20192020学年市第三中学高二学期第二次调研考试数学（理）试题
单选题
1．命题∈(0+∞)否定（ ）
A．∈(0+∞) B．∈(0+∞)
C．∈(∞0] D．∈(∞0]
答案A
解析根特称命题否定全称命题量词等号变化求命题否定．
详解
解：特称命题否定全称命题命题∈(0+∞)否定∈(0+∞)
选：．
点睛
题考查命题否定注意特称命题否定全称命题量词等号变化考查转化力属基础题．
2．复数（ ）
A． B． C． D．
答案D
解析复数代数形式运算法求出利轭复数定义求出．
详解
．
选：D．
点睛
题考查复数代数形式运算法应轭复数概念应．
3． 方程表示双曲线（ ）
A．充分必条件 B．必充分条件
C．充条件 D．充分必条件
答案A
解析时验证方程满足双曲线求充分性证根求方程表示双曲线时取值范围必性成立结果
详解
时
方程表示双曲线充分条件成立
方程表示双曲线解：
必条件成立
综述：方程表示双曲线充分必条件
选：
点睛
题考查充分条件必条件判断关键够明确方程表示双曲线基求属基础题
4．函数两条行线轴围成区域面积（ ）
A． B． C． D．
答案B
解析根定积分意义直接求出区间定积分出答案
详解
选B
点睛
题考查定积分意义属基础题
5．曲线点处切线点函数单调递增区间（ ）
A． B． C． D．
答案A
解析利导数意义求解取切线斜率列方程求解参数求解单调区间
详解
求导
解
时
单调递增区间
选A
点睛
导数意义：函数某点处导数等切线斜率已知两点坐标求斜率题考察导数研究函数性质中应
6．函数图象致（ ）
A． B．
C． D．
答案D
解析利特殊值函数导数判断函数单调性进行排函数图象．
详解
x<0时f（x）0．排AC
f′（x）令g(x)
g′（x）x∈（02）g′（x）＞0函数g(x)增函数
x∈（2+∞）g′（x）＜0函数g(x)减函数g(0)g(3)3>0 g(4)<0
存g()0
x∈（0）g(x)>0f′（x）＞0函数f（x）增函数
x∈（+∞）g(x)<0f′（x）＜0函数f（x）减函数
∴B正确
选：D．
点睛
题考查函数图象判断般通函数定义域值域奇偶性称性单调性特殊点变化趋势判断．
7．观察列式：…末四位数字（ ）
A．3125 B．5625 C．0625 D．8125
答案D
解析先求寻找周期性规律结合周期求
详解
出四位呈周期出现周期4末四位数字8125选D
点睛
题考查纳推理般利项特点推测目标项特点注意规律总结
8．已知双曲线中心原点焦点直线相交两点中点横坐标双曲线方程
A． B．
C． D．
答案D
解析根点差法根焦点坐标解方程组结果
详解
设双曲线方程题意设中点 联立解求双曲线方程．选D．
点睛
题考查利点差法求双曲线标准方程考查基求解力属中档题
9．两公点范围（ ）
A． B．
C． D．
答案A
解析题意两根等价两根令函数进行求导判断出函数单调性通图象两交点出范围
详解
两公点方程两根
等价
令
时函数单调递增
时函数单调递减
时时
图象两交点
选A
点睛
题考查已知函数零点数求参数范围利导数判断函数单调性构造函数解题关键属中档题
10．面体底面长方体截面截建立图空间直角坐标系已知行四边形点面距离
A． B． C． D．
答案D
解析利量垂直数量积零列方程组求出面法量结合利空间量夹角余弦公式求出求法量夹角余弦进结果
详解
建立图示空间直角坐标系
设行四边形
设面法量显然垂直面
设
设夹角
面距离
选D
点睛
题考查利空间量求点面距离属难题空间量解答立体问题般步骤：（1）观察图形建立恰空间直角坐标系（2）写出相应点坐标求出相应直线方量（3）设出相应面法量利两直线垂直数量积零列出方程组求出法量（4）空间位置关系转化量关系（5）根定理结求出相应角距离
11．点椭圆长轴端点椭圆短轴端点动点满足面积值8面积值1椭圆离心率
A． B． C． D．
答案D
解析求定点M轨迹方程解ab
详解
设
∵动点满足化简
∵面积值8面积值1
∴解
∴椭圆离心率
选D
点睛
题考查椭圆离心率动点轨迹求解方法考查分析问题解决问题力属中档题．
12．已知直线：抛物线相交两点满足值（ ）
A． B． C． D．
答案C
解析根直线方程知直线恒定点分作准线垂线点中点连接进知求点横坐标点坐标利直线两点求直线斜率．
详解
解：抛物线准线直线：恒定点
图分作准线垂线垂足分
点中点连接
∴中
等腰三角形点横坐标
点坐标
选：C．
点睛
题考查抛物线简单性质考查抛物线定义考查直线斜率计算属中档题．
二填空题
13．已知面法量面法量值__________
答案4
解析利量线定理出．
详解
解：
存实属
解：答案：4
点睛
题考查量线定理属基础题．
14．设三边长分面积切圆半径类结知：四面体四面面积分切球半径四面体体积__________．
答案
解析根面空间类推理点类点直线直线类直线面切圆类切球面图形面积类立体图形体积结合三角形面积求法求出三棱锥体积进求出切球半径
详解
设四面体切球球心球心四面距离四棱锥体积等顶点四面底面四三棱锥体积
四面体体积
点睛
题考查类推理类推理指两类数学象相似性已知类数学象性质迁移数学象
15．已知椭圆双曲线双曲线两条渐线椭圆四交点椭圆两焦点恰正六边形顶点椭圆双曲线离心率积__________．
答案
解析利条件求出正六边形顶点坐标代入椭圆方程求出椭圆离心率利渐线夹角求双曲线离心率出答案
详解
图
正六边形中直线双曲线渐线方程
椭圆定义椭圆离心率
双曲线渐线方程双曲线离心率
椭圆双曲线离心率积
点睛
题考查椭圆定义离心率双曲线简单性质属般题
16．函数单调递增实数取值范围________．
答案
解析利导数分情况讨时时函数值求实数取值范围
详解
解：
函数单调递增
恒成立
设
①时增函数
需求
②
时函数减函数
需
时函数增函数
需
时时时
函数减函数增函数需
综实数取值范围
答案
点睛
题考查利导数求函数单调区间函数值重点考查分类讨数学思想方法属综合性较强题型
三解答题
17．设a∈R函数f(x)x3x2x+a
（1）求f(x)极值
（2）x∈［12］求函数f(x)值域
答案（1）极值极值（2）
解析（1）利导数应先求导数求函数单调区间求函数f(x)值域
（2）函数闭区间值需较端点值极值结合（1）运算端点值极值较解
详解
解（1）
变化时变化情况表：
x
1
+
0
0
+
极值
极值
极值极值
（2）（1）知函数增函数减函数 易
值域：
点睛
题考查利导数求函数单调性值考查运算力属中档题
18．（1）数学纳法证明：
（2）已知求证：中少．
答案（1）见解析（2）见解析
解析（1）先验证时成立假设时等式成立证明时成立（2）假设等式运算性质推出矛盾
详解
（1）①时左边右边左边右边．
②假设时等式成立
时
时等式成立．
综．
（2）假设
矛盾
原假设成立
中少．
点睛
题考查数学纳法反证法证明熟记证明步骤准确推理关键基础题
19．已知点满足设点M轨迹曲线C．
（1）求曲线C方程．
（2）点斜率1直线l曲线C交两点AB求（O坐标原点）面积
答案（1）（2）
解析（1）根抛物线定义式子意义判断出点轨迹点焦点抛物线求进抛物线方程
（2）联立方程组利韦达定理求利三角形面积公式求解
详解
（1）已知点M轨迹点焦点抛物线
∴∴
曲线方程
（2）联立
点睛
该题考查关抛物线问题涉知识点根定义求曲线方程直线抛物线位置关系应三角形面积公式属简单题目
20．已知函数
（1）讨函数单调性
（2）设时证明：
答案（1）见解析（2）证明见解析
解析（1）首先函数求导式子进行式分解结合函数定义域参数范围进行讨利导数符号确定出函数单调区间
（2）构造新函数函数求导函数单调性函数值根函数值等零证结果
详解
（1）
时
时
∴时递减递增
时递增递减
（2）设
时递减
递增
设
时时递增
时递减
点睛
该题考查关应导数研究函数问题涉知识点应导数研究函数单调性注意分类讨思想应应导数证明等式恒成立注意构造新函数结合值结果
21．图四棱锥中已知面四边形直角梯形
（1）证明：
（2）求面面成锐二面角余弦值
（3）点线段动点直线成角时求线段长
答案（1）证明见解析（2）（3）
解析（1）四棱锥中 面四边形直角梯形线面垂直判定定理证面进．
（2）原点直线分轴建立空间直角坐标系求面面法量利量夹角公式求解．
（3）（2）设利换元法求结合单调性计算结．
详解
（1）题意四棱锥中面
面
四边形直角梯形
面
面
面．
（2）原点直线分轴建立空间直角坐标系
题意面
面法量
设面法量
取
面面成二面角余弦值．
（3）（2）设
设
仅时时值
减函数时直线成角取值
点睛
题考查线线垂直线面判定证明空间角求解问题意考查学生空间想象力逻辑推理力解答中熟记线面位置关系判定定理性质定理通严密推理线面位置关系判定关键时立体中角计算问题利空间量法通求解面法量利量夹角公式求解
22．图面直角坐标系中焦点轴鞘园C点点作斜率直线交椭圆CAB两点(A轴方)
(1)求椭圆C方程
(2)点行直线交椭圆点MN求值
(3)记直线轴交点P求直线斜率值
答案（1）（2）（3）
解析（1）题意e2．a2＝b2+c2解b2
（2）设A（x1y1）B（x2y2）．设直线l方程y＝k（x﹣1）．
联立直线l椭圆方程消y（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣8＝0设直线MN方程y＝kx联立直线MN椭圆方程消y（2k2+1）x2＝8MN∥l（1﹣x1）•（x2﹣1）＝﹣[x1x2﹣（x1+x2）+1]．（xM﹣xN）2＝4x2
（3）y＝k（x﹣1）中令x＝0y＝﹣kP（0﹣k）
①（2）知②①②⇒50k4﹣83k2﹣34＝0解k2
详解
（1）椭圆C：1点．
∵a2＝b2+c2解b2＝4b2＝8（舍）．
椭圆C方程．
（2）设A（x1y1）B（x2y2）．
T（10）直线l方程y＝k（x﹣1）．
联立直线l椭圆方程消y（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣8＝0
x1+x2x1x2．
MN∥l直线MN方程y＝kx
联立直线MN椭圆方程
消y（2k2+1）x2＝8
解x2
MN∥l
（1﹣x1）•（x2﹣1）＝﹣[x1x2﹣（x1+x2）+1]．
（xM﹣xN）2＝4x2．
．
（3）y＝k（x﹣1）中令x＝0y＝﹣kP（0﹣k）
∵①
（2）知②
①②
代入x1x2⇒50k4﹣83k2﹣34＝0解k2＝2k2（舍）．
k＞0k．
点睛
题考查椭圆方程直线椭圆位置关系量运算分析问题处理问题力运算力求较高属难题．
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单选题
1．命题∈(0+∞)否定（ ）
A．∈(0+∞) B．∈(0+∞)
C．∈(∞0] D．∈(∞0]
答案A
解析根特称命题否定全称命题量词等号变化求命题否定．
详解
解：特称命题否定全称命题命题∈(0+∞)否定∈(0+∞)
选：．
点睛
题考查命题否定注意特称命题否定全称命题量词等号变化考查转化力属基础题．
2．复数（ ）
A． B． C． D．
答案D
解析复数代数形式运算法求出利轭复数定义求出．
详解
．
选：D．
点睛
题考查复数代数形式运算法应轭复数概念应．
3． 方程表示双曲线（ ）
A．充分必条件 B．必充分条件
C．充条件 D．充分必条件
答案A
解析时验证方程满足双曲线求充分性证根求方程表示双曲线时取值范围必性成立结果
详解
时
方程表示双曲线充分条件成立
方程表示双曲线解：
必条件成立
综述：方程表示双曲线充分必条件
选：
点睛
题考查充分条件必条件判断关键够明确方程表示双曲线基求属基础题
4．函数两条行线轴围成区域面积（ ）
A． B． C． D．
答案B
解析根定积分意义直接求出区间定积分出答案
详解
选B
点睛
题考查定积分意义属基础题
5．曲线点处切线点函数单调递增区间（ ）
A． B． C． D．
答案A
解析利导数意义求解取切线斜率列方程求解参数求解单调区间
详解
求导
解
时
单调递增区间
选A
点睛
导数意义：函数某点处导数等切线斜率已知两点坐标求斜率题考察导数研究函数性质中应
6．函数图象致（ ）
A． B．
C． D．
答案D
解析利特殊值函数导数判断函数单调性进行排函数图象．
详解
x<0时f（x）0．排AC
f′（x）令g(x)
g′（x）x∈（02）g′（x）＞0函数g(x)增函数
x∈（2+∞）g′（x）＜0函数g(x)减函数g(0)g(3)3>0 g(4)<0
存g()0
x∈（0）g(x)>0f′（x）＞0函数f（x）增函数
x∈（+∞）g(x)<0f′（x）＜0函数f（x）减函数
∴B正确
选：D．
点睛
题考查函数图象判断般通函数定义域值域奇偶性称性单调性特殊点变化趋势判断．
7．观察列式：…末四位数字（ ）
A．3125 B．5625 C．0625 D．8125
答案D
解析先求寻找周期性规律结合周期求
详解
出四位呈周期出现周期4末四位数字8125选D
点睛
题考查纳推理般利项特点推测目标项特点注意规律总结
8．已知双曲线中心原点焦点直线相交两点中点横坐标双曲线方程
A． B．
C． D．
答案D
解析根点差法根焦点坐标解方程组结果
详解
设双曲线方程题意设中点 联立解求双曲线方程．选D．
点睛
题考查利点差法求双曲线标准方程考查基求解力属中档题
9．两公点范围（ ）
A． B．
C． D．
答案A
解析题意两根等价两根令函数进行求导判断出函数单调性通图象两交点出范围
详解
两公点方程两根
等价
令
时函数单调递增
时函数单调递减
时时
图象两交点
选A
点睛
题考查已知函数零点数求参数范围利导数判断函数单调性构造函数解题关键属中档题
10．面体底面长方体截面截建立图空间直角坐标系已知行四边形点面距离
A． B． C． D．
答案D
解析利量垂直数量积零列方程组求出面法量结合利空间量夹角余弦公式求出求法量夹角余弦进结果
详解
建立图示空间直角坐标系
设行四边形
设面法量显然垂直面
设
设夹角
面距离
选D
点睛
题考查利空间量求点面距离属难题空间量解答立体问题般步骤：（1）观察图形建立恰空间直角坐标系（2）写出相应点坐标求出相应直线方量（3）设出相应面法量利两直线垂直数量积零列出方程组求出法量（4）空间位置关系转化量关系（5）根定理结求出相应角距离
11．点椭圆长轴端点椭圆短轴端点动点满足面积值8面积值1椭圆离心率
A． B． C． D．
答案D
解析求定点M轨迹方程解ab
详解
设
∵动点满足化简
∵面积值8面积值1
∴解
∴椭圆离心率
选D
点睛
题考查椭圆离心率动点轨迹求解方法考查分析问题解决问题力属中档题．
12．已知直线：抛物线相交两点满足值（ ）
A． B． C． D．
答案C
解析根直线方程知直线恒定点分作准线垂线点中点连接进知求点横坐标点坐标利直线两点求直线斜率．
详解
解：抛物线准线直线：恒定点
图分作准线垂线垂足分
点中点连接
∴中
等腰三角形点横坐标
点坐标
选：C．
点睛
题考查抛物线简单性质考查抛物线定义考查直线斜率计算属中档题．
二填空题
13．已知面法量面法量值__________
答案4
解析利量线定理出．
详解
解：
存实属
解：答案：4
点睛
题考查量线定理属基础题．
14．设三边长分面积切圆半径类结知：四面体四面面积分切球半径四面体体积__________．
答案
解析根面空间类推理点类点直线直线类直线面切圆类切球面图形面积类立体图形体积结合三角形面积求法求出三棱锥体积进求出切球半径
详解
设四面体切球球心球心四面距离四棱锥体积等顶点四面底面四三棱锥体积
四面体体积
点睛
题考查类推理类推理指两类数学象相似性已知类数学象性质迁移数学象
15．已知椭圆双曲线双曲线两条渐线椭圆四交点椭圆两焦点恰正六边形顶点椭圆双曲线离心率积__________．
答案
解析利条件求出正六边形顶点坐标代入椭圆方程求出椭圆离心率利渐线夹角求双曲线离心率出答案
详解
图
正六边形中直线双曲线渐线方程
椭圆定义椭圆离心率
双曲线渐线方程双曲线离心率
椭圆双曲线离心率积
点睛
题考查椭圆定义离心率双曲线简单性质属般题
16．函数单调递增实数取值范围________．
答案
解析利导数分情况讨时时函数值求实数取值范围
详解
解：
函数单调递增
恒成立
设
①时增函数
需求
②
时函数减函数
需
时函数增函数
需
时时时
函数减函数增函数需
综实数取值范围
答案
点睛
题考查利导数求函数单调区间函数值重点考查分类讨数学思想方法属综合性较强题型
三解答题
17．设a∈R函数f(x)x3x2x+a
（1）求f(x)极值
（2）x∈［12］求函数f(x)值域
答案（1）极值极值（2）
解析（1）利导数应先求导数求函数单调区间求函数f(x)值域
（2）函数闭区间值需较端点值极值结合（1）运算端点值极值较解
详解
解（1）
变化时变化情况表：
x
1
+
0
0
+
极值
极值
极值极值
（2）（1）知函数增函数减函数 易
值域：
点睛
题考查利导数求函数单调性值考查运算力属中档题
18．（1）数学纳法证明：
（2）已知求证：中少．
答案（1）见解析（2）见解析
解析（1）先验证时成立假设时等式成立证明时成立（2）假设等式运算性质推出矛盾
详解
（1）①时左边右边左边右边．
②假设时等式成立
时
时等式成立．
综．
（2）假设
矛盾
原假设成立
中少．
点睛
题考查数学纳法反证法证明熟记证明步骤准确推理关键基础题
19．已知点满足设点M轨迹曲线C．
（1）求曲线C方程．
（2）点斜率1直线l曲线C交两点AB求（O坐标原点）面积
答案（1）（2）
解析（1）根抛物线定义式子意义判断出点轨迹点焦点抛物线求进抛物线方程
（2）联立方程组利韦达定理求利三角形面积公式求解
详解
（1）已知点M轨迹点焦点抛物线
∴∴
曲线方程
（2）联立
点睛
该题考查关抛物线问题涉知识点根定义求曲线方程直线抛物线位置关系应三角形面积公式属简单题目
20．已知函数
（1）讨函数单调性
（2）设时证明：
答案（1）见解析（2）证明见解析
解析（1）首先函数求导式子进行式分解结合函数定义域参数范围进行讨利导数符号确定出函数单调区间
（2）构造新函数函数求导函数单调性函数值根函数值等零证结果
详解
（1）
时
时
∴时递减递增
时递增递减
（2）设
时递减
递增
设
时时递增
时递减
点睛
该题考查关应导数研究函数问题涉知识点应导数研究函数单调性注意分类讨思想应应导数证明等式恒成立注意构造新函数结合值结果
21．图四棱锥中已知面四边形直角梯形
（1）证明：
（2）求面面成锐二面角余弦值
（3）点线段动点直线成角时求线段长
答案（1）证明见解析（2）（3）
解析（1）四棱锥中 面四边形直角梯形线面垂直判定定理证面进．
（2）原点直线分轴建立空间直角坐标系求面面法量利量夹角公式求解．
（3）（2）设利换元法求结合单调性计算结．
详解
（1）题意四棱锥中面
面
四边形直角梯形
面
面
面．
（2）原点直线分轴建立空间直角坐标系
题意面
面法量
设面法量
取
面面成二面角余弦值．
（3）（2）设
设
仅时时值
减函数时直线成角取值
点睛
题考查线线垂直线面判定证明空间角求解问题意考查学生空间想象力逻辑推理力解答中熟记线面位置关系判定定理性质定理通严密推理线面位置关系判定关键时立体中角计算问题利空间量法通求解面法量利量夹角公式求解
22．图面直角坐标系中焦点轴鞘园C点点作斜率直线交椭圆CAB两点(A轴方)
(1)求椭圆C方程
(2)点行直线交椭圆点MN求值
(3)记直线轴交点P求直线斜率值
答案（1）（2）（3）
解析（1）题意e2．a2＝b2+c2解b2
（2）设A（x1y1）B（x2y2）．设直线l方程y＝k（x﹣1）．
联立直线l椭圆方程消y（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣8＝0设直线MN方程y＝kx联立直线MN椭圆方程消y（2k2+1）x2＝8MN∥l（1﹣x1）•（x2﹣1）＝﹣[x1x2﹣（x1+x2）+1]．（xM﹣xN）2＝4x2
（3）y＝k（x﹣1）中令x＝0y＝﹣kP（0﹣k）
①（2）知②①②⇒50k4﹣83k2﹣34＝0解k2
详解
（1）椭圆C：1点．
∵a2＝b2+c2解b2＝4b2＝8（舍）．
椭圆C方程．
（2）设A（x1y1）B（x2y2）．
T（10）直线l方程y＝k（x﹣1）．
联立直线l椭圆方程消y（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣8＝0
x1+x2x1x2．
MN∥l直线MN方程y＝kx
联立直线MN椭圆方程
消y（2k2+1）x2＝8
解x2
MN∥l
（1﹣x1）•（x2﹣1）＝﹣[x1x2﹣（x1+x2）+1]．
（xM﹣xN）2＝4x2．
．
（3）y＝k（x﹣1）中令x＝0y＝﹣kP（0﹣k）
∵①
（2）知②
①②
代入x1x2⇒50k4﹣83k2﹣34＝0解k2＝2k2（舍）．
k＞0k．
点睛
题考查椭圆方程直线椭圆位置关系量运算分析问题处理问题力运算力求较高属难题．
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