出变量代换utan(x2)三角函数理式积分应
举例
简单理函数积分举例
例题:求
解答:设xu2+1dx2udu求积分:
五定积分应
定积分概念
先实际问题———求曲边梯形面积
设曲边梯形连续曲线yf(x)x轴直线xaxb围成图示:
现计算面积A知道矩形面积求法图形边条曲线该求呢?
知道曲边梯形底边点处高f(x)区间[ab]变动高连续变化段区间变化似变区间长度限缩时高变化限减果区间[ab]分成许区间区间中某点高似代区间窄曲变梯形变高根矩形面积公式求出相应窄曲边梯形面积似值求出整曲边梯形似值
显然:区间[ab]分越细求出面积值越接精确值产生定积分概念
定积分概念
设函数f(x)[ab]界[ab]中意插入干分点
ax0
[x0x1][xn1xn]
区间[xi1xi]取点ξi(xi1≤ξi≤xi)作函数值f(ξi)区间长度积f(ξi)△xi
作出
果[ab]样分法区间点ξi样取法区间长度趋零时S总趋确定极限I
时称极限I函数f(x)区间[ab]定积分
记作
:
关定积分问题
定积分概念函数f(x)满足什条件时积?
定理(1):设f(x)区间[ab]连续f(x)区间[ab]积
(2):设f(x)区间[ab]界限间断点f(x)区间[ab]积
定积分性质
性质(1):函数(差)定积分等定积分(差)
:
性质(2):积函数常数子提积分号外面
:
性质(3):果区间[ab]f(x)≤g(x)≤ (a 性质(4):设Mm分函数f(x)区间[ab]值值 m(ba)≤≤M(ba)
性质(5):果f(x)区间[ab]连续积分区间[ab]少存点ξ式成立:
f(ξ)(ba)
注:性质定积分中值定理
微积分积分公式
积分限函数导数
设函数f(x)区间[ab]连续设x[ab]点现考察f(x)部分区间[ax]定积分知道f(x)[ax]旧连续定积分存
果限x区间[ab]意变动取定x值定积分应值[ab]定义函数记作φ(x)
注意:明确起见改换积分变量(定积分积分变量记法关)
定理(1):果函数f(x)区间[ab]连续积分限函数[ab]具导数
导数 (a≤x≤b)
(2):果函数f(x)区间[ab]连续函数f(x)[ab]原函数
注意:定理(2)肯定连续函数原函数存初步揭示积分学中定积分原函数间联系
牛顿莱布尼兹公式
定理(3):果函数F(x)连续函数f(x)区间[ab]原函数
注意:公式称牛顿莱布尼兹公式进步揭示定积分原函数(定积分)间联系
表明:连续函数区间[ab]定积分等原函数见[ab]增量
定积分提供效简便计算方法
例题:求
解答:牛顿莱布尼兹公式:
注意:通常牛顿莱布尼兹公式称作微积分基公式
定积分换元法分部积分法
定积分换元法
知道求定积分转化求原函数增量前面知道换元法求出函数原函数定条件换元法计算定积分
定理:设函数f(x)区间[ab]连续函数g(t)区间[mn]单值连续导数t区间[mn]变化时xg(t)值[ab]变化g(m)ag(n)b定积分换元公式
例题计算
解答设xasintdxacostdtx0时t0xa时tπ2:
注意:定积分换元法时积分变量变换时积分限作相应变换
定积分分部积分法
计算定积分分部积分法相应计算定积分分部积分法
设u(x)v(x)区间[ab]具连续导数u'(x)v'(x)(uv)'u'v+uv'分求等式两端[ab]定积分移:
式定积分分部积分公式
例题:计算
解答:设x0时t0x1时t1前面换元公式:
分部积分公式计算式右端积分设utdvetdtdudtvet:
:
广义积分
实际问题中常遇积分区间穷区间者积函数积分区间具穷间断点积分已属前面学定积分定积分加推广———广义积分
:积分区间穷区间广义积分
设函数f(x)区间[a+∞)连续取b>a果极限
存
极限做函数f(x)穷区间[a+∞)广义积分
记作:
:
时说广义积分收敛果述先存说广义积分发散时然样记号已表示数值
类似设函数f(x)区间(∞b]连续取a 存
极限做函数f(x)穷区间(∞b]广义积分
记作:
:
时说广义积分收敛果述极限存说广义积分发散
果广义积分收敛称述两广义积分函数f(x)穷区间(∞+∞)广义积分
记作:
:
述广义积分统称积分区间穷广义积分
例题:计算广义积分
解答:
二:积分区间穷间断点广义积分
设函数f(x)(ab]连续取ε>0果极限
存极限做函数f(x)(ab]广义积分
然记作:
:
时说广义积分收敛果述极限存说广义积分发散
类似设f(x)[ab)连续取ε>0果极限
存
定义
否说广义积分发散
设f(x)[ab]点c(a
否说广义积分发散
例题:计算广义积分(a>0)
解答:xa积函数穷间断点面学公式:
六空间解析
空间直角坐标系
空间点直角坐标系
沟通空间图形数研究需建立空间点序数组间联系通引进空间直角坐标系实现
定点O作三条互相垂直数轴O原点般具相长度单位三条轴分做x轴(横轴)y轴(轴)z轴(竖轴)统称坐标轴通常x轴y轴配置水面z轴铅垂线正方符合右手规右手握住z轴右手四指正x轴π2角度转正y轴时拇指指z轴正样三条坐标轴组成空间直角坐标系点O做坐标原点(图示)
三条坐标轴中意两条确定面样定出三面统称坐标面
取定空间直角坐标系建立起空间点序数组间应关系
例:设点M空间已知点点M作三面分垂直x轴y轴z轴x轴y轴z轴交点次PQR三点x轴y轴z轴坐标次xyz空间点M唯确定序数组xyz组数xyz做点M坐标次称xyz点M横坐标坐标竖坐标(图示)
坐标xyz点M通常记M(xyz)
样通空间直角坐标系建立空间点M序数组xyz间应关系
注意:坐标面坐标轴点坐标定特征
例:果点MyOz面x0样zOx面点y0果点Mx轴yz0果M原点
xyz0等
空间两点间距离
设M1(x1y1z1)M2(x2y2z2)空间两点两点坐标表达间距离d公式:
例题:证明A(431)B(712)C(523)顶点三角形△ABC等腰三角形
解答:两点间距离公式:
△ABC等腰三角形
方余弦方数
解析中两点间距离外基问题确定线段直线方
方角方余弦
设空间两点P1始点点P2终点线段称线段记作通原点作行线段OxOyOz三坐标轴正夹角分记作αβγ三角αβγ称线段方角中0≤α≤π0≤β≤π0≤γ≤π
关方角问题
线段方确定方角唯确定
方角余弦称线段相应线段方余弦
设空间两点方余弦表示:
面公式方余弦间基关系式:
注意:原点出发单位线段方余弦端点坐标
方数
方余弦确定空间直线方果需确定条空间直线方位(条直线两方均确定着方位)末定需知道方余弦知道方余弦成例三数三方余弦成例全零数ABC称空间直线方数记作:{ABC}:
方余弦方数转换公式:
中:根式取正负号分两组方余弦代表两相反方
关方数问题
空间意两点坐标差联结两点直线组方数
两直线夹角
设L1L2空间意两条直线相交相交通原点O作行两条直线线段线段夹角称两直线L1L2夹角
知道L1L2方余弦公式:
中:θ两直线夹角
知道L1L2方数公式:
两直线行垂直条件
两直线行充分必条件:
两直线垂直充分必条件:
面空间直线
面方程
面垂直直线称面法线
设定点Po(x0y0z0)定法线n组方数{ABC}A2+B2+C2≠0定点n法线面方程表示:
注意:种形式方程称面方程点法式
例题:设直线L方数{348}求通点(214)垂直直线L面方程
解答:应面公式求面方程:
形式:
Ax+By+Cz+D0
称面方程般式中xyz系数ABC面法线组方数
种特殊位置面方程
1通原点
面方程般形式:
Ax+By+Cz0
2行坐标轴
行x轴面方程般形式:
By+Cz+D0
行y轴面方程般形式:
Ax+Cz+D0
行z轴面方程般形式:
Ax+By+D0
3通坐标轴
通x轴面方程般形式:
By+Cz0
通y轴z轴面方程般形式:
Ax+Cz0Ax+By0
4垂直坐标轴
垂直xyz轴面方程般形式:
Ax+D0By+D0Cz+D0
直线方程
定直线着确定方位具某确定方位直线穷条相互行果求直线通某定点直线便唯确定直线方程通方数定点坐标表示出
设已知直线L方数{lmn}知L点Po(x0y0z0)直线L方程表示:
式直线L方程种方程形式称直线方程称式
直线方程般式两面方程联立:
直线方程般式
面直线间行垂直关系
定面法线知道面间行垂直关系转化直线间行垂直关系面直线间行垂直关系面法线直线行垂直关系
总说面直线间垂直行关系终转化直线直线行垂直关系列举例题
曲面空间曲线
曲面方程
知道面解析中曲线成动点轨迹空间中曲面成动点条动曲线(直线)定条件规律运动产生轨迹
设曲面动点P坐标(xyz)条件规律导出含变量xyz方程:
果方程仅P曲面点时P点坐标满足末方程表示曲面称方程曲面方程曲面称方程图形
空间曲线方程
知道空间直线成两面交线方程两相交面方程联立方程组表示直线方程般式
般空间曲线象空间直线样成两曲面交线空间曲线方程两相交曲面方程联立方程组表示
设两相交曲面方程末联立方程组:
便交线方程
两类常见曲面
1柱面
设动直线L定曲线C移动移动时始终定直线M行样动直线L形成曲面称柱面动直线L称柱面母线定曲线C称柱面准线
2旋转面
设条面曲线C绕着面条直线L旋转周样C旋转形成曲面称旋转面曲线C称旋转面母线直线L称旋转面轴
面列举出种常见二次曲面
二次曲面名称
二次曲面方程
椭球面
单叶双曲面
双叶双曲面
椭圆抛物面
双曲抛物面
七元函数微分学
元函数概念
前面学函数变量数实际问题中涉函数变量数两者更
例:圆柱体体积两独立变量rh关`
先二独立变量基础出二元函数定义
二元函数定义
设两独立变量xy定变域中D中取组数值时第三变量z某确定法唯确定值应末变量z称变量xy二元函数
记作:zf(xy) 中xy称变量函数z做变量变量xy变域D称函数定义域
关二元函数定义域问题
知道元函数定义域般说区间二元函数定义域通常面条段光滑曲线围成连通部分面样部分面称区域围成区域曲线称区域边界边界点称边界点包括边界区域称闭域包括边界区域称开域
果区域D(开域闭域)中意两点间距离超某常数M称D界区域否称D界区域常见区域矩形域圆形域图示:
例题:求定义域
解答:该函数定义域:x≥y≥0
二元函数表示
变量xy变量z作空间点直角坐标先xOy面作出函数zf(xy)定义域DD域中点M(xy)作垂直xOy面线段MP值(xy)应函数值z
M点D中变动时应P点轨迹函数zf(xy)图形通常张曲面
定义域D曲面xOy面投影
二元函数极限连续性
元函数中学变量趋限值时函数极限二元函数zf(xy)样学变量xy趋限值ξη时函数z变化状态
面xOy(xy)趋(ξη)方式时种样二元函数情况元函数复杂果点(xy)意方式趋点(ξη)时f(xy)总趋确定常数A
末称A二元函数f(xy)(xy)→(ξη)时极限
种极限通常称二重极限
面εδ语言出二重极限严格定义:
二重极限定义
果定义(ξη)某心邻域二元函数f(xy)确定常数A关系:意定正数ε样相应必正数δ满足
切(xy)等式
成立
末常数A称函数f(xy)(xy)→(ξη)时二重极限
正元函数极限样二重极限类似运算法:
二重极限运算法
果(xy)→(ξη)时f(xy)→Ag(xy)→B
末(1):f(xy)±g(xy)→A±B
(2):f(xy)g(xy)→AB
(3):f(xy)g(xy)→AB中B≠0
元函数样利二重极限出二元函数连续定义:
二元函数连续性
果点(xy)趋点(x0y0)时函数f(xy)二重极限等f(xy)点(x0y0)处函数值f(x0y0)末称函数f(xy)点(x0y0)处连续果f(xy)区域D点连续末称区域D连续
果函数zf(xy)(x0y0)满足连续定义末称(x0y0)f(xy)间断点
关二元函数间断问题
二元函数间断点产生元函数情形类似二元函数间断情况元函数复杂间断点间断线
二元连续函数差积商(分母零)复合函数连续函数
例题:求面函数间断线
解答:x0y0函数间断线
偏导数
元函数中已知道导数函数变化率二元函数样研究变化率然变量情况复杂xOy面变点(x0y0)方变化时函数f(xy)变化快慢般说时需研究f(xy)(x0y0)点处方变化率
里学(xy)着行x轴行y轴两特殊方位变动时f(xy)变化率
偏导数定义
设二元函数zf(xy)点(x0y0)定义域D点y固定y0xx0增量△x相应函数
zf(xy)增量(称x偏增量)
△xzf(x0+△x)f(x0y0)
果△xz△x△x→0时极限
存
末极限值称函数zf(xy)(x0y0)处x偏导数
记作:f'x(x0y0)
关x偏导数问题
函数zf(xy)(x0y0)处x偏导数实际y固定y0成常数元函数zf(xy0)x0处导数
样x固定x0y增量△y果极限
存
末极限称函数z(xy)(x0y0)处y偏导数
记作f'y(x0y0)
偏导数求法
函数zf(xy)(x0y0)两偏导数f'x(x0y0)f'y(x0y0)存时
称f(xy)(x0y0)处导果函数f(xy)域D点均导
末称函数f(xy)域D导
时应域D点(xy)必x(y)偏导数域D确定新二元函数
称f(xy)x(y)偏导函数简称偏导数
例题:求zx2siny偏导数
解答:y作常量x求导数
x作常量y求导数
注意:二元函数偏导数定义求法推广三元三元函数
例题:求偏导数
解答:根二元函数偏导数求法做
yz成常量x求导
xz成常量y求导
xy成常量z求导
高阶偏导数
果二元函数zf(xy)偏导数f'x(xy)f'y(xy)然导
末两偏导函数偏导数称zf(xy)二阶偏导数
二元函数二阶偏导数四:fxxfxyfyxfyy
注意:fxyfyx区:前者先x求偏导然偏导函数y求偏导者先y求偏导x求偏导fxyfyx连续时求导结果求导先次序关
例题:求函数二阶偏导数
解答:
全微分
已学元函数微分概念现类似思想方法学元函数全增量微分概念推广元函数
里二元函数例
全微分定义
函数zf(xy)两偏导数f'x(xy)f'y(xy)分变量增量△x△y积
f'x(xy)△x+f'y(xy)△y
该表达式函数全增量△z差
ρ→0时ρ()
高阶穷
末该表达式称函数zf(xy)(xy)处(关△x△y)全微分
记作:dzf'x(xy)△x+f'y(xy)△y
注意:中△zf'x(xy)△x+f'y(xy)△y+αρ(αρ→0时穷)
注意:找函数相应全增量时△z偏导数发生关系(x0y0)变(x0+△xy0+△y)程分两部:先点(x0y0)变点(x0y0+△y)变点(x0+△xy0+△y)程图示:
例题:求全微分
解答:
关全微分问题
果偏导数f'x(xy)f'y(xy)连续末zf(xy)定微
元复合函数求导法
元函数中已知道复合函数求导公式求导法中起重作元函数说面学元函数复合函数求导公式先二元函数例:
元复合函数求导公式
链导公式:
设均(xy)处导函数zF(uv)应(uv)处连续阶偏导数
末复合函数(xy)处导链导公式:
例题:求函数阶偏导数
解答:令
链导公式:
中
述公式推广元详述
元复合函数阶偏导数数取决复合函数变量数阶偏导数链导公式中项数少取决变量关中间变量数
全导数
二元函数zf(uv)两元函数复合起函数x元函数
时复合函数导数元函数导数称全导数
时链导公式
例题:设zu2vucosxvsinx求
解答:全导数链导公式:
ucosxvsinx代入式:
关全导数问题
全导数实际元函数导数求导程助偏导数完成已
元函数极值
元函数中利函数导数求函数极值解决值应问题元函数类似问题里学二元函数极值问题
二元函数极值定义
果(x0y0)某心邻域切点(xy)恒等式:
f(xy)≤f(x0y0)
成立末称函数f(xy)点(x0y0)处取极值f(x0y0)果恒等式:
f(xy)≥f(x0y0)
成立末称函数f(xy)点(x0y0)处取极值f(x0y0)
极值极值统称极值函数取极值点(x0y0)称极值点
二元导函数(x0y0)取极值条件:
注意:条件取极值必条件
点(xy)称函数f(xy)驻点导函数极值点必驻点驻点定极值点
二元函数极值判定方法
设zf(xy)(x0y0)某邻域连续二阶偏导数果末函数f(xy)(x0y0)取极值条件表示:
△B2AC
f(x0y0)
△<0
A<0时取极值
A>0时取极值
△>0
非极值
△0
定
中
例题:求极值
解答:设
解方程组驻点(11)(00)
驻点(11)
B2AC(3)26627<0A6>0
点(11)取极值f(11)1
驻点(00)
B2AC(3)2009>0
点(00)取极值
元函数值问题
已知道求元函数极值极值步骤元函数极值极值求解采样步骤面出实际问题中元函数极值极值求解步骤:
a):根实际问题建立函数关系确定定义域
b):求出驻点
c):结合实际意义判定值
例题:面3x+4yz26求点坐标原点距离短
解答:a):先建立函数关系确定定义域
求解原点距离短问题等价求解原点距离方
问题P点位面z3x+4y26代入式便需函数关系
∞<x<+∞∞<y<+∞
b):求驻点
解唯驻点x3y4点P面知
z1
c):结合实际意义判定值
问题实际意义知原点面距离值客观存值极值函数
仅唯驻点面原点距离短点P(341)
例出面函数关系成:求三元函数
约束条件
3x+4yz26
值元函数约束条件极值称条件极值
八元函数积分学
二重积分概念性质
前面已知道定积分曲边梯形面积关面通曲顶柱体体积引出二重积分概念作详述请家参考关书籍
二重积分定义
设zf(xy)界闭区域(σ)界函数:
(1)区域(σ)意划分成n子域(△σk)(k123…n)面积记作△σk(k123…n)
(2)子域(△σk)取点作积
(3)积相加作出数
(4)记子域直径d果子域样划分样选取述数n→+∞d→0时极限存末称极限函数f(xy)区域(σ)二重积分记作
:
中xy称积分变量函数f(xy)称积函数f(xy)dσ称积表达式(σ)称积分区域
关二重积分问题
二重积分定义没f(xy)≥0限容易出f(xy)≥0时二重积分zf(xy)曲顶(σ)底母线行z轴曲顶柱体体积
述二重积分意义
果积函数f(xy)积分区域(σ)连续末二重积分必定存
二重积分性质
(1)积函数中常数子提二重积分符号外面
(2)限函数代数二重积分等函数二重积分代数
(3)果积分区域(σ)分成两子域(σ1)(σ2)(σ)(σ1)+(σ2)末
(4)果(σ)f(xy)≤g(xy)末
≤
(5)设f(xy)闭域(σ)连续(σ)少存点(ξη)
中σ区域(σ)面积
二重积分计算法
直角坐标系中计算方法
里采取方法累次积分法先x成常量y进行积分然x进行积分者先y成常量x进行积分然y进行积分积分公式:
里会问题:累次积分限确定呢?
累次积分限确定方法
先区域作补充说明:果区域(σ)意点(区域边界点)作行y轴(x轴)直线直线交(σ)边界超两点末称(σ)y轴(x轴)方正规区域果(σ)y轴方x轴方正规区域末(σ)称正规区域图示正规区域
关累次积分限取法述
(1)果(σ)y轴方正规区域末二重积分化先yx累次积分中y积分限(σ)部边界曲线应函数y1(x)积分限部边界曲线应函数y2(x)x积分限限分(σ)左右点横坐标ab
(2)果(σ)x轴方正规区域末二重积分化先xy累次积分中x积分限(σ)左部边界曲线应函数x1(y)积分限右部边界曲线应函数x2(y)y积分限限分(σ)低高点横坐标cd
(3)果(σ)正规区域末累次积分交换积分次序
(4)果(σ)y轴方正规区域x轴方正规区域末总化分成块y轴方正规区域x轴方正规区域然根积分性质求解积分
例题:求二重积分中(σ)围成区域
解答:正规区域先yx积分先xy积分里采前者
先yx积分:
极坐标系中计算法
果二重积分积函数积分区域(σ)边界方程均极坐标形式出末计算呢面出极坐标系中二重积分计算公式
果极点O(σ)外部区域(σ)等式表示R1(θ)≤ρ≤R2(θ)α≤θ≤β积分公式
果极点O(σ)部区域(σ)边界方程ρR(θ)0≤θ≤2π积分公式
果极点O(σ)边界边界方程ρR(θ)θ1≤θ≤θ2积分公式
面公式直角坐标系中易积出极坐标系中易积出函数转化极坐标系中积分反然
注:直角坐标极坐标转换公式:
例题:求中(σ)圆环a2≤x2+y2≤b2
解答:积分域心圆围成积函数形式显然二重积分化极坐标计算较方便
dσρdρdθ代入转化极坐标系积分形式:
进行累次积分计算:
三重积分计算法
二重积分积函数二元函数积分域—面区域果考虑三元函数f(xyz)空间区域(V)积分三重积分概念
三重积分概念
设函数uf(xyz)空间界闭区域(V)意划分成n子域(△V1)(△V2)(△V3)…(△Vn)体积分记作△Vk(k12…n)子域取点作数
果△Vk样划分点样选取n→+∞子域直径δ→0时数极限存末极限称函数域(V)三重积分记作:
:
果f(xyz)域(V)连续末三重积分定存
三重积分没直观意义着种物理意义
直角坐标系中三重积分计算方法
里直接出三重积分计算公式具体样请家参关书籍
直角坐标系中三重积分计算公式:
公式三重积分转化定积分二重积分问题根前面学结求出
例题:求中(V)面x0y0z0x+y+z1围成区域
解答:I化先z积分yx积分累次积分末应(V)投影xOy面求出投影域(σ)
面x+y+z1xOy面交线x轴y轴围成三角区域
确定出z积分限(σ)固定点(xy)通点作条行z直线(V)边界交
点竖坐标:z0z1xyz积分限限积分公式:
中(σ)面区域:x≥0y≥0x+y≤1图红色阴影部分示:
(σ)域二重积分化成先yx累次积分:
柱面坐标系中三重积分计算法
先学空间中点极坐标表示方法
面点P极坐标(ρθ)确定空间中点P数组(ρθz)表示显然空间点P数组(ρθz)间应关系应关系数组(ρθz)称空间点P柱面坐标直角坐标关系:
构成柱面坐标系三族坐标面分:
ρ常数:z轴称轴轴圆柱面族
θ常数:通z轴半面族
z 常数:z轴垂直面族
三样坐标面确定着空间唯点利圆柱面称柱面坐标
柱面坐标系三重积分计算公式:
处举例
九常微分方程
微分方程基概念
许科技领域里常会遇样问题:
某函数样知道根科技领域普遍规律知道未知函数导数变量间会满足某种关系面先例子:
例题:已知条曲线点(12)该直线意点P(xy)处切线斜率2x求条曲线方程
解答:设求曲线方程yy(x)根导数意义知yy(x)应满足方程:
发现方程中含未知函数y导数里先求解
微分方程概念
含未知函数导数(微分)方程称微分方程
微分方程中出现导数高阶数称微分方程阶然阶数越高微分方程越麻烦
微分方程求出未知函数什做解微分方程满足微分方程函数(某区间连续)称微分方程解微分方程般形式解称微分方程般解
满足微分方程特殊求解称微分方程特解种特解通常满足定附加条件解
通常微分方程般解里含意常数数微分方程阶数相确定意常数般解出特解附加条件数微分方程阶数相
分离变量微分方程齐次方程
面学积分法解阶微分方程问题
阶微分方程积分法求解特殊形式阶微分方程积分法求解解法相学时认清种微分方程特点解法
分离变量微分方程
种方程形式:
会式两端积分求解实两端积分右端什求出求出y
正确解法:设yy(x)求解yy(x)时
步y函数dyx函数dx分开称分离变量求解关键步步定积分换元法进行求解
例题:求方程通解
解答:分离变量方程分离变量
两端分积分
令
该方程通解
齐次微分方程
种微分方程形式:
两端积分求解求解步骤:
令y微分方程化成u微分方程
:
化成分离变量微分方程面学方法求出方程通解
例题:求方程特解
解答:齐次方程令yux代入
分离变量
两端分积分
中
代回uyx原方程通解
初始条件y(0)1代入 C1
满足初始条件特解
线性微分方程
线性微分方程
种微分方程形式:中pqyy'关x关yy'言次称阶线性微分方程
q0时称齐次线性微分方程q≠0时称非齐次线性微分方程
齐次线性微分方程解法
齐次线性微分方程形式:
方程分离变量微分方程分离变量:前面学方法进行求解
例题:求般解
解答:方程
该方程般解:
非齐次线性微分方程解法
非齐次线性微分方程形式:
种方程解法:先求出应齐次线性微分方程般解然c作x函数代非齐次线性微分方程中决定c满足非齐次微分方程
中c作x函数求导数c作常数求导数处项:中c作x函数代入微分方程
非齐次线性微分方程满足求般解
面说学种解法称Lagrange常数变易法
例题:求解
解答:相应齐次线性微分方程般解:
c成x函数代入:
:c'x(x+1)
∴
:非齐次线性微分方程般解
降阶高阶方程
求解高阶微分方程方法设法降低方程阶数面二阶方程例学三种降阶方程
1右端仅含x方程:yf(x)
类方程须两端分积分次化阶方程
次积分求出方程通解
例题:求方程ycosx通解
解答:次积分:
二次积分方程通解:
2右端显含y方程:yf(xy')
方程降阶令y'pp作新未知函数x变量代入原方程:
阶方程然前面学方法进行求解
例题:求方程通解
解答:令y'p代入方程
分离变量
积分
积分原方程通解:
3右端显含x方程:yf(yy')
方程降阶令y'pp作变量y函数
代入原方程
关p阶方程解出通解然代入原方程求解
例题:求方程通解
解答:令代入原方程:
相两方程:
第方程解:yC
第二方程分离变量法解
p C1y
分离变量解:
原方程通解(解yC包含解中)
线性微分方程解结构
二阶方程例说明线性方程解结构然结适合高阶线性微分方程
二阶线性方程般形式
中yy'y次否称二阶非线性方程
线性齐次方程解结构
二阶线性齐次方程形式:
定理:果函数均方程解末该方程解中C1C2意常数
线性齐次方程性质称解叠性
问题:求解方程通解呢?
般说定什情况方程通解呢?引出两概念:线性相关线性独立
定义:设定义区间I两函数果末称两函数区间I线性相关否恒等常数末称两函数线性独立线性关
关线性齐次方程特解定理
定理:果二阶线线性齐次方程意两线性独立特解末该方程通解中C1C2意常数
线性非齐次方程解结构
二阶线性非齐次方程形式:
阶线性非齐次方程知道线性非齐次方程通解等特解应齐次方程通解末结高阶线性非齐次方程适合?
答案肯定面定理
定理:设y二阶线性非齐次方程特解Y该方程应齐次线性方程通解末 yy+Y 方程通解
解题方便出定理:
定理:设线性非齐次方程果分方程
方程
解末原方程解
二阶常系数齐次线性方程解法
前面已知道线性齐次方程非齐次方程通解结构然知道通解寻求建立已知特解基础二阶线性齐次方程特解寻求没般方法常系数二阶线性齐次方程通解定方法容易求
二阶线性齐次方程解法
二阶线性齐次方程般形式:中a1a2实常数
知道指数函数eax求导指数函数利性质适选择常数ρeax满足方程面方程令:代入面方程:
eax≠0:
样面二次方程根ρeax方程解方程称方程特征方程根代数方程根性质分三种情况讨:
1特征方程两等实根情形
设两实根齐次方程两特解等常数线性独立方程通解:
中c1c2实常数
2特征方程重根情形
时特征方程重根应:特解:根常数变易法求特解:方程通解
3特征方程轭复根情形
设轭复根末方程两线性独立解种复数形式解方便实数形式解利欧拉公式:方程通解:
面知求二阶常系数线性齐次方程通解步骤:
1方程写出特征方程:
2求出特征方程两根:ρ1ρ2
3根ρ1ρ2实根相实根轭复根分利面公式写出原方程通解
例题:求方程通解
解答:方程特征方程:
两相实根求通解:
二阶常系数非齐次线性方程解法
学二阶常系数线性非齐次方程求解方法前面知道线性非齐次方程通解等特解应齐次方程通解前面已知道应齐次方程通解解法现关键样求特解
二阶常系数非齐次线性方程解法
常系数二阶线性非齐次方程般形式:
面根f(x)具列特殊情形时出求特解公式:
(1):设中μ常数
零次项式时:
a)μ特征方程根时设
b)μ特征方程单根时设
c)μ特征方程重根时设
m次项式:μ0时
a)a2≠0μ0特征方程根时设
b)a20a1≠0时μ0特征方程单根时设
c)a20a10时μ0特征方程重根时设
例题:求方程特解
解答:应特征方程
原方程右端出现作μ0
μ0特征方程根设特解
代入原方程
:
求特解:
(2):设中aμv常数
时特解:
例题:求方程特解
解答:显然设特解:
代入原方程:
:
A1
原方程特解
十穷级数
级数概念性质
中学里已遇级数——等差数列等数列属项数限特殊情形面学项数限级数称穷级数
穷级数概念
设已数列a1a2…an…数列中项次加号连接起式子a1+a2+…+an+…称穷级数简称级数记作::a1+a2+…+an+…数列项a1a2…称级数项an称级数通项
取级数前项两项…n项…相加数列S1a1S2a1+a2…Sna1+a2+…+an… 数列通项Sna1+a2+…+an称级数前n项部分该数列称级数部分数列
果级数部分数列收敛:末称该级数收敛极限值S称级数
例题:证明级数:1
证明:
n→∞时Sn→1级数1
级数性质
1级数收敛必条件:收敛级数通项ann→∞时趋零:
注意:条件级数收敛必条件充分条件
例:级数然n→∞时通项级数发散
级数调级数加证明
2果级数收敛S末项常数c级数收敛cS果发散末c≠0时发散
3两收敛级数逐项相加相减
4收敛级数中改变连起限项次序插入括号新级数收敛变
注意:限项谓种极限限项质区
5级数开头添入掉限项影响级数收敛发散
正项级数收敛问题
级数般会提出样两问题:收敛?少?显然第问题更重果级数发散末第二问题存面学确定级数收敛发散问题
先考虑正项级数(项an≥0级数)收敛问题
判定正项级数敛散性基定理
定理:正项级数收敛充分必条件部分Sn界果Sn界级数发散正穷
例:p级数:p>1时收敛p≤1时发散
注意:作证明
正项级数审敛准
准:设两正项级数an≤bn(n12…)果收敛末收敛果发散末发散
例:级数收敛n>1时≤等级数收敛
准二:设两正项级数果末两级数者时收敛者时发散
关准补充问题
果末收敛时收敛果末发散时发散
例:收敛收敛
注意:两准判定已知级数敛散性需选收敛发散级数资较面学两赖已知级数身审敛准
准三:设正项级数果极限存末λ<1时级数收敛λ>1时级数收敛
注意:准达朗贝尔准种判定方法称检法
例:级数收敛n→∞时
准四(柯西准):果极限存末λ<1级数收敛λ>1级数发散
例:级数发散n→∞时
般常数项级数审敛准
级数中正数项负数项均穷时称级数般常数项级数
绝收敛条件收敛
设般常数项级数
取项绝值构成级数
称应原级数绝值级数
绝收敛准:果应绝值级数收敛末原级数收敛
注意:时称绝收敛
果级数发散级数收敛
称条件收敛
关绝收敛条件收敛问题
绝收敛级数正数项负数项组成级数收敛
条件收敛级数正数项负数项组成级数发散
例题:证明:λ>1时级数绝收敛级数
证明:≤λ>1时收敛级数收敛级数绝收敛
交错级数审敛准
交错级数相邻两项符号相反数般常数项级数种特殊级数
交错级数写成:
交错级数审敛准(莱布尼兹准):
果末级数收敛
例:交错级数收敛满足莱布尼兹准两条件:
函数项级数幂级数
然科学工程技术中运级数工具时常常数项级数函数项级数常数项级数研究函数项级数基础
函数项级数概念
设函数序列中函数区间I定义末表达式称定义I函数项级数
面学常见应广泛种具形式函数项级数:
项正整数幂幂函数种级数称幂级数中cn(n012…)均常数
显然面级数中变量x取定某值x0时变常数项级数
幂级数收敛问题
常数项级数样称幂级数部分果部分n→∞时区间I中点收敛末称级数区间I收敛时sn(x)极限定义区间I中函数记作s(x) 函数s(x)称级数函数简称记作:
幂级数关心问题收敛发散判定问题面学关幂级数收敛判定准
幂级数审敛准
准:设幂级数果极限末时幂级数收敛绝收敛时幂级数发散中R零+∞
面准知:幂级数收敛区间关原点称区间区间级数收敛区间外级数发散区间称幂级数收敛区间简称敛区正数R幂级数收敛半径
关审敛准问题
讨幂级数收敛问题收敛半径寻求时级数敛散性准判定需行讨
例题:求幂级数收敛区间
解答:该级数收敛半径:
幂级数敛区(55)
x5x5级数分前者发散者收敛
级数收敛区间[55)
幂级数性质
性质1:设两幂级数果
f1(x)R1
性质3:幂级数s(x)敛区点均导逐项求导公式:
求导幂级数原级数相收敛半径
性质4:幂级数s(x)敛区积分逐项积分公式:
积分幂级数原级数相收敛半径
性质知:幂级数敛区普通项式样相加相减逐项求导逐项积分
函数幂级数展开式
通前面学幂级数仅形式简单项式类似性质发现表示成幂级数面两问题:
问题1:函数f(x)什条件表示成幂级数
问题2:果f(x)表示成形式幂级数末系数cn(n0123…)样确定?
面学两问题
泰勒级数
先讨第二问题假定f(x)a邻区表示成种形式幂级数中a事先定某常数系数cnf(x)应样关系
f(x)表示成幂级数根幂级数性质xa邻区f(x)意阶导幂级数两端逐次求导:
………………………………………………
………………………………………………
f(x)幂级数式阶导数中令xa分:
求系数代入:
该式右端幂级数称f(x)x+a处泰勒级数
关泰勒级数问题
式f(x)展成形幂级数假定出实际f(x)xa处意阶导写出函数泰勒级数
问题:函数写成泰勒级数否收敛?否收敛f(x)?
函数写成泰勒级数否收敛取决f(x)泰勒级数部分差
否n→+∞趋零果某区间I中末f(x)xa处泰勒级数区间I中收敛f(x)时泰勒级数称函数f(x)区间I中泰勒展开式
泰勒定理
设函数f(x)xa邻区n+1阶导位邻区x少存点ccax间:
公式称泰勒公式(加证明)
泰勒公式中取a0时泰勒公式变成:
中c0x间
式子称麦克劳林公式
函数f(x)x0泰勒级数称麦克劳林级数麦克劳林公式中余项趋零时称相应泰勒展开式麦克劳林展开式
:
种初等函数麦克劳林展开式
1指数函数ex
2正弦函数展开式
3函数(1+x)m展开式
考研数学极限计算答题技巧
极限考研数学年必考容客观题观题中会涉均年直接考查占分值10分左右事实部分容基础性年间接考查章节结合出题重极限计算核心考点考题占重熟练掌握求解极限方法高分关键
常见题型
极限外出三题型:求数列极限求函数极限已知极限求定参数熟练掌握求解极限方法高分关键极限运算法必须遵两极限存进行极限运算果存法进行运算极限容简单总结
常计算方法
极限计算常方法:四运算洛必达法等价穷代换两重极限利泰勒公式求极限夹逼定理利定积分求极限单调界收敛定理利连续性求极限等方法
四运算洛必达法等价穷代换两重极限常方法基础阶段学中重点考生应该已非常熟悉进入强化复阶段容应继续练达熟练程度强化复阶段考生会遇较复杂极限计算时运泰勒公式代洛必达法求极限会简化计算熟记常见麦克劳林公式达事半功倍效夹逼定理利定积分定义常常计算某式极限果分母分母相极限等1夹逼定理进行计算果分母分母相极限等1凑成定积分定义形式进行计算单调界收敛定理证明数列极限存求递数列极限
极限计算相关知识点
1连续间断点间断点分类:判断间断点类型基础求函数间断点处左右极限
2渐线(垂直水斜渐线)
3元函数积分学二重极限讨计算难度较常考查证明极限存
数列极限典型方法
面重点讲数列极限典型方法求数列极限纳三种形式
1抽象数列求极限
类题般选择题形式出现通举反例排外定义基性质运算法直接验证
2求具体数列极限参考种方法:
a利单调界必收敛准求数列极限
首先数学纳法等式放缩法判断数列单调性界性进确定极限存性次通递推关系中取极限解方程数列极限值
b利函数极限求数列极限
果数列极限成某函数极限特例形利函数极限数列极限关系转化求函数极限时洛必达法求解
3求N项项积数列极限种方法:
a利特殊级数求法
果求项式极限中通项通错位相消转化极限已知形式通整理直接出极限结果
b利幂级数求法
找级数应幂级数利幂级数函数方法应函数求出根极限形式代入相应变量求出函数值
c利定积分定义求极限
数列项提出子剩余项通项表示考虑定积分定义求解数列极限
d利夹逼定理求极限
数列项提出子剩余项通项表示余项递增递减排列考虑夹逼定理求解
e求N项数列积极限
般先取数化项形式然利求解项数列极限方法进行计算
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