课材料五
第四章 古典线性回模型
引中推出满足凯恩斯条件消费函数收入关普通模型：Cα+βX+ε中α＞00＜β＜1ε机扰动标准古典线性回模型假例1数
例1 支配收入消费支出
年份
支配收入
消费
1970
7516
6721
1971
7792
6968
1972
8103
7371
1973
8647
7679
1974
8575
7628
1975
8479
7794
1976
9068
8231
1977
9429
8643
1978
9888
9032
1979
10157
9276
源：数总统济报告美国政府印刷局华盛顿特区1984
（收入支出全1972年十亿美元）
线性回模型假定
般估计模型具形式：
yi+βxi+εii1…n
中y变量称解释变量x变量称解释变量i标志n样观测值中形式般称作yx总体线性回模型背景y称回量x称回量
构成古典线性回模型组基假设：
1 函数形式：yi+βxi+εii1…n
2 干扰项零均值：i：E[εi]0
3 方差性：i：Var[εi]σ2常数
4 相关：i≠jCov[εiεj]0
5 回量干扰项非相关：ijCov[xiεj]0
6 正态性：iεi满足正态分布N（0）
模型假定点说明：
1函数形式线性模型转换
具般形式
形式g(x)符合关线性模型定义
[例] 常函数形式数线性模型：
取数：
（）
称作变弹性形式方程中yx变化弹性
x变化相反线性模型弹性：
数线性模型通常估计需求函数生产函数
线性模型具巨灵活性实际中存着量非线性模型形式
例变换
（0＜＜1）
转化线性回模型
2回量
回量解释变量两种处理方法第种X设定非机变量第二种方法X设定机变量
1）X非机变量
xi值yi概率分布中已知常数条假定暗示yi值概率分布观察值概率分布具均值
方差
外必假定n≥1
限正数假定称作识条件xi没变化观测值落条垂直线观测数允许作出关回+βx推断识条件等子样极差max(X1…Xn)－min(X1…Xn)≠0
2）X机变量
x作机变量假定1成yx联合分布陈述
条件期方差处理
3机干扰项
1）果干扰项零均值E[εi]μi+βx+εi等（+μ）+βx+（εi－μ）令′+μεi′εi－μ模型模型满足原始模型求
2）观测值中机部分假定相关：
E[εiεj]0 i等j
称非相关
二二法
1 二系数
总体回E[yi|xi] +βxiE[yi|xi]估计记作
第i数点相联系干扰项
ab值残差
估计εi定义知：
值ab残差方：
二法系数拟合标准达ab值化阶条件
两式展开合类项正规方程组
（1）
（2）
（1）式暗示（2）式暗示
解首先n（1）结果
二回线通均值点现分离a：
（3）
a求解（2）b首先（3）代入（2）重新安排项
残差方ab二阶微商矩阵
必须表明正定矩阵两角元素永远正仅需证明行列式正行列式行列式
识条件知正值样ab方化子
2 回拟合评价
1）回量x非机变量
总变差离差方：
第二等式成立
写作
总方回方+残差方
SSTSSR+SSE
利式关回直线数拟合程度度量
方便计算分析约定
xy间样相关系数利表明回斜率xy间相关系数具相符号
进步证明利R2作回模型拟合优劣指标正确性
3 方差分析表
进步研究回方SSR残差方SSE面三结：
a）β0假设条件回方服度1卡方分布x2(1)（什？）
b）残差方服度n2卡方分布x2(n－2)
c）β0假设条件服F（1n－2）分布现证明三结
证明：
a）中易知
验证幂等矩阵
β0假设条件服度1卡方分布x2(1)（什？）
b）
易验证幂等矩阵
等式成立
结成立需β0假设条件什？
c）
SSRSSE相互独立统计量β0假设条件服F（1n－2）分布作模型整体检验统计量
概括计算方便途径方差分析表总结方差分析表1中
表1 方差分析表
变差源
变差
度
均方
回
SSRb2Sxx
1
残差
n－2
总
SSTSyy
n－1
2）回量X机变量
利方差分解公式
应子样空间里
两边掉1n：
X成非机变量时样结果方差分析表样
考虑消费函数例子里C消费X收入
总方部分
总方6497212
回方6443513
残差方53700
显然回提供拟合
消费收入数方差分析表示
例1数方差分析表
变差源
变差
度
均方
回
6443515
1
6443513
残差
53700
8
67124
总
6497213
9
721912
计算通常R2相类似公式：
模型残差计算
三二法估计量统计特征
利二法纯粹代数方法求拟合二系数ab统计意义说结果作参数β估计（存着利估计方法估计）现ab偏性效性精确度等统计特性作分析
考虑计量模型：
β二估计
（1）
中权数 （2）
仅仅x1…xn函数
1bβ偏估计
代入（1）
（3）
（4）
ε分布假定bβ偏估计量利（3）b样方差
线性回模型假定4暗示方差中协方差项零
特注意b方差中分母x变差越（x采样范围越广）方差越
2aα偏估计
二截距a：
利（3）式加整理
中
求中项期0aα估计量偏估计量a样方差方差根独立性
（通括号中项进行方利结果式中结果）
3ab估计量协方差矩阵
两估计协方差
ab两者形式线性估计量前边出样均值方差证实偏正已指出存利数估计β方法然线性偏估计量角度没估计量二估计量具更样方差高斯—马尔科夫定理
****正态分布干扰项假定加入面程时估计量分布完备结果ab两者正态分布变量线性函数正态分布均值方差已导出概括起正态性假设
4bβ线性偏估计
思考：证明b线性偏估计量中方差估计量
[证明] 令估计量
等式两边取期偏必须样方差
令
利易方差中留两方项意味着定
推导
四二估计量统计推断
前面容里假定干扰项正态分布样X1…Xn非机条件出二估计量确切样分布通常参数估计程包括构造置信区间αβ值假设检验做点需参数真正样方差估计需未知参数估计构造假设检验方法
1偏估计量推导
期值估计
似然估计量通写出代入
（1）
某干扰项估计受两种素扭曲：干扰项样均β非完美估计事实造成影响回忆干扰项独立现方两边取期值
项求时利整理
表明偏估计量
样b抽样方差估计
记号表示估计量抽样方差样估计
t分布统计量构造
（1）
分布标准正态服
（2）
b独立
根（1）（2）：
标准正态变量度卡方量方根服度（n－2）t分布样记率
（3）
形成统计推断基础
2抽样分布
β置信区间（3）基础特
≤≤
中求置信水度（n－2）t分布适界值利a估计方差样构造α置信区间
3β假设检验
构造干扰项方差置信区间利（2）前边样推理95置信区间
相关程检验参数否取定值检验假设
简单程利置信区间置信区间出定样数情况β似值集合果集合包含β0原假设应该拒绝原假设率
服度（n－2）t分布均值0率尾部极端值假设值怀疑样般
拒绝H0里度（n－2）t分布100（1－λ2）界值
例子
前边回中
a－675806 b09793
计算标准误差需
度n－28分布95界值2306αβ95置信区间分
－675806+2306（2791） －13194 －322
09793+2306（003161） －090641 －10522
基度（10—2）8x2分布σ2置信区间 相应界值218155置信区间
＜σ2＜
3062＜σ2＜24633
显太宽然通常ε标准差方差更感兴趣基样结果σ95置信区间5891569
五预测
参数估计外回常见作进行预测假定x0回量已知值预测x0相应y取值y0感兴趣试图真值y0进行预测：
1．体预测(Individual Prediction）
预测值 （ i1…n）
预测误差
两边取期E[e0]0预测误差均值0意义二预测偏预测误差方差
分布
够y0构造预测区间具参数置信区间相形式特预测区间
（3）
2．均值预测（Mean Prediction）
均值预测预测值 考虑机干扰项
预测误差
两边取期E[e0]0预测误差均值0意义二预测偏预测误差方差
分布
够y0构造预测区间具参数置信区间相形式特预测区间
（4）
例子
利例1中消费数果1980年支配收入预测1030美元（十亿）计算预测区间需
a－675806
b09793
s267125
Sxx6719244
n10
t分布界值2306代入3预测区间：
－675806+09793(1030)+2306(98256)
9411+22658
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第四章 古典线性回模型
引中推出满足凯恩斯条件消费函数收入关普通模型：Cα+βX+ε中α＞00＜β＜1ε机扰动标准古典线性回模型假例1数
例1 支配收入消费支出
年份
支配收入
消费
1970
7516
6721
1971
7792
6968
1972
8103
7371
1973
8647
7679
1974
8575
7628
1975
8479
7794
1976
9068
8231
1977
9429
8643
1978
9888
9032
1979
10157
9276
源：数总统济报告美国政府印刷局华盛顿特区1984
（收入支出全1972年十亿美元）
线性回模型假定
般估计模型具形式：
yi+βxi+εii1…n
中y变量称解释变量x变量称解释变量i标志n样观测值中形式般称作yx总体线性回模型背景y称回量x称回量
构成古典线性回模型组基假设：
1 函数形式：yi+βxi+εii1…n
2 干扰项零均值：i：E[εi]0
3 方差性：i：Var[εi]σ2常数
4 相关：i≠jCov[εiεj]0
5 回量干扰项非相关：ijCov[xiεj]0
6 正态性：iεi满足正态分布N（0）
模型假定点说明：
1函数形式线性模型转换
具般形式
形式g(x)符合关线性模型定义
[例] 常函数形式数线性模型：
取数：
（）
称作变弹性形式方程中yx变化弹性
x变化相反线性模型弹性：
数线性模型通常估计需求函数生产函数
线性模型具巨灵活性实际中存着量非线性模型形式
例变换
（0＜＜1）
转化线性回模型
2回量
回量解释变量两种处理方法第种X设定非机变量第二种方法X设定机变量
1）X非机变量
xi值yi概率分布中已知常数条假定暗示yi值概率分布观察值概率分布具均值
方差
外必假定n≥1
限正数假定称作识条件xi没变化观测值落条垂直线观测数允许作出关回+βx推断识条件等子样极差max(X1…Xn)－min(X1…Xn)≠0
2）X机变量
x作机变量假定1成yx联合分布陈述
条件期方差处理
3机干扰项
1）果干扰项零均值E[εi]μi+βx+εi等（+μ）+βx+（εi－μ）令′+μεi′εi－μ模型模型满足原始模型求
2）观测值中机部分假定相关：
E[εiεj]0 i等j
称非相关
二二法
1 二系数
总体回E[yi|xi] +βxiE[yi|xi]估计记作
第i数点相联系干扰项
ab值残差
估计εi定义知：
值ab残差方：
二法系数拟合标准达ab值化阶条件
两式展开合类项正规方程组
（1）
（2）
（1）式暗示（2）式暗示
解首先n（1）结果
二回线通均值点现分离a：
（3）
a求解（2）b首先（3）代入（2）重新安排项
残差方ab二阶微商矩阵
必须表明正定矩阵两角元素永远正仅需证明行列式正行列式行列式
识条件知正值样ab方化子
2 回拟合评价
1）回量x非机变量
总变差离差方：
第二等式成立
写作
总方回方+残差方
SSTSSR+SSE
利式关回直线数拟合程度度量
方便计算分析约定
xy间样相关系数利表明回斜率xy间相关系数具相符号
进步证明利R2作回模型拟合优劣指标正确性
3 方差分析表
进步研究回方SSR残差方SSE面三结：
a）β0假设条件回方服度1卡方分布x2(1)（什？）
b）残差方服度n2卡方分布x2(n－2)
c）β0假设条件服F（1n－2）分布现证明三结
证明：
a）中易知
验证幂等矩阵
β0假设条件服度1卡方分布x2(1)（什？）
b）
易验证幂等矩阵
等式成立
结成立需β0假设条件什？
c）
SSRSSE相互独立统计量β0假设条件服F（1n－2）分布作模型整体检验统计量
概括计算方便途径方差分析表总结方差分析表1中
表1 方差分析表
变差源
变差
度
均方
回
SSRb2Sxx
1
残差
n－2
总
SSTSyy
n－1
2）回量X机变量
利方差分解公式
应子样空间里
两边掉1n：
X成非机变量时样结果方差分析表样
考虑消费函数例子里C消费X收入
总方部分
总方6497212
回方6443513
残差方53700
显然回提供拟合
消费收入数方差分析表示
例1数方差分析表
变差源
变差
度
均方
回
6443515
1
6443513
残差
53700
8
67124
总
6497213
9
721912
计算通常R2相类似公式：
模型残差计算
三二法估计量统计特征
利二法纯粹代数方法求拟合二系数ab统计意义说结果作参数β估计（存着利估计方法估计）现ab偏性效性精确度等统计特性作分析
考虑计量模型：
β二估计
（1）
中权数 （2）
仅仅x1…xn函数
1bβ偏估计
代入（1）
（3）
（4）
ε分布假定bβ偏估计量利（3）b样方差
线性回模型假定4暗示方差中协方差项零
特注意b方差中分母x变差越（x采样范围越广）方差越
2aα偏估计
二截距a：
利（3）式加整理
中
求中项期0aα估计量偏估计量a样方差方差根独立性
（通括号中项进行方利结果式中结果）
3ab估计量协方差矩阵
两估计协方差
ab两者形式线性估计量前边出样均值方差证实偏正已指出存利数估计β方法然线性偏估计量角度没估计量二估计量具更样方差高斯—马尔科夫定理
****正态分布干扰项假定加入面程时估计量分布完备结果ab两者正态分布变量线性函数正态分布均值方差已导出概括起正态性假设
4bβ线性偏估计
思考：证明b线性偏估计量中方差估计量
[证明] 令估计量
等式两边取期偏必须样方差
令
利易方差中留两方项意味着定
推导
四二估计量统计推断
前面容里假定干扰项正态分布样X1…Xn非机条件出二估计量确切样分布通常参数估计程包括构造置信区间αβ值假设检验做点需参数真正样方差估计需未知参数估计构造假设检验方法
1偏估计量推导
期值估计
似然估计量通写出代入
（1）
某干扰项估计受两种素扭曲：干扰项样均β非完美估计事实造成影响回忆干扰项独立现方两边取期值
项求时利整理
表明偏估计量
样b抽样方差估计
记号表示估计量抽样方差样估计
t分布统计量构造
（1）
分布标准正态服
（2）
b独立
根（1）（2）：
标准正态变量度卡方量方根服度（n－2）t分布样记率
（3）
形成统计推断基础
2抽样分布
β置信区间（3）基础特
≤≤
中求置信水度（n－2）t分布适界值利a估计方差样构造α置信区间
3β假设检验
构造干扰项方差置信区间利（2）前边样推理95置信区间
相关程检验参数否取定值检验假设
简单程利置信区间置信区间出定样数情况β似值集合果集合包含β0原假设应该拒绝原假设率
服度（n－2）t分布均值0率尾部极端值假设值怀疑样般
拒绝H0里度（n－2）t分布100（1－λ2）界值
例子
前边回中
a－675806 b09793
计算标准误差需
度n－28分布95界值2306αβ95置信区间分
－675806+2306（2791） －13194 －322
09793+2306（003161） －090641 －10522
基度（10—2）8x2分布σ2置信区间 相应界值218155置信区间
＜σ2＜
3062＜σ2＜24633
显太宽然通常ε标准差方差更感兴趣基样结果σ95置信区间5891569
五预测
参数估计外回常见作进行预测假定x0回量已知值预测x0相应y取值y0感兴趣试图真值y0进行预测：
1．体预测(Individual Prediction）
预测值 （ i1…n）
预测误差
两边取期E[e0]0预测误差均值0意义二预测偏预测误差方差
分布
够y0构造预测区间具参数置信区间相形式特预测区间
（3）
2．均值预测（Mean Prediction）
均值预测预测值 考虑机干扰项
预测误差
两边取期E[e0]0预测误差均值0意义二预测偏预测误差方差
分布
够y0构造预测区间具参数置信区间相形式特预测区间
（4）
例子
利例1中消费数果1980年支配收入预测1030美元（十亿）计算预测区间需
a－675806
b09793
s267125
Sxx6719244
n10
t分布界值2306代入3预测区间：
－675806+09793(1030)+2306(98256)
9411+22658
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