知识点
奥数学中日常生活中会发现规律帮助更认识问题特奥数学中数列数阵排列图形周长面积变化庞数字计算等等定规律规律出常常观察纳样思维活动观察寻找规律少手段发现质纳规律先导问题解答出究原说想出说出寻找规律程中必须高度重视数形式等现象观察善抓住问题质特征进行纳出规律观察思考试算发现数数图形图形相互间关系题目答案学通学希时积累纳善发现总结规律学会发现学会道题目重
周期问题
（年第十届华罗庚金杯少年数学邀请赛学组决赛第题）表中列年历法中年号请完成表：
公元历
希伯莱历
伊斯兰历
印度历
分析第列第二列差年第列第三列差年第二列第三列差年
答案
公元历
希伯莱历
伊斯兰历
印度历
说明种历法简介
公元历
公元纪年法耶稣诞辰关公元年欧洲国基督教开会决定统历法儒略历国原纪年方法罗马帝国始建罗马城纪元希腊召开第次奥林匹克运动会年（公元前年）纪元扩基督教影响教士直谋求统纪年方法公元年著名教士狄奥尼西番联想推算判定耶稣诞生狄奥克列颠纪元前年建议基督纪年方法统耶稣降生年纪元建议绝数基督教会支持推算确定年耶稣诞生第年公元年公元纪年法诞生
玛雅历
号称年历史玛雅文化秘鲁等中南美国家遗存危马拉直太阳历部落玛雅代关玛雅种太阳历龙脉少种说法较信公元前年月开始启太阳历分民间历宗教历两种民间历年分天哈布宗教历天通称左尔吉玛雅出生时左尔吉里受赐种命运生日应神天教父出生天已决定生命运生日天名字
玛雅太阳历月月天年底余出天作幽灵日带背运成分深避忌外天进入新年渡期中某天祸患程度玛雅通常左尔吉哈布两种日期位置关系推算
埃塞俄亚历
埃塞俄亚信奉基督教格里高里历东正教儒略历采先祖亚历山手里继承种太阴太阳历种历法名字样月划分阴历进行补偿阳历偏差年月末相应增加天时适逢雨季行结束时候
希伯莱历
希伯莱历色列采太阳月亮定时间相遇程律法定耶稣复活日祭月活动必须春天进行阳历调整种定求希伯莱历月必须新月初现时候开始强调新净
样希伯莱历成两种原太阳历太阴历计算方法球运动耶路撒冷观测月亮盈亏基准太阳月亮关联年天阳历月天阴历间样调整呢？希伯莱历交设置天天年天天闰年犹太历法开天辟刻已开始历法公历年月日希伯莱历年元旦
伊斯兰历
伊斯兰教徒斋月期间白天禁食天祭祀活动月亮运行基准太阴历种宗教历法轮新月出现作月开始信徒注意天月亮确认时间明显足球观察新月非方处样时间遇阴天法判断宗教历外常种事先印制太阴历月交日日月底实际完全符合天必须年周期设置闰年天太阴历天太阳历完全相符季节轮回出现偏差造成隆冬赶月份盛夏出现月份怪现象太阳历季节致久新伊斯兰历应运生
伊斯兰历纪元公元年起点穆罕默德麦加麦逃亡史称圣迁年元年公元年成伊斯兰历年伊斯兰教徒新世纪早前已度
印度历
印度着种历书年历法改革时决定全国统太阳历时公元年春分起点公元年月太阳历计算年刚刚开始
流水线生产木球涂色次序：先红黄绿黑白然次红黄绿黑白……继续涂第球该涂什颜色？前球中涂黑色球少？
分析根题意木球涂色次序：红黄绿黑白
涂红黄绿黑白循环次
里木球涂色周期：
第球出现面列周期中第第球涂白色
周期黑球前球中涂黑色球
流水线生产木球涂色次序：先红黄绿黑白然次红黄绿黑白……继续涂涂第黑球时涂色球少？
分析根题意木球涂色次序：红黄绿黑白
涂红黄绿黑白循环次
里木球涂色周期：周期里黑球
周期涂球
明桌干红球排成排然相邻球间放黄球相邻球间放蓝球时桌球中黄球
分析图示红球间黄球蓝球
红球黄球蓝球视循环
黄球
图图案表示花圃设计方案汉字表示盆花颜色请问第行第盆花颜色？第行第盆花颜色？（左右计数）
分析通观察发现左右排列周期：红蓝白黄
第行第盆花第盆蓝色
第行第盆花第盆白色
（年第二届华罗庚金杯少年数学邀请赛学组初赛第题）四动物换座位开始鼠坐第号位子猴坐第号兔坐第号猫坐第号停交换位子第次两排交换第二次第次交换左右两排交换第三次两排交换第四次左右两排交换……样直换问：第十次交换位子兔坐第号位子？（参图）
分析次交换兔分次交换次左右交换
相兔分次交换次左右交换
第十次交换位子兔坐第号位子
（年月日第三届学希杯全国数学邀请赛四年级第试第题）图次表示左手拇指食指中指名指拇指拇指开始数数 …序数数时
分析循环周期
数时拇指
(2011年2月20日机灵杯四年级决赛)某年月份5星期五4星期六该月1月20日星期？
分析五星期五四星期六说明月31日周五20日31日3120+112天
（121）71……45411月20日周
位朋友分标号图示围成圈号开始发书次发书时针方次隔隔隔隔……样序发书问书发号朋友？
分析列表分析：
朋友
书
书周期书发号朋友
找规律
迎接世博会学思学校买盆花摆成图示花圃汉字表示盆花颜色花圃完整学思少买少盆花？花圃摆中少盆红花？
分析少买盆花
中盆红花
规律排列串数：……串数第数少？
分析第数
串数第数
规律排列串数：14113085248735……串数第N数少？
分析项3项做差容易等差数列等差等综合数列
第数
（学数学奥林匹克初赛民族卷）列数：……第三数起数前两数积位数字列数第数应
分析串数：……
前两数外余数六组循环
数列第数
串数：……中第数第二数第三数起数恰前两数串数中第数余数？
分析前两数余数相加然余数数余数
数
余数
余数循环
第数余数
说明果数等数数余数
等加数余数余数
观察表：
请写出数表第行
分析观察规律：第行等号左边数等号右边（）
第正奇数排第行左边
数表第行
（年台湾第十届学数学世界邀请赛队际赛第题）连续正整数列方式分组：（）（）（）（）……中第组数第二组数第三组数……类推请问第组数总少？
分析第组第数
第组数
第组数
观察数分组规律：……求：①第组第数数？第数数？②第组数少？③前组数少？
分析①组序号该组数分母相第组数分母
第组数数
第组第数
第组第数倒数第数
②第组数（）
第组数
③前组数
（年第九届华罗庚金杯少年数学邀请赛学组初赛第题）列数：……中数开始数差？
分析第数（）差
≥时差
（年第四届日学数学奥林匹克赛高组预赛第题）列⑴⒇二十加法算式定规律排出数算式？请写出数
分析⑴⒇算式中右边分数逐渐增差均
⑴⒇算式中左边边分数逐渐增
差次……
左侧减少数增加数总说减⑴⑹次减
右侧减少数增加数总说增⑹⒇次增
数⑹
（年第十届华罗庚金杯少年数学邀请赛学组团体决赛口试题第题）图中国古代杨辉三角形问：写图中网点处数少？
分析第行数前行数
写图中网点处数
世界著名莱布尼兹三角形图示：
排第行左边数第位置数
分析规律：①第行数②第行左边右边数均
③面两数等面数
第行左边数第行左边数第行左边数
第行左边数第二位置数第行左边数第二位置数
第行左边数第三位置数
（年第三届华罗庚金杯少年数学邀请赛学组决赛试第题）观察面数表（横排行）：
根前行数表达规律说明数位第行？行中位左右第？
分析观察知行数分子分母变分子分母行数
数位第行
数某行中左右位置号码数分母相
位左右第
面画（ ）圆画条直线面分成44部分
分析面圆直线面分新加入圆直线原图形必须交点 譬两圆面分成四部分新加入圆分面数定原 圆相交2次时新加入图形分成四段弧段弧原面分成两部分新增加 四面8面
先画条直线时两面新加入圆两交点两段弧两 面圆4交点4段弧4面圆原两圆条直线相交 6交点6段弧6面圆原三圆条直线相交8交点8段弧8 面……容易发现面数增加量规律
22468101214
开始2剩增加数等差数列关系难结44面需 2+2+4+6+8+10+126圆
种题目先找规律做起慢慢答案
（年第届华罗庚金杯少年数学邀请赛学组团体决赛口试第题）非零然数序排成螺旋形处拐第弯处拐第二弯处拐第三弯……问：拐第二十弯方数？
分析设第拐弯处数
时（）
时（）
拐第二十弯方
（年第四届华罗庚金杯少年数学邀请赛学组复赛第题）然数次排列：
样排列数字排第二行第列排第三行第三列问：排第行第列？
分析设行数列数斜行（右左方）
令
位第行第列
位行第列
（年第十二届华罗庚金杯少年数学邀请赛学组初赛第题）图边长正三角形第次掉三边中点连线围成正三角形第二次留三正三角形分掉中点连线围成三角形……做第四次掉三角形掉三角形周长
分析图掉三角形
掉三角形周长
说明波兰数学家瓦茨瓦夫·弗朗西斯克·谢尔宾斯基（）
年提出谢尔宾斯基三角（参见例题）年提出谢尔宾斯基毯（）
谢尔宾斯基毯构造方式：正方形分成正方形取走中间正方形
余正方形重复程直穷
谢尔宾斯基三角形谢尔宾斯基毯会出现悖直觉结：
图形具穷周长零面积
谢尔宾斯基毯推广三维门格海绵
门格海绵奥利数学家卡尔·门格年提出
门格海绵构造方式：正方体面分成正方形正方体分成正方体
面中间正方体掉中心正方体掉留正方体
留正方体重复程直穷
门格海绵面谢尔宾斯基毯
意利著名数学家斐波契研究兔子繁殖问题时发现样组数：……中第三数起数等前面两数现组数中数作正方形长度构造图⑴示正方形分次左右取正方形拼成图⑵示矩形记①②③④相应矩形周长表示：
序号
①
②
③
④
周长
规律继续作矩形序号⑩矩形周长
分析记数列第数（）
第矩形宽（较短边）长（较长边）周长
数列：……中
序号⑩矩形周长
说明图示数列边长正方形组成螺旋
（第七届华杯赛）串数……称帕瓦数列请陈述数列规律写出中第数第数
分析记数列第项
数列规律：①（≥）②（≥）
③（≥）④（≥）
⑤（≥）
数列：……
数列第数第数
说明数列建筑师命名
图示数列边长等边三角形组成螺旋
（年第六届华罗庚金杯少年数学邀请赛学组复赛第题）
①面样四图（）（）（）（）称作面图
数数图少顶点少条边边围出少区域结果填入表：（填样子做）
顶点数
边数
区域数
（）
（）
（）
（）
②观察表推断面图顶点数边数区域数间什关系？
③现已知某面图顶点区域试根②中推断出关系确定图少条边？
分析①填表
顶点数
边数
区域数
（）
（）
（）
（）
②该表出四面图顶点数边数区域数间述关系：
推断面图顶点数边数区域数间述关系：顶点数区域数边数
③某面图顶点区域图条边
（年学生数学报数学邀请赛）
⑴数数图～图种立体图中少顶点少条棱少面结果填入表：
顶点数
面数
棱数
图正四面体
图正方体
图八面体
图六棱锥
⑵果正方体角切掉三棱锥（图）新面体顶点数面数棱数
图 图
⑶果传统足球（图）作面体中黑色面（正五边形）块白色面（正六边形）块面体（足球）棱条
分析⑴填法表示：
顶点数
面数
棱数
图正四面体
图正方体
图八面体
图六棱锥
⑵正方体角切掉三棱锥顶点变成三顶点
面原正方体八棱数条
⑶黑色面白色面相邻白色面黑色面相邻
白色面块
白色面条边条黑色面相邻（条边算条棱）
条白色面相邻（两条算条棱）面体棱条
说明面体里顶点数面数棱数间关系
公式称欧拉（）公式
四面体例说明：
面掉变面图形四面体顶点数棱数剩面数 变形没变研究关系掉面变形面图形
面图形研究：
（1）掉条棱减少面例掉减少面．
理掉棱减少面．
值变值变
（2）剩树枝形中掉条棱减少顶点例掉减少顶点．理掉减少顶点剩（图）．
程中值变时面数
值变
剩2+011
加掉面．
进步问没正五面体？
世界没正五面体？
面图形里正三角形三维空间里正四面体（四顶点四面六条棱）
进步问 没正五面体？
实际三维空间中存五种正面体分正四面体正六面体正八面体正十二面 体正二十面体通欧拉定理出该结
欧拉定理：果凸面体顶点数v棱数e面数f总样关 系：
v e + f 2 ①
正面体面正边形妨边数记n
n ≥ 3 ②
时条棱属两面面体面数棱数关系：
nf 2e ③
顶点条棱相交成妨顶点相接棱数记r顶点面体中 顶点
r ≥ 3 ④
否两条棱相交顶点面图形中顶点时条棱连接两顶点面 体顶点数棱数关系：
rv 2e ⑤
③式⑤式代入①式消掉变量fv等式：
2er e + 2en 2
等式两边时2e：
1r 12 + 1n 1e
1r + 1n 1e + 12 ⑥
正面体棱数e少6（想想什）⑥式右边值
16 + 12 23
时棱数e正数e取值⑥式右边定12
12 ＜ ⑥式右边 ≤ 23 ⑦
②式④式知r ≥ 3n ≥ 3r ≥ 4n ≥ 4时⑥式左边≤14 + 14⑥ 式左边 ≤12⑦矛盾rn取值分种情况讨：
⑴ r ≥ 4时时满足n ≥ 4n ≥ 3必须满足时n 3代入⑥式 1r 1e + 161r 1e + 16 ＞ 16r ＜ 6r取345r 3n 3时代入 ⑥式③式f 4时正四面体r 4n 3时f 8时正 八面体r 5n 3时f 20时正二十面体
⑵ ⑴类似n ≥ 4时时满足r ≥ 4r ≥ 3必须满足时r 3 理 n取345r 3n 3时代入⑥式③式f 4时正四面体r 3n 4时f 6时正六面体（立方体）r 3n 5时f 20时 正十 二面体
⑶ r ≥ 4n ≥ 4满足时候r ≥ 3n ≥ 3r 3n 3时 f 4 正四面体
证明知三维空间中存五种正面体分正四面体正六面体正八面体正 十二面体正二十面体然存正五面体
课练
练1 （年数学王学趣味数学邀请赛试题组（年级）第题）规律填出横线数：
分析
公差等差数列
面两空次
练2 图示列火车车厢定规律编号请写出树挡住节车厢号码
分析分观察第节车厢第节车厢数
发现数分构成等差数列项前项少
第节车厢数第节车厢数
练3 （年数学王学趣味数学测试题中年级组（年级）第题）图中串珠子白珠黑珠组成中部分盒子里排列定规律白珠
分析右左次白珠黑珠白珠黑珠白珠黑珠……
白珠黑珠
白珠
练4 （年数学王学趣味数学测试题中年级组（年级）第题）找规律填数字
分析
规律外周三圆数积半等中心圆数
练5 （第十三届争数学王学趣味数学测试题中年级组（年级）第题）图中三角形圆里数间存着定规律规律图中问号处应该填数
分析
规律三角形三顶点圆圈数积等三角形数
练6 （年月日第七届学希杯全国数学邀请赛四年级第试第题）奥运商品展卖厅橱窗里放福娃左右次：
规律排第
分析福娃左右排列规律贝贝晶晶欢欢迎迎妮妮迎迎欢欢晶晶循环
排第迎迎
练7 （年第二届华罗庚金杯少年数学邀请赛学组复赛第题）串数排成行规律样：头两数第三数开始数前两数：问：串数前数中（包括第数）少偶数？
分析奇奇偶奇偶奇偶奇奇该数列奇奇偶周期循环
串数前数中（包括第数）偶数
练8 （年月日第三届学希杯全国数学邀请赛四年级第试第题）图次表示左手拇指食指中指名指拇指拇指开始数数 …序数数时
分析循环周期
数时食指
练9 （年第三届华罗庚金杯少年数学邀请赛学组团体决赛口试试题第题）伸出左手拇指开始图示样数数字……问：数时数手指？
分析拇指食指中指环指指环指中指食指循环周期
数时数中指
练10 （年月日第六届学希杯全国数学邀请赛四年级第试第题）表中列两字构成组例：第组（北预）第二组（京祝）
北
京
欢
迎
您
北
京
欢
迎
您
北
京
欢
迎
您
北
京
欢
…
预
祝
奥
运
会
圆
满
成
功
预
祝
奥
运
会
圆
满
成
功
…
观察表知左右第组两字
分析行北京欢迎循环周期
左右第组面字欢
行预祝奥运会圆满成功循环周期
左右第组面字预
左右第组两字（欢预）
补充
补充1 列数数字少倍数正整数
：20 40 60 80 100 104
第158少
A2000 B2004 C2008 D2012
分析继续写：100 104 108 120 140 160 180 200……发现100（含100）7数里面三位数7963（200300等100没质区）
1000开始写：1000 1004 1008 1012 1016……1096 1100 1104 1108……发现10001096（含10001096）25数1100100没质区（11001200间数目数100200间相等）11001980间63数
1980前（含1980）4+63+25+63155数
第156：2000
第157：2004
第158：2008
补充2 数列前两数项构造规律：次取相邻两项积果位数取项果两位数次积十位数字位数字作两项前项写出：……问：穷数列中出现少次？
分析数列构造规律写：
……
数列中出现面定会连续出现
会出现
会出现（） （）（）
（）（）（）反复穷次出现（中间插数）
数列中数字出现穷次
补充3 （年北京数学解题力展示读者评选活动高年级组第题）整数令表示位数字例
分析循环
补充4 （年第十四届日学数学奥林匹克赛高组预赛第题）郎二郎三郎手中着张彩纸玩游戏第次郎二郎张第二次二郎三郎张第三次三郎郎张第四次郎二郎张……样玩第次游戏结束时二郎手中着少张彩纸？
分析开始算起玩次郎手中彩纸增加张
二郎手中彩纸减少张三郎手中彩纸减少张
第次郎二郎张牌
第次游戏结束时二郎手中着张彩纸
补充5 （全国奥林匹克竞赛）横格竖格矩形方格纸现左角开始右着边框逐格涂色右边框逐格涂色底边框底边框右左逐格涂色左边框逐格涂色前面涂色方格直螺旋式涂……直方格涂满涂格第行左右第列？
分析图示时针涂完第圈两行两列涂色涂色第行第列方格
涂完第圈行列涂色剩行列未涂色
圈行列开始行列结束
补充6 （年第十二届华罗庚金杯少年数学邀请赛学组决赛第题）圆周放置空盒子时针方次编号明首先第枚白色棋子放入号盒子然第枚白色棋子放入号盒子第枚白色棋子放入号盒子……放置第枚白色棋子明时针方前数盒子第枚白色棋子放盒子中明规放置枚白色棋子青号盒子开始逆时针方样规盒子里放入枚红色棋子请回答：盒子少枚白色棋子？盒子少枚棋子？
分析列表找出发放棋子规律：
号盒子
号盒子
号盒子
号盒子
号盒子
号盒子
号盒子
时针
（白色棋子）
第枚
第枚
第枚
第枚
第枚
第枚
第枚
第枚
第枚
第枚
第枚
第枚
第枚
第枚
枚棋子周期
盒子白色棋子数量红色棋子数量棋子总数量表：
盒子编号
白色棋子数量
红色棋子数量
棋子总数量
补充7 相正六边形瓷砖图示方式铺设广场中间正六边形瓷砖记定义第组周围铺六块样正六边形瓷砖定义第二组第二组外围样正六边形瓷砖铺满定义第三组……种方式铺现块瓷砖完整铺满组时剩余块瓷砖
分析≥时第层条边块正六边形瓷砖
中角正六边形瓷砖计算次块正六边形瓷砖
≥时第组块正六边形瓷砖
现块瓷砖完整铺满组时剩余块瓷砖
补充8 （年第十二届华罗庚金杯少年数学邀请赛学组决赛第题）列数条件确定：第第二第三数前面数倍第六数等列数第数开始
分析数列第数记前数记（）
题意≥时
≥时
数列第六数
数列单调递增数列
列数第数开始
补充9 （年北京数学解题力展示读者评选活动高年级初赛第题）表示规律构造数表：表中数表中数表中数果表中数等等
分析≥时表表
≥时表中数
令
补充10 （年第五届日学数学奥林匹克赛高组预赛第题）坐成横排首先正中间站起然述方法家坐站
① 邻座站起秒钟站起
②站起秒钟坐
③果左右邻座时站着秒钟然坐着
请问：
⑴初站起秒钟站着？
⑵秒钟站着？
分析图表表示家站坐状态●表示站×表示坐
样排知初站起秒钟站着
根规律秒钟站着秒钟站着余时间站着
初站起秒钟站着
补充11 （年第六届华罗庚金杯少年数学邀请赛学组团体决赛口试题第题）质数排成数字串次完成五项工作做次操：
①左边第数码移数字串右边
②左右两位节组成干两位数
③划两位数中合数
④剩两位质数中相者保留左边余划
⑤余两位质数保持数码次序组成新数字串
问：次操作数字串什？
分析质数：
研究操作数字串呈现什变化规律：
第次操作数字串：
第次操作数字串：
第次操作数字串：
第次操作数字串：
第次操作数字串：
第次操作数字串：
第次操作数字串：
第次操作数字串：
第次操作开始循环
次操作数字串
补充12 （年华罗庚金杯）第次操作：圆周两点分写数第二次操作：数圆周分成两条圆弧中点处分写第三次操作：四条圆弧中点处分写条弧两端点数……图示次数划分出圆弧中点处写条弧两端点两数
⑴操作次圆周数
⑵次操作圆周数次操作圆周数
分析记第操次作圆数
次操作时原圆数加次新增加数等原圆数倍
⑴操作次圆周数
⑵次操作圆周数次操作圆周数
补充13 （年香港圣公会数学竞赛应题第题）边长正方形开始正方形角线边作第正方形第正方形角线边作第正方形第正方形边长
分析第正方形面积第正方形面积倍
第正方形边长第正方形边长倍
时（）第正方形边长
第正方形边长
补充14 （年第十届日学数学奥林匹克赛高组决赛第题）分写张卡片序码成摞然述步骤操作：
步骤：图摞卡片分成两部分半摞张称作半摞张称作
步骤：中数第张卡片出放桌子然中数第张卡片中数第二张卡片中数第二张卡片……中面卡片中面卡片样序码成摞
步骤步骤进行完成轮操作
求：第九轮操作结束时摞面卡片数
分析先摞卡片编号第张第二张……面张
然题目出步骤进行两轮操作
（半部分）
操作前
第轮操作
第二轮操作
（半部分）
操作前
第轮操作
第二轮操作
面卡片样变化：
找规律：
规律写：
知第九轮操作结束时摞面卡片数
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奥数学中日常生活中会发现规律帮助更认识问题特奥数学中数列数阵排列图形周长面积变化庞数字计算等等定规律规律出常常观察纳样思维活动观察寻找规律少手段发现质纳规律先导问题解答出究原说想出说出寻找规律程中必须高度重视数形式等现象观察善抓住问题质特征进行纳出规律观察思考试算发现数数图形图形相互间关系题目答案学通学希时积累纳善发现总结规律学会发现学会道题目重
周期问题
（年第十届华罗庚金杯少年数学邀请赛学组决赛第题）表中列年历法中年号请完成表：
公元历
希伯莱历
伊斯兰历
印度历
分析第列第二列差年第列第三列差年第二列第三列差年
答案
公元历
希伯莱历
伊斯兰历
印度历
说明种历法简介
公元历
公元纪年法耶稣诞辰关公元年欧洲国基督教开会决定统历法儒略历国原纪年方法罗马帝国始建罗马城纪元希腊召开第次奥林匹克运动会年（公元前年）纪元扩基督教影响教士直谋求统纪年方法公元年著名教士狄奥尼西番联想推算判定耶稣诞生狄奥克列颠纪元前年建议基督纪年方法统耶稣降生年纪元建议绝数基督教会支持推算确定年耶稣诞生第年公元年公元纪年法诞生
玛雅历
号称年历史玛雅文化秘鲁等中南美国家遗存危马拉直太阳历部落玛雅代关玛雅种太阳历龙脉少种说法较信公元前年月开始启太阳历分民间历宗教历两种民间历年分天哈布宗教历天通称左尔吉玛雅出生时左尔吉里受赐种命运生日应神天教父出生天已决定生命运生日天名字
玛雅太阳历月月天年底余出天作幽灵日带背运成分深避忌外天进入新年渡期中某天祸患程度玛雅通常左尔吉哈布两种日期位置关系推算
埃塞俄亚历
埃塞俄亚信奉基督教格里高里历东正教儒略历采先祖亚历山手里继承种太阴太阳历种历法名字样月划分阴历进行补偿阳历偏差年月末相应增加天时适逢雨季行结束时候
希伯莱历
希伯莱历色列采太阳月亮定时间相遇程律法定耶稣复活日祭月活动必须春天进行阳历调整种定求希伯莱历月必须新月初现时候开始强调新净
样希伯莱历成两种原太阳历太阴历计算方法球运动耶路撒冷观测月亮盈亏基准太阳月亮关联年天阳历月天阴历间样调整呢？希伯莱历交设置天天年天天闰年犹太历法开天辟刻已开始历法公历年月日希伯莱历年元旦
伊斯兰历
伊斯兰教徒斋月期间白天禁食天祭祀活动月亮运行基准太阴历种宗教历法轮新月出现作月开始信徒注意天月亮确认时间明显足球观察新月非方处样时间遇阴天法判断宗教历外常种事先印制太阴历月交日日月底实际完全符合天必须年周期设置闰年天太阴历天太阳历完全相符季节轮回出现偏差造成隆冬赶月份盛夏出现月份怪现象太阳历季节致久新伊斯兰历应运生
伊斯兰历纪元公元年起点穆罕默德麦加麦逃亡史称圣迁年元年公元年成伊斯兰历年伊斯兰教徒新世纪早前已度
印度历
印度着种历书年历法改革时决定全国统太阳历时公元年春分起点公元年月太阳历计算年刚刚开始
流水线生产木球涂色次序：先红黄绿黑白然次红黄绿黑白……继续涂第球该涂什颜色？前球中涂黑色球少？
分析根题意木球涂色次序：红黄绿黑白
涂红黄绿黑白循环次
里木球涂色周期：
第球出现面列周期中第第球涂白色
周期黑球前球中涂黑色球
流水线生产木球涂色次序：先红黄绿黑白然次红黄绿黑白……继续涂涂第黑球时涂色球少？
分析根题意木球涂色次序：红黄绿黑白
涂红黄绿黑白循环次
里木球涂色周期：周期里黑球
周期涂球
明桌干红球排成排然相邻球间放黄球相邻球间放蓝球时桌球中黄球
分析图示红球间黄球蓝球
红球黄球蓝球视循环
黄球
图图案表示花圃设计方案汉字表示盆花颜色请问第行第盆花颜色？第行第盆花颜色？（左右计数）
分析通观察发现左右排列周期：红蓝白黄
第行第盆花第盆蓝色
第行第盆花第盆白色
（年第二届华罗庚金杯少年数学邀请赛学组初赛第题）四动物换座位开始鼠坐第号位子猴坐第号兔坐第号猫坐第号停交换位子第次两排交换第二次第次交换左右两排交换第三次两排交换第四次左右两排交换……样直换问：第十次交换位子兔坐第号位子？（参图）
分析次交换兔分次交换次左右交换
相兔分次交换次左右交换
第十次交换位子兔坐第号位子
（年月日第三届学希杯全国数学邀请赛四年级第试第题）图次表示左手拇指食指中指名指拇指拇指开始数数 …序数数时
分析循环周期
数时拇指
(2011年2月20日机灵杯四年级决赛)某年月份5星期五4星期六该月1月20日星期？
分析五星期五四星期六说明月31日周五20日31日3120+112天
（121）71……45411月20日周
位朋友分标号图示围成圈号开始发书次发书时针方次隔隔隔隔……样序发书问书发号朋友？
分析列表分析：
朋友
书
书周期书发号朋友
找规律
迎接世博会学思学校买盆花摆成图示花圃汉字表示盆花颜色花圃完整学思少买少盆花？花圃摆中少盆红花？
分析少买盆花
中盆红花
规律排列串数：……串数第数少？
分析第数
串数第数
规律排列串数：14113085248735……串数第N数少？
分析项3项做差容易等差数列等差等综合数列
第数
（学数学奥林匹克初赛民族卷）列数：……第三数起数前两数积位数字列数第数应
分析串数：……
前两数外余数六组循环
数列第数
串数：……中第数第二数第三数起数恰前两数串数中第数余数？
分析前两数余数相加然余数数余数
数
余数
余数循环
第数余数
说明果数等数数余数
等加数余数余数
观察表：
请写出数表第行
分析观察规律：第行等号左边数等号右边（）
第正奇数排第行左边
数表第行
（年台湾第十届学数学世界邀请赛队际赛第题）连续正整数列方式分组：（）（）（）（）……中第组数第二组数第三组数……类推请问第组数总少？
分析第组第数
第组数
第组数
观察数分组规律：……求：①第组第数数？第数数？②第组数少？③前组数少？
分析①组序号该组数分母相第组数分母
第组数数
第组第数
第组第数倒数第数
②第组数（）
第组数
③前组数
（年第九届华罗庚金杯少年数学邀请赛学组初赛第题）列数：……中数开始数差？
分析第数（）差
≥时差
（年第四届日学数学奥林匹克赛高组预赛第题）列⑴⒇二十加法算式定规律排出数算式？请写出数
分析⑴⒇算式中右边分数逐渐增差均
⑴⒇算式中左边边分数逐渐增
差次……
左侧减少数增加数总说减⑴⑹次减
右侧减少数增加数总说增⑹⒇次增
数⑹
（年第十届华罗庚金杯少年数学邀请赛学组团体决赛口试题第题）图中国古代杨辉三角形问：写图中网点处数少？
分析第行数前行数
写图中网点处数
世界著名莱布尼兹三角形图示：
排第行左边数第位置数
分析规律：①第行数②第行左边右边数均
③面两数等面数
第行左边数第行左边数第行左边数
第行左边数第二位置数第行左边数第二位置数
第行左边数第三位置数
（年第三届华罗庚金杯少年数学邀请赛学组决赛试第题）观察面数表（横排行）：
根前行数表达规律说明数位第行？行中位左右第？
分析观察知行数分子分母变分子分母行数
数位第行
数某行中左右位置号码数分母相
位左右第
面画（ ）圆画条直线面分成44部分
分析面圆直线面分新加入圆直线原图形必须交点 譬两圆面分成四部分新加入圆分面数定原 圆相交2次时新加入图形分成四段弧段弧原面分成两部分新增加 四面8面
先画条直线时两面新加入圆两交点两段弧两 面圆4交点4段弧4面圆原两圆条直线相交 6交点6段弧6面圆原三圆条直线相交8交点8段弧8 面……容易发现面数增加量规律
22468101214
开始2剩增加数等差数列关系难结44面需 2+2+4+6+8+10+126圆
种题目先找规律做起慢慢答案
（年第届华罗庚金杯少年数学邀请赛学组团体决赛口试第题）非零然数序排成螺旋形处拐第弯处拐第二弯处拐第三弯……问：拐第二十弯方数？
分析设第拐弯处数
时（）
时（）
拐第二十弯方
（年第四届华罗庚金杯少年数学邀请赛学组复赛第题）然数次排列：
样排列数字排第二行第列排第三行第三列问：排第行第列？
分析设行数列数斜行（右左方）
令
位第行第列
位行第列
（年第十二届华罗庚金杯少年数学邀请赛学组初赛第题）图边长正三角形第次掉三边中点连线围成正三角形第二次留三正三角形分掉中点连线围成三角形……做第四次掉三角形掉三角形周长
分析图掉三角形
掉三角形周长
说明波兰数学家瓦茨瓦夫·弗朗西斯克·谢尔宾斯基（）
年提出谢尔宾斯基三角（参见例题）年提出谢尔宾斯基毯（）
谢尔宾斯基毯构造方式：正方形分成正方形取走中间正方形
余正方形重复程直穷
谢尔宾斯基三角形谢尔宾斯基毯会出现悖直觉结：
图形具穷周长零面积
谢尔宾斯基毯推广三维门格海绵
门格海绵奥利数学家卡尔·门格年提出
门格海绵构造方式：正方体面分成正方形正方体分成正方体
面中间正方体掉中心正方体掉留正方体
留正方体重复程直穷
门格海绵面谢尔宾斯基毯
意利著名数学家斐波契研究兔子繁殖问题时发现样组数：……中第三数起数等前面两数现组数中数作正方形长度构造图⑴示正方形分次左右取正方形拼成图⑵示矩形记①②③④相应矩形周长表示：
序号
①
②
③
④
周长
规律继续作矩形序号⑩矩形周长
分析记数列第数（）
第矩形宽（较短边）长（较长边）周长
数列：……中
序号⑩矩形周长
说明图示数列边长正方形组成螺旋
（第七届华杯赛）串数……称帕瓦数列请陈述数列规律写出中第数第数
分析记数列第项
数列规律：①（≥）②（≥）
③（≥）④（≥）
⑤（≥）
数列：……
数列第数第数
说明数列建筑师命名
图示数列边长等边三角形组成螺旋
（年第六届华罗庚金杯少年数学邀请赛学组复赛第题）
①面样四图（）（）（）（）称作面图
数数图少顶点少条边边围出少区域结果填入表：（填样子做）
顶点数
边数
区域数
（）
（）
（）
（）
②观察表推断面图顶点数边数区域数间什关系？
③现已知某面图顶点区域试根②中推断出关系确定图少条边？
分析①填表
顶点数
边数
区域数
（）
（）
（）
（）
②该表出四面图顶点数边数区域数间述关系：
推断面图顶点数边数区域数间述关系：顶点数区域数边数
③某面图顶点区域图条边
（年学生数学报数学邀请赛）
⑴数数图～图种立体图中少顶点少条棱少面结果填入表：
顶点数
面数
棱数
图正四面体
图正方体
图八面体
图六棱锥
⑵果正方体角切掉三棱锥（图）新面体顶点数面数棱数
图 图
⑶果传统足球（图）作面体中黑色面（正五边形）块白色面（正六边形）块面体（足球）棱条
分析⑴填法表示：
顶点数
面数
棱数
图正四面体
图正方体
图八面体
图六棱锥
⑵正方体角切掉三棱锥顶点变成三顶点
面原正方体八棱数条
⑶黑色面白色面相邻白色面黑色面相邻
白色面块
白色面条边条黑色面相邻（条边算条棱）
条白色面相邻（两条算条棱）面体棱条
说明面体里顶点数面数棱数间关系
公式称欧拉（）公式
四面体例说明：
面掉变面图形四面体顶点数棱数剩面数 变形没变研究关系掉面变形面图形
面图形研究：
（1）掉条棱减少面例掉减少面．
理掉棱减少面．
值变值变
（2）剩树枝形中掉条棱减少顶点例掉减少顶点．理掉减少顶点剩（图）．
程中值变时面数
值变
剩2+011
加掉面．
进步问没正五面体？
世界没正五面体？
面图形里正三角形三维空间里正四面体（四顶点四面六条棱）
进步问 没正五面体？
实际三维空间中存五种正面体分正四面体正六面体正八面体正十二面 体正二十面体通欧拉定理出该结
欧拉定理：果凸面体顶点数v棱数e面数f总样关 系：
v e + f 2 ①
正面体面正边形妨边数记n
n ≥ 3 ②
时条棱属两面面体面数棱数关系：
nf 2e ③
顶点条棱相交成妨顶点相接棱数记r顶点面体中 顶点
r ≥ 3 ④
否两条棱相交顶点面图形中顶点时条棱连接两顶点面 体顶点数棱数关系：
rv 2e ⑤
③式⑤式代入①式消掉变量fv等式：
2er e + 2en 2
等式两边时2e：
1r 12 + 1n 1e
1r + 1n 1e + 12 ⑥
正面体棱数e少6（想想什）⑥式右边值
16 + 12 23
时棱数e正数e取值⑥式右边定12
12 ＜ ⑥式右边 ≤ 23 ⑦
②式④式知r ≥ 3n ≥ 3r ≥ 4n ≥ 4时⑥式左边≤14 + 14⑥ 式左边 ≤12⑦矛盾rn取值分种情况讨：
⑴ r ≥ 4时时满足n ≥ 4n ≥ 3必须满足时n 3代入⑥式 1r 1e + 161r 1e + 16 ＞ 16r ＜ 6r取345r 3n 3时代入 ⑥式③式f 4时正四面体r 4n 3时f 8时正 八面体r 5n 3时f 20时正二十面体
⑵ ⑴类似n ≥ 4时时满足r ≥ 4r ≥ 3必须满足时r 3 理 n取345r 3n 3时代入⑥式③式f 4时正四面体r 3n 4时f 6时正六面体（立方体）r 3n 5时f 20时 正十 二面体
⑶ r ≥ 4n ≥ 4满足时候r ≥ 3n ≥ 3r 3n 3时 f 4 正四面体
证明知三维空间中存五种正面体分正四面体正六面体正八面体正 十二面体正二十面体然存正五面体
课练
练1 （年数学王学趣味数学邀请赛试题组（年级）第题）规律填出横线数：
分析
公差等差数列
面两空次
练2 图示列火车车厢定规律编号请写出树挡住节车厢号码
分析分观察第节车厢第节车厢数
发现数分构成等差数列项前项少
第节车厢数第节车厢数
练3 （年数学王学趣味数学测试题中年级组（年级）第题）图中串珠子白珠黑珠组成中部分盒子里排列定规律白珠
分析右左次白珠黑珠白珠黑珠白珠黑珠……
白珠黑珠
白珠
练4 （年数学王学趣味数学测试题中年级组（年级）第题）找规律填数字
分析
规律外周三圆数积半等中心圆数
练5 （第十三届争数学王学趣味数学测试题中年级组（年级）第题）图中三角形圆里数间存着定规律规律图中问号处应该填数
分析
规律三角形三顶点圆圈数积等三角形数
练6 （年月日第七届学希杯全国数学邀请赛四年级第试第题）奥运商品展卖厅橱窗里放福娃左右次：
规律排第
分析福娃左右排列规律贝贝晶晶欢欢迎迎妮妮迎迎欢欢晶晶循环
排第迎迎
练7 （年第二届华罗庚金杯少年数学邀请赛学组复赛第题）串数排成行规律样：头两数第三数开始数前两数：问：串数前数中（包括第数）少偶数？
分析奇奇偶奇偶奇偶奇奇该数列奇奇偶周期循环
串数前数中（包括第数）偶数
练8 （年月日第三届学希杯全国数学邀请赛四年级第试第题）图次表示左手拇指食指中指名指拇指拇指开始数数 …序数数时
分析循环周期
数时食指
练9 （年第三届华罗庚金杯少年数学邀请赛学组团体决赛口试试题第题）伸出左手拇指开始图示样数数字……问：数时数手指？
分析拇指食指中指环指指环指中指食指循环周期
数时数中指
练10 （年月日第六届学希杯全国数学邀请赛四年级第试第题）表中列两字构成组例：第组（北预）第二组（京祝）
北
京
欢
迎
您
北
京
欢
迎
您
北
京
欢
迎
您
北
京
欢
…
预
祝
奥
运
会
圆
满
成
功
预
祝
奥
运
会
圆
满
成
功
…
观察表知左右第组两字
分析行北京欢迎循环周期
左右第组面字欢
行预祝奥运会圆满成功循环周期
左右第组面字预
左右第组两字（欢预）
补充
补充1 列数数字少倍数正整数
：20 40 60 80 100 104
第158少
A2000 B2004 C2008 D2012
分析继续写：100 104 108 120 140 160 180 200……发现100（含100）7数里面三位数7963（200300等100没质区）
1000开始写：1000 1004 1008 1012 1016……1096 1100 1104 1108……发现10001096（含10001096）25数1100100没质区（11001200间数目数100200间相等）11001980间63数
1980前（含1980）4+63+25+63155数
第156：2000
第157：2004
第158：2008
补充2 数列前两数项构造规律：次取相邻两项积果位数取项果两位数次积十位数字位数字作两项前项写出：……问：穷数列中出现少次？
分析数列构造规律写：
……
数列中出现面定会连续出现
会出现
会出现（） （）（）
（）（）（）反复穷次出现（中间插数）
数列中数字出现穷次
补充3 （年北京数学解题力展示读者评选活动高年级组第题）整数令表示位数字例
分析循环
补充4 （年第十四届日学数学奥林匹克赛高组预赛第题）郎二郎三郎手中着张彩纸玩游戏第次郎二郎张第二次二郎三郎张第三次三郎郎张第四次郎二郎张……样玩第次游戏结束时二郎手中着少张彩纸？
分析开始算起玩次郎手中彩纸增加张
二郎手中彩纸减少张三郎手中彩纸减少张
第次郎二郎张牌
第次游戏结束时二郎手中着张彩纸
补充5 （全国奥林匹克竞赛）横格竖格矩形方格纸现左角开始右着边框逐格涂色右边框逐格涂色底边框底边框右左逐格涂色左边框逐格涂色前面涂色方格直螺旋式涂……直方格涂满涂格第行左右第列？
分析图示时针涂完第圈两行两列涂色涂色第行第列方格
涂完第圈行列涂色剩行列未涂色
圈行列开始行列结束
补充6 （年第十二届华罗庚金杯少年数学邀请赛学组决赛第题）圆周放置空盒子时针方次编号明首先第枚白色棋子放入号盒子然第枚白色棋子放入号盒子第枚白色棋子放入号盒子……放置第枚白色棋子明时针方前数盒子第枚白色棋子放盒子中明规放置枚白色棋子青号盒子开始逆时针方样规盒子里放入枚红色棋子请回答：盒子少枚白色棋子？盒子少枚棋子？
分析列表找出发放棋子规律：
号盒子
号盒子
号盒子
号盒子
号盒子
号盒子
号盒子
时针
（白色棋子）
第枚
第枚
第枚
第枚
第枚
第枚
第枚
第枚
第枚
第枚
第枚
第枚
第枚
第枚
枚棋子周期
盒子白色棋子数量红色棋子数量棋子总数量表：
盒子编号
白色棋子数量
红色棋子数量
棋子总数量
补充7 相正六边形瓷砖图示方式铺设广场中间正六边形瓷砖记定义第组周围铺六块样正六边形瓷砖定义第二组第二组外围样正六边形瓷砖铺满定义第三组……种方式铺现块瓷砖完整铺满组时剩余块瓷砖
分析≥时第层条边块正六边形瓷砖
中角正六边形瓷砖计算次块正六边形瓷砖
≥时第组块正六边形瓷砖
现块瓷砖完整铺满组时剩余块瓷砖
补充8 （年第十二届华罗庚金杯少年数学邀请赛学组决赛第题）列数条件确定：第第二第三数前面数倍第六数等列数第数开始
分析数列第数记前数记（）
题意≥时
≥时
数列第六数
数列单调递增数列
列数第数开始
补充9 （年北京数学解题力展示读者评选活动高年级初赛第题）表示规律构造数表：表中数表中数表中数果表中数等等
分析≥时表表
≥时表中数
令
补充10 （年第五届日学数学奥林匹克赛高组预赛第题）坐成横排首先正中间站起然述方法家坐站
① 邻座站起秒钟站起
②站起秒钟坐
③果左右邻座时站着秒钟然坐着
请问：
⑴初站起秒钟站着？
⑵秒钟站着？
分析图表表示家站坐状态●表示站×表示坐
样排知初站起秒钟站着
根规律秒钟站着秒钟站着余时间站着
初站起秒钟站着
补充11 （年第六届华罗庚金杯少年数学邀请赛学组团体决赛口试题第题）质数排成数字串次完成五项工作做次操：
①左边第数码移数字串右边
②左右两位节组成干两位数
③划两位数中合数
④剩两位质数中相者保留左边余划
⑤余两位质数保持数码次序组成新数字串
问：次操作数字串什？
分析质数：
研究操作数字串呈现什变化规律：
第次操作数字串：
第次操作数字串：
第次操作数字串：
第次操作数字串：
第次操作数字串：
第次操作数字串：
第次操作数字串：
第次操作数字串：
第次操作开始循环
次操作数字串
补充12 （年华罗庚金杯）第次操作：圆周两点分写数第二次操作：数圆周分成两条圆弧中点处分写第三次操作：四条圆弧中点处分写条弧两端点数……图示次数划分出圆弧中点处写条弧两端点两数
⑴操作次圆周数
⑵次操作圆周数次操作圆周数
分析记第操次作圆数
次操作时原圆数加次新增加数等原圆数倍
⑴操作次圆周数
⑵次操作圆周数次操作圆周数
补充13 （年香港圣公会数学竞赛应题第题）边长正方形开始正方形角线边作第正方形第正方形角线边作第正方形第正方形边长
分析第正方形面积第正方形面积倍
第正方形边长第正方形边长倍
时（）第正方形边长
第正方形边长
补充14 （年第十届日学数学奥林匹克赛高组决赛第题）分写张卡片序码成摞然述步骤操作：
步骤：图摞卡片分成两部分半摞张称作半摞张称作
步骤：中数第张卡片出放桌子然中数第张卡片中数第二张卡片中数第二张卡片……中面卡片中面卡片样序码成摞
步骤步骤进行完成轮操作
求：第九轮操作结束时摞面卡片数
分析先摞卡片编号第张第二张……面张
然题目出步骤进行两轮操作
（半部分）
操作前
第轮操作
第二轮操作
（半部分）
操作前
第轮操作
第二轮操作
面卡片样变化：
找规律：
规律写：
知第九轮操作结束时摞面卡片数
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