2021年普通高等学校招生全国统考试
数学
试卷4页22题满分150分考试时120分钟
注意事项：
1答卷前考生务必姓名､考生号､考场号座位号填写答题卡2B铅笔试卷类型(A)填涂答题卡相应位置条形码横贴答题卡右角条形码粘贴处
2作答选择题时选出题答案2B铅笔答题卡应题目选项答案信息点涂黑：需改动橡皮擦干净选涂答案答案答试卷
3非选择题必须黑色字迹钢笔签字笔作答答案必须写答题卡题目指定区域相应位置需改动先划掉原答案然写新答案准铅笔涂改液求作答效
4考生必须保持答题卡整洁考试结束试卷答题卡交回
､选择题：题8题题5分40分题出四选项中项符合题目求
1 设集合（ ）
A B C D
答案B
解析
分析利交集定义求
详解题设
选：B
2 已知（ ）
A B C D
答案C
解析
分析利复数法轭复数定义求结果
详解
选：C
3 已知圆锥底面半径侧面展开图半圆该圆锥母线长（ ）
A B C D
答案B
解析
分析设圆锥母线长根圆锥底面圆周长等扇形弧长求值求
详解设圆锥母线长圆锥底面圆周长等扇形弧长解
选：B
4 列区间中函数单调递增区间（ ）
A B C D
答案A
解析
分析解等式利赋值法出结
详解函数单调递增区间
函数
解
取函数单调递增区间
A选项满足条件B满足条件
取函数单调递增区间
CD选项均满足条件
选：A
点睛方法点睛：求较复杂三角函数单调区间时首先化简成形式求单调区间需作整体代入相应单调区间注意先化正数．
5 已知椭圆：两焦点点值（ ）
A 13 B 12 C 9 D 6
答案C
解析
分析题通利椭圆定义助基等式答案．
详解题
（仅时等号成立）．
选：C．
点睛椭圆点椭圆两焦点距离问题常常椭圆定义入手注意基等式灵活运者记住定理：两正数定相等时积定相等时快速求解
6 （ ）
A B C D
答案C
解析
分析式子先利二倍角公式方关系配方化简然增添分母()进行齐次化处理化正切表达式代入结果．
详解式子进行齐次化处理：
．
选：C．
点睛易错点睛：题果利求出值需分象限讨正负通齐次化处理避开讨．
7 点作曲线两条切线（ ）
A B
C D
答案D
解析
分析解法：根导数意义求切线方程构造函数利导数研究函数图象结合图形确定结果
解法二：画出曲线图象根直观判定点曲线方轴方时作出两条切线
详解曲线取点函数求导
曲线点处切线方程
题意知点直线
令
时时函数单调递增
时时函数单调递减
题意知直线曲线图象两交点
时时作出函数图象图示：
图知时直线曲线图象两交点
选：D
解法二：画出函数曲线图象图示根直观判定点曲线方轴方时作出两条切线知
选：D
点睛解法严格证明求解方法中极限处理中学知识范围需指数函数增长特性进行估计解法二根基指数函数图象清晰理解认识基础直观解决问题效方法
8 6相球分标数字123456中放回机取两次次取1球甲表示事件第次取出球数字1乙表示事件第二次取出球数字2丙表示事件两次取出球数字8丁表示事件两次取出球数字7（ ）
A 甲丙相互独立 B 甲丁相互独立
C 乙丙相互独立 D 丙丁相互独立
答案B
解析
分析根独立事件概率关系逐判断
详解
选：B
点睛判断事件否独立先计算应概率判断否成立
二､选择题：题4题题5分20分题出选项中项符合题目求全部选5分部分选2分选错0分
9 组样数…组数新样数…中(非零常数（ ）
A 两组样数样均数相
B 两组样数样中位数相
C 两组样数样标准差相
D 两组样数样极差相
答案CD
解析
分析AC利两组数线性关系判断正误根中位数极差定义结合已知线性关系判断
BD正误
详解A：均数相错误
B：第组中位数第二组中位数显然相错误
C：方差相正确
D：极差定义知：第组极差第二组极差极差相正确
选：CD
10 已知坐标原点点（ ）
A B
C D
答案AC
解析
分析AB写出坐标利坐标公式求模判断正误CD根量坐标应量数量积坐标表示两角差公式化简判断正误
详解A：正确
B：理定相等错误
C：题意：正确
D：题意：
般说错误
选：AC
11 已知点圆点（ ）
A 点直线距离
B 点直线距离
C 时
D 时
答案ACD
解析
分析计算出圆心直线距离出点直线距离取值范围判断AB选项正误分析知时圆相切利勾股定理判断CD选项正误
详解圆圆心半径
直线方程
圆心直线距离
点直线距离值值A选项正确B选项错误
图示：
时圆相切连接知
勾股定理CD选项正确
选：ACD
点睛结点睛：直线半径圆相离圆心直线距离圆点直线距离取值范围
12 正三棱柱中点满足中（ ）
A 时周长定值
B 时三棱锥体积定值
C 时仅点
D 时仅点面
答案BD
解析
分析A等价量关系联系三角形进确定点坐标
B点运动轨迹考虑三角形确定路线进考虑体积否定值
C考虑助量移点轨迹确定进考虑建立合适直角坐标系求解点数
D考虑助量移点轨迹确定进考虑建立合适直角坐标系求解点数．
详解
易知点矩形部（含边界）．
A时时线段周长定值A错误
B时时点轨迹线段面面距离定值体积定值B正确．
C时取中点分点轨迹线段妨建系解决建立空间直角坐标系图．均满足C错误
D时取中点．点轨迹线段．设时重合D正确．
选：BD．
点睛题考查量等价换关键处求点坐标放三角形．
三､填空题：题4题题5分20分
13 已知函数偶函数______
答案1
解析
分析利偶函数定义求参数值
详解
偶函数
时整理
答案：1
14 已知坐标原点抛物线：()焦点点轴垂直轴点准线方程______
答案
解析
分析先坐标表示根量垂直坐标表示列方程解结果
详解抛物线： ()焦点
∵P点轴垂直
P横坐标代入抛物线方程求P坐标
妨设
Q轴点QF右侧
准线方程
答案：
点睛利量数量积处理垂直关系题关键
15 函数值______
答案1
解析
分析解析式知定义域讨结合导数研究单调性求值
详解题设知：定义域
∴时时单调递减
时时单调递减
时时单调递增
分段界点处连续
∴综：时单调递减时单调递增
∴
答案：1
16 某校学生研究民间剪纸艺术时发现剪纸时常会纸某条称轴纸折规格长方形纸折1次两种规格图形面积折2次三种规格图形面积类推折4次规格图形种数______果折次______
答案 (1) 5 (2)
解析
分析（1）折列举（2）根规律根错位相减法结果
详解（1）折2次三种规格图形着三次结果：4种规格（单位
折4次规格：5种规格
（2）次着图形面积减原半次着图形规格面积成公等数列首项120第n次折图形面积第n折图形规格形状种数根（1）程结猜想种（证明略）猜想
设
两式作差：
答案：
点睛方法点睛：数列求常方法：
（1）等差等数列利公式法直接求解
（2）结构中等差数列等数列错位相减法求
（3）结构利分组求法
（4）结构中等差数列公差利裂项相消法求
四､解答题：题6题70分解答应写出文字说明､证明程演算步骤
17 已知数列满足
（1）记写出求数列通项公式
（2）求前20项
答案（1）（2）
解析
分析（1）根题设中递推关系求通项
（2）根题设中递推关系前项化利（1）结果求
详解（1）题设
等差数列
（2）设前项
点睛方法点睛：数列交叉递推关系般利已知关系奇数项递推关系偶数项递推关系结合已知数列通项公式求公式等求解问题
18 某学校组织带路知识竞赛AB两类问题位参加赛学先两类问题中选择类中机抽取问题回答回答错误该学赛结束回答正确类问题中机抽取问题回答回答正确否该学赛结束A类问题中问题回答正确20分否0分B类问题中问题回答正确80分否0分知明正确回答A类问题概率08正确回答B类问题概率06正确回答问题概率回答次序关
（1）明先回答A类问题记明累计分求分布列
（2）累计分期明应选择先回答类问题？说明理
答案（1）见解析（2）类．
解析
分析（1）通题意分析出明累计分取值逐求概率列分布列．（2）（1）类似找出先回答类问题数学期较两期．
详解（1）题知取值．
．
分布列
（2）（1）知．
明先回答问题记明累计分取值．
．
．
明应选择先回答类问题．
19 记角边分已知点边
（1）证明：
（2）求
答案（1）证明见解析（2）
解析
分析（1）根正弦定理边角关系结合已知证结
（2）题设应余弦定理求结合已知余弦定理求
详解
（1）题设正弦定理知：
∴
∴证
（2）题意知：
∴理
∵
∴整理
∴整理解
余弦定理知：
时合题意时
综
点睛关键点点睛：第二问根余弦定理数量关系结合已知条件余弦定理求
20 图三棱锥中面面中点
（1）证明：
（2）边长1等边三角形点棱二面角求三棱锥体积
答案(1)详见解析(2)
解析
分析（1）根面面垂直性质定理AO⊥面BCD证结果
（2）先作出二面角面角求高根体积公式结果
详解（1）ABADOBD中点AO⊥BD
面ABD面BCD面ABD⊥面BCD面ABD
AO⊥面BCD
面BCDAO⊥CD
(2)作EF⊥BDF 作FM⊥BCM连FM
AO⊥面BCDAO⊥BD AO⊥CD
EF⊥BD EF⊥CD EF⊥面BCDEF⊥BC
FM⊥BCBC⊥面EFMBC⊥MF
二面角EBCD面角
正三角形直角三角形
EFFM
面BCD
点睛二面角求法：定义法二三垂线定理法三垂面法四投影法
21 面直角坐标系中已知点点轨迹
（1）求方程
（2）设点直线两条直线分交两点两点求直线斜率直线斜率
答案（1）（2）
解析
分析（1）利双曲线定义知轨迹点左右焦点双曲线右支求出值出轨迹方程
（2）设点设直线方程设点联立直线曲线方程列出韦达定理求出表达式设直线斜率理出表达式化简值
详解
轨迹点左右焦点双曲线右支
设轨迹方程
轨迹方程
（2）设点点直线斜率存时该直线曲线公点
妨直线方程
联立消整理
设点
韦达定理
设直线斜率理
整理
显然
直线直线斜率
点睛方法点睛：求定值问题常见方法两种：
（1）特殊入手求出定值证明值变量关
（2）直接推理计算计算推理程中消变量定值．
22 已知函数
（1）讨单调性
（2）设两相等正数证明：
答案（1）递增区间递减区间（2）证明见解析
解析
分析（1）求出函数导数判断符号函数单调区间
（2）设原等式等价前者构建新函数利极值点偏移证者设转化恒成立问题利导数证明该结成立
详解（1）函数定义域
时时
递增区间递减区间
（2）
设（1）知妨设
时时
先证：
必成立
证：证
证证：中
设
增函数
成立成立
综成立
设
结合：
：
证：证证
证：证：
令
先证明等式：
设
时时
增函数减函数
成立
述等式时恒成立
减函数
成立成立
综述
点睛方法点睛：极值点偏移问题般利通原函数单调性变量关等式问题转化原函数函数值关等式问题引入第三变量等式问题转化新引入变量关等式问题
文档香网(httpswwwxiangdangnet)户传
《香当网》用户分享的内容，不代表《香当网》观点或立场，请自行判断内容的真实性和可靠性！
该内容是文档的文本内容，更好的格式请下载文档
2021年普通高等学校招生全国统考试
数学
试卷4页22题满分150分考试时120分钟
注意事项：
1答卷前考生务必姓名､考生号､考场号座位号填写答题卡2B铅笔试卷类型(A)填涂答题卡相应位置条形码横贴答题卡右角条形码粘贴处
2作答选择题时选出题答案2B铅笔答题卡应题目选项答案信息点涂黑：需改动橡皮擦干净选涂答案答案答试卷
3非选择题必须黑色字迹钢笔签字笔作答答案必须写答题卡题目指定区域相应位置需改动先划掉原答案然写新答案准铅笔涂改液求作答效
4考生必须保持答题卡整洁考试结束试卷答题卡交回
､选择题：题8题题5分40分题出四选项中项符合题目求
1 设集合（ ）
A B C D
答案B
解析
分析利交集定义求
详解题设
选：B
2 已知（ ）
A B C D
答案C
解析
分析利复数法轭复数定义求结果
详解
选：C
3 已知圆锥底面半径侧面展开图半圆该圆锥母线长（ ）
A B C D
答案B
解析
分析设圆锥母线长根圆锥底面圆周长等扇形弧长求值求
详解设圆锥母线长圆锥底面圆周长等扇形弧长解
选：B
4 列区间中函数单调递增区间（ ）
A B C D
答案A
解析
分析解等式利赋值法出结
详解函数单调递增区间
函数
解
取函数单调递增区间
A选项满足条件B满足条件
取函数单调递增区间
CD选项均满足条件
选：A
点睛方法点睛：求较复杂三角函数单调区间时首先化简成形式求单调区间需作整体代入相应单调区间注意先化正数．
5 已知椭圆：两焦点点值（ ）
A 13 B 12 C 9 D 6
答案C
解析
分析题通利椭圆定义助基等式答案．
详解题
（仅时等号成立）．
选：C．
点睛椭圆点椭圆两焦点距离问题常常椭圆定义入手注意基等式灵活运者记住定理：两正数定相等时积定相等时快速求解
6 （ ）
A B C D
答案C
解析
分析式子先利二倍角公式方关系配方化简然增添分母()进行齐次化处理化正切表达式代入结果．
详解式子进行齐次化处理：
．
选：C．
点睛易错点睛：题果利求出值需分象限讨正负通齐次化处理避开讨．
7 点作曲线两条切线（ ）
A B
C D
答案D
解析
分析解法：根导数意义求切线方程构造函数利导数研究函数图象结合图形确定结果
解法二：画出曲线图象根直观判定点曲线方轴方时作出两条切线
详解曲线取点函数求导
曲线点处切线方程
题意知点直线
令
时时函数单调递增
时时函数单调递减
题意知直线曲线图象两交点
时时作出函数图象图示：
图知时直线曲线图象两交点
选：D
解法二：画出函数曲线图象图示根直观判定点曲线方轴方时作出两条切线知
选：D
点睛解法严格证明求解方法中极限处理中学知识范围需指数函数增长特性进行估计解法二根基指数函数图象清晰理解认识基础直观解决问题效方法
8 6相球分标数字123456中放回机取两次次取1球甲表示事件第次取出球数字1乙表示事件第二次取出球数字2丙表示事件两次取出球数字8丁表示事件两次取出球数字7（ ）
A 甲丙相互独立 B 甲丁相互独立
C 乙丙相互独立 D 丙丁相互独立
答案B
解析
分析根独立事件概率关系逐判断
详解
选：B
点睛判断事件否独立先计算应概率判断否成立
二､选择题：题4题题5分20分题出选项中项符合题目求全部选5分部分选2分选错0分
9 组样数…组数新样数…中(非零常数（ ）
A 两组样数样均数相
B 两组样数样中位数相
C 两组样数样标准差相
D 两组样数样极差相
答案CD
解析
分析AC利两组数线性关系判断正误根中位数极差定义结合已知线性关系判断
BD正误
详解A：均数相错误
B：第组中位数第二组中位数显然相错误
C：方差相正确
D：极差定义知：第组极差第二组极差极差相正确
选：CD
10 已知坐标原点点（ ）
A B
C D
答案AC
解析
分析AB写出坐标利坐标公式求模判断正误CD根量坐标应量数量积坐标表示两角差公式化简判断正误
详解A：正确
B：理定相等错误
C：题意：正确
D：题意：
般说错误
选：AC
11 已知点圆点（ ）
A 点直线距离
B 点直线距离
C 时
D 时
答案ACD
解析
分析计算出圆心直线距离出点直线距离取值范围判断AB选项正误分析知时圆相切利勾股定理判断CD选项正误
详解圆圆心半径
直线方程
圆心直线距离
点直线距离值值A选项正确B选项错误
图示：
时圆相切连接知
勾股定理CD选项正确
选：ACD
点睛结点睛：直线半径圆相离圆心直线距离圆点直线距离取值范围
12 正三棱柱中点满足中（ ）
A 时周长定值
B 时三棱锥体积定值
C 时仅点
D 时仅点面
答案BD
解析
分析A等价量关系联系三角形进确定点坐标
B点运动轨迹考虑三角形确定路线进考虑体积否定值
C考虑助量移点轨迹确定进考虑建立合适直角坐标系求解点数
D考虑助量移点轨迹确定进考虑建立合适直角坐标系求解点数．
详解
易知点矩形部（含边界）．
A时时线段周长定值A错误
B时时点轨迹线段面面距离定值体积定值B正确．
C时取中点分点轨迹线段妨建系解决建立空间直角坐标系图．均满足C错误
D时取中点．点轨迹线段．设时重合D正确．
选：BD．
点睛题考查量等价换关键处求点坐标放三角形．
三､填空题：题4题题5分20分
13 已知函数偶函数______
答案1
解析
分析利偶函数定义求参数值
详解
偶函数
时整理
答案：1
14 已知坐标原点抛物线：()焦点点轴垂直轴点准线方程______
答案
解析
分析先坐标表示根量垂直坐标表示列方程解结果
详解抛物线： ()焦点
∵P点轴垂直
P横坐标代入抛物线方程求P坐标
妨设
Q轴点QF右侧
准线方程
答案：
点睛利量数量积处理垂直关系题关键
15 函数值______
答案1
解析
分析解析式知定义域讨结合导数研究单调性求值
详解题设知：定义域
∴时时单调递减
时时单调递减
时时单调递增
分段界点处连续
∴综：时单调递减时单调递增
∴
答案：1
16 某校学生研究民间剪纸艺术时发现剪纸时常会纸某条称轴纸折规格长方形纸折1次两种规格图形面积折2次三种规格图形面积类推折4次规格图形种数______果折次______
答案 (1) 5 (2)
解析
分析（1）折列举（2）根规律根错位相减法结果
详解（1）折2次三种规格图形着三次结果：4种规格（单位
折4次规格：5种规格
（2）次着图形面积减原半次着图形规格面积成公等数列首项120第n次折图形面积第n折图形规格形状种数根（1）程结猜想种（证明略）猜想
设
两式作差：
答案：
点睛方法点睛：数列求常方法：
（1）等差等数列利公式法直接求解
（2）结构中等差数列等数列错位相减法求
（3）结构利分组求法
（4）结构中等差数列公差利裂项相消法求
四､解答题：题6题70分解答应写出文字说明､证明程演算步骤
17 已知数列满足
（1）记写出求数列通项公式
（2）求前20项
答案（1）（2）
解析
分析（1）根题设中递推关系求通项
（2）根题设中递推关系前项化利（1）结果求
详解（1）题设
等差数列
（2）设前项
点睛方法点睛：数列交叉递推关系般利已知关系奇数项递推关系偶数项递推关系结合已知数列通项公式求公式等求解问题
18 某学校组织带路知识竞赛AB两类问题位参加赛学先两类问题中选择类中机抽取问题回答回答错误该学赛结束回答正确类问题中机抽取问题回答回答正确否该学赛结束A类问题中问题回答正确20分否0分B类问题中问题回答正确80分否0分知明正确回答A类问题概率08正确回答B类问题概率06正确回答问题概率回答次序关
（1）明先回答A类问题记明累计分求分布列
（2）累计分期明应选择先回答类问题？说明理
答案（1）见解析（2）类．
解析
分析（1）通题意分析出明累计分取值逐求概率列分布列．（2）（1）类似找出先回答类问题数学期较两期．
详解（1）题知取值．
．
分布列
（2）（1）知．
明先回答问题记明累计分取值．
．
．
明应选择先回答类问题．
19 记角边分已知点边
（1）证明：
（2）求
答案（1）证明见解析（2）
解析
分析（1）根正弦定理边角关系结合已知证结
（2）题设应余弦定理求结合已知余弦定理求
详解
（1）题设正弦定理知：
∴
∴证
（2）题意知：
∴理
∵
∴整理
∴整理解
余弦定理知：
时合题意时
综
点睛关键点点睛：第二问根余弦定理数量关系结合已知条件余弦定理求
20 图三棱锥中面面中点
（1）证明：
（2）边长1等边三角形点棱二面角求三棱锥体积
答案(1)详见解析(2)
解析
分析（1）根面面垂直性质定理AO⊥面BCD证结果
（2）先作出二面角面角求高根体积公式结果
详解（1）ABADOBD中点AO⊥BD
面ABD面BCD面ABD⊥面BCD面ABD
AO⊥面BCD
面BCDAO⊥CD
(2)作EF⊥BDF 作FM⊥BCM连FM
AO⊥面BCDAO⊥BD AO⊥CD
EF⊥BD EF⊥CD EF⊥面BCDEF⊥BC
FM⊥BCBC⊥面EFMBC⊥MF
二面角EBCD面角
正三角形直角三角形
EFFM
面BCD
点睛二面角求法：定义法二三垂线定理法三垂面法四投影法
21 面直角坐标系中已知点点轨迹
（1）求方程
（2）设点直线两条直线分交两点两点求直线斜率直线斜率
答案（1）（2）
解析
分析（1）利双曲线定义知轨迹点左右焦点双曲线右支求出值出轨迹方程
（2）设点设直线方程设点联立直线曲线方程列出韦达定理求出表达式设直线斜率理出表达式化简值
详解
轨迹点左右焦点双曲线右支
设轨迹方程
轨迹方程
（2）设点点直线斜率存时该直线曲线公点
妨直线方程
联立消整理
设点
韦达定理
设直线斜率理
整理
显然
直线直线斜率
点睛方法点睛：求定值问题常见方法两种：
（1）特殊入手求出定值证明值变量关
（2）直接推理计算计算推理程中消变量定值．
22 已知函数
（1）讨单调性
（2）设两相等正数证明：
答案（1）递增区间递减区间（2）证明见解析
解析
分析（1）求出函数导数判断符号函数单调区间
（2）设原等式等价前者构建新函数利极值点偏移证者设转化恒成立问题利导数证明该结成立
详解（1）函数定义域
时时
递增区间递减区间
（2）
设（1）知妨设
时时
先证：
必成立
证：证
证证：中
设
增函数
成立成立
综成立
设
结合：
：
证：证证
证：证：
令
先证明等式：
设
时时
增函数减函数
成立
述等式时恒成立
减函数
成立成立
综述
点睛方法点睛：极值点偏移问题般利通原函数单调性变量关等式问题转化原函数函数值关等式问题引入第三变量等式问题转化新引入变量关等式问题
文档香网(httpswwwxiangdangnet)户传
《香当网》用户分享的内容，不代表《香当网》观点或立场，请自行判断内容的真实性和可靠性！
该内容是文档的文本内容，更好的格式请下载文档
