圆
知识点圆定义关概念[源学&科&网Z&X&X&K]
1圆定义：面定点距离等定长点组成图形做圆
2关概念：弦直径弧等弧优弧劣弧半圆弦心距等圆圆心圆
圆意两点间部分做圆弧简称弧连接圆意两点间线段做弦圆心弦做直径直径长弦
圆等圆中够重合两条弧做等弧
例 P⊙O点OP3cm⊙O半径5cmP点短弦长________长弦长_______．
解题思路：圆长弦直径短弦OP垂直弦答案：10 cm8 cm
知识点二面点圆位置关系
面点圆位置关系三种：点圆外点圆点圆
点圆外时d＞r反d＞r时点圆外
点圆时d＝r反d＝r时点圆
点圆时d＜r反d＜r时点圆
例 图中直角边点分中点点圆心长半径画圆点圆A_________点圆A_________．
解题思路：利点圆位置关系答案：外部部
练：直角坐标面圆半径5圆心坐标．试判断点圆位置关系．
答案：点圆O．
知识点三圆基性质
1圆轴称图形称轴意条圆心直线
2垂径定理：垂直弦直径分条弦分弦弧
垂径定理推：分弦（直径）直径垂直弦分弦弧
3圆具旋转称性特圆中心称图形称中心圆心
圆心角定理：圆等圆中果两圆心角两条弧两条弦中组量相等应余组量分相等
4圆周角定理：条弧圆周角等圆心角半[源学科网ZXXK]
圆周角定理推１：圆等圆中弧等弧圆周角相等
圆周角定理推２：直径圆周角直角９０°圆周角弦直径
例1 图半径5cm⊙O中圆心O弦AB距离3cm弦AB长（ ）
A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
解题思路：圆中知圆半径R弦长a圆心弦距离d根垂径定理R2d2+（）2三量知道两求出第三．答案C
例2图ABCD⊙O三点∠BAC30°∠BOC( )
A60° B45° C30° D15°
解题思路：运圆周角圆心角关系定理答案：A
例3图1图2MN⊙O直径弦ABCD相交MN点P∠APM∠CPM．
（1）条件认ABCD关系什请说明理．
（2）交点P⊙O外部述结否成立？成立加证明成立请说明理．
(1) (2)
解题思路：（1）说明ABCD证明ABCD圆心角相等说明半相等．
述结然成立证明思路面题目模样．
解：（1）ABCD
理：O作OEOF分垂直ABCD垂足分EF
∵∠APM∠CPM ∴∠1∠2 OEOF
连结ODOBOBOD ∴Rt△OFD≌Rt△OEB ∴DFBE
根垂径定理：ABCD
（2）作OE⊥ABOF⊥CD垂足EF
∵∠APM∠CPNOPOP∠PEO∠PFO90°
∴Rt△OPE≌Rt△OPF ∴OEOF
连接OAOBOCOD
易证Rt△OBE≌Rt△ODFRt△OAE≌Rt△OCF
∴∠1+∠2∠3+∠4 ∴ABCD
例4．图AB⊙O直径BD⊙O弦延长BDCACABBDCD什关系？什？
解题思路：BDCDABAC△ABC等腰证明DBC中点连结AD证明AD高∠BAC分线．
解：BDCD
理：图24－30连接AD
∵AB⊙O直径 ∴∠ADB90°AD⊥BC
∵ACAB ∴BDCD
知识点四圆三角形关系
1条直线三点确定圆
2三角形外接圆：三角形三顶点圆
3三角形外心：三角形三边垂直分线交点三角形外接圆圆心
4三角形切圆：三角形三边相切圆
5三角形心：三角形三条角分线交点三角形切圆圆心
例1 图通防治非典增强卫生意识街乱扔生活垃圾少觉生活垃圾倒入垃圾桶中图24－49示ABC市三住宅区环保公司建垃圾回收站方便起见回收站建三区相等某处请问果工程师选址．
解题思路： 连结ABBC作线段ABBC中垂线两条中垂线交点垃圾回收站位置．
例2 图点O△ABC切圆圆心∠BAC80°
∠BOC（ ）
A．130° B．100° C．50° D．65°
解题思路：题解题关键弄清三角形切圆圆心三角形角分线交点答案A
例3 图Rt△ABC∠C90°AC3cmBC4cm外心顶点C距离（ ）．
A．5 cm B．25cm C．3cm D．4cm
解题思路：直角三角形外心位置斜边中点答案 B
知识点五直线圆位置关系：相交相切相离
直线圆相交时d＜r反d＜r时直线圆相交[源ZxxkCom]
直线圆相切时d＝r反d＝r时直线圆相切
直线圆相离时d＞r反d＞r时直线圆相离
切线性质定理：圆切线垂直切点直径
切线判定定理：直径端垂直条直径直线圆切线
切线长：圆外点圆切线点切点间线段长做点圆切线长
切线长定理：圆外点引圆两条切线切线长相等圆心圆外点连线分两条切线夹角
例1 中BC6cm∠B30°∠C45°A圆心半径r长时作⊙A直线BC相切？相交？相离？
解题思路：作AD⊥BCD
中∠B30° ∴
中∠C45°
∴ CDAD
∵ BC6cm ∴
∴
∴ 时⊙ABC相切时⊙ABC相交时⊙ABC相离
例2．图AB⊙O直径C⊙O点DAB延长线∠DCB∠A．
（1）CD⊙O相切？果相切请加证明果相切请说明理．
（2）CD⊙O相切∠D30°BD10求⊙O半径．
解题思路：（1）说明CD否⊙O切线说明OC否垂直CD垂足CC点已圆．
已知易：∠A30°∠DCB∠A30°：BCBD10
解：（1）CD⊙O相切
理：①C点⊙O（已知）
②∵AB直径
∴∠ACB90°∠ACO+∠OCB90°
∵∠A∠OCA∠DCB∠A
∴∠OCA∠DCB ∴∠OCD90°
综：CD⊙O切线．
（2）Rt△OCD中∠D30°
∴∠COD60° ∴∠A30° ∴∠BCD30°
∴BCBD10
∴AB20∴r10
答：（1）CD⊙O切线（2）⊙O半径10．
知识点六圆圆位置关系
重点：两圆五种位置关系中等价条件运．
难点：探索两圆间五种关系等价条件应解题．
外离：两圆没公点圆点圆外部相离：
含：两圆没公点圆点圆部
相切：
外切：两圆公点公点外圆点圆外部
切：两圆公点公点外圆点圆部
相交：两圆两公点
设两圆半径分r1r2圆心距（两圆圆心距离）d两圆位置关系dr1r2间关系．
外离d>r1+r2
外切dr1+r2
相交│r1－r2│ 切d│r1－r2│
含0≤d<│r1－r2│（中d0两圆心）
例1．两样肥皂泡黏起剖面图1示（点OO′圆心）分隔两肥皂泡肥皂膜PQ成条直线TPNP分两圆切线求∠TPN．
（1） (2)
解题思路：求∠TPN实求∠OPO′角度明显∠POO′正三角形图2示．
解：∵POOO′PO′ ∴△PO′O等边三角形 ∴∠OPO′60°
∵TPNP分两圆切线∴∠TPO90°∠NPO′90°
∴∠TPN360°－2×90°－60°120°
例2．图1示⊙O半径7cm点A⊙O外点OA15cm
求：（1）作⊙A⊙O外切求⊙A半径少？
(1) (2)
(2）作⊙A⊙O相切求出时⊙A半径．
解题思路：（1）作⊙A⊙O外切作A圆心圆⊙O圆心距drO+rA（2）作OA⊙O相切作A圆心圆⊙O圆心距drA－rO．
解：图2示（1）作法：A圆心rA15－78半径作圆⊙A半径8cm
（2）作法：A点圆心rA′15+722半径作圆⊙A半径22cm
例3．图示点A坐标（03）OA半径1点Bx轴．
（1）点B坐标（40）⊙B半径3试判断⊙A⊙B位置关系
_
A
_
y
_
x
_
O
（2）⊙BM（－20）⊙A相切求B点坐标．
（1）AB5>1+3外离．
（2）设B（x0）x≠－2AB⊙B半径│x+2│
①设⊙B⊙A外切│x+2│+1
x>－2时x+3方化简：x0符题意∴B（00）
x<－2时－x－1化简x4>－2（舍）
②设⊙B⊙A切│x+2│－1
x>－2时x+1x4>－2∴B（40）
x<－2时－x－3x0
知识点七正边形圆
重点：讲清正边形圆中心正边形半径中心角弦心距边长间关系．
难点：学生理解四者：正边形半径中心角弦心距边长间关系．[源学科网]
正边形中心：称轴交点
正边形半径：正边形外接圆半径
正边形边心距：正边形切圆半径
正边形中心角：正边形条边圆心角
正n边形n条半径正n边形分成n全等等腰三角形等腰三角形相应边心距分成两全等直角三角形
例1．图已知正六边形ABCDEF外接圆半径a求正六边形周长面积．
解题思路：求正六边形周长求AB长已知条件外接圆半径然然边长应半径挂钩然应连接OAO点作OM⊥AB垂MRt△AOM中便求AM应垂径定理求AB长．正六边形面积六块正三角形面积组成．
解：图示ABCDEF正六边形中心角等60°△OBC等边三角形正六边形边长等半径．
求正六边形周长6a
Rt△OAM中OAaAMABa
利勾股定理边心距
OMa
∴求正六边形面积6××AB×OM6××a×aa2
例2．直径AB半圆划出块三角形区域图示三角形边AB顶点C半圆圆周两边分68现建造接△ABC矩形水池DEFN中DEAB图24－94设计方案AC8BC6．
（1）求△ABC边AB高h．
（2）设DNxx取值时水池DEFN面积？
（3）实际施工时发现AB距B点1．85M处棵树问：棵树否位矩形水池边？果保护树请设计出外方案接满足条件三角形中欲建矩形水池避开树．
解题思路：求矩形面积先列出面积表达式考虑值求法初中阶段尤现学知识应配方法求值．（3）设计新意应圆称性圆满解决题．
解：（1）AB·CGAC·BCh48
（2）∵hDNx ∴NF
S四边形DEFNx·（48－x）－x2+10x－（x2－x）
－ [（x－）2－]－（x－24）2+12
∵－（x－24）2≤0 ∴－（x－24）2+12≤12 x24时取等号
∴x24时SDEFN．
（3）SDEFN时x24时FBC中点Rt△FEB中EF24BF3．
∴BE18
∵BM185∴BM>EB树必位欲修建水池边应重新设计方案．
∵x24时DE5 ∴AD32
圆称性知满足条件设计方案图示
时AC6BC8AD18BE32样设计满足条件避开树．
知识点八弧长扇形圆锥侧面积面积
重点：n°圆心角弧长L扇形面积S扇圆锥侧面积面积应．
难点：公式应．
1．n°圆心角弧长L
2．圆心角n°扇形面积S扇形
3全面积侧面积底面圆面积组成全面积rL+r2．
例1．操作证明：图示O边长a正方形ABCD中心块半径足够长圆心角直角扇形纸板圆心放O处纸板绕O点旋转求证：正方形ABCD边纸板覆盖部分总长度定值a．
解题思路：图示妨设扇形纸板两边正方形边ABAD分交点MN连结OAOD． ∵四边形ABCD正方形
∴OAOD∠AOD90°∠MAO∠NDO
∠MON90°∠AOM∠DON ∴△AMO≌△DNO
∴AMDN ∴AM+ANDN+ANADa
特点M点A（点B）重合时点N必点D（点A）重合时AM+AN定值a．总正方形边纸板覆盖部分总长度定值a．
例2．已知扇形圆心角120°面积300cm2．
（1）求扇形弧长
（2）扇形卷成圆锥圆锥轴截面面积少？
解题思路：（1）S扇形求出R代入L求．（2）扇形卷成圆锥扇形弧长圆锥底面圆周长求圆半径截面底直径圆锥母线腰等腰三角形．[源学科网ZXXK]
解：（1）图示：
∵300 ∴R30
∴弧长L20（cm）
（2）图示：
∵2020r ∴r10R30 AD20
∴S轴截面×BC×AD
×2×10×20200（cm2）
扇形弧长20cm卷成圆锥轴截面200cm2．
新考题
中考求命题趋势
1理解圆基概念性质
2求线段角弧度数
3圆相似三角形全等三角形三角函数综合题
4直线圆位置关系
5圆切线性质 判定
6三角形切圆三角形心概念
7圆圆五种位置关系
8两圆位置关系两圆半径差圆心距间关系式两圆相切相交性质
9掌握弧长扇形面积计算公式
10理解圆柱圆锥侧面展开图
11掌握圆柱圆锥侧面积全面积计算
2010年中考继续考查圆关性质中圆三角形相似（全等）三角函数综合题考查重点直线圆关系作考查重点中直线圆位置关系开放题探究题考查重点继续考查圆圆位置五种关系弧长扇形面积计算圆柱圆锥侧面积全面积计算考查重点
应试策
圆综合题考切线必须问题般圆前面相似三角形前面知识点接触说东西通学面然牵扯前面前面忘掉简单东西忘掉面会前面学知识常知识面时直线圆前部分重点容面扇形面积圆锥圆柱侧面积必考面填空题选择题扇形面积公式圆锥圆柱侧面积公式记住圆章特关圆性质两单元重概念定理先掌握首先掌握题目定理简单应概念定理没掌握谈应首先应该掌握掌握掌握两章解题思路解题方法说已单元基定理掌握里面介绍掌握解题思路样掌握解决中等难题思路呢？暂认基知识掌握圆关性质章需掌握解题思路解题方法呢？第两章三条常辅助线章圆心距第二章直径圆周角第三条切线径连接圆心切点者连接圆周角距离条常辅助线分析题目思路圆中非常重弧常圆周角互相转换应根题目条件定
考查目标指圆基础知识包括圆称性圆心角弧弦间相等关系圆周角圆心角间关系直径圆周角直角垂径定理等容部分容圆基础知识学生学会利相关知识进行简单推理计算
例1图AB⊙O直径BC弦OD⊥BCE交D．
(1)请写出五类型正确结
(2)BC8ED＝2求⊙O半径．
解题思路：运圆垂径定理等容
解：(1)类型正确结：
①BECE ②弧BD弧CD ③∠BED90°④∠BOD∠A⑤AC∥OD⑥AC⊥BC
⑦OE2+BE2OB2⑧S△ABC＝BC·OE⑨△BOD等腰三角形⑩△BOE∽△BAC
(2)∵OD⊥BC ∴BE＝CEBC4．
设⊙O半径ROEOD－DER－2．
Rt△OEB中勾股定理
OE2＋BE2OB2(R－2)2＋42R2．解R＝5． ∴ ⊙ O半径5
例2已知：图等边接⊙O点劣弧PC点（端点外）延长连结．
（1）圆心图①请判断什三角形？说明理．
（2）圆心图②什三角形？什？
A
O
C
D
P
B
图①
A
O
C
D
P
B
图②
解题思路：（1）等边三角形．
理：等边三角形
⊙O中
． [源ZxxkCom]
圆心
等边三角形．
（2）等边三角形
理：先证（程）
等边三角形．
例3(1)图OAOB⊙O两条半径OA⊥OB点COB延长线意点：点C作CD切⊙O点D连结AD交DC点E．求证：CDCE
(2)图中半径OB直线行移动交OAF交⊙OB’条件变述结CDCE成立什
(3)图中半径OB直线行移动⊙O外CF点EDA延长线CF交点条件变述结CDCE成立什
解题思路：题考查圆关知识考查图形运动变化中探究力推理力．
解答：(1)证明：连结OD OD⊥CD∴∠CDE+∠ODA90°
Rt△AOE中∠AEO+∠A90°
⊙O中OAOD∴∠A∠ODA ∴∠CDE∠AEO [源Z|xx|kCom]
∵∠AEO∠CED∠CDE∠CED ∴CDCE
(2)CECD然成立．
∵原半径OB直线行移动∴CF⊥AOF
Rt△AFE中∠A+∠AEF90°．
连结OD∠ODA+∠CDE90°OAOD ．∠A∠ODA
∴∠AEF∠CDE ∠AEF∠CED ∴∠CED∠CDE∴CDCE
(3)CECD然成立．
∵原半径OB直线行移动．AO⊥CF
延长OA交CFGRt△AEG中∠AEG+∠GAE90°
连结OD∠CDA+∠ODA90°OAOD∴∠ADO∠OAD∠GAE
∴∠CDE∠CED ∴CDCE
考查目标二指点圆位置关系直线圆位置关系圆圆位置关系相关容学生学会动态观点理解解决圆关位置关系问题
例1⊙O直径切⊙O交⊙O连A
B
C
P
O
．求度数．
解题思路：运切线性质
切⊙O⊙O直径 ∴． [源学科网ZXXK]
∴．∴
例2图四边形接⊙O⊙O直径垂足分．
（1）求证：⊙O切线
D
E
C
B
O
A
（2）求长．
解题思路：运切线判定
（1）证明：连接分．
．．
．
D
E
C
B
O
A
．
．⊙O切线．
（2）直径．
．
分．．
中．
中．
长1cm长4cm．
考查目标三指圆中计算问题包括弧长扇形面积圆柱圆锥侧面积全面积计算部分容历年中考必考容学生理解圆柱侧面展开图矩形圆锥侧面展开图扇形间关系
例1图已知⊙O中ABAC⊙O直径AC⊥BDF∠A30°
(1)求图中阴影部分面积
(2)阴影扇形OBD围成圆锥侧面请求出圆锥底面圆半径
解题思路：（1）法：O作OE⊥ABEAEAB2
F
E
RtAEO中∠BAC30°cos30°．
∴OA4．
∵OAOB∴∠ABO30°．∴∠BOC60°．
∵AC⊥BD∴．∴∠COD ∠BOC60°．∴∠BOD120°．
F
∴S阴影．
法二：连结AD．
∵AC⊥BDAC直径
∴AC垂直分BD
∴ABADBFFD∴∠BAD2∠BAC60°∴∠BOD120°．
∵BFAB2sin60° AFAB·sin60°4×6
∴OB2BF2+OF2．．∴OB4．∴S阴影S圆
法三：连结BC．
∵AC⊙O直径 ∴∠ABC90°
F
∵AB4∴
∵∠A30° AC⊥BD ∴∠BOC60°∴∠BOD120°．
∴S阴影π·OA2×42·π
法
（2）设圆锥底面圆半径r周长2πr∴
O
①
②
③
∴
例2图直径2圆形铁皮中剪圆心角扇形．
（1）求扇形面积（结果保留）．
（2）剩三块余料中否第③块余料中剪出圆作底面
扇形围成圆锥？请说明理．
（3）⊙O半径意值时（2）中结否然成立？请说明理．
解题思路：（1）连接勾股定理求：
①
②
③
（2）连接延长弧交
弧长：
圆锥底面直径：
余料③中剪出圆作底面扇形围成圆锥．
（3）勾股定理求： 弧长：
圆锥底面直径：
半径值
· 余料③中剪出圆作底面扇形围成圆锥．
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知识点圆定义关概念[源学&科&网Z&X&X&K]
1圆定义：面定点距离等定长点组成图形做圆
2关概念：弦直径弧等弧优弧劣弧半圆弦心距等圆圆心圆
圆意两点间部分做圆弧简称弧连接圆意两点间线段做弦圆心弦做直径直径长弦
圆等圆中够重合两条弧做等弧
例 P⊙O点OP3cm⊙O半径5cmP点短弦长________长弦长_______．
解题思路：圆长弦直径短弦OP垂直弦答案：10 cm8 cm
知识点二面点圆位置关系
面点圆位置关系三种：点圆外点圆点圆
点圆外时d＞r反d＞r时点圆外
点圆时d＝r反d＝r时点圆
点圆时d＜r反d＜r时点圆
例 图中直角边点分中点点圆心长半径画圆点圆A_________点圆A_________．
解题思路：利点圆位置关系答案：外部部
练：直角坐标面圆半径5圆心坐标．试判断点圆位置关系．
答案：点圆O．
知识点三圆基性质
1圆轴称图形称轴意条圆心直线
2垂径定理：垂直弦直径分条弦分弦弧
垂径定理推：分弦（直径）直径垂直弦分弦弧
3圆具旋转称性特圆中心称图形称中心圆心
圆心角定理：圆等圆中果两圆心角两条弧两条弦中组量相等应余组量分相等
4圆周角定理：条弧圆周角等圆心角半[源学科网ZXXK]
圆周角定理推１：圆等圆中弧等弧圆周角相等
圆周角定理推２：直径圆周角直角９０°圆周角弦直径
例1 图半径5cm⊙O中圆心O弦AB距离3cm弦AB长（ ）
A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
解题思路：圆中知圆半径R弦长a圆心弦距离d根垂径定理R2d2+（）2三量知道两求出第三．答案C
例2图ABCD⊙O三点∠BAC30°∠BOC( )
A60° B45° C30° D15°
解题思路：运圆周角圆心角关系定理答案：A
例3图1图2MN⊙O直径弦ABCD相交MN点P∠APM∠CPM．
（1）条件认ABCD关系什请说明理．
（2）交点P⊙O外部述结否成立？成立加证明成立请说明理．
(1) (2)
解题思路：（1）说明ABCD证明ABCD圆心角相等说明半相等．
述结然成立证明思路面题目模样．
解：（1）ABCD
理：O作OEOF分垂直ABCD垂足分EF
∵∠APM∠CPM ∴∠1∠2 OEOF
连结ODOBOBOD ∴Rt△OFD≌Rt△OEB ∴DFBE
根垂径定理：ABCD
（2）作OE⊥ABOF⊥CD垂足EF
∵∠APM∠CPNOPOP∠PEO∠PFO90°
∴Rt△OPE≌Rt△OPF ∴OEOF
连接OAOBOCOD
易证Rt△OBE≌Rt△ODFRt△OAE≌Rt△OCF
∴∠1+∠2∠3+∠4 ∴ABCD
例4．图AB⊙O直径BD⊙O弦延长BDCACABBDCD什关系？什？
解题思路：BDCDABAC△ABC等腰证明DBC中点连结AD证明AD高∠BAC分线．
解：BDCD
理：图24－30连接AD
∵AB⊙O直径 ∴∠ADB90°AD⊥BC
∵ACAB ∴BDCD
知识点四圆三角形关系
1条直线三点确定圆
2三角形外接圆：三角形三顶点圆
3三角形外心：三角形三边垂直分线交点三角形外接圆圆心
4三角形切圆：三角形三边相切圆
5三角形心：三角形三条角分线交点三角形切圆圆心
例1 图通防治非典增强卫生意识街乱扔生活垃圾少觉生活垃圾倒入垃圾桶中图24－49示ABC市三住宅区环保公司建垃圾回收站方便起见回收站建三区相等某处请问果工程师选址．
解题思路： 连结ABBC作线段ABBC中垂线两条中垂线交点垃圾回收站位置．
例2 图点O△ABC切圆圆心∠BAC80°
∠BOC（ ）
A．130° B．100° C．50° D．65°
解题思路：题解题关键弄清三角形切圆圆心三角形角分线交点答案A
例3 图Rt△ABC∠C90°AC3cmBC4cm外心顶点C距离（ ）．
A．5 cm B．25cm C．3cm D．4cm
解题思路：直角三角形外心位置斜边中点答案 B
知识点五直线圆位置关系：相交相切相离
直线圆相交时d＜r反d＜r时直线圆相交[源ZxxkCom]
直线圆相切时d＝r反d＝r时直线圆相切
直线圆相离时d＞r反d＞r时直线圆相离
切线性质定理：圆切线垂直切点直径
切线判定定理：直径端垂直条直径直线圆切线
切线长：圆外点圆切线点切点间线段长做点圆切线长
切线长定理：圆外点引圆两条切线切线长相等圆心圆外点连线分两条切线夹角
例1 中BC6cm∠B30°∠C45°A圆心半径r长时作⊙A直线BC相切？相交？相离？
解题思路：作AD⊥BCD
中∠B30° ∴
中∠C45°
∴ CDAD
∵ BC6cm ∴
∴
∴ 时⊙ABC相切时⊙ABC相交时⊙ABC相离
例2．图AB⊙O直径C⊙O点DAB延长线∠DCB∠A．
（1）CD⊙O相切？果相切请加证明果相切请说明理．
（2）CD⊙O相切∠D30°BD10求⊙O半径．
解题思路：（1）说明CD否⊙O切线说明OC否垂直CD垂足CC点已圆．
已知易：∠A30°∠DCB∠A30°：BCBD10
解：（1）CD⊙O相切
理：①C点⊙O（已知）
②∵AB直径
∴∠ACB90°∠ACO+∠OCB90°
∵∠A∠OCA∠DCB∠A
∴∠OCA∠DCB ∴∠OCD90°
综：CD⊙O切线．
（2）Rt△OCD中∠D30°
∴∠COD60° ∴∠A30° ∴∠BCD30°
∴BCBD10
∴AB20∴r10
答：（1）CD⊙O切线（2）⊙O半径10．
知识点六圆圆位置关系
重点：两圆五种位置关系中等价条件运．
难点：探索两圆间五种关系等价条件应解题．
外离：两圆没公点圆点圆外部相离：
含：两圆没公点圆点圆部
相切：
外切：两圆公点公点外圆点圆外部
切：两圆公点公点外圆点圆部
相交：两圆两公点
设两圆半径分r1r2圆心距（两圆圆心距离）d两圆位置关系dr1r2间关系．
外离d>r1+r2
外切dr1+r2
相交│r1－r2│
含0≤d<│r1－r2│（中d0两圆心）
例1．两样肥皂泡黏起剖面图1示（点OO′圆心）分隔两肥皂泡肥皂膜PQ成条直线TPNP分两圆切线求∠TPN．
（1） (2)
解题思路：求∠TPN实求∠OPO′角度明显∠POO′正三角形图2示．
解：∵POOO′PO′ ∴△PO′O等边三角形 ∴∠OPO′60°
∵TPNP分两圆切线∴∠TPO90°∠NPO′90°
∴∠TPN360°－2×90°－60°120°
例2．图1示⊙O半径7cm点A⊙O外点OA15cm
求：（1）作⊙A⊙O外切求⊙A半径少？
(1) (2)
(2）作⊙A⊙O相切求出时⊙A半径．
解题思路：（1）作⊙A⊙O外切作A圆心圆⊙O圆心距drO+rA（2）作OA⊙O相切作A圆心圆⊙O圆心距drA－rO．
解：图2示（1）作法：A圆心rA15－78半径作圆⊙A半径8cm
（2）作法：A点圆心rA′15+722半径作圆⊙A半径22cm
例3．图示点A坐标（03）OA半径1点Bx轴．
（1）点B坐标（40）⊙B半径3试判断⊙A⊙B位置关系
_
A
_
y
_
x
_
O
（2）⊙BM（－20）⊙A相切求B点坐标．
（1）AB5>1+3外离．
（2）设B（x0）x≠－2AB⊙B半径│x+2│
①设⊙B⊙A外切│x+2│+1
x>－2时x+3方化简：x0符题意∴B（00）
x<－2时－x－1化简x4>－2（舍）
②设⊙B⊙A切│x+2│－1
x>－2时x+1x4>－2∴B（40）
x<－2时－x－3x0
知识点七正边形圆
重点：讲清正边形圆中心正边形半径中心角弦心距边长间关系．
难点：学生理解四者：正边形半径中心角弦心距边长间关系．[源学科网]
正边形中心：称轴交点
正边形半径：正边形外接圆半径
正边形边心距：正边形切圆半径
正边形中心角：正边形条边圆心角
正n边形n条半径正n边形分成n全等等腰三角形等腰三角形相应边心距分成两全等直角三角形
例1．图已知正六边形ABCDEF外接圆半径a求正六边形周长面积．
解题思路：求正六边形周长求AB长已知条件外接圆半径然然边长应半径挂钩然应连接OAO点作OM⊥AB垂MRt△AOM中便求AM应垂径定理求AB长．正六边形面积六块正三角形面积组成．
解：图示ABCDEF正六边形中心角等60°△OBC等边三角形正六边形边长等半径．
求正六边形周长6a
Rt△OAM中OAaAMABa
利勾股定理边心距
OMa
∴求正六边形面积6××AB×OM6××a×aa2
例2．直径AB半圆划出块三角形区域图示三角形边AB顶点C半圆圆周两边分68现建造接△ABC矩形水池DEFN中DEAB图24－94设计方案AC8BC6．
（1）求△ABC边AB高h．
（2）设DNxx取值时水池DEFN面积？
（3）实际施工时发现AB距B点1．85M处棵树问：棵树否位矩形水池边？果保护树请设计出外方案接满足条件三角形中欲建矩形水池避开树．
解题思路：求矩形面积先列出面积表达式考虑值求法初中阶段尤现学知识应配方法求值．（3）设计新意应圆称性圆满解决题．
解：（1）AB·CGAC·BCh48
（2）∵hDNx ∴NF
S四边形DEFNx·（48－x）－x2+10x－（x2－x）
－ [（x－）2－]－（x－24）2+12
∵－（x－24）2≤0 ∴－（x－24）2+12≤12 x24时取等号
∴x24时SDEFN．
（3）SDEFN时x24时FBC中点Rt△FEB中EF24BF3．
∴BE18
∵BM185∴BM>EB树必位欲修建水池边应重新设计方案．
∵x24时DE5 ∴AD32
圆称性知满足条件设计方案图示
时AC6BC8AD18BE32样设计满足条件避开树．
知识点八弧长扇形圆锥侧面积面积
重点：n°圆心角弧长L扇形面积S扇圆锥侧面积面积应．
难点：公式应．
1．n°圆心角弧长L
2．圆心角n°扇形面积S扇形
3全面积侧面积底面圆面积组成全面积rL+r2．
例1．操作证明：图示O边长a正方形ABCD中心块半径足够长圆心角直角扇形纸板圆心放O处纸板绕O点旋转求证：正方形ABCD边纸板覆盖部分总长度定值a．
解题思路：图示妨设扇形纸板两边正方形边ABAD分交点MN连结OAOD． ∵四边形ABCD正方形
∴OAOD∠AOD90°∠MAO∠NDO
∠MON90°∠AOM∠DON ∴△AMO≌△DNO
∴AMDN ∴AM+ANDN+ANADa
特点M点A（点B）重合时点N必点D（点A）重合时AM+AN定值a．总正方形边纸板覆盖部分总长度定值a．
例2．已知扇形圆心角120°面积300cm2．
（1）求扇形弧长
（2）扇形卷成圆锥圆锥轴截面面积少？
解题思路：（1）S扇形求出R代入L求．（2）扇形卷成圆锥扇形弧长圆锥底面圆周长求圆半径截面底直径圆锥母线腰等腰三角形．[源学科网ZXXK]
解：（1）图示：
∵300 ∴R30
∴弧长L20（cm）
（2）图示：
∵2020r ∴r10R30 AD20
∴S轴截面×BC×AD
×2×10×20200（cm2）
扇形弧长20cm卷成圆锥轴截面200cm2．
新考题
中考求命题趋势
1理解圆基概念性质
2求线段角弧度数
3圆相似三角形全等三角形三角函数综合题
4直线圆位置关系
5圆切线性质 判定
6三角形切圆三角形心概念
7圆圆五种位置关系
8两圆位置关系两圆半径差圆心距间关系式两圆相切相交性质
9掌握弧长扇形面积计算公式
10理解圆柱圆锥侧面展开图
11掌握圆柱圆锥侧面积全面积计算
2010年中考继续考查圆关性质中圆三角形相似（全等）三角函数综合题考查重点直线圆关系作考查重点中直线圆位置关系开放题探究题考查重点继续考查圆圆位置五种关系弧长扇形面积计算圆柱圆锥侧面积全面积计算考查重点
应试策
圆综合题考切线必须问题般圆前面相似三角形前面知识点接触说东西通学面然牵扯前面前面忘掉简单东西忘掉面会前面学知识常知识面时直线圆前部分重点容面扇形面积圆锥圆柱侧面积必考面填空题选择题扇形面积公式圆锥圆柱侧面积公式记住圆章特关圆性质两单元重概念定理先掌握首先掌握题目定理简单应概念定理没掌握谈应首先应该掌握掌握掌握两章解题思路解题方法说已单元基定理掌握里面介绍掌握解题思路样掌握解决中等难题思路呢？暂认基知识掌握圆关性质章需掌握解题思路解题方法呢？第两章三条常辅助线章圆心距第二章直径圆周角第三条切线径连接圆心切点者连接圆周角距离条常辅助线分析题目思路圆中非常重弧常圆周角互相转换应根题目条件定
考查目标指圆基础知识包括圆称性圆心角弧弦间相等关系圆周角圆心角间关系直径圆周角直角垂径定理等容部分容圆基础知识学生学会利相关知识进行简单推理计算
例1图AB⊙O直径BC弦OD⊥BCE交D．
(1)请写出五类型正确结
(2)BC8ED＝2求⊙O半径．
解题思路：运圆垂径定理等容
解：(1)类型正确结：
①BECE ②弧BD弧CD ③∠BED90°④∠BOD∠A⑤AC∥OD⑥AC⊥BC
⑦OE2+BE2OB2⑧S△ABC＝BC·OE⑨△BOD等腰三角形⑩△BOE∽△BAC
(2)∵OD⊥BC ∴BE＝CEBC4．
设⊙O半径ROEOD－DER－2．
Rt△OEB中勾股定理
OE2＋BE2OB2(R－2)2＋42R2．解R＝5． ∴ ⊙ O半径5
例2已知：图等边接⊙O点劣弧PC点（端点外）延长连结．
（1）圆心图①请判断什三角形？说明理．
（2）圆心图②什三角形？什？
A
O
C
D
P
B
图①
A
O
C
D
P
B
图②
解题思路：（1）等边三角形．
理：等边三角形
⊙O中
． [源ZxxkCom]
圆心
等边三角形．
（2）等边三角形
理：先证（程）
等边三角形．
例3(1)图OAOB⊙O两条半径OA⊥OB点COB延长线意点：点C作CD切⊙O点D连结AD交DC点E．求证：CDCE
(2)图中半径OB直线行移动交OAF交⊙OB’条件变述结CDCE成立什
(3)图中半径OB直线行移动⊙O外CF点EDA延长线CF交点条件变述结CDCE成立什
解题思路：题考查圆关知识考查图形运动变化中探究力推理力．
解答：(1)证明：连结OD OD⊥CD∴∠CDE+∠ODA90°
Rt△AOE中∠AEO+∠A90°
⊙O中OAOD∴∠A∠ODA ∴∠CDE∠AEO [源Z|xx|kCom]
∵∠AEO∠CED∠CDE∠CED ∴CDCE
(2)CECD然成立．
∵原半径OB直线行移动∴CF⊥AOF
Rt△AFE中∠A+∠AEF90°．
连结OD∠ODA+∠CDE90°OAOD ．∠A∠ODA
∴∠AEF∠CDE ∠AEF∠CED ∴∠CED∠CDE∴CDCE
(3)CECD然成立．
∵原半径OB直线行移动．AO⊥CF
延长OA交CFGRt△AEG中∠AEG+∠GAE90°
连结OD∠CDA+∠ODA90°OAOD∴∠ADO∠OAD∠GAE
∴∠CDE∠CED ∴CDCE
考查目标二指点圆位置关系直线圆位置关系圆圆位置关系相关容学生学会动态观点理解解决圆关位置关系问题
例1⊙O直径切⊙O交⊙O连A
B
C
P
O
．求度数．
解题思路：运切线性质
切⊙O⊙O直径 ∴． [源学科网ZXXK]
∴．∴
例2图四边形接⊙O⊙O直径垂足分．
（1）求证：⊙O切线
D
E
C
B
O
A
（2）求长．
解题思路：运切线判定
（1）证明：连接分．
．．
．
D
E
C
B
O
A
．
．⊙O切线．
（2）直径．
．
分．．
中．
中．
长1cm长4cm．
考查目标三指圆中计算问题包括弧长扇形面积圆柱圆锥侧面积全面积计算部分容历年中考必考容学生理解圆柱侧面展开图矩形圆锥侧面展开图扇形间关系
例1图已知⊙O中ABAC⊙O直径AC⊥BDF∠A30°
(1)求图中阴影部分面积
(2)阴影扇形OBD围成圆锥侧面请求出圆锥底面圆半径
解题思路：（1）法：O作OE⊥ABEAEAB2
F
E
RtAEO中∠BAC30°cos30°．
∴OA4．
∵OAOB∴∠ABO30°．∴∠BOC60°．
∵AC⊥BD∴．∴∠COD ∠BOC60°．∴∠BOD120°．
F
∴S阴影．
法二：连结AD．
∵AC⊥BDAC直径
∴AC垂直分BD
∴ABADBFFD∴∠BAD2∠BAC60°∴∠BOD120°．
∵BFAB2sin60° AFAB·sin60°4×6
∴OB2BF2+OF2．．∴OB4．∴S阴影S圆
法三：连结BC．
∵AC⊙O直径 ∴∠ABC90°
F
∵AB4∴
∵∠A30° AC⊥BD ∴∠BOC60°∴∠BOD120°．
∴S阴影π·OA2×42·π
法
（2）设圆锥底面圆半径r周长2πr∴
O
①
②
③
∴
例2图直径2圆形铁皮中剪圆心角扇形．
（1）求扇形面积（结果保留）．
（2）剩三块余料中否第③块余料中剪出圆作底面
扇形围成圆锥？请说明理．
（3）⊙O半径意值时（2）中结否然成立？请说明理．
解题思路：（1）连接勾股定理求：
①
②
③
（2）连接延长弧交
弧长：
圆锥底面直径：
余料③中剪出圆作底面扇形围成圆锥．
（3）勾股定理求： 弧长：
圆锥底面直径：
半径值
· 余料③中剪出圆作底面扇形围成圆锥．
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