第五章 §5.2　平面向量基本定理及坐标表示

§52　面量基定理坐标表示
考试求　1解面量基定理意义2掌握面量正交分解坐标表示
3会坐标表示面量加法减法数运算4理解坐标表示面量线条件．


1．面量基定理
果e1e2面两线量面量a存唯实数λ1λ2a＝λ1e1＋λ2e2
线量e1e2作表示面量组基底．
2．面量坐标运算
(1)量加法减法数运算量模
设a＝(x1y1)b＝(x2y2)
a＋b＝(x1＋x2y1＋y2)a－b＝(x1－x2y1－y2)λa＝(λx1λy1)|a|＝
(2)量坐标求法
①量起点坐标原点终点坐标量坐标．
②设A(x1y1)B(x2y2)＝(x2－x1y2－y1)||＝
3．面量线坐标表示
设a＝(x1y1)b＝(x2y2)中b≠0a∥b⇔x1y2－x2y1＝0
微思考
1．两量存夹角量夹角直线夹角样？什？
提示　样．量方直线考虑方．量夹角直角锐角时直线夹角相．量夹角钝角角时直线夹角样．
2．面量意两非零量表示？
提示　定．两量线时作组基底表示面意量．

题组　思考辨析
1．判断列结否正确(请括号中√×)
(1)面意两量作组基底．(　×　)
(2)ab线λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2bλ1＝λ2μ1＝μ2(　√　)
(3)a＝(x1y1)b＝(x2y2)a∥b充条件表示成＝(　×　)
(4)面量样移变换坐标变．(　√　)
题组二　教材改编
2．设e1e2面组基底λ1e1＋λ2e2＝0λ1＋λ2＝________
答案　0
3．已知▱ABCD顶点A(－1－2)B(3－1)C(56)顶点D坐标________．
答案　(15)
解析　设D(xy)
＝(41)＝(5－x6－y)
解
4图线＝t(t∈R)表示＝__________________

答案　(1－t)＋t
解析　∵＝t
∴＝＋＝＋t
＝＋t(－)＝＋t－t
＝(1－t)＋t
题组三　易错纠
5．设O行四边形ABCD两条角线ACBD交点出列量组：①②③④中作行四边形面组基底(　　)
A．①② B．②③ C．①③ D．②④
答案　C
解析　面意两线量作基底图

①线作基底
②线量作基底
③两线量作基底
④条直线线量作基底．
6．已知量＝(1－3)＝(2－1)＝(k＋1k－2)ABC三点构成三角形实数k应满足条件________．
答案　 k≠1
解析　点ABC构成三角形
量线．
∵＝－＝(2－1)－(1－3)＝(12)
＝－＝(k＋1k－2)－(1－3)＝(kk＋1)
∴1×(k＋1)－2k≠0解k≠1

题型 面量基定理应
例1　(1)△ABC中点DE分边BCAC＝2＝3＝a＝b等(　　)
Aa＋b Ba－b
C．－a－b D．－a＋b
答案　C
解析　＝＋

＝＋
＝(－)－
＝－－＝－a－b
(2)(2020·郑州质检)图行四边形ABCD中EF分边ABBC中点连接CEDF交点G＝λ＋μ(λμ∈R)＝________

答案　
解析　题图设＝x(0＝x(＋)＝x＝＋x
＝λ＋μ线
λ＝μ＝x＝
思维升华　(1)应面量基定理表示量实质利行四边形法三角形法进行量加减数运算．般量放入相关三角形中利三角形法列出量间关系．
(2)面量基定理解决问题般思路：先选择组基底运该基底条件结表示成量形式通量运算解决．注意量基底分解基底分解唯．
踪训练1　图已知△OCB中ACB中点D分成2∶1分点DCOA交点E设＝a＝b

(1)ab表示量
(2)＝λ求实数λ值．
解　(1)题意知ABC中点
＝行四边形法＋＝2
＝2－＝2a－b
＝－＝(2a－b)－b＝2a－b
(2)题意知∥设＝x
＝－＝(2a－b)－λa＝(2－λ)a－b
＝2a－b
(2－λ)a－b＝x＝2xa－xb
ab线
面量基定理
解λ＝
题型二 面量坐标运算
例2　已知A(－24)B(3－1)C(－3－4)．设＝a＝b＝c＝3c＝－2b
(1)求3a＋b－3c
(2)求满足a＝mb＋nc实数mn
(3)求MN坐标量坐标．
解　已知a＝(5－5)b＝(－6－3)c＝(18)．
(1)3a＋b－3c＝3(5－5)＋(－6－3)－3(18)
＝(15－6－3－15－3－24)＝(6－42)．
(2)方法　∵mb＋nc＝(－6m＋n－3m＋8n)
∴解
方法二　∵a＋b＋c＝0
∴a＝－b－c
∵a＝mb＋nc
∴mb＋nc＝－b－c
∴
(3)设O坐标原点∵＝－＝3c
∴＝3c＋＝(324)＋(－3－4)＝(020)．
∴M(020)．
∵＝－＝－2b
∴＝－2b＋＝(126)＋(－3－4)＝(92)
∴N(92)∴＝(9－18)．

1．例中条件变利量求线段AB中点坐标？
解　设O坐标原点P(xy)线段AB中点
＝(＋)
(xy)＝[(－24)＋(3－1)]＝
∴线段AB中点坐标
2．例中条件变利量求△ABC重心G坐标？
解　设AB中点PO坐标原点
∵＝
∴＝＋＝＋(＋)
∴＝(＋＋)＝[(－24)＋(3－1)＋(－3－4)]＝
∴重心G坐标
思维升华　量坐标运算利量加法减法数运算法进行已知线段两端点坐标应先求出量坐标求解程中注意方程思想运．
踪训练2　(1)已知O坐标原点点C线段AB点A(11)C(23)||＝2||量坐标________．
答案　(47)
解析　点C线段AB点||＝2||
＝－2
设点B(xy)(2－x3－y)＝－2(12)
解
量坐标(47)．
(2)图示e1e2基底a＝________

答案　－2e1＋e2
解析　e1起点坐标原点e1直线x轴建立面直角坐标系e1＝(10)e2＝(－11)a＝(－31)令a＝xe1＋ye2(－31)＝x(10)＋y(－11)a＝－2e1＋e2
题型三 量线坐标表示
命题点1　利量线求参数
例3　(1)(2020·惠州调研)已知量a＝(21)b＝(x－1)a－bb线x值________．
答案　－2
解析　∵a＝(21)b＝(x－1)
∴a－b＝(2－x2)
∵a－bb线
∴(2－x)×(－1)－2x＝0
∴x＝－2
(2)(2018·全国Ⅲ)已知量a＝(12)b＝(2－2)c＝(1λ)．c∥(2a＋b)λ＝________
答案　
解析　题意2a＋b＝(42)c＝(1λ)c∥(2a＋b)4λ－2＝0λ＝
命题点2　利量线求量点坐标
例4　△ABC中已知点O(00)A(05)B(43)＝＝ADBC交点M点M坐标________．
答案　
解析　点O(00)A(05)B(43)
点C理点D
设M坐标(xy)
＝(xy－5)＝
AMD三点线线
－x－2(y－5)＝07x＋4y＝20
＝＝＝
CMB三点线线
x－4＝07x－16y＝－20

点M坐标
思维升华　面量线坐标表示问题解题策略
(1)果已知两量线求某参数取值时利a＝(x1y1)b＝(x2y2)a∥b充条件x1y2＝x2y1．
(2)求已知量a线量时设求量λa(λ∈R)．
踪训练3　(2020·山东省文登二中模拟)面定三量a＝(32)b＝(－12)c＝(41)．
(1)(a＋kc)∥(2b－a)求实数k
(2)d满足(d－c)∥(a＋b)|d－c|＝求d坐标．
解　(1)a＋kc＝(3＋4k2＋k)2b－a＝(－52)
题意2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0
解k＝－
(2)设d＝(xy)d－c＝(x－4y－1)
a＋b＝(24)|d－c|＝
∴
解
∴d坐标(3－1)(53)．
课时精练

1．图示面直角坐标系中量坐标(　　)

A．(22) B．(－2－2)
C．(11) D．(－1－1)
答案　D
解析　A(22)B(11)＝(－1－1)．选D
2．列量组中量a＝(32)表示出(　　)
A．e1＝(00)e2＝(12)
B．e1＝(－12)e2＝(5－2)
C．e1＝(35)e2＝(610)
D．e1＝(2－3)e2＝(－23)
答案　B
解析　ACDe1∥e2B成立．
3．(2020·太原模拟)设量a＝(m2)b＝(1m＋1)ab方相反实数m值(　　)
A．－2 B．1
C．－21 D．m值存
答案　A
解析　量a＝(m2)b＝(1m＋1)a∥bm(m＋1)＝2×1解m＝－2m＝1m＝1时a＝(12)b＝(12)ab方相舍m＝－2时a＝(－22)b＝(1－1)ab方相反符合题意选A
4．面直角坐标系xOy中已知A(10)B(01)C第象限点∠AOC＝OC＝2＝λ＋μλ＋μ等(　　)
A．2 B C．2 D．4
答案　A
解析　OC＝2∠AOC＝C第象限点
C()
＝λ＋μ
()＝λ(10)＋μ(01)＝(λμ)
λ＝μ＝λ＋μ＝2
5．已知△ABC角ABC边分abc量m＝(ab)n＝(cos Asin B)行A等(　　)
A B C D
答案　B
解析　m∥n
asin B－bcos A＝0
正弦定理sin Asin B－sin Bcos A＝0
sin B≠0tan A＝
06．已知面直角坐标系xOy中P1(31)P2(－13)P1P2P3三点线量量a＝(1－1)线＝λ＋(1－λ)λ等(　　)
A．－3 B．3 C．1 D．－1
答案　D
解析　设＝(xy)∥a知x＋y＝0
＝(x－x)．
＝λ＋(1－λ)
(x－x)＝λ(31)＋(1－λ)(－13)＝(4λ－13－2λ)
4λ－1＋3－2λ＝0
解λ＝－1
7．(2020·合肥质检)已知量a＝(13)b＝(－2k)(a＋2b)∥(3a－b)实数k＝________
答案　－6
解析　a＋2b＝(－33＋2k)
3a－b＝(59－k)
题意－3(9－k)＝5(3＋2k)解k＝－6
8．设量a＝(－34)量b量a方相反|b|＝10量b坐标________．
答案　(6－8)
解析　妨设量b坐标b＝(－3m4m)(m<0)
|b|＝＝10
解m＝－2(m＝2舍)
b＝(6－8)．
9．已知O坐标原点量＝(12)＝(－2－1)2＝||＝________
答案　
解析　设P点坐标(xy)＝－＝(－2－1)－(12)＝(－3－3)＝(x－1y－2)
2＝2(x－1y－2)＝(－3－3)
解
||＝＝
10．(2020·荆门检测)△AOB中＝DOB中点＝λ＋μλμ值________．
答案　－
解析　＝＝(－)
DOB中点＝
＝＋＝－＋(＋)
＝－＋＋(－)
＝－λ＝μ＝－
λμ值－
11．已知a＝(10)b＝(21)．
(1)k值时ka－ba＋2b线
(2)＝2a＋3b＝a＋mbABC三点线求m值．
解　(1)ka－b＝k(10)－(21)＝(k－2－1)
a＋2b＝(10)＋2(21)＝(52)．
∵ka－ba＋2b线
∴2(k－2)－(－1)×5＝0
2k－4＋5＝0k＝－
(2)方法　∵ABC三点线∴＝λ
2a＋3b＝λ(a＋mb)
∴解m＝
方法二　＝2a＋3b＝2(10)＋3(21)＝(83)
＝a＋mb＝(10)＋m(21)＝(2m＋1m)
∵ABC三点线∴∥
∴8m－3(2m＋1)＝02m－3＝0∴m＝
12图已知面三量中夹角120°夹角30°||＝||＝1||＝2＝λ＋μ(λμ∈R)求λ＋μ值．

解　方法　图作行四边形OB1CA1

＝＋
夹角120°夹角30°
∠B1OC＝90°
Rt△OB1C中∠OCB1＝30°||＝2
||＝2||＝4
||＝||＝4
＝4＋2
λ＝4μ＝2λ＋μ＝6
方法二　O原点建立图示面直角坐标系

A(10)B
C(3)．
＝λ＋μ
解
λ＋μ＝6

13．(2020·河北衡水中学模拟)已知Rt△ABC中∠BAC＝90°AB＝1AC＝2D△ABC点∠DAB＝60°设＝λ＋μ(λμ∈R)等(　　)
A B C．3 D．2
答案　A
解析　图A原点AB直线x轴AC直线y轴建立面直角坐标系B点坐标(10)C点坐标(02)

∠DAB＝60°设D点坐标(mm)(m≠0)．
＝(mm)＝λ＋μ＝λ(10)＋μ(02)＝(λ2μ)λ＝mμ＝m
＝
14(2020·山东省实验中学等四校联考)图Rt△ABC中∠ABC＝AC＝2AB∠BAC分线交△ABC外接圆点D设＝a＝b量等(　　)

A．a＋b Ba＋b
C．a＋b D．a＋b
答案　C
解析　设圆半径r
Rt△ABC中∠ABC＝AC＝2AB
∠BAC＝∠ACB＝
∠BAC分线交△ABC外接圆点D
∠ACB＝∠BAD＝∠CAD＝
根圆性质BD＝CD＝AB
Rt△ABC中AB＝AC＝r＝OD
四边形ABDO菱形
＝＋＝a＋b

15．αβ面组基底量γ＝xα＋yβ(xy∈R)称(xy)量γ基底αβ坐标现已知量a基底p＝(1－1)q＝(21)坐标(－22)a基底m＝(－11)n＝(12)坐标______．
答案　(02)
解析　a基底pq坐标(－22)
a＝－2p＋2q＝(24)
令a＝xm＋yn＝(－x＋yx＋2y)

a基底mn坐标(02)．
16．图已知△ABC中AB＝2AC＝1∠BAC＝120°AD角分线．

(1)求AD长度
(2)点D作直线分交ABAC直线点EF满足＝x＝y求＋值说明理．
解　(1)根角分线定理＝＝2
＝
＝＋＝＋＝＋(－)＝＋
2＝2＋·＋2
＝－＋＝
AD＝
(2)＝x＝y
＝＋＝＋
EDF三点线
＋＝1＋＝3
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