专题六 数列
第十八讲 数列综合应
2019 年
1(2019 浙江 10)设 ab∈R数列{an}中 anaan+1an
2+b n N
A. b 1
2 时a10>10 B. b 1
4 时a10>10
C. b2 时a10>10 D. b4 时a10>10
2(2019 浙江 20)设等差数列{}na 前 n 项 nS 3 4a 43aS 数列{}nb 满足:
12n n n n n nn S b S b S b
N 成等数列
(1)求数列{ }{ }nnab通项公式
(2)记 2
n
n
n
acnb
N 证明: 12+ 2 nc c c n n N
3(2019 江苏 20)定义首项 1 公正数等数列M-数列
(1)已知等数列{an}*()nN 满足: 2 4 5 3 2 4 4 4 0a a a a a a 求证:数列{an}M
-数列
(2)已知数列{bn} 满足: 1
1
1 2 21
n n n
b S b b
中 Sn 数列{bn}前 n 项.
①求数列{bn}通项公式
②设 m 正整数存M-数列{cn}意正整数 k k≤m 时
1k k kc b c 剟 成立求 m 值.
4(2019 北京理 20)已知数列 na 中选取第 1i 项第 2i 项…第 mi 项 12 mi i i
12 mi i ia a a L称新数列
12 mi i ia a a L 长度 m 递增子列规定:数列
意项 长度 1 递增子列
(Ⅰ)写出数列 1837569 长度 4 递增子列
(Ⅱ)已知数列 长度 P 递增子列末项值
oma 长度 q 递增子
列末项值
ona p
oomnaa
(Ⅲ)设穷数列 na 项均正整数意两项均相等 长度 s
递增子列末项值 2s1长度 s 末项 2s1 递增子列恰 12s ( s12…)
求数列 通项公式
20102018 年
选择题
1.( 2017 新课标Ⅰ)位学生响应国家创业号召开发款应软件.激发家
学数学兴趣推出解数学题获取软件激活码活动.款软件激活码
面数学问题答案:已知数列 1121241248124816 „
中第项 02 接两项 02 12 接三项 22 类
推.求满足条件整数 N: 100N 该数列前 N 项 2 整数幂.
该款软件激活码
A.440 B.330 C.220 D.110
2.( 2016 年全国Ⅲ)定义规范 01 数列{}na : 2m 项中 m 项 0 项
1意 2km 12 ka a a 中 0 数少 1 数. 4
规范 01 数列
(A)18 (B)16 (C)14 (D)12
3 .(2015 湖北) 设 12 na a a R 3n≥ . p : 12 na a a 成等数列 q :
2 2 2
1 2 1()na a a 2 2 2 2
2 3 1 2 2 3 1()()n n na a a a a a a a a
A.p q 充分条件 q 必条件
B.p q 必条件 q 充分条件
C.p q 充分必条件
D.p q 充分条件 q 必条件
4.( 2014 新课标 2)等差数列 na 公差 2 2a 4a 8a 成等数列 前 n
项 nS
A. 1nn B. 1nn C. 1
2
nn
D. 1
2
nn
5.( 2014 浙江)设函数 2
1 )( xxf )(2)( 2
2 xxxf |2sin|3
1)(3 xxf
99i
ia
012 99i 记 10| ( ) ( ) |k k kI f a f a 21| ( ) ( ) |kkf a f a
99 98| ( ) ( ) |kkf a f a 321k
A. 321 III B. 312 III C. 231 III D. 123 III
二填空题
6.(2018 江苏)已知集合 *{ | 2 1 }A x x n n N*{ | 2 }nB x x n N. AB元
素次排列构成数列{}na .记 nS 数列{}na 前 n 项
112nnSa 成立 n 值 .
7.( 2015 陕西)中位数 1 010 组数构成等差数列末项 2 015该数列首项
.
8.( 2014 新课标 2)数列 na 满足 1
1
1n
n
a a
2a 2 1a _________.
9.( 2013 重庆)已知 na 等差数列 1 1a 公差 0d nS 前 n 项 1 2 5a a a
成等数列 8 _____S .
10.(2011 江苏)设 7211 aaa 中 7531 aaaa 成公 q 等数列
642 aaa 成公差 1 等差数列 值________.
11.( 2011 浙江)数列 2( 4)( )3
nnn
中项第 k 项 k _______________.
三解答题
12.(2018 江苏)设{}na 首项 1a 公差 d 等差数列{}nb 首项 1b 公 q
等数列.
(1)设 110 1 2a b q 1||nna b b ≤ 1234n 均成立求 d 取值范围
(2) *
110 (1 2]ma b m q N 证 明 : 存 d R 1||nna b b ≤
23 1nm均成立求 d 取值范围( 1b m q 表示).
13.( 2017 天津)已知{}na 等差数列前 n 项 ()nSn N{}nb 首项 2 等
数列公 0 2312bb 3 4 12b a a 11 411Sb .
(Ⅰ)求 通项公式
(Ⅱ)求数列 2 2 1{}nnab 前 n 项()n N.
14.( 2017 浙江)已知数列{}nx 满足: 1 1x 11ln(1 )n n nx x x ()n *N.
证明: n *N 时
(Ⅰ) 10 nnxx
(Ⅱ) 1
12 2
nn
nn
xxxx
≤
(Ⅲ) 12
11
22nnnx≤ ≤ .
15.( 2016 年四川高考)已知数列{ na }首项 1 nS 数列{}前 n 项
1 1nnS qS 中 q>0*nN
(I) 2322 2a a a 成等差数列求 通项公式
(Ⅱ)设双曲线
2
2
2 1
n
yx a离心率 ne 2
5
3e 证明: 12 1
43
3
nn
n ne e e
.
16.(2015 湖北)设等差数列{}na 公差 d前 n 项 nS等数列{}nb 公 q.已
知 11ba 2 2b qd 10 100S .
(Ⅰ)求数列{}na {}nb 通项公式
(Ⅱ) 1d 时记 n
n
n
ac b 求数列{}nc 前 n 项 nT.
17.( 2015 陕西)设 nfx等数列1x 2x nx 项中 0x n
2n≥ .
(Ⅰ)证明:函数 2nnF x f x 1( 1)2
仅零点(记 nx )
111
22
n
nnxx
(Ⅱ)设述等数列首项末项项数分相等差数列项
ngx较 nfx ngx加证明.
18.(2015 重庆)数列 na 中 1 3a 2
110n n n na a a a ()nN .
(Ⅰ) 0 2 求数列 通项公式
(Ⅱ) 00
0
1 ( 2)k N kk ≥ 1 证明:
0 1
00
11223 1 2 1kakk
.
19.(2014 山东)已知等差数列 }{ na 公差 2前 n 项 nS 1S 2S 4S 成等数
列.
(Ⅰ)求数列 通项公式
(Ⅱ)令 nb 4)1(
1
1
nn
n
aa
n 求数列 }{ nb 前 项 nT.
20.( 2014浙江)已知数列 na nb 满足 Nnaaa nb
n 221 . 等数列
62 231 bba
(Ⅰ)求 na nb
(Ⅱ)设 Nnbac
nn
n
11 .记数列 nc 前 n 项 nS.
(ⅰ)求
(ⅱ)求正整数 k 意 Nn 均 nk SS .
21.( 2014 湖南)已知数列{ na }满足 *
111| | n
nna a a p n N
(Ⅰ){}递增数列 1 2 32 3a a a 成等差数列求 p 值
(Ⅱ) 1
2p { 21na }递增数列{ 2na }递减数列求数列{}通项公式.
22.( 2014 四川)设等差数列{}na 公差 d 点()nnab函数 ( ) 2xfx 图象
(*nN ).
(Ⅰ) 1 2a 点 87( 4 )ab函数 ()fx图象求数列{}na 前 n 项 nS
(Ⅱ) 1 1a 函数 ()fx图象点 22()ab 处切线 x 轴截距 12 ln 2
求数列{}n
n
a
b 前 n 项 nT.
23.(2014 江苏)设数列 }{ na 前 n 项 nS.意正整数 n 总存正整数 m
mn aS 称 H 数列.
(Ⅰ)数列 前 n 项 n
nS 2 ( n N )证明 H 数列
(Ⅱ)设 等差数列首项 11 a 公差 0d . H 数列求 d
值
(Ⅲ)证明:意等差数列 总存两H 数列 }{ nb }{ nc
nnn cba (N)成立.
24.( 2013 安徽)设数列 na 满足 1 2a 248aa意 *nN 函数
1 2 1 2( ) ( ) cos sinn n n n nf x a a a x a x a x 满足 '( ) 02f
(Ⅰ)求数列 通项公式
(Ⅱ) 12 2 nnnaba()求数列 nb 前 n 项 nS.
25.( 2013 广东)设项均正数数列 na 前 n 项 nS满足 2
14 4 1nnS a n
*nN 2 5 14a a a 构成等数列.
(Ⅰ)证明: 2145aa
(Ⅱ)求数列 na 通项公式
(Ⅲ)证明:切正整数 n
1 2 2 3 1
1 1 1 1
2nna a a a a a
.
26.( 2013 湖北)已知 nS 等数列{}na 前 n 项 4S 2S 3S 成等差数列
234 18a a a
(Ⅰ)求数列 通项公式
(Ⅱ)否存正整数 n 2013nS ?存求出符合条件 n 集合
存说明理.
27.(2013 江苏)设 na 首项 a 公差d 等差数列 0d nS 前 n 项.
记 2
n
n
nSb nc
Nn* 中c 实数
(Ⅰ) 0c 1b 2b 4b 成等数列证明: 2 Nnk kS n S kn *
(Ⅱ) nb 等差数列证明: 0c .
28. (2012 山东)已知等差数列{}na 前 5 项 105 10 52aa .
(Ⅰ)求数列 通项公式
(Ⅱ)意 *mN数列 中 27 m 项数记 mb 求数列{}mb 前 m
项 mS.
29.( 2012 湖南)某公司属企业事某种高科技产品生产.该企业第年年初资金
2000 万元投入生产年年底资金增长 50%.预计年资金年增长率
第年相.公司求企业第年开始年年底缴资金 d 万元剩余
资金全部投入年生产.设第 n 年年底企业缴资金剩余资金 na 万元.
(Ⅰ) 表示 12aa写出 1na 关系式
(Ⅱ)公司希 m ( m ≥3)年企业剩余资金 4000 万元试确定企业
年缴资金 值( 表示).
30.( 2012 浙江)已知数列 na 前 n 项 nS 22nn n∈N﹡数列 nb 满
足 24log 3nnab*nN .
(Ⅰ)求 nnab
(Ⅱ)求数列{}nnab 前 项 nT.
31.( 2012 山东)等差数列 na 中 84543 aaa 9 73a
(Ⅰ)求数列 通项公式
(Ⅱ)意 *Nm 数列 中落入区间 29 9mm项数 mb 求数
列 mb 前 m 项 mS.
32.(2012 江苏)已知项均正数两数列{}na {}nb 满足: 1 22
nn
n
nn
aban
ab
N.
(Ⅰ)设 1 1 n
n
n
bbna
N求证:数列
2
n
n
b
a
等差数列
(Ⅱ)设 1 2 n
n
n
bbna
N{}na 等数列求 1a 1b 值.
33.( 2011 天津)已知数列{}{}nnab 满足 11( 2) 1n
n n n nb a b a
1
*
1
3 ( 1) 22
n
nb n N a
.
(Ⅰ)求 23aa值
(Ⅱ)设 *
2 1 2 1n n nc a a n N 证明{}nc 等数列
(Ⅲ)设 nS {}na 前 n 项证明 *2 1 212
1 2 2 1 2
1 ( )3
nn
nn
SSSS n n Na a a a
34.( 2011 天津)已知数列{}na {}nb 满足: 1 1 2
3 ( 1)0 2
n
n n n n n nb a a b a b
*nN 122 4aa.
(Ⅰ)求 345a a a 值
(Ⅱ)设 *
2 1 2 1n n nc a a n N 证明: nc 等数列
(Ⅲ)设 *
2 4 2 kkS a a a k N 证明:
4
*
1
7()6
n
k
k k
S nNa
.
35.( 2010 新课标)设数列 na 满足 21
112 3 2 n
nna a a
(Ⅰ)求数列 na 通项公式
(Ⅱ)令 nnb na 求数列前 n 项 nS.
36.( 2010 湖南)出面数表序列:
12
4 4 8
表1 表2 表3 ∙∙∙
1 1 3 1 3 5
中表 n ( n 123 ) 行第 1 行 数 135 2 1第 2 行
起行中数等肩两数.
(Ⅰ)写出表 4验证表 4 行中数均数序构成等数列结
推广表 (n≥3)(求证明)
(Ⅱ)数列中行数构成数列 1412 记数列
nb 求: 324
1 2 2 3 1
n
nn
bbb
b b b b b b
*()nN .
专题六 数列
第十八讲 数列综合应
答案部分
2019 年
1解析:B令 2 1 04x 1
2
取 1
1
2a 2
11 1022naa
1
4b 时 10 10a B错误
C令 2 20x 2 1
取 1 2a 2 2 2 10naa
2b 时 10 10a C错误
D令 2 40x 1 17
2
取 1
1 17
2a 2
1 17
2a … 1 17 102na
4b 时 10 10a D错误
A 2
2
11
22aa…
2
2
3
1 1 3
2 2 4aa
…
2
42
4
3 1 9 1 17 14 2 16 2 16a a a
…
1 0nnaa {}na 递增
4n… 时 1
1
132 1 22
n
n
nn
a aaa
5
4
6
5
10
9
3
2
3
2
3
2
a
a
a
a
a
a
6
10
4
3
2
a
a
10
729 1064a A 正确.选 A.
2解析:(1)设数列{}na 公差d题意
1 1 12 4 3 3 3a d a d a d
解 1 0 2ad.
*2 2na n n N.
12n n n n n nS b S b S b 成等数列
2
12n n n n n nS b S b S b .
解 2
12
1
n n n nb S S Sd .
2*nb n n n N.
(2)*2 2 1 2 2 ( 1) ( 1)
n
n
n
a nncnb n n n n
N.
数学纳法证明.
①n1时c10<2等式成立
②假设 *n k kN 时等式成立 12 2hc c c k .
1nk时
1 2 1
122( 1)( 2) 1k k
kc c c c k kk k k
22 2 2( 1 ) 2 1
1
k k k k k
kk
.
1nk时等式成立.
根(1)(2)等式 12 2nc c c n 意 *nN 成立.
3解析(1)设等数列{an}公qa1≠0q≠0
2 4 5
3 2 14 4 0
a a a
a a a
2 4 4
11
2
1 1 14 4 0
a q a q
a q a q a
解 1 1
2
a
q
.
数列{}na ―M—数列‖
(2)①
1
1 2 2
n n nS b b
0nb .
1 1 11b S b
2
1 2 2
11b 2 2b
1
1 2 2
n n nS b b
1
12( )
nn
n
nn
bbS bb
2n 时 1n n nb S S
11
1122
n n n n
n
n n n n
b b b bb b b b b
整理 112n n nb b b.
数列{bn}首项公差均1等差数列
数列{bn}通项公式bnn *nN
②①知bkk*k N
数列{cn}―M–数列‖设公qc11q>0
ck≤bk≤ck+1 1kkq k q 中k123…m
k1时q≥1
k23…m时 ln lnln 1
kkqkk
.
设f(x) ln ( 1)x xx 2
1 ln() xf ' x x
.
令 ( ) 0f ' x xe列表:
x (1e) e (e+∞)
()f ' x + 0 –
f(x) 极值
ln 2 ln8 ln9 ln3
2 6 6 3 max
ln3( ) (3) 3f k f.
取 3 3q k12345时 ln lnk qk „ kkq
检验知 1kqk 成立.
求m值5.
m≥6分取k363≤q3q5≤6q15≥243q15≤216
q存求m值6
综求m值5.
3解析:(I)1356(答案唯)
(II)设长度 q 末项
0na 递增子列
1 1 0
qr r na a a
pq
10pqr r na a a
na 长度 p 递增子列末项值
0ma
12
pr r ra a a 长度 p 递增子列
0
pmraa
00mnaa
(III)题设知正奇数 中项
先证明: 2m 中项 2m 必排 2m1 前(m 正整数)
假设 2m 排 2m1 设
1 2 1
2 1mp p pa a a m
数列 长度 m 末项 2m1
递增子列
1 2 1
2 12mp p pa a a m m
数列 长度 m+1 末项 2m 递增子列
已知矛盾
证明:正偶数 中项
假设存正偶数 中项设 中正偶数 2m
2k 排 2k1 前 12 1km 2k 2k1 子列中
中超 21m 数 12… 21m
长度 1m 末项 递增子列数
12 2 2 2 1 1 2 2mm 已知矛盾
证明 2m 排 2 3m ( 2m 整数)
假设存 () 排 前 na 长度 1m 末项 21m
递增子列数 2m 已知矛盾
综数列 2143 2 32 2 1m m m
验证数列 符合条件
1
1n
nna
nn
奇数
偶数
20102018 年
1.A解析数列进行分组图
k
3
2
1
∙∙∙
22
21
21 2k22
21
20
20
20
20
该数列前 k 组项数 ( 1)1 2 3 2
kkk
题意知 100N ( 1) 1002
kk 解 14k ≥ n *N
N 出现第 13 组.
第 k 组12 2112
k
k
前 k 组
1 (1 2) (1 2 2 )k 12(2 1) (2 1) (2 1)k
12(2 2 2 )k k 122k k
设 满 足 条 件 N 第 1k ( k *N 13k ≥ ) 组 第 项第 第
m ()m *N 数第 1k 组前 m 项 211 2 2 2m 21m
该数列前 N 项 2 整数幂
21m 2k 互相反数
2 1 2m k
23mk
14k ≥ 2 3 14m ≥ 5m≥ 时 52 3 29k
应满足条件 29(29 1) 5 4402N 选 A.
2.C解析题意 1 0a 8 1a 2a 3a „ 7a 中 3 03 1满足
意 k ≤8 1a 2a „ ka 中 0 数少 1 数利列举法
规范 01 数 列 0000111100010111 00011011 0001110100100111
00101011001011010011001100110101010001110100101101001101010100110101010
1 14 .
3.A解析命题 p: 12 na a a 成等数列公 )3(
1
na
aq
n
n 0na
命题 q
① 0na 时 2 2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 3 1 2 2 3 1( )( ) ( )n n n naa aaa a aaaa aa 成立
② 0na 时根柯西等式
等式 成立
n
n
a
a
a
a
a
a 1
3
2
2
1 成等数列
p q 充分条件 q 必条件
4.A解析 2a 4a 8a 成等数列∴ 2
4 2 8a a a 2
1 1 1( 6) ( 2)( 14)a a a
解 1 2a ( 1)nS n n.
5.B解析∵ 2
1 )( xxf [01] 单调递增 1 1 1 0( ) ( ) 0f a f a
1 2 1 1( ) ( ) 0f a f a„ 1 99 1 98( ) ( ) 0f a f a
∴ 111 10 12 11 199 198|() ()||() ()| |() ()|Ifafa fafa fa fa
11 1012 11 199 198199 10() ()+() () () ()() ()fa fafa fa fa fafa fa 299 0199
()
∵ )(2)( 2
2 xxxf 490]99
[ 单调递增 50[ 1]99
单调递减
∴ 2 1 2 0( ) ( ) 0f a f a„ 2 49 2 48( ) ( ) 0f a f a 2 50 2 49( ) ( ) 0f a f a
2 51 2 50( ) ( ) 0f a f a„ 2 99 2 98( ) ( ) 0f a f a
∴ 2 21 20 22 21 299 298|() ()||() ()| |() ()|Ifafa fafa fa fa
249 20 299 250( ) ( ) [ ( ) ( )]f a f a f a f a 2 50 2 0 2 992 ( ) ( ) ( )f a f a f a
50 50 98004 (1 ) 199 99 9801
∵ |2sin|3
1)(3 xxf 24[0 ]99
50 74[]99 99
单调递增 25 49[]99 99
75[ 1]99
单调
递减 3 3 25 3 49 3 74
2 492( )2( )2( (2sin sin )3 99 99I f a f a f a )
2 5 2262262 632(2sin sin ) ( ) 13 12 12 3 4 4 4
312 III .
6.27解析正奇数 2n (*nN)序排列构成{}na 数列
中 52 前面 16 正奇数 5
21 2a 6
38 2a . 1n 时 121 12 24Sa
符 合 题 意 2n 时 233 12 36Sa 符 合 题 意 3n 时
346 12 48Sa 符合题意 4n 时 4510 12 60Sa 符合题意„„
26n 时
5
26
21 (1 41) 2 (1 2 )
2 1 2S 441 +62 503< 2712 516a 符合题
意 27n 时
5
27
22 (1 43) 2 (1 2 )
2 1 2S 484 +62546> 2812a 540符合题
意. 112nnSa 成立 n 值 27.
7.5解析设数列首项 1a 1 2015 2 1010 2020a 1 5a 该数列
首项5 .
8.1
2
解析 8 2a 代入 1
1
1n
n
a a
求 7
1
2a 代入
求 6 1a 代入 5 2a 知数列 na
周期数列周期 3 17
1
2aa.
9.64解析 1 1a 1 2 5a a a 成等数列 2
1 1 1( 4 ) ( )a a d a d 解 2d
81
878 642S a d .
10. 3 3 解析设 2at 231 1 2t q t q t q≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ 1t≥
3max{ 1 2}q t t t≥ q 值 .
11.4解析题意
1
1
22( 4)( ) ( 1)( 1 4)( )33
22( 4)( ) ( 1)( 1 4)( )33
kk
kk
k k k k
k k k k
2
2
( 1) 10
10
k
k
*kN 4k .
12.解析(1)条件知: ( 1)na n d 12n
nb .
1||nna b b ≤ n 1234 均成立
1| ( 1) 2 | 1nnd ≤ 1234 均成立
1≤11 d 33 2d 57 3d 9 75
32d≤ ≤ .
d 取值范围 75[]32
.
(2)条件知: 1 ( 1)na b n d 1
1
n
nb b q .
存 1||nna b b ≤ ( 23··· m +1)成立
1
1 1 1| ( 1) |nb n d b q b ≤ ( 23··· +1)
23 1nm时 满足
11
11
2
11
nnqqb d bnn
.
(1 2]mq 112nmqq
1
1
2 01
nq bn
1
1 01
nq bn
23 1nm均成立.
取 d 0 时 1||nna b b 23 1nm均成立.
面讨数列
1 2{}1
nq
n
值数列
1
{}1
nq
n
值( 23 1nm).
① 2 nm 时
1 1 1 2 2 2 2
1 1 1
()
()()
n n n n n n n nq q nqqnq nqq q
n n n n n n
1
12mq 时 2nmqq 1() 2 0n n nn q q q .
21nm 时数列
1 2{}1
nq
n
单调递增
数列
1 2{}1
nq
n
值 2mq
m
.
②设 ()()21xf x x 0x 时 ln 2 1( 0( n) l 2 2) xf x x
()fx单调递减 ( ) (0) 1f x f.
2 nm 时
1
1
1 1 12 1 1
1
() ()()
n
n
n
q
qnn fq n n n
n
21nm 时数列
1
{}1
nq
n
单调递减
数列
1
{}1
nq
n
值
mq
m
.
取值范围 11( 2)[]
mmb q b q
mm
.
13.解析(Ⅰ)设等差数列{}na 公差 d 等数列{}nb 公 q
已知 2312bb 2
1( ) 12b q q 1 2b 2 60qq
0q 解 2q 2n
nb
3 4 12b a a 138da ①
11 411Sb 1 5 16ad ②
联立①②解 1 1a 3d 32nan
数列 通项公式 数列 通项公式
(Ⅱ)设数列 2 2 1{}nnab 前 n 项 nT
2 62nan 1
21 24n
nb
2 2 1 (3 1) 4n
nna b n
232454 84 (3 1)4n
nTn
2 3 4 14 24 54 84 (3 4)4 (3 1)4nn
nT n n
述两式相减 2 3 13 243434 34(31)4nn
nTn
1
1
12 (1 4 ) 4 (3 1) 414
(3 2) 4 8
n
n
n
n
n
13 2 8433
n
n
nT
数列 2 2 1{}nnab 前 n 项 13 2 8433
nn
14.解析(Ⅰ)数学纳法证明: 0nx
1n 时 1 10x
假设 nk 时 0kx
1nk时 1 0kx ≤ 110 ln(1 ) 0k k kx x x ≤ 矛盾 1 0kx .
0nx ()n *N
1 1 1ln(1 )n n n nx x x x
10 nnxx
(Ⅱ) 1 1 1ln(1 )n n n nx x x x
2
1 1 1 1 1 14 2 2 ( 2)ln(1 )n n n n n n n nx x x x x x x x
记函数 2( ) 2 ( 2)ln(1 )( 0)f x x x x x x ≥
函数 ()fx[0 ) 单调递增 ( ) (0)f x f≥ 0
2
1 1 1 1 12 ( 2)ln(1 ) ( ) 0n n n n nx x x x f x ≥
1
12 ( N )2
nn
nn
xxx x n
≤
(Ⅲ)
1 1 1 1 1ln(1 ) 2n n n n n nx x x x x x ≤
1
1
2n nx ≥
1
122
nn
nn
xx xx
≥
1
1 1 1 12( ) 022nnxx
≥
12
11
1 1 1 1 1 12( ) 2 ( ) 22 2 2
nn
nnx x x
≥ ≥ ≥
2
1
2n nx ≤
综 12
11(N)22nnnxn
≤ ≤ .
15.解析(Ⅰ)已知 1 2 11 1n n n nS qS S qS+ + + + +
两式相减 211nna qa n++
211S qS+ 21a qa 1nna qa+ 1n ³ 成立
数列{}na 首项 1公 q 等数列
1 n
naq
2322 +2a a a 成等数列 322 3 2aa+ 22 3 2qq+
(2 1)( 2) 0q+ q
已知 0q > 2q
1*2 ( )n
nanN
(Ⅱ)(Ⅰ)知 1n
naq
双曲线
2
2
2 1
n
yx a离心率 2 2( 1)11n
nne a q + +
2 51 3qq + 解 4
3q
2( 1) 2( 1)1+ kkqq> 2( 1) 1 *1+ kkq q k>N()
1
12
11+ 1
n
n
n
qe e e q q q
++鬃 > + 鬃
1 2 3 1
43
3
nn
ne e e
++鬃>
16.解析(Ⅰ)题意 1
1
10 45 100
2
ad
ad
1
1
2 9 20
2
ad
ad
.
解 1 1
2
a
d
1 9
2
9
a
d
1
21
2
n
n
n
an
b
1
1 (2 79)9
29 ( )9
n
n
n
an
b
.
(Ⅱ) 1d 知 21nan 12n
nb 1
21
2n n
nc
2 3 4 1
3 5 7 9 2 11 2 2 2 2 2n n
nT
①
2345
1 1 3 5 7 9 2 1
2 2 2 2 2 2 2n n
nT ②
①②
22
1 1 1 1 2 1 2 3232 2 2 2 2 2n n n n
nnT
nT 1
236 2n
n
.
17.解析(Ⅰ) 2( ) ( ) 2 1 2n
nnF x f x x x x + + + (1) 1 0nFn >
1
2
111 1 1 1 12( ) 1 2 2 012 2 2 2 21 2
n
n
n nF
()nFx 1 12
少存零点 nx .
1( ) 1 2 0n
nF x x nx 1 12
单调递增
1( 1)2
仅零点 .
零点 ( )0nnFx
11 201
n
n
n
x
x
+
111+22
n
nnxx+
(Ⅱ)解法:题设 ()()11
()2
n
n
nx
gx
++
设 ()()2 11
( ) ( ) ( ) 1 02
n
n
nn
nx
h x f x g x x x x x
++
+ + + >
1x 时 ()()nnf x g x
1x 时 1
1 1( ) 1 2 2
n
n n n xh x x nx
01x<< 1 1 1 11( ) 2 2
n n n nnnh x x x nx x
()()1111022
nnn n n nxx++
1x > 1 1 1 11( ) 2 2
n n n nnnh x x x nx x
()hx (01) 递增(1 ) 递减
( ) (1) 0h x h< ()()nnf x g x< .
综述 1x 时 1x 时 .
解法二 题设 ()()2 11
( ) 1 ( ) 02
n
n
nn
nx
f x x x x g x x
++
+ + + >
时
1x 时 数学纳法证明 .
2n 时 2
22
1( ) ( ) (1 ) 02f x g x x < 22()()f x g x< 成立.
假设 ( 2)n k k时等式成立 ()()kkf x g x< .
+1nk 时
()()1 1 1
k+1 k
11
()()() 2
k
k k k
k
kx
f x f x x g x x x+ + +++
+ < + +
()12 1 1
2
kkx k x k+ + + + +
()()11
k+1
2 1 1 1 1() 22
k k k kx k x k kx k xgx
+++ + + + + +
令 ()1( ) 1 1(x 0)kk
kh x kx k x+ + + >
11( ) (k 1) 1 1 (x 1)k k k
kh x k x k k x k k x .
01x<<( ) 0khx ()khx (01) 递减
1x > ( ) 0khx (1 ) 递增.
( ) (1) 0kkh x h> ()1
k+1
2 1 1() 2
kkx k x kgx
+ + + + +> .
11()()kkf x g x++< +1nk 等式成立.
切 2n 整数 ()()nnf x g x< .
解法三已知记等差数列 ka 等数列 kb 12 1kn.
111ab 11
n
nna b x++
11+ 1 (2 n)
n
k
xa k kn
1(2 )k
kb x k n
令 111
(x) 1 0(2 )
n
k
k k k
kx
m a b x x k nn
1x 时 kkab ()()nnf x g x .
1x 时 1 2 2 11( ) (k 1) 1 1n k k n k
k
km x nx x k x xn
2 kn 10k > 11nk .
1 1nkx +< ( ) 0kmx
1 1nkx +> ( ) 0kmx
()kmx 递减()kmx(1 ) 递增 ( ) (1) 0kkm x m>
0 1 (2 )kkx x a b k n 时 11ab 11nnab++
综述 时 1x 时
18.解析(Ⅰ) 2
10 2 2 ( )n n na a a n N .
存某 0 nN 0noa 述递推公式易 1 0noa 重复述程
1 0a 1 3a 矛盾意 0nn N a.
1 2 ( )nna a n N na 公 2q 等数列.
11
1 32nn
na a q .
(Ⅱ)
0
1 1k 数列 递推关系式变 2
11
0
1 0n n n na a a ak
变形 2
1
0
1( ) ( )n n na a a n Nk 式 1 30a
纳 1 2 130nna a a a .
2
2 2 2
00
1
00
00
11
11
11 1
n
n
nn
n
nn
aa k kaak k aaakk
+
+
+++
012 nk 求
0 1 0 1 01 2 1()()k k ka a a a a a
0
10
0 0 0 1 0 2 0
1 1 1 1 1 ( )1 1 1
k
akk k k a k a k a
0
0 0 0 0 0
1 1 1 1 1>2+ ( ) 23 1 3 1 3 1 3 1
k
k k k k k
.
方面已证等式知
001 2 1 2kka a a a
0
0
1 1 0
0 0 0 1 0 2 0
1 1 1 1 1()1 1 1
k
k
a a k k k k a k a k a
0
0 0 0 0 0
1 1 1 1 1<2+ ( ) 22 1 2 1 2 1 2 1
k
k k k k k
.
综
0 1
00
112+ 23 1 2 1kakk
.
19.解析(Ⅰ) 6422 141211 daSdaSaSd
41
2
2421 SSSSSS 成等
解 1211 naa n
(Ⅱ) )12
1
12
1()1(4)1( 1
1
1
nnaa
nb n
nn
n
n
n 偶数时 1 1 1 1 1(1 ) ( ) ( )3 3 5 5 7nT
1 1 1 1()()2 3 2 1 2 1 2 1n n n n
12
2
12
11 n
n
nTn
1 1 1 1 1(1 ) ( ) ( )3 3 5 5 7nnT 奇数时
1 1 1 1()()2 3 2 1 2 1 2 1n n n n
12
22
12
11
n
n
nTn
奇数
偶数
nn
n
nn
n
Tn
12
22
12
2
.
20.解析(Ⅰ)题意 Nnaaa nb
n 221 326bb
知 32
3 28
bb
a
1 2a 公 2q ( 2q 舍)
数列 na 通项公式 2 ( )n
na n N
1 1
2
1 2 3 22
nn nn
na a a a
数列 nb 通项公式 1 ( )nb n n n N
(Ⅱ)(i)(Ⅰ)知 1 1 1 1 1 ()21n n
nn
c n Na b n n
11()12n nS n Nn
(ii) 1 2 3 40 0 0 0c c c c
5n 时
11 112n n
nnc nn
11
1 1 2 1 2 02 2 2n n n
n n n n n n
5
1 5 5 1 122n
nn
5n 时 0nc
综意 nN 恒 4 nSS 4k .
21.解析(I) na 递增数列 11
n
n n n na a a a p . 1 1a
1 2 32 3a a a 成等差数列 2 1 343a a a 230pp
解 103pp
0p 时 1nnaa 递增数列矛盾 1
3p
(Ⅱ) 21na 递增数列 2 1 2 1 0nnaa
2 1 2 2 2 1( ) ( ) 0n n n na a a a ①
2 2 1
11
22nn
2 1 2 2 2 1a a a an n n n ②
①②知 2 2 1 0nnaa
2
2
21
21 21
1 ( 1)()2 2n
n
n
n na a
③
2na 递减数列理 2 1 2 0nnaa
2 21
2 1 2 2
1 ( 1)
22
n n
nn naa
④
③④知
1
1
( 1)
2
n
nn naa
1 2 1 3 2 1( ) ( ) ( )nnna a a a a a a a
21
1 1 ( 1)1 2 2 2
n
n
111 ( )1 21 12 1 2
n
1
4 1 ( 1)
3 3 2
n
n
数列 na 通项公式 1
4 1 ( 1)
3 3 2
n
n na
.
22.解析(Ⅰ)点()nnab函数 ( ) 2xfx 图象 2 na
nb 等差数列{}na
公差 d
1
11 2 222
n
nn
n
a
aa dn
a
n
b
b
.
点 87( 4 )ab函数 ()fx图象 8
7842abb
8
7
24d b
b 2d.
1 2a 22
1
( 1) 232n
nnS na d n n n n n .
(Ⅱ) ( ) 2 ( ) 2 ln 2xxf x f x 函数 ()fx图象点 22()ab 处切线方程
2
22(2 ln 2)( )ay b x a
切线 x 轴截距 2
1
ln 2a 2
112ln 2 ln 2a 2 2a
nan 2n
nb
2
n
n
n
a n
b
23
1 2 3
2 2 2 2n n
nT 2 3 4 1
1 1 2 3
2 2 2 2 2n n
nT
2 3 4 1
1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2n nn
nT 11
12112 2 2n n n
nn
22 2n n
nT .
23.解析(Ⅰ) 2n≥ 时 11
1 2 2 2n n n
n n na S S
1n 时 112aS
∴ 时 11Sa 2n≥ 时 1nnSa ∴{}na H 数列.
(Ⅱ) 1
( 1) ( 1)
22n
n n n nS na d n d
n N m N nmSa ( 1) 1 ( 1)2
nnn d m d
取 2n 1 ( 1)d m d 12m d
∵ 0d ∴ 2m m N∴ 1m ∴ 1d .
(Ⅲ)设{}na 公差 d
令 1 1 1( 1) (2 )nb a n a n a n N 11nnb b a
1( 1)( )nc n a d 11nnc c a d
1 ( 1)n n nb c a n d a {}{}nnbc 等差数列
{}nb 前 n 项 11
( 1) ()2n
nnT na a 令 1(2 )nT m a ( 3) 22
nnm
1n 时 1m
2n 时 1m
3n≥ 时 n 3n 奇偶性 ( 3)nn 非负偶数 m N
n 找 nmTb 成立{}nb H 数列.
{}nc 前n项 1
( 1) ()2n
nnR a d令 1( 1)( )nmc m a d R ( 1) 12
nnm
∵ n N( 1)nn 非负偶数∴ m N
找 nmRc 成立{}nc H 数列
命题证.
24.解析(Ⅰ) 1 2a 248aa
1 2 1 2( ) ( ) cos sinn n n n nf x a a a x a x a x
1 2 1 2( ) sin cosn n n n nf x a a a a x a x
1 2 1( ) 02 n n n nf a a a a
122 n n na a a ∴{}na 等差数列
1 2a 3 4a 1d 2 1 1 1na n n ()
(Ⅱ) 1
1 1 12 2 1 2 12 2 2nnna nnb a n n ()()()
1112 2 1 22
12 1 2
n
n
nnS
()()
2
1 3 1 2
13 1 2
n
n
nn
nn
()
25.解析(Ⅰ) 1n 时 22
1 2 2 14 5 4 5a a a a 210 4 5na a a
(Ⅱ) 2n 时 2
14 4 1 1nnS a n 22
114 4 4 4n n n n na S S a a
222
1 4 4 2n n n na a a a 102n n na a a
时 na 公差 2d 等差数列
2 5 14a a a 构成等数列 2
5 2 14a a a 2
2 2 28 24a a a 解 2 3a
(Ⅰ)知 2
1 2 14 54 1a a a
213 1 2aa 首项 1 1a 公差 等差数列
数列 na 通项公式 21nan
(Ⅲ) 1 2 2 3 1
1 1 1 1 1 1 1
1 3 3 5 5 7 2 1 2 1nna a a a a a n n
1 1 1 1 1 1 1 112 3 3 5 5 7 2 1 2 1
1 1 112 2 1 2
nn
n
26.解析(Ⅰ)设数列{}na 公 q 1 0a 0q 题意
2 4 3 2
234
18
SSSS
a a a
2 3 2
1 1 1
2
1
(1 ) 18
a q a q a q
a q q q
解 1 3
2
a
q
数列 通项公式 13( 2)n
na .
(Ⅱ)(Ⅰ) 3 [1 ( 2) ] 1 ( 2)1 ( 2)
n
n
nS
存 n 2013nS 1 ( 2) 2013n ( 2) 2012n
n 偶数时 ( 2) 0n 式成立
n 奇数时 ( 2) 2 2012nn 2 2012n 11n
综存符合条件正整数 样 n 集合{ 2 1 5}n n k k k N.
27.证明(Ⅰ) 0c n
n
Sb n *Nn 题 ( 1)
2n
n n dS na
1
2
n
n
S nb a dn
1
1
2nnb b d
{}nb 等差数列首项 a 公差
2
d )0( d 421 bbb 成等数列
2
2 1 4b b b 2 3()()22
dda a a
2 3()42
ddad a 0d 2da
2
nS n a
2 2 2 2 2 2()nk kS nk a n k a n S n k a 2
nk kS n S (*Nnk ).
(Ⅱ)题
cn
nSb n
n 2 *Nn
2
2
[2 ( 1) ]
2( )n
n a n db nc
}{ nb 等差数列
设 nb x yn xy常数
2
2
[2 ( 1) ]
2( )
n a n d x ynnc
关 *Nn 恒成立.
整理: 32( 2 ) (2 2 ) 2 2 0d yn ad xn cyn cx
关 *Nn 恒成立. 2 02 2 02 02 0d y a d x cy cx
2 02 2 0 0d y a x d cy cx
0c .
28.解析(Ⅰ)已知: 1
11
5 10 105
9 2( 4 )
ad
a d a d
解 1 7 7ad
通项公式 7 ( 1) 7 7na n n
(Ⅱ) 277m
nan 217 mn 217 m
mb
∵
21
1
21
7 497
m
k
m
k
b
b
∴{}mb 公 49 等数列
∴ 7(1 49 ) 7 (49 1)1 49 48
m
m
mS
.
29.解析(Ⅰ)题意 1 2000(1 50) 3000a d d
2 1 1
3(1 50) 2a a d a d
1
3(1 50) 2n n na a d a d .
(Ⅱ)(Ⅰ) 1
3
2nna a d
2
2
33()22na d d
2
33()22na d d
1 2 2
1
3 3 3 3( ) 1 ( ) ( )2 2 2 2
nnad
.
整理 1133( ) (3000 ) 2 ( ) 122
nn
na d d
13( ) (3000 3 ) 22
n dd .
题意 134000 ( ) (3000 3 ) 2 40002
n
na d d
解
1
3( ) 2 1000 1000(3 2 )2
3 32( ) 12
n
nn
nn
n
d
.
该企业年缴资金 d 值缴
11000(3 2 )
32
nn
nn
时 ( 3)mm 年企业剩余资
金 4000 元.
30.解析(Ⅰ) nS 22nn
n 1 时 113aS
2 时 1n n na S S 222 2( 1) ( 1) 4 1n n n n n *nN
24log 3nnab 21nbn
(Ⅱ)(1)知 1(4 1) 2n
nna b n
21372112 4 12n
nTn
232 3272 112 4 12n
nTn
212 4 1 2 [3 4(2 2 2 )]nn
nnT T n
(4 5)2 5nn
(4 5)2 5n
nTn *nN .
31.解析:(Ⅰ) a3+a4+a584a573 28843 44 aa a973
9455 49 daad 12728341 daa
899)1(1 nnan 89 nan
(Ⅱ)意 m∈N﹡ mm n 29899 89989 2 mm n
9
899
89 121 mm n *Nn 题意知 112 99 mm
mb
)999(999 1101231
21
mm
mm bbbS
8
9
80
19
80
19109
8
19
80
99
91
91
91
99 121212
2
12 mmmmmmmm
8
9
80
19 12 mm
mS
32.解析(Ⅰ)题意知 1
1 2 2 2 2
1
11
n
n n n n
n
nn nn
nn
b
a b a ba
ab bb
aa
2
1
1
1nn
nn
bb
aa
22
*1
1
1( )nn
nn
bbnNaa
数列
2
n
n
b
a
1 公差等差数列.
(Ⅱ) 0na 0nb . 2
2 2 2()2 nn
nn
nn
ab a b a b „
1 22
12
nn
nn
n
aba
ab
„ (*)
设等数列{}na 公 q 知 0q 证 1q .
1q 2
122aaaq„.
1
2logqn a 11 2n
na a q (*)矛盾
01q 2
121aaaq .
1
1logqn a 11 1n
na a q (*)矛盾
综: 1q 1naa 112a „.
1
1
22 n
nn
n
bbbaa {}nb 公
1
2
a
等数列 1 2a
1
2 1a 1 2 3b b b 1
1 22
1
n
n
aban
ab
N
22
1 1 1
2
1
2
1n
a a ab a
1 2 3b b b 中少两项相矛盾. 1 2a
22
1 1 1
2
1
2 21n
a a ab a
11 2ab .
33.解析(Ⅰ)
1
*3 ( 1) 2
n
nb n N
2
1n
nb
n
奇数
偶数
1121n
n n n nb a b a
1 2 1 2
31 2 1 2 2n a a a a 时
2 3 32 2 5 8n a a a 时
(Ⅱ)证明:意 *nN
21
2 1 22 2 1n
nnaa
①
2
2 2 12 2 1n
nnaa ②
②① 2 1 2 1 1
2 1 2 1 3 2 3 2 4nnn
n n n
n
ca a c c
{}nc 等数列
(Ⅲ)证明: 1 2a (Ⅱ)知 * 2k N k 时
21131 53 75 2123()()()()k k ka a a a a a a a a a
1
3 5 2 3 2 12(1 4 )23(222 2)23 214
k
kk
意 * 2 1
21 2 k
kk N a
① 2 1 2 1 2 1 *
22
12 2 2 1 2 2
k k k
kka a k N
2 1 2 3 4 2 1 2()()()2k k k
kS a a a a a a
21
2 2 2
11 2 2
k
k k k
kS S a
21
2
2 1 2
2 1 2 2
212 1 2
1 2 1 2 122 112 2 2 1 4 4 (4 1)22
k
k
kk
k k k k k k
kkk
kk
SS k k k
aa
34. 解析(Ⅰ) *3 ( 1) 2
n
nb n N 1
n
nb
奇数
2n偶数
1 1 2 0n n n n nb a a b a
1n 时 1 2 320a a a 1 2a 2 4a 3 3a
2n 时 23420a a a 4 5a
3n 时 3 4 520a a a 5 4a
(Ⅱ)证明:意 *nN
2 1 2 2 12 0n n na a a ①
2 2 1 2 22 0n n na a a ②
2 1 2 2 2 32 0n n na a a ③
②—③ 2 2 3nnaa ④
④代入① 2 1 2 3 2 1 2 1()n n n na a a a
*
1 ()nnc c n N
1 1 3 1 0nc a a c
1 1 { }n
n
n
c cc
等数列
(Ⅲ)证明:(II) 2 1 2 1 ( 1)k
kkaa
意 * 2k N k
13
35
57
2 3 2 1
1
( ) 1
1
( 1) ( ) 1k
kk
aa
aa
aa
aa
式相加 1 2 1( 1) ( 1)k
ka a k
1
21 ( 1) ( 1)k
kak
式 k1 时成立④式 1
2 ( 1) ( 3)k
kak
2 2 4 6 8 4 2 4()()()k k kS a a a a a a k
2 1 2 4 3k k kS S a k
意 *2n N n
4
4 3 4 2 4 1 4
114 3 4 2 4 1 4
()
nn
k m m m m
kmk m m m m
SSSSS
a a a a a
1
2 2 2 1 2 3 2()2 2 2 2 1 2 3
n
m
m m m m
m m m m
1
23()2 (2 1) (2 2)(2 2)
n
m m m m m
2
2 5 3
23 2(2 1) (2 2)(2 3)
n
m m m n n
2
1 5 3
3 (2 1)(2 1) (2 2)(2 3)
n
m m m n n
1 5 1 1 1 1 1 1 3[( ) ( ) ( )]3235 57 212 1 (2 2)(2 3)n n n n
1 5 5 1 3 73 6 22 1 (2 2)(2 3) 6n n n
n 1等式显然成立
意 *nN
2 1 212
1 2 2 1 2
nn
nn
SSSS
a a a a
3 2 1 21 2 4
1 2 3 4 2 1 2
()()()nn
nn
SSSSSS
a a a a a a
2 2 2
1 1 1 2 1(1 ) (1 ) (1 )412 44(41) 4(41)nn
n
2 2 2
1 1 1 2 1()()()412 4 4(4 1) 4 4(4 1)n n n
nn
1 1 1()4 12 3nn
35.解析(Ⅰ)已知 n≥1 时
1 1 1 2 1 1[( ) ( ) ( )]n n n n na a a a a a a a
2 1 2 33(2 2 2) 2nn 2( 1) 12 n . 1 2a
数列{ na }通项公式 212 n
na .
(Ⅱ) 212 n
nnb na n 知 3 5 2 11 2 2 2 3 2 2 n
nSn ①
2 3 5 7 2 12 1 2 2 2 3 2 2 n
nSn ②
①② 2 3 5 2 1 2 1(1 2 ) 2 2 2 2 2nn
nSn .
211[(3 1)2 2]9
n
nSn .
36. 解析(Ⅰ)表 4 1 3 5 7
4 8 12
12 20
32
第 1234 行中数均数分 481632 构成首项 4公 2
等数列.结推广表 n( ≥3)表 行中数均数
序构成首项 公 2 等数列
(Ⅱ)表 第 1 行 135„ 2 1均数 nn
n )( 12531
(Ⅰ)知行中数均数序构成首项 公 2 等
数列(第 k 行中数均数 12 kn )表 中行唯
数 12 nn
1
2
12
1
( 2) 2 2
2 ( 1) 2 ( 1) 2
k
k
k k k
kk
b kk
b b k k k k
2 3 2
2( 1) 1 1
( 1) 2 2 ( 1) 2k k k
kk
k k k k
.( k 123 … n )
324
2 1 1 0
1 2 2 3 1
1 1 1 1()()1 2 2 2 2 2 3 2
n
nn
bbb
b b b b b b
32
11()2 ( 1) 2nnnn 221
14
nn )(
.
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