江苏卷062020年高考数学必刷试卷（解析版）
数学试题I
填空题：题14题题5分70分．
1 设集合M＝{－101}N＝{x|x2＋x≤0}M∩N＝____________．
答案：{－10}
解析：N＝{x|－1≤x≤0}M＝{－101}M∩N＝{－10}．
2 命题∃x＞1x2≥2否定____________．
答案：∀x＞1x2＜2
解析：题考查特称命题否定全称命题．
3 已知i虚数单位复数z轭复数z2z＝z＋2－3iz＝____________．
答案：2－i
解析：设z＝a＋bi已知条件2a＋2bi＝a＋2－(b＋3)i2a＝a＋22b＝－(b＋3)a＝2b＝－1z＝2－i
4 现4名学生ABCD均分两辆车AB两恰坐辆车概率________．
答案：
解析：4名学生ABCD均分两辆车(A＋BC＋D)(A＋CB＋D)(A＋DB＋C)(C＋DA＋B)(B＋DA＋C)(B＋CA＋D)6基事件AB两恰坐辆车(A＋BC＋D)(C＋DA＋B)2基事件求事件概率
5 曲线y＝exx＝0处切线方程____________．
答案：y＝x＋1
解析：k＝y′＝e0＝1切点坐标(01)切线方程y＝x＋1
6 图输出列数算法流程图列数第三项__________．
答案：30
解析：列数第项3第二项6第三项30
7 定义R奇函数f(x)x＞0时f(x)＝2x－x2f(0)＋f(－1)＝______________．
答案：－1
解析：f(x)定义R奇函数f(0)＝0f(－1)＝－f(1) ＝－1f(0)＋f(－1)＝0－1＝－1
8 已知等差数列{an}公差da1a2a3a4a5方差8d值____________．
答案±2 解析：a1a2a3a4a5均数a3a1a2a3a4a5方差8方差公式4d2＋d2＋d2＋4d2＝40d2＝4d＝±2
9 图长方体ABCDA1B1C1D1中AB＝AD＝3 cmAA1＝2 cm三棱锥AB1D1D体积________ cm3
(第9题)
答案：3
解析：三棱锥AB1D1D体积＝×××2×3＝3(cm3)．
10 已知α∈β∈cos α＝sin(α＋β)＝－cos β＝__________．
答案：－
解析：α∈cos α＝sin α＝β∈α∈sin(α＋β)＝－cos(α＋β) ＝－cos β＝cos[(α＋β) －α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)·sin α＝－
11 已知函数f(x)＝关x方程f(x)＝k(x＋1)两实数根实数k取值范围__________．
答案：
解析：方程f(x)＝k(x＋1)两实数根说明y＝k(x＋1) y＝f(x)图象两交点画出函数f(x)图象y＝k(x＋1)(－10)动直线k取值范围
12 圆心抛物线y＝x2该抛物线准线y轴相切圆标准方程____________．
答案：(x±1)2＋＝1
解析：抛物线2y＝x2该抛物线准线方程y＝－设圆心坐标(ab)题意知解圆半径r＝1圆标准方程(x±1)2＋＝1
13 已知点P△ABC点(包括边界)＝m＋nmn∈R(m－2)2＋(n－2)2取值范围____________．
答案：
解析：点P△ABC点(包括边界)＝m＋n作出行域知点E(22)行域距离距离2(m－2)2＋(n－2)2取值范围
14 已知a＋b＝2b＞0＋取值时实数a值____________．
答案：－2
解析：＋＝＋＝＋＋≥－＋2＝仅a＝－2b＝4时等号成立．
二 解答题：题6题90分 解答时应写出必文字说明证明程演算步骤．
15 (题满分14分)
△ABC中角ABC边分abc已知bcos C＋ccos B＝2acos A
(1) 求A
(2) ·＝求△ABC面积．
解：(1) (解法1)△ABC中正弦定理bcos C＋ccos B＝2acos A
sin Bcos C＋sin Ccos B＝2sin Acos A(3分)
sin A＝2sin Acos A
A∈(0π)sin A≠0cos A＝(6分)
A＝(8分)
(解法2)△ABC中余弦定理bcos C＋ccos B＝2acos A
b·＋c·＝2a·(3分)
a2＝b2＋c2－bc
cos A＝＝(6分)
A∈(0π)A＝(8分)
(2) ·＝cbcos A＝bc＝2(11分)
△ABC面积S＝bcsin A＝×2sin 60°＝(14分)
16(题满分14分)
图四棱锥PABCD中底面ABCD正方形侧面PAD⊥底面ABCDPA＝PD＝ADEF分PCBD中点．求证：
(1) EF∥面PAD
(2) EF⊥面PDC
证明：(1) 连结AC正方形ABCD中FBD中点FAC中点．
EPC中点△CPA中EF∥PA(3分)
PA⊂面PADEF⊄面PAD
EF∥面PAD(6分)
(2) 面PAD⊥面ABCD面PAD∩面ABCD＝ADCD⊂面ABCD
CD⊥ADCD⊥面PAD(8分)
PA⊂面PADCD⊥PA
EF∥PAEF⊥CD(10分)
PA＝PD＝AD△PAD等腰直角三角形∠APD＝PA⊥PD
EF∥PAEF⊥PD(13分)
CD∩PD＝DEF⊥面PDC(14分)
17 (题满分14分)
图面直角坐标系xOy中椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)左右焦点分F1F2点P(31)椭圆△PF1F2面积2点QPF2延长线椭圆交点．
(1) ① 求椭圆C标准方程
② ∠PQF1＝求QF1·QF2值
(2) 直线y＝x＋k椭圆C相交AB两点．AB直径圆坐标原点求实数k值．
解：(1) ① 条件点P(31)椭圆＋＝1△PF1F2面积2＋＝1c＝2(2分)
a2＝b2＋c2a2＝12b2＝4
椭圆标准方程＋＝1(4分)
② ∠PQF1＝时
(6分)
QF1·QF2＝(8分)
(2) 设A(x1y1)B(x2y2)
4x2＋6kx＋3k2－12＝0(10分)
x1＋x2＝－x1x2＝y1y2＝(12分)
AB直径圆坐标原点·＝x1x2＋y1y2＝k2－6＝0解k＝±时Δ＝120＞0满足条件．k＝±(14分)
18 (题满分16分)
图某城市区矩形休闲广场AB＝20 m广场角半径16 m扇形BCE绿化区域．区居民够更广场休闲放松现决定广场安置两排休闲椅中排穿越广场双背直排椅MN(宽度计)点M线段AD(端点重合)曲线CE相切排单弧形椅曲线CN(宽度计)摆放．已知双背直排椅造价米2a元单弧形椅造价米a元记锐角∠NBE＝θ总造价W元．
(1) 试W表示θ函数W(θ)写出cos θ取值范围
(2) 选取点M位置总造价W．
解：(1) N作AB垂线垂足FM作NF垂线垂足G
Rt△BNF中BF＝16cos θMG＝20－16cos θ
Rt△MNG中MN＝(4分)
题意＝16(6分)
W(θ)＝2a·＋16a(7分)
cos θ∈(9分)
(2) W′(θ)＝－16a＋8a·
＝8a·
令W′(θ)＝0cos θ＝设锐角θ1满足cos θ1＝θ1∈
θ∈θ＝(12分)
θ∈时W′(θ)＜0W(θ)单调递减
θ∈时W′(θ)＞0W(θ)单调递增．(14分)
θ＝时总造价W值a时MN＝8NG＝4NF＝8
AM＝4 m时总造价．(16分)
19 (题满分16分)
数列{an}中已知a1＝2an＋1＝3an＋2n－1
(1) 求证：数列{an＋n}等数列
(2) 记bn＝an＋(1－λ)n数列{bn}前n项TnT3数列{Tn}中项求λ取值范围．
(1) 证明：∵ an＋1＝3an＋2n－1∴ an＋1＋n＋1＝3(an＋n)．
a1＝2∴ an＞0an＋n＞0＝3
∴ {an＋n}3首项公3等数列．(4分)
(2) 解：(1)知an＋n＝3n∴ bn＝3n－nλ(6分)
∴ Tn＝31＋32＋…＋3n－(1＋2＋3＋…＋n)λ
＝(3n－1)－λ(8分)
T3数列{Tn}中项∀n∈N*(3n－1)－λ≥39－6λ恒成立
3n＋1－81≥(n2＋n－12)λ∀n∈N*恒成立．(10分)
1° n＝1时T1≥T3⇒λ≥
2° n＝2时T2≥T3⇒λ≥9(12分)
3° n≥4时n2＋n－12＝(n＋4)(n－3)＞0恒成立
∴ λ≤∀n≥4恒成立．
令f(n)＝
f(n＋1)－f(n)＝＞0∀n≥4恒成立
∴ f(n)＝n≥4时单调递增数列．
∴ λ≤f(4)λ≤(15分)
综9≤λ≤λ取值范围(16分)
20 (题满分16分)
已知函数f(x)＝x－ln xg(x)＝x2－ax
(1) 求函数f(x)区间[tt＋1](t＞0)值m(t)
(2) 令h(x)＝g(x)－f(x)A(x1h(x1))B(x2h(x2))(x1≠x2)函数h(x)图象意两点满足＞1求实数a取值范围
(3) 存x∈(01]f(x)≥成立求实数a值
解：(1) f′(x)＝1－令f′(x)＝0x＝1
t≥1时f(x)[tt＋1]单调递增
f(x)值f(t)＝t－ln t(1分)
0＜t＜1时f(x)区间(t1)减函数区间(1t＋1)增函数
f(x)值f(1)＝1
综0＜t＜1时m(t)＝1t≥1时m(t)＝t－ln t．(3分)
(2) h(x)＝x2－(a＋1)x＋ln x意x1x2∈(0＋∞)妨取x1＜x2x1－x2＜0＞1h(x1)－h(x2)＜x1－x2
变形h(x1)－x1＜h(x2)－x2恒成立．(5分)
令F(x)＝h(x)－x＝x2－(a＋2)x＋ln x
F(x)＝x2－(a＋2)x＋ln x(0＋∞)单调递增
F′(x)＝2x－(a＋2)＋≥0(0＋∞)恒成立(7分)
∴ 2x＋≥a＋2(0＋∞)恒成立．
∵ 2x＋≥2仅x＝时取＝
∴ a≤2－2a取值范围(－∞2－2]．(10分)
(3) ∵ f(x)≥
∴ a(x＋1)≤2x2－xln x
∵ x∈(01]∴ x＋1∈(12]
∴ 存x∈(01]a≤成立．
令t(x)＝t′(x)＝(12分)
令y＝2x2＋3x－ln x－1y′＝＝0x＝x＝－1(舍)．
x∈时y′＜0y＝2x2＋3x－ln x－1单调递减
x∈时y′＞0y＝2x2＋3x－ln x－1单调递增．
∴ y＞ln 4－＞0
∴ t′(x)＞0x∈(01]恒成立．
∴ t(x)(01]单调递增．
∴ a≤t(1)a≤1(15分)
∴ 实数a值1(16分)
数学Ⅱ(附加题)
21．选做题题包括ABC三题请选定中两题相应答题区域作答做作答前两题评分．解答时应写出文字说明证明程演算步骤．
A．[选修42：矩阵变换]（题满分10分）
已知矩阵A＝B＝设M＝AB
(1) 求矩阵M
(2) 求矩阵M特征值．
解：(1) M＝AB＝＝(5分)
(2) 矩阵M特征项式
f(λ)＝＝(λ－2)(λ－3)－2
令f(λ)＝0解λ1＝1λ2＝4
矩阵M特征值14(10分)
B．[选修44：坐标系参数方程]（题满分10分）
已知曲线C极坐标方程ρ＝2cos θ直线l极坐标方程ρsin＝m直线l曲线C公点求实数m值．
解：曲线C极坐标方程ρ＝2cos θ
化直角坐标方程x2＋y2＝2x
(x－1)2＋y2＝1表示(10)圆心1半径圆．(3分)
直线l极坐标方程ρsin＝mρcos θ＋ρsin θ＝m
化直角坐标方程x＋y－2m＝0(6分)
直线l曲线C公点
＝1解m＝－m＝
求实数m值－(10分)
C．[选修45：等式选讲]（题满分10分）
解等式：|x－1|＋2|x|≤4x
解：原等式等价
(6分)
解x∈∅
解≤x≤1
解x＞1
原等式解集(10分)
必做题第22题第23题题10分计20分．请答题卡指定区域作答解答时应写
出文字说明证明程演算步骤．
22．（题满分10分）
图底面正方形四棱锥PABCD中侧棱PD⊥底面ABCDPD＝DC点E线段PC中点．
(1) 求异面直线APBE成角
(2) 点F线段PB二面角FDEB正弦值求值．
解：(1) 四棱锥PABCD中底面ABCD正方形
侧棱PD⊥底面ABCD
DADCDP两两垂直{}正交基底
建立空间直角坐标系Dxyz
PD＝DCDA＝DC＝DP
妨设DA＝DC＝DP＝2
D(000)A(200)C(020)P(002)B(220)．
EPC中点E(011)．
＝(－202)＝(－2－11)
cos〈〉＝＝
〈〉＝
异面直线APBE成角(4分)
(2) (1)知＝(011)＝(220)＝(22－2)．
设＝λ＝(2λ2λ－2λ)＝＋＝(2λ2λ2－2λ)．
设m＝(x1y1z1)面DEF法量
取z1＝λy1＝－λx1＝2λ－1
m＝(2λ－1－λλ)面DEF法量．(6分)
设n＝(x2y2z2)面DEB法量
取x2＝1y2＝－1z2＝1
n＝(1－11)面BDE法量．(8分)
二面角FDEB正弦值
二面角FDEB余弦值
|cos〈mn〉|＝
＝＝
化简4λ2＝1
点F线段PB0≤λ≤1
λ＝＝(10分)
23．（题满分10分）
甲乙两轮流投篮次投次篮先投中者获胜．投篮进行获胜已投球3次时结束．设甲次投篮命中概率乙次投篮命中概率次投篮互影响．现甲先投．
(1) 求甲获胜概率
(2) 求投篮结束时甲投篮次数X分布列期．
解：(1) 设甲第i次投中获胜事件Ai(i＝123)A1A2A3彼互斥．
甲获胜事件A1＋A2＋A3
P(A1)＝
P(A2)＝××＝
P(A3)＝××＝
P(A1＋A2＋A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝＋
＋＝
答：甲获胜概率(4分)
(2) X取值123
P(X＝1)＝＋×＝
P(X＝2)＝＋×××＝
P(X＝3)＝××1＝
X概率分布列
X
1
2
3
P
(8分)
X数学期E(X)＝1×＋2×＋3×＝(10分)
容高中数学该效学？
首先做两点：
1先教材知识点理明白买点参考书做练果没问题做应章节试卷做练答案错题记时学较解题方法者做错题目做标记者记错题考前出复复
2首先课概念开始举出例子说明概念举出反例话解释概念（理解概念）
然概念开始进行独立推理活动课公式定理推导遍（搞清龙脉）课例题先试做量做出（力量）
动挑战问题（兴趣老师）常攻关问题（白天攻晚钻梦中惦着）
次先笔记做作业高中学生感老师讲已听明明白白什做题困难重重呢？原学生教师讲容理解没达教师求层次天做作业前定课关容天课堂笔记先否坚持常常学生差学生区尤练题太配套时作业中没老师刚刚讲题目类型消化果注意落实天长日久会造成极损失
做题加强反思 学生定明确现正坐着题定考试题目运现正做着题目解题思路方法做道题加反思总结收获总结出道什容题什方法做知识成片问题成串日久天长构建起容方法科学网络系统
动复总结提高 进行章节总结非常重初中时教师学生做总结做细致深刻完整高中做总结老师做讲考留复时间没明确指出做总结时间
积累资料时整理 注意积累复资料课堂笔记练单元测试种试卷分门类时间序整理读次面标记出次阅读时重点容样复资料越读越精目然
精挑慎选课外读物 初中学生学数学果注意课外读物般说会什影响高中相高中数学考学生解决新题力作名高中生果围着老师转老师水高必然会存着局限性想学数学必须开扇门外面世界然立门户起炉灶旦脱离校教学老师教学体系必事半功倍
配合老师动学 高中学生学动性强学生常常完成作业情欢乐初中生基听话孩子学高中然作业知道做作业绝够老师话少谁该干什老师具体指明高中学生必须提高学动性准备学生学方法渡
合理规划步步营 高中学非常紧张学生投入全部精力想迅速进步制定较长远切实行学目标计划详细安排零星时间 注意事项
学高中数学时候课认真听老师讲解外学方法学惯重学生认真努力数学成绩提高容易
数学学程中千万心理包袱顾虑学科样慢慢学积累程记住点程否真正学初三数学课程（者课程）方法终目：养成良学惯培养出优质学兴趣掌握形成套学方法
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数学试题I
填空题：题14题题5分70分．
1 设集合M＝{－101}N＝{x|x2＋x≤0}M∩N＝____________．
答案：{－10}
解析：N＝{x|－1≤x≤0}M＝{－101}M∩N＝{－10}．
2 命题∃x＞1x2≥2否定____________．
答案：∀x＞1x2＜2
解析：题考查特称命题否定全称命题．
3 已知i虚数单位复数z轭复数z2z＝z＋2－3iz＝____________．
答案：2－i
解析：设z＝a＋bi已知条件2a＋2bi＝a＋2－(b＋3)i2a＝a＋22b＝－(b＋3)a＝2b＝－1z＝2－i
4 现4名学生ABCD均分两辆车AB两恰坐辆车概率________．
答案：
解析：4名学生ABCD均分两辆车(A＋BC＋D)(A＋CB＋D)(A＋DB＋C)(C＋DA＋B)(B＋DA＋C)(B＋CA＋D)6基事件AB两恰坐辆车(A＋BC＋D)(C＋DA＋B)2基事件求事件概率
5 曲线y＝exx＝0处切线方程____________．
答案：y＝x＋1
解析：k＝y′＝e0＝1切点坐标(01)切线方程y＝x＋1
6 图输出列数算法流程图列数第三项__________．
答案：30
解析：列数第项3第二项6第三项30
7 定义R奇函数f(x)x＞0时f(x)＝2x－x2f(0)＋f(－1)＝______________．
答案：－1
解析：f(x)定义R奇函数f(0)＝0f(－1)＝－f(1) ＝－1f(0)＋f(－1)＝0－1＝－1
8 已知等差数列{an}公差da1a2a3a4a5方差8d值____________．
答案±2 解析：a1a2a3a4a5均数a3a1a2a3a4a5方差8方差公式4d2＋d2＋d2＋4d2＝40d2＝4d＝±2
9 图长方体ABCDA1B1C1D1中AB＝AD＝3 cmAA1＝2 cm三棱锥AB1D1D体积________ cm3
(第9题)
答案：3
解析：三棱锥AB1D1D体积＝×××2×3＝3(cm3)．
10 已知α∈β∈cos α＝sin(α＋β)＝－cos β＝__________．
答案：－
解析：α∈cos α＝sin α＝β∈α∈sin(α＋β)＝－cos(α＋β) ＝－cos β＝cos[(α＋β) －α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)·sin α＝－
11 已知函数f(x)＝关x方程f(x)＝k(x＋1)两实数根实数k取值范围__________．
答案：
解析：方程f(x)＝k(x＋1)两实数根说明y＝k(x＋1) y＝f(x)图象两交点画出函数f(x)图象y＝k(x＋1)(－10)动直线k取值范围
12 圆心抛物线y＝x2该抛物线准线y轴相切圆标准方程____________．
答案：(x±1)2＋＝1
解析：抛物线2y＝x2该抛物线准线方程y＝－设圆心坐标(ab)题意知解圆半径r＝1圆标准方程(x±1)2＋＝1
13 已知点P△ABC点(包括边界)＝m＋nmn∈R(m－2)2＋(n－2)2取值范围____________．
答案：
解析：点P△ABC点(包括边界)＝m＋n作出行域知点E(22)行域距离距离2(m－2)2＋(n－2)2取值范围
14 已知a＋b＝2b＞0＋取值时实数a值____________．
答案：－2
解析：＋＝＋＝＋＋≥－＋2＝仅a＝－2b＝4时等号成立．
二 解答题：题6题90分 解答时应写出必文字说明证明程演算步骤．
15 (题满分14分)
△ABC中角ABC边分abc已知bcos C＋ccos B＝2acos A
(1) 求A
(2) ·＝求△ABC面积．
解：(1) (解法1)△ABC中正弦定理bcos C＋ccos B＝2acos A
sin Bcos C＋sin Ccos B＝2sin Acos A(3分)
sin A＝2sin Acos A
A∈(0π)sin A≠0cos A＝(6分)
A＝(8分)
(解法2)△ABC中余弦定理bcos C＋ccos B＝2acos A
b·＋c·＝2a·(3分)
a2＝b2＋c2－bc
cos A＝＝(6分)
A∈(0π)A＝(8分)
(2) ·＝cbcos A＝bc＝2(11分)
△ABC面积S＝bcsin A＝×2sin 60°＝(14分)
16(题满分14分)
图四棱锥PABCD中底面ABCD正方形侧面PAD⊥底面ABCDPA＝PD＝ADEF分PCBD中点．求证：
(1) EF∥面PAD
(2) EF⊥面PDC
证明：(1) 连结AC正方形ABCD中FBD中点FAC中点．
EPC中点△CPA中EF∥PA(3分)
PA⊂面PADEF⊄面PAD
EF∥面PAD(6分)
(2) 面PAD⊥面ABCD面PAD∩面ABCD＝ADCD⊂面ABCD
CD⊥ADCD⊥面PAD(8分)
PA⊂面PADCD⊥PA
EF∥PAEF⊥CD(10分)
PA＝PD＝AD△PAD等腰直角三角形∠APD＝PA⊥PD
EF∥PAEF⊥PD(13分)
CD∩PD＝DEF⊥面PDC(14分)
17 (题满分14分)
图面直角坐标系xOy中椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)左右焦点分F1F2点P(31)椭圆△PF1F2面积2点QPF2延长线椭圆交点．
(1) ① 求椭圆C标准方程
② ∠PQF1＝求QF1·QF2值
(2) 直线y＝x＋k椭圆C相交AB两点．AB直径圆坐标原点求实数k值．
解：(1) ① 条件点P(31)椭圆＋＝1△PF1F2面积2＋＝1c＝2(2分)
a2＝b2＋c2a2＝12b2＝4
椭圆标准方程＋＝1(4分)
② ∠PQF1＝时
(6分)
QF1·QF2＝(8分)
(2) 设A(x1y1)B(x2y2)
4x2＋6kx＋3k2－12＝0(10分)
x1＋x2＝－x1x2＝y1y2＝(12分)
AB直径圆坐标原点·＝x1x2＋y1y2＝k2－6＝0解k＝±时Δ＝120＞0满足条件．k＝±(14分)
18 (题满分16分)
图某城市区矩形休闲广场AB＝20 m广场角半径16 m扇形BCE绿化区域．区居民够更广场休闲放松现决定广场安置两排休闲椅中排穿越广场双背直排椅MN(宽度计)点M线段AD(端点重合)曲线CE相切排单弧形椅曲线CN(宽度计)摆放．已知双背直排椅造价米2a元单弧形椅造价米a元记锐角∠NBE＝θ总造价W元．
(1) 试W表示θ函数W(θ)写出cos θ取值范围
(2) 选取点M位置总造价W．
解：(1) N作AB垂线垂足FM作NF垂线垂足G
Rt△BNF中BF＝16cos θMG＝20－16cos θ
Rt△MNG中MN＝(4分)
题意＝16(6分)
W(θ)＝2a·＋16a(7分)
cos θ∈(9分)
(2) W′(θ)＝－16a＋8a·
＝8a·
令W′(θ)＝0cos θ＝设锐角θ1满足cos θ1＝θ1∈
θ∈θ＝(12分)
θ∈时W′(θ)＜0W(θ)单调递减
θ∈时W′(θ)＞0W(θ)单调递增．(14分)
θ＝时总造价W值a时MN＝8NG＝4NF＝8
AM＝4 m时总造价．(16分)
19 (题满分16分)
数列{an}中已知a1＝2an＋1＝3an＋2n－1
(1) 求证：数列{an＋n}等数列
(2) 记bn＝an＋(1－λ)n数列{bn}前n项TnT3数列{Tn}中项求λ取值范围．
(1) 证明：∵ an＋1＝3an＋2n－1∴ an＋1＋n＋1＝3(an＋n)．
a1＝2∴ an＞0an＋n＞0＝3
∴ {an＋n}3首项公3等数列．(4分)
(2) 解：(1)知an＋n＝3n∴ bn＝3n－nλ(6分)
∴ Tn＝31＋32＋…＋3n－(1＋2＋3＋…＋n)λ
＝(3n－1)－λ(8分)
T3数列{Tn}中项∀n∈N*(3n－1)－λ≥39－6λ恒成立
3n＋1－81≥(n2＋n－12)λ∀n∈N*恒成立．(10分)
1° n＝1时T1≥T3⇒λ≥
2° n＝2时T2≥T3⇒λ≥9(12分)
3° n≥4时n2＋n－12＝(n＋4)(n－3)＞0恒成立
∴ λ≤∀n≥4恒成立．
令f(n)＝
f(n＋1)－f(n)＝＞0∀n≥4恒成立
∴ f(n)＝n≥4时单调递增数列．
∴ λ≤f(4)λ≤(15分)
综9≤λ≤λ取值范围(16分)
20 (题满分16分)
已知函数f(x)＝x－ln xg(x)＝x2－ax
(1) 求函数f(x)区间[tt＋1](t＞0)值m(t)
(2) 令h(x)＝g(x)－f(x)A(x1h(x1))B(x2h(x2))(x1≠x2)函数h(x)图象意两点满足＞1求实数a取值范围
(3) 存x∈(01]f(x)≥成立求实数a值
解：(1) f′(x)＝1－令f′(x)＝0x＝1
t≥1时f(x)[tt＋1]单调递增
f(x)值f(t)＝t－ln t(1分)
0＜t＜1时f(x)区间(t1)减函数区间(1t＋1)增函数
f(x)值f(1)＝1
综0＜t＜1时m(t)＝1t≥1时m(t)＝t－ln t．(3分)
(2) h(x)＝x2－(a＋1)x＋ln x意x1x2∈(0＋∞)妨取x1＜x2x1－x2＜0＞1h(x1)－h(x2)＜x1－x2
变形h(x1)－x1＜h(x2)－x2恒成立．(5分)
令F(x)＝h(x)－x＝x2－(a＋2)x＋ln x
F(x)＝x2－(a＋2)x＋ln x(0＋∞)单调递增
F′(x)＝2x－(a＋2)＋≥0(0＋∞)恒成立(7分)
∴ 2x＋≥a＋2(0＋∞)恒成立．
∵ 2x＋≥2仅x＝时取＝
∴ a≤2－2a取值范围(－∞2－2]．(10分)
(3) ∵ f(x)≥
∴ a(x＋1)≤2x2－xln x
∵ x∈(01]∴ x＋1∈(12]
∴ 存x∈(01]a≤成立．
令t(x)＝t′(x)＝(12分)
令y＝2x2＋3x－ln x－1y′＝＝0x＝x＝－1(舍)．
x∈时y′＜0y＝2x2＋3x－ln x－1单调递减
x∈时y′＞0y＝2x2＋3x－ln x－1单调递增．
∴ y＞ln 4－＞0
∴ t′(x)＞0x∈(01]恒成立．
∴ t(x)(01]单调递增．
∴ a≤t(1)a≤1(15分)
∴ 实数a值1(16分)
数学Ⅱ(附加题)
21．选做题题包括ABC三题请选定中两题相应答题区域作答做作答前两题评分．解答时应写出文字说明证明程演算步骤．
A．[选修42：矩阵变换]（题满分10分）
已知矩阵A＝B＝设M＝AB
(1) 求矩阵M
(2) 求矩阵M特征值．
解：(1) M＝AB＝＝(5分)
(2) 矩阵M特征项式
f(λ)＝＝(λ－2)(λ－3)－2
令f(λ)＝0解λ1＝1λ2＝4
矩阵M特征值14(10分)
B．[选修44：坐标系参数方程]（题满分10分）
已知曲线C极坐标方程ρ＝2cos θ直线l极坐标方程ρsin＝m直线l曲线C公点求实数m值．
解：曲线C极坐标方程ρ＝2cos θ
化直角坐标方程x2＋y2＝2x
(x－1)2＋y2＝1表示(10)圆心1半径圆．(3分)
直线l极坐标方程ρsin＝mρcos θ＋ρsin θ＝m
化直角坐标方程x＋y－2m＝0(6分)
直线l曲线C公点
＝1解m＝－m＝
求实数m值－(10分)
C．[选修45：等式选讲]（题满分10分）
解等式：|x－1|＋2|x|≤4x
解：原等式等价
(6分)
解x∈∅
解≤x≤1
解x＞1
原等式解集(10分)
必做题第22题第23题题10分计20分．请答题卡指定区域作答解答时应写
出文字说明证明程演算步骤．
22．（题满分10分）
图底面正方形四棱锥PABCD中侧棱PD⊥底面ABCDPD＝DC点E线段PC中点．
(1) 求异面直线APBE成角
(2) 点F线段PB二面角FDEB正弦值求值．
解：(1) 四棱锥PABCD中底面ABCD正方形
侧棱PD⊥底面ABCD
DADCDP两两垂直{}正交基底
建立空间直角坐标系Dxyz
PD＝DCDA＝DC＝DP
妨设DA＝DC＝DP＝2
D(000)A(200)C(020)P(002)B(220)．
EPC中点E(011)．
＝(－202)＝(－2－11)
cos〈〉＝＝
〈〉＝
异面直线APBE成角(4分)
(2) (1)知＝(011)＝(220)＝(22－2)．
设＝λ＝(2λ2λ－2λ)＝＋＝(2λ2λ2－2λ)．
设m＝(x1y1z1)面DEF法量
取z1＝λy1＝－λx1＝2λ－1
m＝(2λ－1－λλ)面DEF法量．(6分)
设n＝(x2y2z2)面DEB法量
取x2＝1y2＝－1z2＝1
n＝(1－11)面BDE法量．(8分)
二面角FDEB正弦值
二面角FDEB余弦值
|cos〈mn〉|＝
＝＝
化简4λ2＝1
点F线段PB0≤λ≤1
λ＝＝(10分)
23．（题满分10分）
甲乙两轮流投篮次投次篮先投中者获胜．投篮进行获胜已投球3次时结束．设甲次投篮命中概率乙次投篮命中概率次投篮互影响．现甲先投．
(1) 求甲获胜概率
(2) 求投篮结束时甲投篮次数X分布列期．
解：(1) 设甲第i次投中获胜事件Ai(i＝123)A1A2A3彼互斥．
甲获胜事件A1＋A2＋A3
P(A1)＝
P(A2)＝××＝
P(A3)＝××＝
P(A1＋A2＋A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝＋
＋＝
答：甲获胜概率(4分)
(2) X取值123
P(X＝1)＝＋×＝
P(X＝2)＝＋×××＝
P(X＝3)＝××1＝
X概率分布列
X
1
2
3
P
(8分)
X数学期E(X)＝1×＋2×＋3×＝(10分)
容高中数学该效学？
首先做两点：
1先教材知识点理明白买点参考书做练果没问题做应章节试卷做练答案错题记时学较解题方法者做错题目做标记者记错题考前出复复
2首先课概念开始举出例子说明概念举出反例话解释概念（理解概念）
然概念开始进行独立推理活动课公式定理推导遍（搞清龙脉）课例题先试做量做出（力量）
动挑战问题（兴趣老师）常攻关问题（白天攻晚钻梦中惦着）
次先笔记做作业高中学生感老师讲已听明明白白什做题困难重重呢？原学生教师讲容理解没达教师求层次天做作业前定课关容天课堂笔记先否坚持常常学生差学生区尤练题太配套时作业中没老师刚刚讲题目类型消化果注意落实天长日久会造成极损失
做题加强反思 学生定明确现正坐着题定考试题目运现正做着题目解题思路方法做道题加反思总结收获总结出道什容题什方法做知识成片问题成串日久天长构建起容方法科学网络系统
动复总结提高 进行章节总结非常重初中时教师学生做总结做细致深刻完整高中做总结老师做讲考留复时间没明确指出做总结时间
积累资料时整理 注意积累复资料课堂笔记练单元测试种试卷分门类时间序整理读次面标记出次阅读时重点容样复资料越读越精目然
精挑慎选课外读物 初中学生学数学果注意课外读物般说会什影响高中相高中数学考学生解决新题力作名高中生果围着老师转老师水高必然会存着局限性想学数学必须开扇门外面世界然立门户起炉灶旦脱离校教学老师教学体系必事半功倍
配合老师动学 高中学生学动性强学生常常完成作业情欢乐初中生基听话孩子学高中然作业知道做作业绝够老师话少谁该干什老师具体指明高中学生必须提高学动性准备学生学方法渡
合理规划步步营 高中学非常紧张学生投入全部精力想迅速进步制定较长远切实行学目标计划详细安排零星时间 注意事项
学高中数学时候课认真听老师讲解外学方法学惯重学生认真努力数学成绩提高容易
数学学程中千万心理包袱顾虑学科样慢慢学积累程记住点程否真正学初三数学课程（者课程）方法终目：养成良学惯培养出优质学兴趣掌握形成套学方法
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