高考卷 91届 普通高等学校招生全国统一考试数学试题及答案（文）

1991年普通高等学校招生全国统考试
数学（文史类）

考生注意：份试卷三道题(26题)．满分120分．

选择题：题15题题3分45分．题出四选项中符合题目求．选项前字母填题括号

(1) 已知sinαα第二象限角tgα值等 ( )
(A)
(B)
(C)
(D)
(2) 焦点(－10)顶点(10)抛物线方程 ( )
(A) y28(x＋1)
(B) y2－8(x＋1)
(C) y28(x－1)
(D) y2－8(x－1)
(3) 函数ycos4x－sin4x正周期 ( )
(A)
(B) π
(C) 2π
(D) 4π
(4) P(25)关直线x＋y0称点坐标 ( )
(A) (52)
(B) (2－5)
(C) (－5－2)
(D) (－2－5)
(5) 果两条异面直线成六棱锥棱12条直线中异面直线 ( )
(A) 12
(B) 24
(C) 36
(D) 48
(6) 函数ysin(2x＋)图条称轴方程 ( )
(A) x－
(B) x－
(C) x
(D) x
(7) 果三棱锥S－ABC底面等边三角形侧面底面成二面角相等顶点S底面射影O△ABCO△ABC ( )
(A) 垂心
(B) 重心
(C) 外心
(D) 心
(8) 已知{an}等数列an>0a2a4＋2a3a5＋a4a625a3＋a5值等 ( )
(A) 5
(B) 10
(C) 15
(D) 20
(9) 已知函数y(x∈Rx≠1)反函数 ( )
(A) y(x∈Rx≠1)
(B) y(x∈Rx≠6)
(C) y(x∈Rx≠－)
(D) y(x∈Rx≠－5)
(10) 4台甲型5台乙型电视机中意取出3台中少甲型乙型电视机1台取法 ( )
(A) 140种
(B) 84种
(C) 70种
（D）35种
(11) 设甲乙丙三命题．果甲乙必条件丙乙充分条件乙必条件 ( )
(A) 丙甲充分条件甲必条件
(B) 丙甲必条件甲充分条件
(C) 丙甲充条件
(D) 丙甲充分条件甲必条件
(12) …(1－)]值等 ( )
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3

(13) 果AC<0BC<0直线Ax＋By＋C0通 ( )
(A) 第象限
(B) 第二象限
(C) 第三象限
(D) 第四象限
(14) 果奇函数f(x)区间[37]增函数值5f(x)区间[－7－3] ( )
(A) 增函数值－5
(B) 增函数值－5
(C) 减函数值－5
(D) 减函数值－5
(15) 圆x2＋2x＋y2＋4y－30直线x＋y＋10距离点 ( )
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4

二填空题：题5题题3分15分．答案填题中横线．
(16) 双曲线直线x－1y2称轴果焦点y轴焦点坐标__________________．
(17) 已知sinxsin2(x－)____________
(18) 等式lg(x2＋2x＋2)<1解集_____________
(19) (ax＋1)7展开式中x3系数x2系数x4系数等差中项实数a>1a_____________
(20) 长方体ABCD－A1B1C1D1中已知顶点A三条棱长分2．果角线AC1点A相邻三面成角分αβγcos2α＋cos2β＋cos2γ_________

三解答题：题6题60分．
(21) (题满分8分)
求函数ysin2x＋2sinxcosx＋3cos2x值．
(22) (题满分8分)
已知复数z1＋i 求复数模辐角值．
(23) (题满分10分)
图三棱台A1B1C1－ABC中已知A1A⊥底面ABCA1A A1B1 B1C1aB1B⊥BCB1B底面ABC成角45º求棱台体积．
(24) (题满分10分)
设{an}等差数列bn()an．已知b1＋b2＋b3 b1b2b3．求等差数列通项an．
(25) (题满分12分)
设a>0a≠1解关x等式
(26) (题满分12分)
已知椭圆中心坐标原点O焦点坐标轴直线yx＋1该椭圆相交PQOP⊥OQ|PQ|．求椭圆方程．

1991年普通高等学校招生全国统考试
数学试题(文史类)参考解答评分标准

说明：
．解答指出题考查知识力出种种较常见解法果考生解法解答根试题考查容参评分标准制定相应评分细．
二．题评阅底考生解答中出现错误中断该题评阅．考生解答某步出现错误影响继部分时果该步解答未改变题容难度时视影响程度决定面部分分超面部分应分数半果步解答较严重错误分．
三．阅卷方便试题解答中推导步骤写较详细允许考生解题程中合理省略非关键性推导步骤．
四．解答右端注分数表示考生正确做步应累加分数．
五．整数分数．

．选择题．题考查基知识基运算．题3分满分45分．
(1)A (2)D (3)B (4)C (5)B (6)A (7)D (8)A (9)B (10)C (11)A (12)C (13)C (14)B (15)C

二．填空题．题考查基知识基运算．题3分满分15分．
(16) (－22) (17) 2－ (18) {x|－4
三．解答题
(21) 题考查三角函数式恒等变形三角函数性质．满分8分．
解：ysin2x+2sinxcosx+3cos2x
(sin2x＋cos2x)+2sinxcosx+2cos2x ——2分
1+sin2x+(1＋cos2x) ——4分
2+sin2x+cos2x
2+sin(2x+)． ——6分
sin(2x+)1时函数y值时y值等2+． ——8分
注：没说明sin(2x+)1时函数y值出正确答案扣分．
(22) 题考查复数基概念运算力．满分8分．
解：
——2分
1－i． ——4分
1－i模r．1－i应点第四象限辐角正切
tgθ－1辐角值θπ． ——8分
(23)题考查直线直线直线面位置关系逻辑推理空间想象力．满分10分．
解：A1A⊥底面ABC根面垂线定义A1A⊥BC．BC⊥BB1棱AA1BB1延长线交点利直线面垂直判定定理推出BC⊥侧面A1ABB1根面垂线定义出BC⊥AB．
∴ △ABC直角三角形∠ABC90º．∠ABB1BB1底面ABC成角
∠ABB145º． ——3分
作B1D⊥AB交ABDB1D∥A1AB1D⊥底面ABC．
∵ Rt△B1DB中∠DBB145º
∴ DBDB1AA1a
∴AB2a． ——6分
棱台两底面相似
Rt△ABC∽Rt△A1B1C1．
∵ B1C1A1B1aAB2a
∴ BC2a．
∴ SA1B1×B1C1．
SAB×BC2a2． ——8分
V棱台·A1A·
·a· ——10分
(24)题考查等差数列等数列概念运方程(组)解决问题力．满分10分．
解 设等差数列{an}公差dana1+(n－1)d．
∴
b1b3·．
b1b2b3
解 b2． ——3分
代入已知条件

整理

解方程组b12b3b1b32 ——6分
∴ a1－1d2a13d－2． ——8分
a1－1d2时
ana1+(n－1)d2n－3．
a13d－2时
ana1+(n－1)d5－2n． ——10分
(25)题考查指数函数性质解等式综合分析力．满分12分．
解法 原等式写成 ． ① ——1分
根指数函数性质分两种情形讨：
(Ⅰ)0x4－2x2+a2<0 ② ——3分
0△4－4a2>0
②式等价
③
④
——5分
解③式 x<－x>
解④式 －0{x|－ ——8分
(Ⅱ) a>1时①式
x4－2x2＋a2>0 ⑤ ——9分
a>1判式△<0⑤式意实数x成立原等式解集
{x|－∞综合
0 {x|－a>1时原等式解集
{x|－∞解法二 原等式写成 ． ① ——1分
(Ⅰ) 0x4－2x2＋a2<0 ② ——3分
分解式 (x2－1＋)(x2－1－)<0． ③
④
⑤

⑥⑦
——5分
解④⑤组成等式组
－ ⑥⑦组成等式组解集空集0{x|－ ——8分
(Ⅱ) a>1时①式
x4－2x2＋a2>0 ⑧ ——9分
配方 (x2－1)2＋a2－1>0 ⑨
意实数x等式⑨成立a>1时原等式解集
{x|－∞综合
0 {x|－a>1时原等式解集 {x|－∞(26) 题考查椭圆性质两点距离公式两条直线垂直条件二次方程根系数关系分析问题力．满分12分．
解法 设求椭圆方程

题意知点PQ坐标满足方程组
①

②

②式代入①式整理
(a2＋b2)x2＋2a2x＋a2(1－b2)0 ③ ——2分
设方程③两根分x1x2直线yx＋1椭圆交点
P(x1x1＋1)Q(x2x2＋1)． ——3分
题设OP⊥OQ|PQ|

整理
④
⑤
——6分
解方程组

根根系数关系③式
(Ⅰ) (Ⅱ) ——10分
解方程组(Ⅰ)(Ⅱ)

求椭圆方程
——12分
解法二 解法
(a2+b2)x2+2a2x+a2(1－b2)0 ③ ——2分
解方程③
． ④ ——4分
直线yx+1椭圆交点
P (x1x1+1)Q (x2x2+1)．
题设OP⊥OQ



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