专题：隐圆
定点定长作圆
基础：图1⊙O中OA＝OB＝OC＝OD
延伸：图2AB＝AC＝ADBCD三点A圆心AB长半径圆．(理：定点距离等定长点集合做圆)
踪训练
1图矩形 ABCD中AB＝4AD＝6E AB边中点F线段 BC边动点△EBFEF直线折叠△EB′F连接B′DB′D值________．
2图Rt△ABC中∠C＝90°∠A＝60°AC＝6点F边ACCF＝2点E边BC动点△CEF直线EF翻折点C落点P处点P边AB距离值________．
3(2020广东)架竖直直角墙面梯子正滑猫紧紧盯住位梯子正中间老鼠等老鼠距离时扑捉．墙面梯子猫老鼠理想化面线点模型图3示∠ABC＝90°点MN分射线BABCMN长度始终保持变MN＝4EMN中点点DBABC距离分42滑动程中猫老鼠距离DE值__________
第1题图 第2题图 第3题图
二直角直径
图1⊙O中AB直径始终AB∠C＝90°
图2AB固定线段总∠ACB＝90°CAB直径圆．
踪训练二
1已知：图Rt△ABC中BCAC2点MAC边动点连接BMCM直径⊙O交BMN线段AN值 ．
2（2020•南宁模）图点D半圆O半径OB AD10点C弧BD移动连接ACHAC点∠DHC90°连接BH点C移动程中BH值（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
3图Rt△ABC中AB⊥BCAB＝2BC＝3P△ABC部动点满足∠PAB＝∠PBC线段CP长值________．
第1题图 第2题图 第3题图
三定弦定角
图1⊙O中弦AB长度固定弦AB圆周角相等(注意：弦AB劣弧AB圆周角需根题目灵活运)．
图2固定线段AB线段AB∠C固定根圆知识知C点唯固定点C⊙O优弧ACB均(优弧劣弧取决∠C90°C优弧运动等90°C半圆运动90°C劣弧运动)．
踪训练三
1图已知正方形ABCD边长4点MN分BC时出发相速度BCCD方终点CD运动．连接AMBN交点PPC长值________．(请图中画出点P运动路径)
2图 边长3等边△ABC DE分边BCAC点 BD＝CE ADBE交
P点 CP值_______．
3图扇形AOD中∠AOD90°OA8点P弧AD动点PQ⊥OD点Q点I△OPQ心点P点A弧AD运动点D时点I运动路径长 ．
第2题图 第3题图
专题二：运动路径直线型
解题策略：
①利行定距法者角度固定法确定动点运动路径直线型
②确定动点起点终点计算出路径长度
解题关键：解题程中常常出现中位线行线分线段成例相似证动角恒等顶角等知识点
踪训练
1图面直角坐标系中A（30）点By轴正半轴动点AB边AB方作等边△ABP点By轴运动时求OP值 ．
2图等腰Rt△ABC中斜边AB长2OAB中点PAC边动点OQ⊥OP交BC点QMPQ中点点P点A运动点C时点M路线长（ ）
A B C 1 D 2
3图P边长2正方形ABCD边BC动点线段DP绕P逆时针旋转90°线段PE（ED应点）M线段PE中点点P点C运动点B程中点M运动路径长
第1题图 第2题图 第3题图
专题三：二次函数值
1变量取值范围全体实数函数顶点处取值值
2变量取值范围变量取值范围x时y中值值处取变量取值范围函数值函数时函数值较值较值值值时存
踪训练
11≤x≤1时次函数y2x+4值____值____
2二次函数yx2+2x+3取值范围____
3x____时二次函数y－x22x+6值_____
4（2021·海）图已知△ABC中BC＝10BC边高AH＝8四边形DEFG接矩形．
（1）矩形DEFG正方形时求正方形边长．
（2）设EF＝x矩形DEFG面积S求S关x函数关系式x值时S值求出值．
（3）矩形DEFG面积时该矩形DEFG秒1单位速度射线DC匀速运动（点D点C重合时停止运动）设运动时间t秒矩形EFGQ△ABC重叠部分面积S请直接写出St函数关系式．
5图已知抛物线y＝ax2＋2x＋cy轴交点A(06)x轴交点B(60)连接AB点P线段AB方抛物线动点．
(1)求条抛物线表达式顶点坐标
(2)点P点A出发线段AB方抛物线终点B移动时点P直线AB距离dd取值时求点P坐标
6已知抛物线ymx22mx+3(m<0)x轴交AB两点（点A点B左侧）y轴交点COB3OA
（1）求抛物线解析式：
（2）MN第象限抛物线两点ΔBCN面积恒ΔBCM面积求点M坐标
（3）D抛物线顶点P第二象限抛物线点连接BPDP分交y轴EFEFOC求点P坐标
专题四：军饮马模型值问题
知识点
知识点：
（方法说明）
问题常见问法：直线找点点两定点距离（军饮马问题）
图示：直线l 找点PPA+PB点P直线AB’直线l交点时PA+PB
方法纳
① 图示直线l找点B线段AB点A作AB⊥l垂足B线段AB求
② 图示直线l找点PPA+PB点B作关直线l称点B’BB’直线l交点P时PA+PB点P求
③ 图示∠AOB边AOBO分找点CDPC+CD+PD点P分作关AOBO称点EF连接EFAOBO分交点CD时PC+CD+PD点CD求
④ 图示∠AOB边AOBO分找点EFDE+EF+CF分点CD作关AOBO称点D’C’连接D’C’AOBO分交点EF时DE+EF+CF点EF求
⑤ 图长度变线段CD直线l运动直线l找AC+BDCD位置分点AD作AA’∥CDDA’∥ACAA’DA’交点A’作点B关直线l称点B’连接A’B’直线l交点D’时点D’求
知识点二：差
（方法说明）
差问题常见问法条直线面找点点两定点距离差
图示直线l找点P|PAPB|点P直线AB直线l交点时|PAPB|
方法纳
① 图示点AB直线l侧时连接AB延长交直线l点P时|PAPB|
② 图示点AB直线l异侧时作点B关直线l称点B’连接AB’延长交直线l点P时|PAPB|
踪训练
1图中两条中线动点列线段长度等值（ ）
A． B． C． D．
2图正方形ABCD中EAB点BE＝2AB＝8PAC动点PB+PE值_____．
3（2017•安徽）图矩形ABCD中AB5AD3动点P满足S△PABS矩形ABCD点PAB两点距离PA+PB值_____．
第1题图 第2题图 第3题图
4图∠AOB边OBx轴正半轴重合点POA动点点N（30）OB定点点MON中点∠AOB30°PM+PN点P坐标______．
5图锐角三角形ABC中BC4∠ABC60° BD分∠ABC交AC点DMN分BDBC动点CM+MN值
A． B．2 C． D．4
第4题图 第5题图
6图已知抛物线yax2+bx+c点A（﹣30）B（﹣23）C（03）顶点D．
（1）求抛物线解析式
（2）设点M（1m）MB+MD值时求m值
7图抛物线轴交AB两点轴交点C点D（22）抛物线点抛物线称轴否存点P△BDP周长存请求点P坐标存请说明理
8图抛物线yax2+bx+cx轴交A(−10)B(30)两点y轴交点C(03)点D抛物线顶点
(1)求抛物线解析式
(2)设点P坐标(a0)|PD−PC|时求a值
9（2019南宁）已知点A（34）点B直线x－1动点设B（－1y）．
（1）图1点C（x0）－1＜x＜3BC⊥AC求yx间函数关系式
（2）（1）条件y否值？请求出值没请说明理
（3）图2点B坐标（－11）时x轴取两点EFEF1．线段EFx轴移线段EF移处时四边形ABEF周长？求出时点E坐标．
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定点定长作圆
基础：图1⊙O中OA＝OB＝OC＝OD
延伸：图2AB＝AC＝ADBCD三点A圆心AB长半径圆．(理：定点距离等定长点集合做圆)
踪训练
1图矩形 ABCD中AB＝4AD＝6E AB边中点F线段 BC边动点△EBFEF直线折叠△EB′F连接B′DB′D值________．
2图Rt△ABC中∠C＝90°∠A＝60°AC＝6点F边ACCF＝2点E边BC动点△CEF直线EF翻折点C落点P处点P边AB距离值________．
3(2020广东)架竖直直角墙面梯子正滑猫紧紧盯住位梯子正中间老鼠等老鼠距离时扑捉．墙面梯子猫老鼠理想化面线点模型图3示∠ABC＝90°点MN分射线BABCMN长度始终保持变MN＝4EMN中点点DBABC距离分42滑动程中猫老鼠距离DE值__________
第1题图 第2题图 第3题图
二直角直径
图1⊙O中AB直径始终AB∠C＝90°
图2AB固定线段总∠ACB＝90°CAB直径圆．
踪训练二
1已知：图Rt△ABC中BCAC2点MAC边动点连接BMCM直径⊙O交BMN线段AN值 ．
2（2020•南宁模）图点D半圆O半径OB AD10点C弧BD移动连接ACHAC点∠DHC90°连接BH点C移动程中BH值（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
3图Rt△ABC中AB⊥BCAB＝2BC＝3P△ABC部动点满足∠PAB＝∠PBC线段CP长值________．
第1题图 第2题图 第3题图
三定弦定角
图1⊙O中弦AB长度固定弦AB圆周角相等(注意：弦AB劣弧AB圆周角需根题目灵活运)．
图2固定线段AB线段AB∠C固定根圆知识知C点唯固定点C⊙O优弧ACB均(优弧劣弧取决∠C90°C优弧运动等90°C半圆运动90°C劣弧运动)．
踪训练三
1图已知正方形ABCD边长4点MN分BC时出发相速度BCCD方终点CD运动．连接AMBN交点PPC长值________．(请图中画出点P运动路径)
2图 边长3等边△ABC DE分边BCAC点 BD＝CE ADBE交
P点 CP值_______．
3图扇形AOD中∠AOD90°OA8点P弧AD动点PQ⊥OD点Q点I△OPQ心点P点A弧AD运动点D时点I运动路径长 ．
第2题图 第3题图
专题二：运动路径直线型
解题策略：
①利行定距法者角度固定法确定动点运动路径直线型
②确定动点起点终点计算出路径长度
解题关键：解题程中常常出现中位线行线分线段成例相似证动角恒等顶角等知识点
踪训练
1图面直角坐标系中A（30）点By轴正半轴动点AB边AB方作等边△ABP点By轴运动时求OP值 ．
2图等腰Rt△ABC中斜边AB长2OAB中点PAC边动点OQ⊥OP交BC点QMPQ中点点P点A运动点C时点M路线长（ ）
A B C 1 D 2
3图P边长2正方形ABCD边BC动点线段DP绕P逆时针旋转90°线段PE（ED应点）M线段PE中点点P点C运动点B程中点M运动路径长
第1题图 第2题图 第3题图
专题三：二次函数值
1变量取值范围全体实数函数顶点处取值值
2变量取值范围变量取值范围x时y中值值处取变量取值范围函数值函数时函数值较值较值值值时存
踪训练
11≤x≤1时次函数y2x+4值____值____
2二次函数yx2+2x+3取值范围____
3x____时二次函数y－x22x+6值_____
4（2021·海）图已知△ABC中BC＝10BC边高AH＝8四边形DEFG接矩形．
（1）矩形DEFG正方形时求正方形边长．
（2）设EF＝x矩形DEFG面积S求S关x函数关系式x值时S值求出值．
（3）矩形DEFG面积时该矩形DEFG秒1单位速度射线DC匀速运动（点D点C重合时停止运动）设运动时间t秒矩形EFGQ△ABC重叠部分面积S请直接写出St函数关系式．
5图已知抛物线y＝ax2＋2x＋cy轴交点A(06)x轴交点B(60)连接AB点P线段AB方抛物线动点．
(1)求条抛物线表达式顶点坐标
(2)点P点A出发线段AB方抛物线终点B移动时点P直线AB距离dd取值时求点P坐标
6已知抛物线ymx22mx+3(m<0)x轴交AB两点（点A点B左侧）y轴交点COB3OA
（1）求抛物线解析式：
（2）MN第象限抛物线两点ΔBCN面积恒ΔBCM面积求点M坐标
（3）D抛物线顶点P第二象限抛物线点连接BPDP分交y轴EFEFOC求点P坐标
专题四：军饮马模型值问题
知识点
知识点：
（方法说明）
问题常见问法：直线找点点两定点距离（军饮马问题）
图示：直线l 找点PPA+PB点P直线AB’直线l交点时PA+PB
方法纳
① 图示直线l找点B线段AB点A作AB⊥l垂足B线段AB求
② 图示直线l找点PPA+PB点B作关直线l称点B’BB’直线l交点P时PA+PB点P求
③ 图示∠AOB边AOBO分找点CDPC+CD+PD点P分作关AOBO称点EF连接EFAOBO分交点CD时PC+CD+PD点CD求
④ 图示∠AOB边AOBO分找点EFDE+EF+CF分点CD作关AOBO称点D’C’连接D’C’AOBO分交点EF时DE+EF+CF点EF求
⑤ 图长度变线段CD直线l运动直线l找AC+BDCD位置分点AD作AA’∥CDDA’∥ACAA’DA’交点A’作点B关直线l称点B’连接A’B’直线l交点D’时点D’求
知识点二：差
（方法说明）
差问题常见问法条直线面找点点两定点距离差
图示直线l找点P|PAPB|点P直线AB直线l交点时|PAPB|
方法纳
① 图示点AB直线l侧时连接AB延长交直线l点P时|PAPB|
② 图示点AB直线l异侧时作点B关直线l称点B’连接AB’延长交直线l点P时|PAPB|
踪训练
1图中两条中线动点列线段长度等值（ ）
A． B． C． D．
2图正方形ABCD中EAB点BE＝2AB＝8PAC动点PB+PE值_____．
3（2017•安徽）图矩形ABCD中AB5AD3动点P满足S△PABS矩形ABCD点PAB两点距离PA+PB值_____．
第1题图 第2题图 第3题图
4图∠AOB边OBx轴正半轴重合点POA动点点N（30）OB定点点MON中点∠AOB30°PM+PN点P坐标______．
5图锐角三角形ABC中BC4∠ABC60° BD分∠ABC交AC点DMN分BDBC动点CM+MN值
A． B．2 C． D．4
第4题图 第5题图
6图已知抛物线yax2+bx+c点A（﹣30）B（﹣23）C（03）顶点D．
（1）求抛物线解析式
（2）设点M（1m）MB+MD值时求m值
7图抛物线轴交AB两点轴交点C点D（22）抛物线点抛物线称轴否存点P△BDP周长存请求点P坐标存请说明理
8图抛物线yax2+bx+cx轴交A(−10)B(30)两点y轴交点C(03)点D抛物线顶点
(1)求抛物线解析式
(2)设点P坐标(a0)|PD−PC|时求a值
9（2019南宁）已知点A（34）点B直线x－1动点设B（－1y）．
（1）图1点C（x0）－1＜x＜3BC⊥AC求yx间函数关系式
（2）（1）条件y否值？请求出值没请说明理
（3）图2点B坐标（－11）时x轴取两点EFEF1．线段EFx轴移线段EF移处时四边形ABEF周长？求出时点E坐标．
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