极值点偏移问题处理策略探究
谓极值点偏移问题指单极值函数函数极值点左右增减速度函数图没称性函数处取极值函数直线交两点中点图示
极值点没偏移
类问题年高考种模考作热点压轴题形式出学生类问题常束手策类问题变化样题型含参数更题型含参数含参数解决？含参数该解决参数处理？否更方便方法解决？实处理手段方法先类问题基特征典型问题逐探索
问题特征
处理策略
含参数问题
例1（2010天津理）已知函数 果
证明：
解析法：易单调递增单调递减时时 函
数处取极值图示
妨设必
构造函数
单调递增恒成立
单调递减
证
法二：欲证证法知单调递减需证
证构造函数等价证明恒成立
单调递增已证明恒成立原等式成立
法三：化简…
妨设法知令代入式反解出证：证：等价证明：…
构造函数
单调递增单调递增证式成立原等式成立
法四：法三中式两边时取底数
令欲证：等价证明：…
构造
令恒成立单调递增单调递增洛塔法知：证证式成立原等式成立
点评四种方法均实现双变元等式转化单变元等式方法二利构造新函数达消元目方法三四利构造新变元两旧变元换成新变元表示达消元目
二 含参数问题
例2已知函数两零点求证：
解析思路1：函数两零点等价方程两实根问题例1完全等价例1四种方法全
思路2：利参数媒介构造出新函数解答：
函数两零点
：
证明证明
：
证：
妨设记
证明：
次换元令证
构造新函数
求导递增
原等式获证
点评含参数极值点偏移问题原两变元基础参数思路然会想：想切办法消参数转化成含参数问题解决者参数媒介构造出变元新函数
例3已知函数常数函数两零点
试证明：
解析法：消参转化成参数问题：
方程两根方
程两根设问题等价转化成例1略
法二：利参数作媒介换元构造新函数：
妨设
∵∴
∴欲证明证
∵∴证
∴原命题等价证明证：令构造问题等价转化成例2中思路二解答略
法三：直接换元构造新函数：
设
反解出：
转化成法二略
例4设函数图轴交两点证明：
解析易知：取值范围单调递减单调递增
法：利通法构造新函数略
法二：旧变元转换成新变元：
∵两式相减：
记
设单调递减
∵递增函数∴
容易想错解程：
欲证：证：证证：然会想：两式相：证：考虑基等式证：取二元次等式意恒成立法错误
迷惑题什两式相减奏效变式相失败？两式相减思想基础什？题否效仿两式相减思路
解决题类似问题着深刻高等数学背景
拉格朗日中值定理：函数满足条件：
（1） 函数闭区间连续
（2） 函数开区间导少存点
时罗尔中值定理
述问题应罗尔中值定理
设函数图轴交两点
∴……
显然已知
充关系转化程中范围发生改变
例5（11年辽宁理）
已知函数
（I）讨单调性
（II）设证明：时
（III）函数图轴交两点线段中点横坐标证明：
解析（I）易：时单调递增时单调递增单调递减
（II）法：构造函数利函数单调性证明方法略
法二：构造元函数设函数解时 时
（III）（I）知时值函数会两零点妨设（II）：单调递减（I）知
问题进步探究
数均等式介绍证明
两正数数均定义：
数均算术均均关系：
（式记数均等式）
取等条件：仅时等号成立
证：时失般性设证明：
（I）先证：……
等式
构造函数时函数单调递减等式成立
（II）证：……
等式
构造函数时函数单调递增等式成立
综合（I）（II）知数均等式成立仅时等号成立
前面例题数均等式解决
例1（2010天津理）已知函数 果
证明：
解析法五：前述方法四利数均等式：证：秒证
说明：例2例3终等价转化成例1形式处数均等式方法省略
例4设函数图轴交两点证明：
解析法三：前述方法：等式两边取底数化简：数均等式知：证
∵ ∴
∴显然成立原问题证
例5（11年辽宁理）
已知函数
（I）讨单调性
（II）设证明：时
（III）函数图轴交两点线段中点横坐标证明：
解析（I）（II）略
（III）
证
根数均等等式显然成立原等式证
挑战年高考压轴题
（2016年新课标I卷理数压轴21题）已知函数两零点证明：
解析知单调递减单调递增函数两零点必须
法：构造部分称函数
妨设单调性知∵单调递减证：等价证明：
∵
∴构造函数单调性证处略
法二：参变分离构造差量函数
已知：难发现
整理：
设
时单调递减时单调递增．
设构造代数式：
设
单调递增．
意．
知单调区间妨设必
令
单调递增：
整理：．
法三：参变分离构造称函数
法二构造利单调性证处略
法四：构造加强函数
分析说明原函数称希构造关直线称函数时时结合图易证原等式成立
解答希构造函数单调递增单调递增构造出（意常数）希取达目设两零点结合图知：原等式证
法五：利数均等式
数均等式：
等价：
证毕
说明：谈谈方法思路困惑
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谓极值点偏移问题指单极值函数函数极值点左右增减速度函数图没称性函数处取极值函数直线交两点中点图示
极值点没偏移
类问题年高考种模考作热点压轴题形式出学生类问题常束手策类问题变化样题型含参数更题型含参数含参数解决？含参数该解决参数处理？否更方便方法解决？实处理手段方法先类问题基特征典型问题逐探索
问题特征
处理策略
含参数问题
例1（2010天津理）已知函数 果
证明：
解析法：易单调递增单调递减时时 函
数处取极值图示
妨设必
构造函数
单调递增恒成立
单调递减
证
法二：欲证证法知单调递减需证
证构造函数等价证明恒成立
单调递增已证明恒成立原等式成立
法三：化简…
妨设法知令代入式反解出证：证：等价证明：…
构造函数
单调递增单调递增证式成立原等式成立
法四：法三中式两边时取底数
令欲证：等价证明：…
构造
令恒成立单调递增单调递增洛塔法知：证证式成立原等式成立
点评四种方法均实现双变元等式转化单变元等式方法二利构造新函数达消元目方法三四利构造新变元两旧变元换成新变元表示达消元目
二 含参数问题
例2已知函数两零点求证：
解析思路1：函数两零点等价方程两实根问题例1完全等价例1四种方法全
思路2：利参数媒介构造出新函数解答：
函数两零点
：
证明证明
：
证：
妨设记
证明：
次换元令证
构造新函数
求导递增
原等式获证
点评含参数极值点偏移问题原两变元基础参数思路然会想：想切办法消参数转化成含参数问题解决者参数媒介构造出变元新函数
例3已知函数常数函数两零点
试证明：
解析法：消参转化成参数问题：
方程两根方
程两根设问题等价转化成例1略
法二：利参数作媒介换元构造新函数：
妨设
∵∴
∴欲证明证
∵∴证
∴原命题等价证明证：令构造问题等价转化成例2中思路二解答略
法三：直接换元构造新函数：
设
反解出：
转化成法二略
例4设函数图轴交两点证明：
解析易知：取值范围单调递减单调递增
法：利通法构造新函数略
法二：旧变元转换成新变元：
∵两式相减：
记
设单调递减
∵递增函数∴
容易想错解程：
欲证：证：证证：然会想：两式相：证：考虑基等式证：取二元次等式意恒成立法错误
迷惑题什两式相减奏效变式相失败？两式相减思想基础什？题否效仿两式相减思路
解决题类似问题着深刻高等数学背景
拉格朗日中值定理：函数满足条件：
（1） 函数闭区间连续
（2） 函数开区间导少存点
时罗尔中值定理
述问题应罗尔中值定理
设函数图轴交两点
∴……
显然已知
充关系转化程中范围发生改变
例5（11年辽宁理）
已知函数
（I）讨单调性
（II）设证明：时
（III）函数图轴交两点线段中点横坐标证明：
解析（I）易：时单调递增时单调递增单调递减
（II）法：构造函数利函数单调性证明方法略
法二：构造元函数设函数解时 时
（III）（I）知时值函数会两零点妨设（II）：单调递减（I）知
问题进步探究
数均等式介绍证明
两正数数均定义：
数均算术均均关系：
（式记数均等式）
取等条件：仅时等号成立
证：时失般性设证明：
（I）先证：……
等式
构造函数时函数单调递减等式成立
（II）证：……
等式
构造函数时函数单调递增等式成立
综合（I）（II）知数均等式成立仅时等号成立
前面例题数均等式解决
例1（2010天津理）已知函数 果
证明：
解析法五：前述方法四利数均等式：证：秒证
说明：例2例3终等价转化成例1形式处数均等式方法省略
例4设函数图轴交两点证明：
解析法三：前述方法：等式两边取底数化简：数均等式知：证
∵ ∴
∴显然成立原问题证
例5（11年辽宁理）
已知函数
（I）讨单调性
（II）设证明：时
（III）函数图轴交两点线段中点横坐标证明：
解析（I）（II）略
（III）
证
根数均等等式显然成立原等式证
挑战年高考压轴题
（2016年新课标I卷理数压轴21题）已知函数两零点证明：
解析知单调递减单调递增函数两零点必须
法：构造部分称函数
妨设单调性知∵单调递减证：等价证明：
∵
∴构造函数单调性证处略
法二：参变分离构造差量函数
已知：难发现
整理：
设
时单调递减时单调递增．
设构造代数式：
设
单调递增．
意．
知单调区间妨设必
令
单调递增：
整理：．
法三：参变分离构造称函数
法二构造利单调性证处略
法四：构造加强函数
分析说明原函数称希构造关直线称函数时时结合图易证原等式成立
解答希构造函数单调递增单调递增构造出（意常数）希取达目设两零点结合图知：原等式证
法五：利数均等式
数均等式：
等价：
证毕
说明：谈谈方法思路困惑
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