(时间90分钟满分120分)
选择题(题10题题5分50分)
1.△ABC中已知a-2b+c=03a+b-2c=0sin A∶sin B∶sin C等( )
A.2∶3∶4 B.3∶4∶5
C.4∶5∶8 D.3∶5∶7
解析:a-2b+c=03a+b-2c=0
c=ab=a
a∶b∶c=3∶5∶7
sin A∶sin B∶sin C=3∶5∶7
答案:D
2.△ABC中角ABC边分abc(a2+c2-b2)tan B=ac角B值( )
A B
C D
解析:∵(a2+c2-b2)tan B=ac
∴·tan B=
cos B·tan B=sin B=
∵0答案:D
3.△ABC中角ABC边分abca2+b2
C.钝角三角形 D.确定
解析:cos C=<0C钝角△ABC钝角三角形.
答案:C
4.△ABC三边分abca=1B=45°S△ABC=2△ABC外接圆直径( )
A.4 B.5
C.5 D.6
解析:∵S△ABC=acsin B
∴c=4
余弦定理b2=a2+c2-2accos B=25
∴b=5
正弦定理2R==5(R△ABC外接圆半径).
答案:C
5.△ABC中A=60°a=b=4满足条件△ABC( )
A.解 B.两解
C.解 D.确定
解析:bsin A=4×sin 60°=4×=2
a=<2△ABC解.
答案:C
6.△ABC中角ABC边分abcb=8c=8 S△ABC=16 A=( )
A.30° B.60°
C.30°150° D.60°120°
解析:S△ABC=bcsin A
×8×8 sin A=16
sin A=
A=30°150°
答案:C
7 某班设计八边形班徽(图)腰长1顶角α四等腰三角形底边构成正方形组成该八边形面积( )
A.2sin α-2cos α+2
B.sin α-cos α+3
C.3sin α-cos α+1
D.2sin α-cos α+1
解析:四等腰三角形面积4××1×1×sin α=2sin α余弦定理正方形边长=正方形面积2-2cos α求八边形面积2sin α-2cos α+2
答案:A
8.△ABC三角ABC边长分abc设量p=(a+cb)q=(b-ac-a)p∥q角C( )
A B
C D
解析:p∥q⇒(a+c)(c-a)-b(b-a)=0
c2-a2-b2+ab=0⇒==cos C
∴C=
答案:B
9.△ABC中BC=A=60°AC=4边AC高( )
A B
C D.3
解析:∵A=60°a=b=4余弦定理
13=16+c2-4c
c2-4c+3=0
解c=13
设边AC高h
h=csin 60°
∴h=
答案:B
10.空中气球正西方A点测仰角45°时南偏东60°B点测仰角30°AB两点间距离266米两观测点均离1米测量时气球面距离( )
A米 B.(+1)米
C.266米 D.266 米
解析:图D气球CAB面行面正投影设CD=x米题意知:∠CAD=45°∠CBD=30°AD=x米BD=米.△ABD中余弦定理AB2=AD2+BD2-2AD·BD·cos∠ADB2662=x2+(x)2-2x·(x)·cos 150°=7x2解x=测量时气球面距离(+1)米.
答案:B
二填空题(题4题题5分20分)
11.△ABC中角ABC边分abca=1b=c=B=________
解析:余弦定理:
cos B==
=-=-
B=
答案:
12.等腰三角形底边长a腰长2a腰中线长等________.
解析:图AB=AC=2aBC=a
设BC中点D连结AD
AD⊥BC
Rt△ABD中cos B===
设AB中点点E连结CE
△BEC中BE=BC=a
余弦定理CE2=CB2+BE2-2CB·BE·cos B=a2+a2-2a2·=2a2-a2=a2
∴CE=a
答案:a
13.锐角△ABC中BC=1B=2A值等________AC取值范围________.
解析:设A=θ⇒B=2θ
正弦定理=
∴=1⇒=2
锐角△ABC0°<2θ<90°⇒0°<θ<45°
0°<180°-3θ<90°⇒30°<θ<60°
30°<θ<45°⇒
答案:2 ()
14.甲船A处观察乙船北偏东60°方B处两船相距a n mile乙船正北方行驶.甲船速度乙船速度倍甲船应________方前进快追乙船追时乙船已行驶________n mile
解析:图设两船C处相遇设∠CAB=θ乙船行驶距离x n mileAC=x
正弦定理
sin θ==
∴θ=30°
图知∠ACB=60°-θ=60°-30°=30°
BC=AB=a(n mile).
甲船应北偏东30°方前进快追乙船两船相遇时乙船已行驶a n mile
答案:北偏东30° a
三解答题(题4题50分)
15.(题满分12分) (2012·聊城五校联考)已知函数f(x)=sin 2x-(cos2x-sin2x)-1
(1)求函数f(x)值正周期
(2)设△ABC角ABC边分abcc=f(c)=0量m=(1sin A)量n=(3sin B)线求ab值.
解:(1)f(x)=sin2x-cos 2x-1
=sin(2x-)-1
sin(2x-)=-1时f(x)min=-2
∴正周期T=π
(2)f(C)=sin(2C-)-1=0∴sin(2C-)=1
∵0<C<π∴-<2C-<π∴2C-=
∴C=
∵m∥n∴sin B-3sin A=0
∴b-3a=0①
∵c2=a2+b2-2ab·cos Cc=
∴7=a2+b2-ab②
①②知:a=1b=3
16.(题满分12分)
图△ABC中AC=2BC=1cos C=
(1)求AB值
(2)求sin(2A+C)值.
解:(1)余弦定理AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos C
=4+1-2×2×1×=2
AB=
(2)cos C=0
正弦定理=
解sin A==cos A=
二倍角公式sin 2A=2sin A·cos A=
cos 2A=1-2sin2A=
sin(2A+C)=sin 2Acos C+cos 2Asin C=
17.(题满分12分)△ABC中=
(1)证明B=C
(2)cos A=-求sin(4B+)值.
解:(1)证明:△ABC中正弦定理已知=sin Bcos C-cos Bsin C=0sin(B-C)=0-π<B-C<πB-C=0
B=C
(2)A+B+C=π(1)A=π-2B
cos 2B=-cos(π-2B)=-cos A=
0<2B<πsin 2B==
sin 4B=2sin 2Bcos 2B=
cos 4B=cos22B-sin22B=-
sin(4B+)=sin 4Bcos +cos 4Bsin
=
18 (题满分14分)图示某海岛观察哨A午11时测轮船海岛北偏东60°C处12时20分时测该轮船海岛北偏西60°B处12时40分该轮船达位海岛正西方距海岛5千米E港口果轮船始终匀速直线航行船速少?(结果保留根号)
解:轮船点C点B时80分钟点B点E时20分钟船始终匀速航行
见BC=4EB
设EB=xBC=4x已知∠BAE=30°
△AEC中正弦定理=
sin C===
△ABC中正弦定理=
AB====
△ABE中余弦定理
BE2=AE2+AB2-2AE·ABcos 30°
=25+-2×5××=
BE= (千米).
轮船速度v=÷=(千米时).
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