2021年中考数学：专题复
特殊四边形专题（较难）
．选择题
1．图▱ABCD中AB＝6AD＝8△ACD角线AC折叠△ACEAEBC交点F列说法正确（ ）
A．∠B＝90°时EF＝2
B．F恰BC中点时▱ABCD面积12
C．折叠程中△ABF周长△CEF2倍
D．AE⊥BC时连接BE四边形ABEC菱形
2．图E正方形ABCD边CD点连接BEAC．EC＝12∠ABE＝3∠ACBAB＝（ ）
A． B． C． D．
3．图点AB函数y＝（x＞0k＞0k常数）图象点A点B左侧点A作AM⊥x轴垂足M点B作BN⊥y轴垂足NAMBN交点C连接ABMN．△CMN△ABC面积分14k值（ ）
A．4 B．4 C． D．6
4．图分Rt△ABC斜边AB直角边AC边外作等边△ABD△ACEFAB中点DEAB相交点G．连接EF∠BAC＝30°列结：①EF⊥AC②四边形ADFE菱形③AD＝4AG④△DBF≌△EFA．正确结序号（ ）
A．①③ B．②④ C．①③④ D．②③④
5．图正方形ABCD中AB＝4E边BC中点PBD动点PC+PE值（ ）
A． B． C． D．
6．已知点M行四边形ABCD点（含边界）设∠MAD＝θ1∠MBA＝θ2∠MCB＝θ3∠MDC＝θ4．∠AMB＝110°∠CMD＝90°∠BCD＝60°．（ ）
A．θ1+θ4﹣θ2﹣θ3＝10° B．θ2+θ4﹣θ1﹣θ3＝30°
C．θ1+θ4﹣θ2﹣θ3＝30° D．θ2+θ4﹣θ1﹣θ3＝40°
7．图点P矩形ABCD角线AC点点P作EF∥BC分交ABCDEF连接PBPD．AE＝2PF＝8．图中阴影部分面积（ ）
A．10 B．12 C．16 D．18
8．矩形ABCD矩形CEFG图放置点BCE线点CDG线连接AF取AF中点H连接GH．BC＝EF＝3CD＝CE＝1GH＝（ ）
A． B． C．2 D．
二．填空题
9．图▱ABCD面积32EF分ABAD中点△CEF面积 ．
10．图正方形ABCD边长4E边AD动点连接BECECE边右侧作正方形CEFG．
（1）BE＝5正方形CEFG面积
（2）连接DFDG△DFG面积值 ．
11．图菱形ABCD边长2点EF分边ADCD两动点满足AE+CF＝BD＝2设△BEF面积SS取值范围 ．
12．图四边形ABCD中AB＝2CD＝6EFM分边BCAD角线BD中点．连接EFFMFM＝ 线段EF值 ．
13．图矩形ABCD中AB＝5AD＝7连接BD线段BD绕点D逆时针方旋转90°线段DQ．BC边取点PBP＝2连接PQ交DC延长线点E线段DE长 ．
14．三角形ABC中点DEF分BCABAC中点AH⊥BC点H∠DEF＝50°∠CFH＝ ．
15．图张三角形纸片中∠C＝90°∠A＝30°BC＝3纸片裁出矩形求裁出矩形四顶点三角形边面积2该矩形周长值＝ ．
16．已知：图△ABC中∠ACB＝60°AC＝3BC＝5分ABAC边外侧作等边三角形ABM等边三角形ACN连接MNDEFG分MBBCCNMN中点四边形DEFG周长 ．
17．图七边形ABCDEFG中ABED延长线相交O点．图中∠1∠2∠3∠4外角角度220°∠BOD度数 ．
18．直线y＝a分直线y＝x双曲线y＝交DA两点点AD分作x轴垂线段垂足点BC．四边形ABCD正方形a值 ．
19．图矩形ABCD中ECD点FAB点分AECF折叠DB两点刚落矩形点P∠APC＝120°AB：AD＝ ．
20．图矩形ABCD中点GAD中点GE⊥CG交ABEBE＝BC连接CE交BGF∠BFC等 ．
三．解答题
21．图①已知正方形ABCD中EF分边ADCD点（点EF端点重合）AE＝DFBEAF交点P点C作CH⊥BE交BE点H．
（1）求证：AF∥CH．
（2）AB＝2AE＝2试求线段PH长．
（3）图②连接CP延长交AD点Q点HBP中点试求值．
22．图矩形ABCD中已知AB＝4BC＝2EAB中点设点P∠DAB分线动点（点A重合）．
（1）证明：PD＝PE．
（2）连接PC求PC值．
（3）设点O矩形ABCD称中心否存点P∠DPO＝90°？存请直接写出AP长．
23．k值相时正例函数y＝x反例函数y＝做关联函数．
（1）图k＞0两函数图象交点分AB求点AB坐标（k表示）
（2）k＝1点P函数y＝第象限图象动点（点PB重合）设点P坐标（m）中m＞0m≠2．作直线PAPB分x轴交点CD△PCD等腰三角形请说明理
（3）（2）基础否存点P△PCD直角三角形？存请求出点P坐标存请说明理．
24．图矩形ABCD中BC＞ABEAD点△ABEBE折叠点A恰落线段CE点F处．
（1）求证：CF＝DE．
（2）设＝m．
①m＝试求∠ABE度数
②设＝k试求mk满足关系．
25．图正方形ABCD中G角线BD动点连接AGG作GE⊥CDGF⊥BCEF分垂足
（1）求证：GE+GF＝AB
（2）①写出GEGFAG三条线段满足等量关系证明
②求AB＝6AG＝时BG长．
26．图E正方形ABCD角线BD动点（BD两点重合）连接AE作EF⊥AEE交直线CBF．
（1）图1点F线段CB时通观察测量猜想△AEF形状证明猜想
（2）图2点F线段CB延长线时条件变（1）中结成立？成立请出证明成立请说明理
（3）AE△ABD面积分成1：2两部分求AF：CF值．
27．图正方形ABCD中角线AC点E连接BE作EF⊥BE交AD点F．点E作直线CD称点G连接CGDGEG．
（1）求证：△BEC≌△DGC
（2）求证：四边形FEGD行四边形
（3）AB＝4▱FEGD成菱形？果时CE长果请说明理．
28．矩形ABCD中AB＝3BC＝4．点EF角线AC点MN分边ADBC．
（1）图1AE＝CF＝1MN分ADBC中点．求证：四边形EMFN矩形．
（2）图2AE＝CF＝05AM＝CN＝x（0＜x＜2）四边形EMFN矩形求x值．
29．图行四边形ABCD中点EAC点点E点F关CD称．
（1）ED∥CF
①求证：四边形ECFD菱形．
②点EAC中点求证：AD＝EF．
（2）连接BDBEBF四边形ABCD正方形△BDF直角三角形求值．
30．（1）图1矩形纸片ABCD着EF折叠CE交AF点G点G作GH∥EF交线段BE点H．
①判断EGEH否相等说明理．
②判断GH否分∠AGE说明理．
（2）图2果（1）中已知条件改折叠三角形纸片ABC条件变．
①判断EGEH否相等说明理．
②判断GH否分∠AGE果分请说明理果分请等式表示∠EGH∠AGH∠C数量关系说明理．
参考答案
．选择题
1．解：A图1中
∵∠B＝90°四边形ABCD行四边形
∴四边形ABCD矩形
∴AD∥BC
∴∠DAC＝∠ACB
∵∠DAC＝∠CAE
∴∠ACF＝∠CAF
∴AF＝CF设AF＝CF＝x
Rt△ABF中x2＝62+（8﹣x）2
解x＝
∴EF＝8﹣＝选项A符合题意．
B图2中
BF＝CF时
∵AF＝CF＝BF
∴∠BAC＝90°
∴AC＝＝＝2
∴S行四边形ABCD＝AB•AC＝6×2＝12选项B符合题意．
C折叠程中△ABF△EFC周长相等选项C符合题意．
D图3中
AE⊥BC时四边形ABEC等腰梯形选项D符合题意．
选：B．
2．解：图ACBE交点F
∵四边形ABCD正方形
∴∠ACB＝∠BAC＝45°
∵2∠ABE＝3∠ACB
∴∠ABE＝＝675°
∴∠AFB＝180°﹣∠ABF﹣∠BAC＝180°﹣675°﹣45°＝675°
∴∠ABE＝∠AFB
∴AB＝AF
∵AB∥CE
∴∠ABF＝∠CEF＝675°
∵∠CFE＝∠AFB＝675°
∴∠CFE＝∠CEF
∴CE＝CF
设AB＝xAC＝x+1Rt△ABC中AC＝
∴x+1＝
解x＝+1
选：B．
3．解：设点M（a0）N（0b）
∵AM⊥x轴点A反例函数y＝（x＞0k＞0k常数）图象
∴点A坐标（a）
BN⊥y轴理：B（b）
点C（ab）
s△CMN＝＝ab＝1
∴ab＝2
∵AC＝BC＝
＝＝4
ab＝2
（k﹣2）2＝16
解：k＝6k＝﹣2（舍）
选：D．
4．解：连接FC图示：
∵∠ACB＝90°FAB中点
∴FA＝FB＝FC
∵△ACE等边三角形
∴EA＝EC
∵FA＝FCEA＝EC
∴点F点E线段AC垂直分线
∴EF垂直分ACEF⊥AC
∵△ABD△ACE等边三角形FAB中点
∴DF⊥AB∠DFA＝90°BD＝DA＝AB＝2AF∠DBA＝∠DAB＝∠EAC＝∠ACE＝60°．
∵∠BAC＝30°
∴∠DAC＝∠EAF＝90°
∴∠DFA＝∠EAF＝90°DA⊥AC
∴DF∥AEDA∥EF
∴四边形ADFE行四边形菱形
∵四边形ADFE行四边形
∴DA＝EFAF＝2AG
∴BD＝DA＝EFDA＝AB＝2AF＝4AG
△DBF△EFA中
∴△DBF≌△EFA（SAS）
综述：①③④正确
选：C．
5．解：∵四边形ABCD正方形
∴点A点C关BD称BC＝AB＝4
∵E边BC中点
∴BE＝BC＝2
连接AE交BDP时PC+PE值
PC+PE值＝AE
∵AE＝＝＝2
∴PC+PE值2
选：A．
6．解：∵四边形ABCD行四边形
∴∠BAD＝∠BCD＝60°
∴∠BAM＝60°﹣θ1∠DCM＝60°﹣θ3
∴△ABM中60°﹣θ1+θ2+110°＝180°θ2﹣θ1＝10°①
△DCM中60°﹣θ3+θ4+90°＝180°θ4﹣θ3＝30°②
②+①（θ4﹣θ3）+（θ2﹣θ1）＝40°
θ2+θ4﹣θ1﹣θ3＝40°
选：D．
7．解：作PM⊥ADM交BCN．
四边形AEPM四边形DFPM四边形CFPN四边形BEPN矩形
∴S△ADC＝S△ABCS△AMP＝S△AEPS△PBE＝S△PBNS△PFD＝S△PDMS△PFC＝S△PCN
∴S△DFP＝S△PBE＝×2×8＝8
∴S阴＝8+8＝16
（题证明两阴影部分面积相等解决问题）
选：C．
8．解：延长GH交ADM点图示：
∵四边形ABCD四边形CEFG矩形
∴CD＝CE＝FG＝1BC＝EF＝CG＝3BE∥AD∥FG
∴DG＝CG﹣CD＝3﹣1＝2∠HAM＝∠HFG
∵AF中点H
∴AH＝FH
△AMH△FGH中
∴△AMH≌△FGH（ASA）．
∴AM＝FG＝1MH＝GH
∴MD＝AD﹣AM＝3﹣1＝2
Rt△MDG中GM＝＝＝2
∴GH＝GM＝
选：A．
二．填空题（12题）
9．解：连接ACDEBD图：
∵EAB中点
∴S△BCE＝S△ABC＝S行四边形ABCD＝8
理：S△CDF＝8
∵FAD中点
∴SAEF＝S△AED＝S△ABD＝S行四边形ABCD＝4
∴S△CEF＝S行四边形ABCD﹣S△AEF﹣S△BCE﹣S△CDF＝32﹣8﹣8﹣4＝12
答案：12．
10．解：（1）∵四边形ABCD正方形
∴AB＝AD＝4∠A＝∠ADC＝90°
∵BE＝5
∴AE＝＝＝3
∴DE＝AD﹣AE＝4﹣3＝1
∴EC2＝DE2+CD2＝12+42＝17
∴正方形CEFG面积＝EC2＝17．
答案17．
（2）连接DFDG．设DE＝xCE＝
∵S△DEC+S△DFG＝S正方形ECGF
∴S△DFG＝（x2+16）﹣×x×4＝x2﹣2x+8＝（x﹣2）2+6
∵＞0
∴x＝2时△DFG面积值6．
答案6．
11．解：∵菱形ABCD边长2BD＝2
∴△ABD△BCD正三角形
∴∠BDE＝∠BCF＝60°BD＝BC
∵AE+DE＝AD＝2AE+CF＝2
∴DE＝CF
∴△BDE≌△BCF（SAS）
∴∠DBE＝∠CBFBE＝BF
∵∠DBC＝∠DBF+∠CBF＝60°
∴∠DBF+∠DBE＝60°∠EBF＝60°
∴△BEF正三角形
设BE＝BF＝EF＝x
S＝•x•x•sin60°＝x2
BE⊥AD时x＝2×sin60°＝
∴S＝×（）2＝
BEAB重合时x＝2
∴S＝×22＝
∴≤S≤．
答案：≤S≤．
12．解：连接EM
∵EFM分边BCAD角线BD中点
∴FM＝EM＝
EF＝EM+MF时线段EFEF＝1+3＝4
答案：14．
13．解：图点Q作QH⊥CD点H
∵四边形ABCD矩形
∴AB＝CD＝5AD＝BC＝7
∵BP＝2
∴CP＝5
∵线段BD绕点D逆时针方旋转90°线段DQ
∴BD＝DQ∠BDQ＝90°
∴∠BDC+∠QDC＝90°∠BDC+∠DBC＝90°
∴∠QDC＝∠DBCBD＝DQ∠BCD＝∠DHQ＝90°
∴△BDC≌△DQH（AAS）
∴DC＝HQ＝5BC＝DH＝7
∴CH＝DH﹣CD＝2
∵CP＝HQ＝5∠PEC＝∠QEH∠PCE＝∠QHE
∴△PCE≌△QHE（AAS）
∴CE＝EHCH＝2
∴CE＝EH＝1
∴DE＝DC+CE＝5+1＝6
答案：6．
14．解：∵点DEF分BCABAC中点
∴EF∥BCDE∥AC（三角形中位线性质）
∵EF∥BC∠DEF＝50°
∴∠DEF＝∠EDB＝50°（两直线行错角相等）
∵DE∥AC
∴∠EDB＝∠FCH＝50°（两直线行位角相等）
∵AH⊥BC
∴△AHC直角三角形
∵HF斜边中线
∴HF＝AC＝FC
∴∠FHC＝∠FCH＝50°．
∴∠CFH＝180°﹣50°﹣50°＝80°
答案：80°．
15．解：①矩形中边AC时图1示：
设CE＝xBE＝3﹣x
∵∠A＝30°∠C＝90°
∴DE＝（3﹣x）
∴S矩形DECF＝CE•DE＝x（3﹣x）＝2
整理：x2﹣3x+2＝0解x1＝1x2＝2
x＝1时该矩形周长＝（CE+DE）×2＝（1+2）×2＝4+2
x＝2时该矩形周长＝（CE+DE）×2＝2+4
∵（4+2）﹣（2+4）＝2﹣2＝2（﹣1）＞0
∴矩形周长值2+4
②矩形中边AB时图2示：
设CF＝xBF＝3﹣x
∵∠A＝30°∠C＝90°
∴FG＝2xEF＝（3﹣x）
∴S矩形DECF＝FG•EF＝2x•（3﹣x）＝2
整理：x2﹣3x+2＝0解x1＝1x2＝2
（1）结果致
综述：矩形周长值2+4．
答案：2+4．
16．解：连接BNCM作NP⊥BCP图示：
∵△ABM△ACN等边三角形
∴AB＝AMAN＝AC＝CN＝3∠BAM＝∠CAN＝∠ACN＝60°
∴∠BAM+∠BAC＝∠CAN+∠BAC
∠CAM＝∠NAB
△CAM△NAB中
∴△CAM≌△NAB（SAS）
∴CM＝NB
∵DEFG分MBBCCNMN中点
∴DG△BMN中位线EF△BCN中位线DE△BCM中位线
∴DG∥BNDG＝BNEF∥BNEF＝BNDE＝CM
∴DG∥EFDG＝EFDG＝DE
∴四边形DEFG行四边形
∵DG＝DE
∴四边形DEFG菱形
∴DE＝DG＝EF＝FG＝BN
∵∠BAC＝60°
∴∠NCP＝180°﹣∠ACB﹣∠ACN＝60°
∵NP⊥BC
∴∠CNP＝90°﹣60°＝30°
∴PC＝CN＝PN＝PC＝
∴BP＝BC+PC＝5+＝
∴BN＝＝＝7
∴DE＝DG＝EF＝FG＝BN＝
∴四边形DEFG周长＝4×＝14
答案：14．
17．解：
∵∠1∠2∠3∠4外角角度220°
∴∠1+∠2+∠3+∠4+220°＝4×180°
∴∠1+∠2+∠3+∠4＝500°
∵五边形OAGFE角＝（5﹣2）×180°＝540°
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠BOD＝540°
∴∠BOD＝540°﹣500°＝40°
答案：40°．
18．解：∵直线y＝a分直线y＝x双曲线y＝交点DA
∴A（a）D（2aa）
直线x轴正半轴时
∵四边形ABCD正方形
∴AB＝AD2a﹣＝a解a＝﹣1a＝1．
直线x轴负半轴时
理2a﹣＝﹣a解a＝±．
答案：±1±．
19．解：图设AD＝BC＝x．点P作PH⊥ACH．
翻折性质知PA＝PC＝BC＝x
∵∠APC＝120°PH⊥AC
∴AH＝CH∠APH＝∠CPH＝60°
∴AC＝2AH＝2•PA•sin60°＝x
∵四边形ABCD矩形
∴∠D＝90°
∴CD＝AB＝＝＝x
∴＝＝
答案：1．
20．解：∵BE＝BC∠ABC＝90°
∴△BCE等腰直角三角形
∴∠BCE＝∠BEC＝45°
∵GE⊥CG
∴∠AGE+∠CGD＝90°
∵∠DCG+∠CGD＝90°
∴∠AGE＝∠DCG
∵∠A＝∠D＝90°
∴△AGE∽△DCG
∴
∵GAD中点
∴AG＝DG
∴
∵∠D＝∠CGE＝90°
∴△CDG∽△CGE
∴∠DCG＝∠GCE＝（90°﹣45°）＝225°
∵GAD中点
∴矩形称性知∠ABG＝∠DCG＝225°
三角形外角性质∠BFC＝∠ABG+∠BEC＝225°+45°＝675°．
答案：675°．
三．解答题（10题）
21．（1）证明：正方形ABCD中AB＝DA∠EAB＝∠D＝90°
∵AE＝DF
∴△ABE≌△DAF（SAS）
∴∠ABE＝∠DAF
∵∠DAF+∠FAB＝∠EAB＝90°
∴∠ABE+∠FAB＝90°
∴∠APB＝90°
∴AF⊥BE
∵CH⊥BE
∴AF∥CH
（2）解：正方形ABCD中∠EAB＝90°AB＝2AE＝2
∴BE＝＝＝4
∵S△ABE＝AB•AE＝BE•AP
∴AP＝＝
Rt△ABP中BP＝＝＝3
∵∠APB＝∠ABC＝90°
∴∠ABP+∠HBC＝90°∠HCB+∠HBC＝90°
∴∠ABP＝∠HCB
∵CH⊥BE
∴∠HCB＝90°
∵AB＝BC
∴△ABP≌△BCH（AAS）
∴BH＝AP＝
∴PH＝BP﹣BH＝BP﹣AP＝3﹣．
（3）解：正方形ABCD中AB＝BCAD∥BC
∵CH⊥BPPH＝BH
∴CP＝BC
∴∠CBP＝∠CPB
∵∠CPB＝∠QPE∠CBP＝∠QEP
∴∠QPE＝∠QEP
Rt△APE中∠QAP＝∠QPA
∴QE＝QP＝QA
四边形QABC中设QP＝aCP＝b
AB＝BC＝bAQ＝aQC＝a+b
∵DC2+DQ2＝CQ2
∴b2+（b﹣a）2＝（a+b）2
∴b2＝4ab
b＝4a
∴＝4．
22．（1）证明：∵四边形ABCD矩形
∴∠DAB＝90°
∵AP分∠DAB
∴∠DAP＝∠EAP＝45°
△DAP△EAP中
∴△DAP≌△EAP（SAS）
∴PD＝PE
（2）解：图1作CP′⊥AP′P′
P′C
∵AB∥CD
∴∠DFA＝∠EAP
∵∠DAP＝∠EAP
∴∠DAP＝∠DFA＝45°
∴FC＝DF＝AD＝2∠P′FC＝45°
∴P′C＝FC×＝
∴PC值
（3）解：图2∵DF＝FCOA＝OC
∴OF∥AD
∴∠DFO＝180°﹣∠ADF＝90°
∴点P点F重合时∠DPO＝90°时AP＝＝2
点PAF时作PG⊥ADGPH⊥ABH
∵AP分∠DABPG⊥ADPH⊥AB
∴PG＝PH
设PG＝PH＝a
勾股定理DP2＝（2﹣a）2+a2OP2＝（2﹣a）2+（1﹣a）2OD2＝5
∠DPO＝90°时DP2+OP2＝OD2（2﹣a）2+a2+（2﹣a）2+（1﹣a）2＝5
解a1＝2（舍）a2＝
a＝时AP＝
综述∠DPO＝90°时AP＝2．
23．解：（1）∵两函数图象交点分AB
∴
∴x2＝k2
∴x＝±k
∴点A坐标（﹣k﹣1）点B坐标（k1）
（2）∵k＝1
∴点A坐标（﹣1﹣1）点B坐标（11）
∵点P坐标（m）
∴直线PA解析式：y＝+
y＝0时x＝m﹣1
∴点C（m﹣10）
理求直线PB解析式：y＝﹣x+
y＝0时x＝m+1
∴点D（m+10）
∴PD＝＝
PC＝＝
∴PC＝PD
∴△PCD等腰三角形
（3）图点P作PH⊥CDH
∵△PCD直角三角形PH⊥CD
∴CD＝2PH
∴m+1﹣（m﹣1）＝2×
∴m＝1
∴点P（11）
∵点B（11）点P函数y＝第象限图象动点（点PB重合）
∴存点P△PCD直角三角形．
24．（1）证明：折叠性质知∠BEA＝∠BEF
∵AD∥BC
∴∠BEA＝∠EBC∠BCF＝∠CED
∴∠BEF＝∠EBC
∴BC＝CE
∵∠BFC＝∠D＝90°
∴△BFC≌△CDE（AAS）
∴CF＝DE．
（2）解：①翻折知BA＝BF∠BFE＝∠A＝90°
Rt△BFC中sin∠BCF＝＝＝＝
∴∠BCF＝60°
∴∠CBF＝30°
∵∠ABC＝90°
∴∠ABF＝90°﹣30°＝60°
∵∠ABE＝∠FBE
∴∠ABE＝∠ABF＝30°．
②∵＝k＝m
∴AE＝kADAB＝mAD
∴DE＝AD﹣AE＝AD（1﹣k）
Rt△CED中CE2＝CD2+DE2AD2＝（mAD）2+[AD（1﹣k）]2
整理m2＝2k﹣k2．
25．证明：（1）∵四边形ABCD正方形
∴∠BCD＝90°∠ABD＝∠CDB＝∠CBD＝45°AB＝BC＝CD
∴△ABD等腰直角三角形
∴AB＝BD
∵GE⊥CDGF⊥BC
∴△DGE△BGF等腰直角三角形
∴GE＝DGGF＝BG
∴GE+GF＝（DG+BG）＝BD
∴GE+GF＝AB
（2）解：GE2+GF2＝AG2理：
连接CG图示：
△ABG△CBG中
∴△ABG≌△CBG（SAS）
∴AG＝CG
∵GE⊥CDGF⊥BC∠BCD＝90°
∴四边形EGFC矩形
∴CE＝GF
∴GE2+CE2＝CG2
∴GE2+GF2＝AG2
设GE＝x＝CFGF＝6﹣x＝BF
勾股定理：x2+（6﹣x）2＝（）2
∴x＝1x＝5
x＝1时
∴BF＝GF＝5
∴BG＝＝＝5
x＝5时
∴BF＝GF＝1
∴BG＝＝＝
26．解：（1）△AEF等腰直角三角形理：
点E作直线MN∥AB交ADM交BCN图1示：
∵四边形ABCD正方形BD角线MN∥AB
∴四边形ABNM四边形MNCD矩形△NEB△MDE等腰直角三角形
∴AM＝BN∠AME＝∠ENF＝90°EN＝BN
∴AM＝EN
∵EF⊥AE
∴∠AEM+∠FEN＝∠AEM+∠EAM＝90°
∴∠EAM＝∠FEN
△AME△ENF中
∴△AME≌△ENF（ASA）
∴AE＝EF
∵AE⊥EF
∴△AEF等腰直角三角形
（2）（1）中结成立理：
点E作直线MN∥DC交ADM交BCN图2示：
（1）理：AM＝BN＝EN∠EAM＝∠FEN
∵∠AME＝∠ENF＝90°
△AME△ENF中
∴△AME≌△ENF（ASA）
∴AE＝EF
∵AE⊥EF
∴△AEF等腰直角三角形
（3）分两种情况：
①△ADE面积：△ABE面积＝1：2时图1示：
BE＝2DE
设正方形ABCD边长3aBD＝3a
（1）：AE＝EFME＝NFDM＝CN△AEF△NEB△MDE等腰直角三角形
∴AF＝AEBE＝BN＝2aDE＝ME＝a
∴AM＝BN＝2aCN＝NF＝DM＝ME＝a
∴CF＝NF+CN＝2aAE＝＝＝a
∴AF＝AE＝a
∴＝＝
②△ADE面积：△ABE面积＝2：1时图2示：
DE＝2BE
设正方形ABCD边长3aBD＝3a
（1）：AF＝AEBE＝BN＝aDE＝ME＝2a
∴AM＝BN＝aCN＝NF＝DM＝ME＝2a
∴CF＝NF+CN＝4aAE＝＝＝a
∴AF＝AE＝a
∴＝＝
综述AE△ABD面积分成1：2两部分
AF：CF值．
27．（1）证明：∵四边形ABCD正方形
∴BC＝CD∠BCA＝∠DCA＝45°AD∥DC
∵点E点G关直线CD称
∴EC＝GC∠DCG＝∠DCA＝45°EG⊥CD
∴∠BCE＝∠DCG
△BEC△DGC中
∴△BEC≌△DGC（SAS）
（2）证明：∵EG⊥CDAD⊥DCAD∥BC
∴EG∥DF∥BC
∴∠EGC＝∠GEC＝∠ACB＝45°
∴∠DGE＝∠DGC﹣45°
∵BE⊥EF
∴∠FEG＝360°﹣90°﹣45°﹣∠BEC＝225°﹣∠BEC
∵△BEC≌△DGC
∴∠DGC＝∠BEC
∴∠DGE+∠FEG＝∠DGC﹣45°+225°﹣∠BEC＝180°
∴EF∥DG
∴四边形FEGD行四边形
（3）解：E作MN⊥ADNMN⊥BCM图示：
∠EBM+∠BEM＝90°
∵EF⊥BE
∴∠BEM+∠FEN＝90°
∴∠EBM＝∠FEN
∵BM＝ANAN＝EN
∴BM＝EN
△BME△ENF中
∴△BME≌△ENF（ASA）
∴BE＝EF
∵四边形ABCD正方形
∴BD关AC称
∴BE＝DE
∴DE＝EF
四边形GD菱形时DF＝EF
∴△DEF等边三角形
∴∠EBM＝∠FEN＝∠FED＝30°
设CM＝xEM＝x
∵∠EBM＝30°
∴BM＝x
∵四边形ABCD正方形AB＝4
∴BC＝BM+EM＝（+1）x＝4
解：x＝2（﹣1）
∴CE＝x＝2﹣2．
28．（1）证明：连接MN图1示：
∵四边形ABCD矩形
∴AD∥BCAD＝BC∠B＝90°
∴∠EAM＝∠FCNAC＝＝＝5
∵MN分ADBC中点
∴AM＝DM＝BN＝CNAM∥BN
∴四边形ABNM行四边形
∵∠B＝90°
∴四边形ABNM矩形
∴MN＝AB＝3
△AME△CNF中
∴△AME≌△CNF（SAS）
∴EM＝FN∠AEM＝∠CFN
∴∠MEF＝∠NFE
∴EM∥FN
∴四边形EMFN行四边形
∵AE＝CF＝1
∴EF＝AC﹣AE﹣CF＝3
∴MN＝EF
∴四边形EMFN矩形．
（2）解：连接MN作MH⊥BCH图2示：
四边形ABHM矩形
∴MH＝AB＝3BH＝AM＝x
∴HN＝BC﹣BH﹣CN＝4﹣2x
∵四边形EMFN矩形AE＝CF＝05
∴MN＝EF＝AC﹣AE﹣CF＝4
Rt△MHN中勾股定理：32+（4﹣2x）2＝42
解：x＝2±
∵0＜x＜2
∴x＝2﹣．
29．（1）证明：①解图1
∵点E点F关CD称．
∴DE＝DFCE＝CFOE＝OFCD⊥EF
∴∠ECO＝∠FCO
∵ED∥CF
∴∠FCO＝∠EDO
∴∠ECO＝∠EDO
∴DE＝EC
∴DE＝DE＝EC＝CF
∴四边形ECFD菱形．
②①四边形ECFD菱形
∴EO＝OF＝OD＝OC
∵AE＝EC
∴OF＝．
∴AD＝EF
（2）解：四边形ABCD正方形△BDF直角三角形情况：
Ⅰ．第种情况：∠BFD＝90°时EFC三点重合BF＝BE．
Ⅱ．第二种情况：∠BDF＝90°时解2
∵四边形ABCD正方形
∴∠BDC＝∠DBC＝45°BE＝DE
∴∠FDC＝45°
∵E点F关CD称
∴∠EDC＝45°EACBD交点EF⊥CD
∴EF∥BC
∴∠DEF＝∠BDC＝45°
∴△EFD等腰直角三角形
∴DF＝DE＝BE
Rt△BDF中BF＝＝
∴＝．
Ⅲ．点EAC点∠DBF＝90°存．
综述：四边形ABCD正方形△BDF直角三角形值1．
30．解：（1）①EG＝EH
理：
图
∵四边形ABCD矩形
∴AD∥BC
∴AF∥BEGH∥EF
∴四边形GHEF行四边形
∴∠GHE＝∠GFE
∵矩形纸片ABCD着EF折叠
∴∠1＝∠GEF
∵AF∥BEGH∥EF
∴∠1＝∠GFE∠HGE＝∠GEF
∴∠GEF＝∠HGE
∴∠GHE＝∠HGE
∴HE＝GE
②GH分∠AGE
理：
∵AF∥BE
∴∠AGH＝∠GHE∠GHE＝∠HGE
∴∠AGH＝∠HGE
∴GH分∠AGE
（2）①EG＝GH
理
图
∵△ABCEF折叠
∴∠CEF＝∠C＇EF∠C＝∠C＇
∵GH∥EF
∴∠GEF＝∠HGE∠FEC＇＝∠GHE
∴∠GHE＝∠HGE
∴EG＝EH
②∠AGH＝∠HGE+∠C
理：
∵∠AGH＝∠GHE+∠C＇
∴∠AGH＝∠HGE+∠C
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特殊四边形专题（较难）
．选择题
1．图▱ABCD中AB＝6AD＝8△ACD角线AC折叠△ACEAEBC交点F列说法正确（ ）
A．∠B＝90°时EF＝2
B．F恰BC中点时▱ABCD面积12
C．折叠程中△ABF周长△CEF2倍
D．AE⊥BC时连接BE四边形ABEC菱形
2．图E正方形ABCD边CD点连接BEAC．EC＝12∠ABE＝3∠ACBAB＝（ ）
A． B． C． D．
3．图点AB函数y＝（x＞0k＞0k常数）图象点A点B左侧点A作AM⊥x轴垂足M点B作BN⊥y轴垂足NAMBN交点C连接ABMN．△CMN△ABC面积分14k值（ ）
A．4 B．4 C． D．6
4．图分Rt△ABC斜边AB直角边AC边外作等边△ABD△ACEFAB中点DEAB相交点G．连接EF∠BAC＝30°列结：①EF⊥AC②四边形ADFE菱形③AD＝4AG④△DBF≌△EFA．正确结序号（ ）
A．①③ B．②④ C．①③④ D．②③④
5．图正方形ABCD中AB＝4E边BC中点PBD动点PC+PE值（ ）
A． B． C． D．
6．已知点M行四边形ABCD点（含边界）设∠MAD＝θ1∠MBA＝θ2∠MCB＝θ3∠MDC＝θ4．∠AMB＝110°∠CMD＝90°∠BCD＝60°．（ ）
A．θ1+θ4﹣θ2﹣θ3＝10° B．θ2+θ4﹣θ1﹣θ3＝30°
C．θ1+θ4﹣θ2﹣θ3＝30° D．θ2+θ4﹣θ1﹣θ3＝40°
7．图点P矩形ABCD角线AC点点P作EF∥BC分交ABCDEF连接PBPD．AE＝2PF＝8．图中阴影部分面积（ ）
A．10 B．12 C．16 D．18
8．矩形ABCD矩形CEFG图放置点BCE线点CDG线连接AF取AF中点H连接GH．BC＝EF＝3CD＝CE＝1GH＝（ ）
A． B． C．2 D．
二．填空题
9．图▱ABCD面积32EF分ABAD中点△CEF面积 ．
10．图正方形ABCD边长4E边AD动点连接BECECE边右侧作正方形CEFG．
（1）BE＝5正方形CEFG面积
（2）连接DFDG△DFG面积值 ．
11．图菱形ABCD边长2点EF分边ADCD两动点满足AE+CF＝BD＝2设△BEF面积SS取值范围 ．
12．图四边形ABCD中AB＝2CD＝6EFM分边BCAD角线BD中点．连接EFFMFM＝ 线段EF值 ．
13．图矩形ABCD中AB＝5AD＝7连接BD线段BD绕点D逆时针方旋转90°线段DQ．BC边取点PBP＝2连接PQ交DC延长线点E线段DE长 ．
14．三角形ABC中点DEF分BCABAC中点AH⊥BC点H∠DEF＝50°∠CFH＝ ．
15．图张三角形纸片中∠C＝90°∠A＝30°BC＝3纸片裁出矩形求裁出矩形四顶点三角形边面积2该矩形周长值＝ ．
16．已知：图△ABC中∠ACB＝60°AC＝3BC＝5分ABAC边外侧作等边三角形ABM等边三角形ACN连接MNDEFG分MBBCCNMN中点四边形DEFG周长 ．
17．图七边形ABCDEFG中ABED延长线相交O点．图中∠1∠2∠3∠4外角角度220°∠BOD度数 ．
18．直线y＝a分直线y＝x双曲线y＝交DA两点点AD分作x轴垂线段垂足点BC．四边形ABCD正方形a值 ．
19．图矩形ABCD中ECD点FAB点分AECF折叠DB两点刚落矩形点P∠APC＝120°AB：AD＝ ．
20．图矩形ABCD中点GAD中点GE⊥CG交ABEBE＝BC连接CE交BGF∠BFC等 ．
三．解答题
21．图①已知正方形ABCD中EF分边ADCD点（点EF端点重合）AE＝DFBEAF交点P点C作CH⊥BE交BE点H．
（1）求证：AF∥CH．
（2）AB＝2AE＝2试求线段PH长．
（3）图②连接CP延长交AD点Q点HBP中点试求值．
22．图矩形ABCD中已知AB＝4BC＝2EAB中点设点P∠DAB分线动点（点A重合）．
（1）证明：PD＝PE．
（2）连接PC求PC值．
（3）设点O矩形ABCD称中心否存点P∠DPO＝90°？存请直接写出AP长．
23．k值相时正例函数y＝x反例函数y＝做关联函数．
（1）图k＞0两函数图象交点分AB求点AB坐标（k表示）
（2）k＝1点P函数y＝第象限图象动点（点PB重合）设点P坐标（m）中m＞0m≠2．作直线PAPB分x轴交点CD△PCD等腰三角形请说明理
（3）（2）基础否存点P△PCD直角三角形？存请求出点P坐标存请说明理．
24．图矩形ABCD中BC＞ABEAD点△ABEBE折叠点A恰落线段CE点F处．
（1）求证：CF＝DE．
（2）设＝m．
①m＝试求∠ABE度数
②设＝k试求mk满足关系．
25．图正方形ABCD中G角线BD动点连接AGG作GE⊥CDGF⊥BCEF分垂足
（1）求证：GE+GF＝AB
（2）①写出GEGFAG三条线段满足等量关系证明
②求AB＝6AG＝时BG长．
26．图E正方形ABCD角线BD动点（BD两点重合）连接AE作EF⊥AEE交直线CBF．
（1）图1点F线段CB时通观察测量猜想△AEF形状证明猜想
（2）图2点F线段CB延长线时条件变（1）中结成立？成立请出证明成立请说明理
（3）AE△ABD面积分成1：2两部分求AF：CF值．
27．图正方形ABCD中角线AC点E连接BE作EF⊥BE交AD点F．点E作直线CD称点G连接CGDGEG．
（1）求证：△BEC≌△DGC
（2）求证：四边形FEGD行四边形
（3）AB＝4▱FEGD成菱形？果时CE长果请说明理．
28．矩形ABCD中AB＝3BC＝4．点EF角线AC点MN分边ADBC．
（1）图1AE＝CF＝1MN分ADBC中点．求证：四边形EMFN矩形．
（2）图2AE＝CF＝05AM＝CN＝x（0＜x＜2）四边形EMFN矩形求x值．
29．图行四边形ABCD中点EAC点点E点F关CD称．
（1）ED∥CF
①求证：四边形ECFD菱形．
②点EAC中点求证：AD＝EF．
（2）连接BDBEBF四边形ABCD正方形△BDF直角三角形求值．
30．（1）图1矩形纸片ABCD着EF折叠CE交AF点G点G作GH∥EF交线段BE点H．
①判断EGEH否相等说明理．
②判断GH否分∠AGE说明理．
（2）图2果（1）中已知条件改折叠三角形纸片ABC条件变．
①判断EGEH否相等说明理．
②判断GH否分∠AGE果分请说明理果分请等式表示∠EGH∠AGH∠C数量关系说明理．
参考答案
．选择题
1．解：A图1中
∵∠B＝90°四边形ABCD行四边形
∴四边形ABCD矩形
∴AD∥BC
∴∠DAC＝∠ACB
∵∠DAC＝∠CAE
∴∠ACF＝∠CAF
∴AF＝CF设AF＝CF＝x
Rt△ABF中x2＝62+（8﹣x）2
解x＝
∴EF＝8﹣＝选项A符合题意．
B图2中
BF＝CF时
∵AF＝CF＝BF
∴∠BAC＝90°
∴AC＝＝＝2
∴S行四边形ABCD＝AB•AC＝6×2＝12选项B符合题意．
C折叠程中△ABF△EFC周长相等选项C符合题意．
D图3中
AE⊥BC时四边形ABEC等腰梯形选项D符合题意．
选：B．
2．解：图ACBE交点F
∵四边形ABCD正方形
∴∠ACB＝∠BAC＝45°
∵2∠ABE＝3∠ACB
∴∠ABE＝＝675°
∴∠AFB＝180°﹣∠ABF﹣∠BAC＝180°﹣675°﹣45°＝675°
∴∠ABE＝∠AFB
∴AB＝AF
∵AB∥CE
∴∠ABF＝∠CEF＝675°
∵∠CFE＝∠AFB＝675°
∴∠CFE＝∠CEF
∴CE＝CF
设AB＝xAC＝x+1Rt△ABC中AC＝
∴x+1＝
解x＝+1
选：B．
3．解：设点M（a0）N（0b）
∵AM⊥x轴点A反例函数y＝（x＞0k＞0k常数）图象
∴点A坐标（a）
BN⊥y轴理：B（b）
点C（ab）
s△CMN＝＝ab＝1
∴ab＝2
∵AC＝BC＝
＝＝4
ab＝2
（k﹣2）2＝16
解：k＝6k＝﹣2（舍）
选：D．
4．解：连接FC图示：
∵∠ACB＝90°FAB中点
∴FA＝FB＝FC
∵△ACE等边三角形
∴EA＝EC
∵FA＝FCEA＝EC
∴点F点E线段AC垂直分线
∴EF垂直分ACEF⊥AC
∵△ABD△ACE等边三角形FAB中点
∴DF⊥AB∠DFA＝90°BD＝DA＝AB＝2AF∠DBA＝∠DAB＝∠EAC＝∠ACE＝60°．
∵∠BAC＝30°
∴∠DAC＝∠EAF＝90°
∴∠DFA＝∠EAF＝90°DA⊥AC
∴DF∥AEDA∥EF
∴四边形ADFE行四边形菱形
∵四边形ADFE行四边形
∴DA＝EFAF＝2AG
∴BD＝DA＝EFDA＝AB＝2AF＝4AG
△DBF△EFA中
∴△DBF≌△EFA（SAS）
综述：①③④正确
选：C．
5．解：∵四边形ABCD正方形
∴点A点C关BD称BC＝AB＝4
∵E边BC中点
∴BE＝BC＝2
连接AE交BDP时PC+PE值
PC+PE值＝AE
∵AE＝＝＝2
∴PC+PE值2
选：A．
6．解：∵四边形ABCD行四边形
∴∠BAD＝∠BCD＝60°
∴∠BAM＝60°﹣θ1∠DCM＝60°﹣θ3
∴△ABM中60°﹣θ1+θ2+110°＝180°θ2﹣θ1＝10°①
△DCM中60°﹣θ3+θ4+90°＝180°θ4﹣θ3＝30°②
②+①（θ4﹣θ3）+（θ2﹣θ1）＝40°
θ2+θ4﹣θ1﹣θ3＝40°
选：D．
7．解：作PM⊥ADM交BCN．
四边形AEPM四边形DFPM四边形CFPN四边形BEPN矩形
∴S△ADC＝S△ABCS△AMP＝S△AEPS△PBE＝S△PBNS△PFD＝S△PDMS△PFC＝S△PCN
∴S△DFP＝S△PBE＝×2×8＝8
∴S阴＝8+8＝16
（题证明两阴影部分面积相等解决问题）
选：C．
8．解：延长GH交ADM点图示：
∵四边形ABCD四边形CEFG矩形
∴CD＝CE＝FG＝1BC＝EF＝CG＝3BE∥AD∥FG
∴DG＝CG﹣CD＝3﹣1＝2∠HAM＝∠HFG
∵AF中点H
∴AH＝FH
△AMH△FGH中
∴△AMH≌△FGH（ASA）．
∴AM＝FG＝1MH＝GH
∴MD＝AD﹣AM＝3﹣1＝2
Rt△MDG中GM＝＝＝2
∴GH＝GM＝
选：A．
二．填空题（12题）
9．解：连接ACDEBD图：
∵EAB中点
∴S△BCE＝S△ABC＝S行四边形ABCD＝8
理：S△CDF＝8
∵FAD中点
∴SAEF＝S△AED＝S△ABD＝S行四边形ABCD＝4
∴S△CEF＝S行四边形ABCD﹣S△AEF﹣S△BCE﹣S△CDF＝32﹣8﹣8﹣4＝12
答案：12．
10．解：（1）∵四边形ABCD正方形
∴AB＝AD＝4∠A＝∠ADC＝90°
∵BE＝5
∴AE＝＝＝3
∴DE＝AD﹣AE＝4﹣3＝1
∴EC2＝DE2+CD2＝12+42＝17
∴正方形CEFG面积＝EC2＝17．
答案17．
（2）连接DFDG．设DE＝xCE＝
∵S△DEC+S△DFG＝S正方形ECGF
∴S△DFG＝（x2+16）﹣×x×4＝x2﹣2x+8＝（x﹣2）2+6
∵＞0
∴x＝2时△DFG面积值6．
答案6．
11．解：∵菱形ABCD边长2BD＝2
∴△ABD△BCD正三角形
∴∠BDE＝∠BCF＝60°BD＝BC
∵AE+DE＝AD＝2AE+CF＝2
∴DE＝CF
∴△BDE≌△BCF（SAS）
∴∠DBE＝∠CBFBE＝BF
∵∠DBC＝∠DBF+∠CBF＝60°
∴∠DBF+∠DBE＝60°∠EBF＝60°
∴△BEF正三角形
设BE＝BF＝EF＝x
S＝•x•x•sin60°＝x2
BE⊥AD时x＝2×sin60°＝
∴S＝×（）2＝
BEAB重合时x＝2
∴S＝×22＝
∴≤S≤．
答案：≤S≤．
12．解：连接EM
∵EFM分边BCAD角线BD中点
∴FM＝EM＝
EF＝EM+MF时线段EFEF＝1+3＝4
答案：14．
13．解：图点Q作QH⊥CD点H
∵四边形ABCD矩形
∴AB＝CD＝5AD＝BC＝7
∵BP＝2
∴CP＝5
∵线段BD绕点D逆时针方旋转90°线段DQ
∴BD＝DQ∠BDQ＝90°
∴∠BDC+∠QDC＝90°∠BDC+∠DBC＝90°
∴∠QDC＝∠DBCBD＝DQ∠BCD＝∠DHQ＝90°
∴△BDC≌△DQH（AAS）
∴DC＝HQ＝5BC＝DH＝7
∴CH＝DH﹣CD＝2
∵CP＝HQ＝5∠PEC＝∠QEH∠PCE＝∠QHE
∴△PCE≌△QHE（AAS）
∴CE＝EHCH＝2
∴CE＝EH＝1
∴DE＝DC+CE＝5+1＝6
答案：6．
14．解：∵点DEF分BCABAC中点
∴EF∥BCDE∥AC（三角形中位线性质）
∵EF∥BC∠DEF＝50°
∴∠DEF＝∠EDB＝50°（两直线行错角相等）
∵DE∥AC
∴∠EDB＝∠FCH＝50°（两直线行位角相等）
∵AH⊥BC
∴△AHC直角三角形
∵HF斜边中线
∴HF＝AC＝FC
∴∠FHC＝∠FCH＝50°．
∴∠CFH＝180°﹣50°﹣50°＝80°
答案：80°．
15．解：①矩形中边AC时图1示：
设CE＝xBE＝3﹣x
∵∠A＝30°∠C＝90°
∴DE＝（3﹣x）
∴S矩形DECF＝CE•DE＝x（3﹣x）＝2
整理：x2﹣3x+2＝0解x1＝1x2＝2
x＝1时该矩形周长＝（CE+DE）×2＝（1+2）×2＝4+2
x＝2时该矩形周长＝（CE+DE）×2＝2+4
∵（4+2）﹣（2+4）＝2﹣2＝2（﹣1）＞0
∴矩形周长值2+4
②矩形中边AB时图2示：
设CF＝xBF＝3﹣x
∵∠A＝30°∠C＝90°
∴FG＝2xEF＝（3﹣x）
∴S矩形DECF＝FG•EF＝2x•（3﹣x）＝2
整理：x2﹣3x+2＝0解x1＝1x2＝2
（1）结果致
综述：矩形周长值2+4．
答案：2+4．
16．解：连接BNCM作NP⊥BCP图示：
∵△ABM△ACN等边三角形
∴AB＝AMAN＝AC＝CN＝3∠BAM＝∠CAN＝∠ACN＝60°
∴∠BAM+∠BAC＝∠CAN+∠BAC
∠CAM＝∠NAB
△CAM△NAB中
∴△CAM≌△NAB（SAS）
∴CM＝NB
∵DEFG分MBBCCNMN中点
∴DG△BMN中位线EF△BCN中位线DE△BCM中位线
∴DG∥BNDG＝BNEF∥BNEF＝BNDE＝CM
∴DG∥EFDG＝EFDG＝DE
∴四边形DEFG行四边形
∵DG＝DE
∴四边形DEFG菱形
∴DE＝DG＝EF＝FG＝BN
∵∠BAC＝60°
∴∠NCP＝180°﹣∠ACB﹣∠ACN＝60°
∵NP⊥BC
∴∠CNP＝90°﹣60°＝30°
∴PC＝CN＝PN＝PC＝
∴BP＝BC+PC＝5+＝
∴BN＝＝＝7
∴DE＝DG＝EF＝FG＝BN＝
∴四边形DEFG周长＝4×＝14
答案：14．
17．解：
∵∠1∠2∠3∠4外角角度220°
∴∠1+∠2+∠3+∠4+220°＝4×180°
∴∠1+∠2+∠3+∠4＝500°
∵五边形OAGFE角＝（5﹣2）×180°＝540°
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠BOD＝540°
∴∠BOD＝540°﹣500°＝40°
答案：40°．
18．解：∵直线y＝a分直线y＝x双曲线y＝交点DA
∴A（a）D（2aa）
直线x轴正半轴时
∵四边形ABCD正方形
∴AB＝AD2a﹣＝a解a＝﹣1a＝1．
直线x轴负半轴时
理2a﹣＝﹣a解a＝±．
答案：±1±．
19．解：图设AD＝BC＝x．点P作PH⊥ACH．
翻折性质知PA＝PC＝BC＝x
∵∠APC＝120°PH⊥AC
∴AH＝CH∠APH＝∠CPH＝60°
∴AC＝2AH＝2•PA•sin60°＝x
∵四边形ABCD矩形
∴∠D＝90°
∴CD＝AB＝＝＝x
∴＝＝
答案：1．
20．解：∵BE＝BC∠ABC＝90°
∴△BCE等腰直角三角形
∴∠BCE＝∠BEC＝45°
∵GE⊥CG
∴∠AGE+∠CGD＝90°
∵∠DCG+∠CGD＝90°
∴∠AGE＝∠DCG
∵∠A＝∠D＝90°
∴△AGE∽△DCG
∴
∵GAD中点
∴AG＝DG
∴
∵∠D＝∠CGE＝90°
∴△CDG∽△CGE
∴∠DCG＝∠GCE＝（90°﹣45°）＝225°
∵GAD中点
∴矩形称性知∠ABG＝∠DCG＝225°
三角形外角性质∠BFC＝∠ABG+∠BEC＝225°+45°＝675°．
答案：675°．
三．解答题（10题）
21．（1）证明：正方形ABCD中AB＝DA∠EAB＝∠D＝90°
∵AE＝DF
∴△ABE≌△DAF（SAS）
∴∠ABE＝∠DAF
∵∠DAF+∠FAB＝∠EAB＝90°
∴∠ABE+∠FAB＝90°
∴∠APB＝90°
∴AF⊥BE
∵CH⊥BE
∴AF∥CH
（2）解：正方形ABCD中∠EAB＝90°AB＝2AE＝2
∴BE＝＝＝4
∵S△ABE＝AB•AE＝BE•AP
∴AP＝＝
Rt△ABP中BP＝＝＝3
∵∠APB＝∠ABC＝90°
∴∠ABP+∠HBC＝90°∠HCB+∠HBC＝90°
∴∠ABP＝∠HCB
∵CH⊥BE
∴∠HCB＝90°
∵AB＝BC
∴△ABP≌△BCH（AAS）
∴BH＝AP＝
∴PH＝BP﹣BH＝BP﹣AP＝3﹣．
（3）解：正方形ABCD中AB＝BCAD∥BC
∵CH⊥BPPH＝BH
∴CP＝BC
∴∠CBP＝∠CPB
∵∠CPB＝∠QPE∠CBP＝∠QEP
∴∠QPE＝∠QEP
Rt△APE中∠QAP＝∠QPA
∴QE＝QP＝QA
四边形QABC中设QP＝aCP＝b
AB＝BC＝bAQ＝aQC＝a+b
∵DC2+DQ2＝CQ2
∴b2+（b﹣a）2＝（a+b）2
∴b2＝4ab
b＝4a
∴＝4．
22．（1）证明：∵四边形ABCD矩形
∴∠DAB＝90°
∵AP分∠DAB
∴∠DAP＝∠EAP＝45°
△DAP△EAP中
∴△DAP≌△EAP（SAS）
∴PD＝PE
（2）解：图1作CP′⊥AP′P′
P′C
∵AB∥CD
∴∠DFA＝∠EAP
∵∠DAP＝∠EAP
∴∠DAP＝∠DFA＝45°
∴FC＝DF＝AD＝2∠P′FC＝45°
∴P′C＝FC×＝
∴PC值
（3）解：图2∵DF＝FCOA＝OC
∴OF∥AD
∴∠DFO＝180°﹣∠ADF＝90°
∴点P点F重合时∠DPO＝90°时AP＝＝2
点PAF时作PG⊥ADGPH⊥ABH
∵AP分∠DABPG⊥ADPH⊥AB
∴PG＝PH
设PG＝PH＝a
勾股定理DP2＝（2﹣a）2+a2OP2＝（2﹣a）2+（1﹣a）2OD2＝5
∠DPO＝90°时DP2+OP2＝OD2（2﹣a）2+a2+（2﹣a）2+（1﹣a）2＝5
解a1＝2（舍）a2＝
a＝时AP＝
综述∠DPO＝90°时AP＝2．
23．解：（1）∵两函数图象交点分AB
∴
∴x2＝k2
∴x＝±k
∴点A坐标（﹣k﹣1）点B坐标（k1）
（2）∵k＝1
∴点A坐标（﹣1﹣1）点B坐标（11）
∵点P坐标（m）
∴直线PA解析式：y＝+
y＝0时x＝m﹣1
∴点C（m﹣10）
理求直线PB解析式：y＝﹣x+
y＝0时x＝m+1
∴点D（m+10）
∴PD＝＝
PC＝＝
∴PC＝PD
∴△PCD等腰三角形
（3）图点P作PH⊥CDH
∵△PCD直角三角形PH⊥CD
∴CD＝2PH
∴m+1﹣（m﹣1）＝2×
∴m＝1
∴点P（11）
∵点B（11）点P函数y＝第象限图象动点（点PB重合）
∴存点P△PCD直角三角形．
24．（1）证明：折叠性质知∠BEA＝∠BEF
∵AD∥BC
∴∠BEA＝∠EBC∠BCF＝∠CED
∴∠BEF＝∠EBC
∴BC＝CE
∵∠BFC＝∠D＝90°
∴△BFC≌△CDE（AAS）
∴CF＝DE．
（2）解：①翻折知BA＝BF∠BFE＝∠A＝90°
Rt△BFC中sin∠BCF＝＝＝＝
∴∠BCF＝60°
∴∠CBF＝30°
∵∠ABC＝90°
∴∠ABF＝90°﹣30°＝60°
∵∠ABE＝∠FBE
∴∠ABE＝∠ABF＝30°．
②∵＝k＝m
∴AE＝kADAB＝mAD
∴DE＝AD﹣AE＝AD（1﹣k）
Rt△CED中CE2＝CD2+DE2AD2＝（mAD）2+[AD（1﹣k）]2
整理m2＝2k﹣k2．
25．证明：（1）∵四边形ABCD正方形
∴∠BCD＝90°∠ABD＝∠CDB＝∠CBD＝45°AB＝BC＝CD
∴△ABD等腰直角三角形
∴AB＝BD
∵GE⊥CDGF⊥BC
∴△DGE△BGF等腰直角三角形
∴GE＝DGGF＝BG
∴GE+GF＝（DG+BG）＝BD
∴GE+GF＝AB
（2）解：GE2+GF2＝AG2理：
连接CG图示：
△ABG△CBG中
∴△ABG≌△CBG（SAS）
∴AG＝CG
∵GE⊥CDGF⊥BC∠BCD＝90°
∴四边形EGFC矩形
∴CE＝GF
∴GE2+CE2＝CG2
∴GE2+GF2＝AG2
设GE＝x＝CFGF＝6﹣x＝BF
勾股定理：x2+（6﹣x）2＝（）2
∴x＝1x＝5
x＝1时
∴BF＝GF＝5
∴BG＝＝＝5
x＝5时
∴BF＝GF＝1
∴BG＝＝＝
26．解：（1）△AEF等腰直角三角形理：
点E作直线MN∥AB交ADM交BCN图1示：
∵四边形ABCD正方形BD角线MN∥AB
∴四边形ABNM四边形MNCD矩形△NEB△MDE等腰直角三角形
∴AM＝BN∠AME＝∠ENF＝90°EN＝BN
∴AM＝EN
∵EF⊥AE
∴∠AEM+∠FEN＝∠AEM+∠EAM＝90°
∴∠EAM＝∠FEN
△AME△ENF中
∴△AME≌△ENF（ASA）
∴AE＝EF
∵AE⊥EF
∴△AEF等腰直角三角形
（2）（1）中结成立理：
点E作直线MN∥DC交ADM交BCN图2示：
（1）理：AM＝BN＝EN∠EAM＝∠FEN
∵∠AME＝∠ENF＝90°
△AME△ENF中
∴△AME≌△ENF（ASA）
∴AE＝EF
∵AE⊥EF
∴△AEF等腰直角三角形
（3）分两种情况：
①△ADE面积：△ABE面积＝1：2时图1示：
BE＝2DE
设正方形ABCD边长3aBD＝3a
（1）：AE＝EFME＝NFDM＝CN△AEF△NEB△MDE等腰直角三角形
∴AF＝AEBE＝BN＝2aDE＝ME＝a
∴AM＝BN＝2aCN＝NF＝DM＝ME＝a
∴CF＝NF+CN＝2aAE＝＝＝a
∴AF＝AE＝a
∴＝＝
②△ADE面积：△ABE面积＝2：1时图2示：
DE＝2BE
设正方形ABCD边长3aBD＝3a
（1）：AF＝AEBE＝BN＝aDE＝ME＝2a
∴AM＝BN＝aCN＝NF＝DM＝ME＝2a
∴CF＝NF+CN＝4aAE＝＝＝a
∴AF＝AE＝a
∴＝＝
综述AE△ABD面积分成1：2两部分
AF：CF值．
27．（1）证明：∵四边形ABCD正方形
∴BC＝CD∠BCA＝∠DCA＝45°AD∥DC
∵点E点G关直线CD称
∴EC＝GC∠DCG＝∠DCA＝45°EG⊥CD
∴∠BCE＝∠DCG
△BEC△DGC中
∴△BEC≌△DGC（SAS）
（2）证明：∵EG⊥CDAD⊥DCAD∥BC
∴EG∥DF∥BC
∴∠EGC＝∠GEC＝∠ACB＝45°
∴∠DGE＝∠DGC﹣45°
∵BE⊥EF
∴∠FEG＝360°﹣90°﹣45°﹣∠BEC＝225°﹣∠BEC
∵△BEC≌△DGC
∴∠DGC＝∠BEC
∴∠DGE+∠FEG＝∠DGC﹣45°+225°﹣∠BEC＝180°
∴EF∥DG
∴四边形FEGD行四边形
（3）解：E作MN⊥ADNMN⊥BCM图示：
∠EBM+∠BEM＝90°
∵EF⊥BE
∴∠BEM+∠FEN＝90°
∴∠EBM＝∠FEN
∵BM＝ANAN＝EN
∴BM＝EN
△BME△ENF中
∴△BME≌△ENF（ASA）
∴BE＝EF
∵四边形ABCD正方形
∴BD关AC称
∴BE＝DE
∴DE＝EF
四边形GD菱形时DF＝EF
∴△DEF等边三角形
∴∠EBM＝∠FEN＝∠FED＝30°
设CM＝xEM＝x
∵∠EBM＝30°
∴BM＝x
∵四边形ABCD正方形AB＝4
∴BC＝BM+EM＝（+1）x＝4
解：x＝2（﹣1）
∴CE＝x＝2﹣2．
28．（1）证明：连接MN图1示：
∵四边形ABCD矩形
∴AD∥BCAD＝BC∠B＝90°
∴∠EAM＝∠FCNAC＝＝＝5
∵MN分ADBC中点
∴AM＝DM＝BN＝CNAM∥BN
∴四边形ABNM行四边形
∵∠B＝90°
∴四边形ABNM矩形
∴MN＝AB＝3
△AME△CNF中
∴△AME≌△CNF（SAS）
∴EM＝FN∠AEM＝∠CFN
∴∠MEF＝∠NFE
∴EM∥FN
∴四边形EMFN行四边形
∵AE＝CF＝1
∴EF＝AC﹣AE﹣CF＝3
∴MN＝EF
∴四边形EMFN矩形．
（2）解：连接MN作MH⊥BCH图2示：
四边形ABHM矩形
∴MH＝AB＝3BH＝AM＝x
∴HN＝BC﹣BH﹣CN＝4﹣2x
∵四边形EMFN矩形AE＝CF＝05
∴MN＝EF＝AC﹣AE﹣CF＝4
Rt△MHN中勾股定理：32+（4﹣2x）2＝42
解：x＝2±
∵0＜x＜2
∴x＝2﹣．
29．（1）证明：①解图1
∵点E点F关CD称．
∴DE＝DFCE＝CFOE＝OFCD⊥EF
∴∠ECO＝∠FCO
∵ED∥CF
∴∠FCO＝∠EDO
∴∠ECO＝∠EDO
∴DE＝EC
∴DE＝DE＝EC＝CF
∴四边形ECFD菱形．
②①四边形ECFD菱形
∴EO＝OF＝OD＝OC
∵AE＝EC
∴OF＝．
∴AD＝EF
（2）解：四边形ABCD正方形△BDF直角三角形情况：
Ⅰ．第种情况：∠BFD＝90°时EFC三点重合BF＝BE．
Ⅱ．第二种情况：∠BDF＝90°时解2
∵四边形ABCD正方形
∴∠BDC＝∠DBC＝45°BE＝DE
∴∠FDC＝45°
∵E点F关CD称
∴∠EDC＝45°EACBD交点EF⊥CD
∴EF∥BC
∴∠DEF＝∠BDC＝45°
∴△EFD等腰直角三角形
∴DF＝DE＝BE
Rt△BDF中BF＝＝
∴＝．
Ⅲ．点EAC点∠DBF＝90°存．
综述：四边形ABCD正方形△BDF直角三角形值1．
30．解：（1）①EG＝EH
理：
图
∵四边形ABCD矩形
∴AD∥BC
∴AF∥BEGH∥EF
∴四边形GHEF行四边形
∴∠GHE＝∠GFE
∵矩形纸片ABCD着EF折叠
∴∠1＝∠GEF
∵AF∥BEGH∥EF
∴∠1＝∠GFE∠HGE＝∠GEF
∴∠GEF＝∠HGE
∴∠GHE＝∠HGE
∴HE＝GE
②GH分∠AGE
理：
∵AF∥BE
∴∠AGH＝∠GHE∠GHE＝∠HGE
∴∠AGH＝∠HGE
∴GH分∠AGE
（2）①EG＝GH
理
图
∵△ABCEF折叠
∴∠CEF＝∠C＇EF∠C＝∠C＇
∵GH∥EF
∴∠GEF＝∠HGE∠FEC＇＝∠GHE
∴∠GHE＝∠HGE
∴EG＝EH
②∠AGH＝∠HGE+∠C
理：
∵∠AGH＝∠GHE+∠C＇
∴∠AGH＝∠HGE+∠C
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