20192020学年湖北省荆州中学宜昌中龙泉中学三校高三联考数学（理）试题
单选题
1．已知全集函数定义域集合列结正确
A． B．
C． D．
答案A
解析求函数定义域集合MN判断．
详解
题意∴．
选A．
点睛
题考查集合运算解题关键确定集合中元素．确定集合元素时注意代表元形式集合函数定义域函数值域等式解集曲线点集代表元决定．
2．复数满足：（虚数单位）复数轭复数列说法正确（ ）
A． B． C． D．
答案B
解析已知求z然逐核四选项答案．
详解
（z﹣2）•i＝zzi﹣2i＝z
∴z
∴z2＝（1﹣i）2＝﹣2i．
选：B．
点睛
题考查复数代数形式运算考查复数基概念基础题．
3．列函数中定义域值域函数定义域值域相（ ）
A． B． C． D．
答案C
解析函数定义域值域均定义域值域合题意函数定义域值域满足求函数定义域值域满足求函数定义域值域均满足求选C
4．三数序 （ ）
A． B．
C． D．
答案D
解析题意选D
5．已知等数列前项（ ）
A．充分必条件 B．必充分条件
C．充条件 D．充分必条件
答案C
解析根充分条件必条件定义结合等数列前n项公式进行判断．
详解
公q＝1a1＞0时S2019＞0成立
q≠1S2019
∵1﹣q1﹣q2019符号相
∴a1S2019符号相
a1＞0⇔S2019＞0
a1＞0S2019＞0充条件
选：C．
点睛
题考查充分条件必条件判断根等数列前n项公式解决题关键．
6．边长2等边三角形中（ ）
A． B． C． D．
答案D
解析运量加减运算量数量积定义计算求值．
详解
边长2等边三角形ABC中
（）•（）
＝（）•（）
22•
选：D
点睛
题考查量加减运算量数量积定义性质量方模方考查运算力属基础题．
7．九章算术·均输中问题：五分十钱令二三等问．意思已知甲乙丙丁戊五分10钱甲乙两丙丁戊三相甲乙丙丁戊次成等差数列问五少钱？（钱古代种重量单位）．问题中甲（ ）
A．钱 B．钱 C．钱 D．钱
答案C
解析题意设甲乙丙丁戊钱分a﹣2da﹣daa+da+2d题意求a＝﹣6d结合a﹣2d+a﹣d+a+a+d+a+2d＝5a＝10求a＝2答案求．
详解
解：题意设甲乙丙丁戊钱分a﹣2da﹣daa+da+2d
题意知a﹣2d+a﹣d＝a+a+d+a+2da＝﹣6d
a﹣2d+a﹣d+a+a+d+a+2d＝5a＝10∴a＝2
a﹣2d＝a．
选：C．
点睛
题考查等差数列通项公式考查实际应正确设出等差数列计算关键基础计算题．
8．2019年1月1日起国实施税新政策政策容包括：(1)税起征点5000元(2)月应纳税额(含税)收入税起征点专项附加扣(3)专项附加扣包括①赡养老费 ②子女教育费 ③继续教育费 ④病医疗费等中前两项扣标准：①赡养老费：月扣2000元 ②子女教育费：子女月扣1000元．新税政策税率表部分容：
级数
全月应纳税额
税率
1
超3000元部分
3
2
超3000元12000元部分
10
3
超12000元25000元部分
20
现李某月收入18000元膝两名子女需赡养老(外专项附加扣专项附加扣均标准100扣)李某月应缴纳税金额（ ）
A．590元 B．690元 C．790元 D．890元
答案B
解析题意分段计算李某税额
详解
李某月应纳税额（含税）：18000﹣5000﹣2000﹣2000＝9000元
超3000部分税额3000×3＝90元
超3000元12000元部分税额6000×10＝600元
李某月应缴纳税金额90+600＝690元．
选：B．
点睛
题考查分段函数应函数值计算准确理解题意关键属中档题．
9．已知函数单调函数实数取值范围（ ）
A． B． C． D．
答案A
解析求导f′（x）＝2x转化f′（x）＝2x变号零点分离参数求值域求解
详解
∵f′（x）＝2x单调函数
2x存变号零点存变号零点
∴2选：A
点睛
题考查利导数研究函数单调性题转化导函数存变号零点关键难点属中档题．
10．已知函数方程解 ()（ ）
A． B． C． D．
答案C
解析已知结合x1＜x2求出x1范围求解．
详解
0＜x∴
方程解x1x2（0＜x1＜x2＜π）
∴∴
∴
∴0＜x1
∴
∴
∴
选：C．
点睛
题考查三角函数恒等变换化简求值三角函数图象性质属中档题．
11．函数值实数取值范围（ ）
A． B． C． D．
答案B
解析利分段函数表达式分求出x>1x1时应函数值域结合值间关系进行求解．
详解
x>1时函数f（x）增函数f（x）＝ex﹣a∈（e﹣a+）
x≤1时f（x）＝f′（x）＝3x2+6x＝3x（x﹣2）
f′（x）<0x＜0x＞2（舍）时函数减函数f′（x）>0
0＜x＜2时0x＝0时函数取极值时x≤1时值值f（0）＝0
函数f（x）值e﹣a≥0
a≤e
实数a取值范围（﹣∞e]
选：B
点睛
题考查函数值应利分段函数解析式分求出应取值范围解决题关键．
12．等差数列公差函数单调存关称取值范围（ ）
A． B． C． D．
答案D
解析推导出sin4d＝1求出d函数解析式利单调存出结．
详解
∵{an}等差数列公差d0＜d＜1a5（k∈Z）
sin2a3+2sina5•cosa5＝sin2a7
∴2sina5cosa5＝sin2a7﹣sin2a3＝2sincos•2cossin2sina5cos2d•2cosa5sin2d
∴sin4d＝1
∴d．
∴f（x）cosωx
∵单调
∴
∴ω
存
f（x）（0）存零点
ω．
答案
选：D
点睛
题考查等差数列公差求法考查三角函数图象性质准确求解数列公差题关键考查推理力中档题．
二填空题
13．已知_______
答案
解析
14．已知命题命题假命题实数取值范围_______________．
答案
解析详解
假命题均假命题均真命题．
根真命题
根真命题
解．
综．
15．中角边分满足面积_____．
答案
解析二次方程解条件结合辅助角公式正弦函数值域求B进求a然结合余弦定理求c代入S△ABCacsinB计算求．
详解
a2﹣2a（sinBcosB）+4＝0成关a二次方程
△≥08（sinBcosB）2﹣16≥0
8（sin（B））2﹣16≥0
化sin2（B）≥1sin2（B）≤1
sin2（B）＝1
0＜B＜πB
BB
代入方程a2﹣4a+4＝0
∴a＝2
余弦定理cos
解c＝2
∴S△ABCacsinB2×2．
答案：．
点睛
题考查元二次方程根存条件辅助角公式余弦定理三角形面积公式应属中档题．
16．两曲线存公切线正实数取值范围__________．
答案
解析设两切点分两切线方程分化简两条切线条 令g(x)递增递减
填
三解答题
17．已知三角边分
（1）求证：
（2）求边高
答案（1）见解析（2）
解析试题分析（１）先运正弦定理建立关三角形角方程运诱导公式化角关系进行求解（２）题设助余弦定理求出外两边运三角形面积相等建立方程求解：
（1）
（2）
余弦定理：
解：
设边高
点睛：题解三角形问题典型问题求解第问时先运正弦定理建立关三角形角方程运三角函数诱导公式化角关系进行求解问题获解解答第二问时先题设助余弦定理求出外两边：运三角形面积相等建立方程求出解问题获解
18．已知数列中前项时满足．
（1）求证：数列等差数列
（2）证明：．
答案(1)证明见解析(2)证明见解析
解析（1）n≥2时Sn﹣Sn﹣1⇒Sn﹣Sn﹣1＝Sn•Sn﹣1（n≥2）取倒数1利等差数列定义证：数列{}等差数列
（2）利进行放缩裂项求证明
详解
（1）时
构成1首项1公差等差数列．
（2）（1）知．
时．
时
时满足题意．
法二：时
时时满足题意
点睛
题考查数列递推式应考查等差数列判定考查等价转化思想突出裂项法放缩法应考查属难题．
19．四棱锥中．
（1）设相交点面求实数值
（2）求二面角余弦值．
答案(1) (2)
解析（1）AB∥CDMN∥面PCDMN∥PC实数m值．
（2）AB＝AD∠BAD＝60°知△ABD等边三角形推导出PD⊥DBPD⊥ADPD⊥面ABCDD坐标原点方xy轴正方建立空间直角坐标系求出二面角B﹣PC﹣D余弦值．
详解
（1）．
面面面面
．
．
（2）知三角形ABD等边三角形
．
已知面
图坐标原点方轴正方建立空间直角坐标系
设
设面法量
令
设面法量
令．
设二面角面角
点睛
题考查实数值求法考查二面角余弦值求法考查空间中线线线面面面间位置关系等基础知识考查运算求解力考查函数方程思想中档题．
20．已知抛物线直线直线意点作抛物线两条切线切点分．
（1）判断直线否定点？定点求出定点坐标定点说明理
（2）求面积值．
答案(1)恒定点(2)
解析（1）设点两边时求导求出切线方程抽出直线方程整理定点
（2）联立方程利韦达定理弦长结合点直线距离表示面积利二次函数求值
详解
（1）设点两边时求导
抛物线点处切线方程
该切线方程点
理均直线
直线方程
整理恒定点．
（2）题联立方程
点直线：距离
面积
时时面积值．
点睛
题考查直线圆锥曲线综合应力综合性强高考重点．题具体涉轨迹方程求法直线抛物线相关知识解题时注意合理进行等价转化．
21．已知．
（1）恒成立求实数取值范围
（2）证明：时．
答案(1) (2)证明见解析
解析（1）求导讨1 确定正负进确定值证明
（2）（1）取 证需证构造函数证明证明
详解
（1）法：题意
① 时单调递增
单调递增满足题意
② 时存时单调递减单调递减时舍
③ 时单调递减单调递减 舍
．
法二：题知
恒成立必须满足．
① 时单调递增
单调递增满足题意
② 时存时单调递减单调递减时舍
．
（2）证明：（1）知时．取
（1）
证需证．
令
时单调递增
单调递增
证
点睛
题考查函数导数应考查利导数证明等式考查构造函数变形转化力中档题
22．极坐标系方程图形图示幸运四叶草称玫瑰线．
（1）玫瑰线时求极点圆心单位圆玫瑰线交点极坐标
（2）求曲线点M玫瑰线点N距离值取值时点MN极坐标（必写详细解题程）．
答案（1）（2）值MN极坐标分
解析（1）联立解方程组极点圆心单位圆玫瑰线交点极坐标（2）曲线直角坐标方程利数形结合求出点MN极坐标
详解
（1）极点圆心单位圆联立
极点圆心单位圆玫瑰线交点极坐标．
（2）曲线直角坐标方程．
玫瑰线极径值2点取
连接O垂直交点
点M点N距离值
时应点MN极坐标分．
点睛
题考查曲线交点极坐标考查极坐标曲线中值问题意考查学生知识理解掌握水分析推理力
23．已知函数．
（1）时解关等式
（2）意存等式成立求实数取值范围．
答案（1）（2）
解析（1）时
时解
时恒成立
时解．
解集．
（2）意存等式成立
．
①
时①式等号成立．
②
时②式等号成立．
整理 解
取值范围．
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单选题
1．已知全集函数定义域集合列结正确
A． B．
C． D．
答案A
解析求函数定义域集合MN判断．
详解
题意∴．
选A．
点睛
题考查集合运算解题关键确定集合中元素．确定集合元素时注意代表元形式集合函数定义域函数值域等式解集曲线点集代表元决定．
2．复数满足：（虚数单位）复数轭复数列说法正确（ ）
A． B． C． D．
答案B
解析已知求z然逐核四选项答案．
详解
（z﹣2）•i＝zzi﹣2i＝z
∴z
∴z2＝（1﹣i）2＝﹣2i．
选：B．
点睛
题考查复数代数形式运算考查复数基概念基础题．
3．列函数中定义域值域函数定义域值域相（ ）
A． B． C． D．
答案C
解析函数定义域值域均定义域值域合题意函数定义域值域满足求函数定义域值域满足求函数定义域值域均满足求选C
4．三数序 （ ）
A． B．
C． D．
答案D
解析题意选D
5．已知等数列前项（ ）
A．充分必条件 B．必充分条件
C．充条件 D．充分必条件
答案C
解析根充分条件必条件定义结合等数列前n项公式进行判断．
详解
公q＝1a1＞0时S2019＞0成立
q≠1S2019
∵1﹣q1﹣q2019符号相
∴a1S2019符号相
a1＞0⇔S2019＞0
a1＞0S2019＞0充条件
选：C．
点睛
题考查充分条件必条件判断根等数列前n项公式解决题关键．
6．边长2等边三角形中（ ）
A． B． C． D．
答案D
解析运量加减运算量数量积定义计算求值．
详解
边长2等边三角形ABC中
（）•（）
＝（）•（）
22•
选：D
点睛
题考查量加减运算量数量积定义性质量方模方考查运算力属基础题．
7．九章算术·均输中问题：五分十钱令二三等问．意思已知甲乙丙丁戊五分10钱甲乙两丙丁戊三相甲乙丙丁戊次成等差数列问五少钱？（钱古代种重量单位）．问题中甲（ ）
A．钱 B．钱 C．钱 D．钱
答案C
解析题意设甲乙丙丁戊钱分a﹣2da﹣daa+da+2d题意求a＝﹣6d结合a﹣2d+a﹣d+a+a+d+a+2d＝5a＝10求a＝2答案求．
详解
解：题意设甲乙丙丁戊钱分a﹣2da﹣daa+da+2d
题意知a﹣2d+a﹣d＝a+a+d+a+2da＝﹣6d
a﹣2d+a﹣d+a+a+d+a+2d＝5a＝10∴a＝2
a﹣2d＝a．
选：C．
点睛
题考查等差数列通项公式考查实际应正确设出等差数列计算关键基础计算题．
8．2019年1月1日起国实施税新政策政策容包括：(1)税起征点5000元(2)月应纳税额(含税)收入税起征点专项附加扣(3)专项附加扣包括①赡养老费 ②子女教育费 ③继续教育费 ④病医疗费等中前两项扣标准：①赡养老费：月扣2000元 ②子女教育费：子女月扣1000元．新税政策税率表部分容：
级数
全月应纳税额
税率
1
超3000元部分
3
2
超3000元12000元部分
10
3
超12000元25000元部分
20
现李某月收入18000元膝两名子女需赡养老(外专项附加扣专项附加扣均标准100扣)李某月应缴纳税金额（ ）
A．590元 B．690元 C．790元 D．890元
答案B
解析题意分段计算李某税额
详解
李某月应纳税额（含税）：18000﹣5000﹣2000﹣2000＝9000元
超3000部分税额3000×3＝90元
超3000元12000元部分税额6000×10＝600元
李某月应缴纳税金额90+600＝690元．
选：B．
点睛
题考查分段函数应函数值计算准确理解题意关键属中档题．
9．已知函数单调函数实数取值范围（ ）
A． B． C． D．
答案A
解析求导f′（x）＝2x转化f′（x）＝2x变号零点分离参数求值域求解
详解
∵f′（x）＝2x单调函数
2x存变号零点存变号零点
∴2
点睛
题考查利导数研究函数单调性题转化导函数存变号零点关键难点属中档题．
10．已知函数方程解 ()（ ）
A． B． C． D．
答案C
解析已知结合x1＜x2求出x1范围求解．
详解
0＜x∴
方程解x1x2（0＜x1＜x2＜π）
∴∴
∴
∴0＜x1
∴
∴
∴
选：C．
点睛
题考查三角函数恒等变换化简求值三角函数图象性质属中档题．
11．函数值实数取值范围（ ）
A． B． C． D．
答案B
解析利分段函数表达式分求出x>1x1时应函数值域结合值间关系进行求解．
详解
x>1时函数f（x）增函数f（x）＝ex﹣a∈（e﹣a+）
x≤1时f（x）＝f′（x）＝3x2+6x＝3x（x﹣2）
f′（x）<0x＜0x＞2（舍）时函数减函数f′（x）>0
0＜x＜2时0
函数f（x）值e﹣a≥0
a≤e
实数a取值范围（﹣∞e]
选：B
点睛
题考查函数值应利分段函数解析式分求出应取值范围解决题关键．
12．等差数列公差函数单调存关称取值范围（ ）
A． B． C． D．
答案D
解析推导出sin4d＝1求出d函数解析式利单调存出结．
详解
∵{an}等差数列公差d0＜d＜1a5（k∈Z）
sin2a3+2sina5•cosa5＝sin2a7
∴2sina5cosa5＝sin2a7﹣sin2a3＝2sincos•2cossin2sina5cos2d•2cosa5sin2d
∴sin4d＝1
∴d．
∴f（x）cosωx
∵单调
∴
∴ω
存
f（x）（0）存零点
ω．
答案
选：D
点睛
题考查等差数列公差求法考查三角函数图象性质准确求解数列公差题关键考查推理力中档题．
二填空题
13．已知_______
答案
解析
14．已知命题命题假命题实数取值范围_______________．
答案
解析详解
假命题均假命题均真命题．
根真命题
根真命题
解．
综．
15．中角边分满足面积_____．
答案
解析二次方程解条件结合辅助角公式正弦函数值域求B进求a然结合余弦定理求c代入S△ABCacsinB计算求．
详解
a2﹣2a（sinBcosB）+4＝0成关a二次方程
△≥08（sinBcosB）2﹣16≥0
8（sin（B））2﹣16≥0
化sin2（B）≥1sin2（B）≤1
sin2（B）＝1
0＜B＜πB
BB
代入方程a2﹣4a+4＝0
∴a＝2
余弦定理cos
解c＝2
∴S△ABCacsinB2×2．
答案：．
点睛
题考查元二次方程根存条件辅助角公式余弦定理三角形面积公式应属中档题．
16．两曲线存公切线正实数取值范围__________．
答案
解析设两切点分两切线方程分化简两条切线条 令g(x)递增递减
填
三解答题
17．已知三角边分
（1）求证：
（2）求边高
答案（1）见解析（2）
解析试题分析（１）先运正弦定理建立关三角形角方程运诱导公式化角关系进行求解（２）题设助余弦定理求出外两边运三角形面积相等建立方程求解：
（1）
（2）
余弦定理：
解：
设边高
点睛：题解三角形问题典型问题求解第问时先运正弦定理建立关三角形角方程运三角函数诱导公式化角关系进行求解问题获解解答第二问时先题设助余弦定理求出外两边：运三角形面积相等建立方程求出解问题获解
18．已知数列中前项时满足．
（1）求证：数列等差数列
（2）证明：．
答案(1)证明见解析(2)证明见解析
解析（1）n≥2时Sn﹣Sn﹣1⇒Sn﹣Sn﹣1＝Sn•Sn﹣1（n≥2）取倒数1利等差数列定义证：数列{}等差数列
（2）利进行放缩裂项求证明
详解
（1）时
构成1首项1公差等差数列．
（2）（1）知．
时．
时
时满足题意．
法二：时
时时满足题意
点睛
题考查数列递推式应考查等差数列判定考查等价转化思想突出裂项法放缩法应考查属难题．
19．四棱锥中．
（1）设相交点面求实数值
（2）求二面角余弦值．
答案(1) (2)
解析（1）AB∥CDMN∥面PCDMN∥PC实数m值．
（2）AB＝AD∠BAD＝60°知△ABD等边三角形推导出PD⊥DBPD⊥ADPD⊥面ABCDD坐标原点方xy轴正方建立空间直角坐标系求出二面角B﹣PC﹣D余弦值．
详解
（1）．
面面面面
．
．
（2）知三角形ABD等边三角形
．
已知面
图坐标原点方轴正方建立空间直角坐标系
设
设面法量
令
设面法量
令．
设二面角面角
点睛
题考查实数值求法考查二面角余弦值求法考查空间中线线线面面面间位置关系等基础知识考查运算求解力考查函数方程思想中档题．
20．已知抛物线直线直线意点作抛物线两条切线切点分．
（1）判断直线否定点？定点求出定点坐标定点说明理
（2）求面积值．
答案(1)恒定点(2)
解析（1）设点两边时求导求出切线方程抽出直线方程整理定点
（2）联立方程利韦达定理弦长结合点直线距离表示面积利二次函数求值
详解
（1）设点两边时求导
抛物线点处切线方程
该切线方程点
理均直线
直线方程
整理恒定点．
（2）题联立方程
点直线：距离
面积
时时面积值．
点睛
题考查直线圆锥曲线综合应力综合性强高考重点．题具体涉轨迹方程求法直线抛物线相关知识解题时注意合理进行等价转化．
21．已知．
（1）恒成立求实数取值范围
（2）证明：时．
答案(1) (2)证明见解析
解析（1）求导讨1 确定正负进确定值证明
（2）（1）取 证需证构造函数证明证明
详解
（1）法：题意
① 时单调递增
单调递增满足题意
② 时存时单调递减单调递减时舍
③ 时单调递减单调递减 舍
．
法二：题知
恒成立必须满足．
① 时单调递增
单调递增满足题意
② 时存时单调递减单调递减时舍
．
（2）证明：（1）知时．取
（1）
证需证．
令
时单调递增
单调递增
证
点睛
题考查函数导数应考查利导数证明等式考查构造函数变形转化力中档题
22．极坐标系方程图形图示幸运四叶草称玫瑰线．
（1）玫瑰线时求极点圆心单位圆玫瑰线交点极坐标
（2）求曲线点M玫瑰线点N距离值取值时点MN极坐标（必写详细解题程）．
答案（1）（2）值MN极坐标分
解析（1）联立解方程组极点圆心单位圆玫瑰线交点极坐标（2）曲线直角坐标方程利数形结合求出点MN极坐标
详解
（1）极点圆心单位圆联立
极点圆心单位圆玫瑰线交点极坐标．
（2）曲线直角坐标方程．
玫瑰线极径值2点取
连接O垂直交点
点M点N距离值
时应点MN极坐标分．
点睛
题考查曲线交点极坐标考查极坐标曲线中值问题意考查学生知识理解掌握水分析推理力
23．已知函数．
（1）时解关等式
（2）意存等式成立求实数取值范围．
答案（1）（2）
解析（1）时
时解
时恒成立
时解．
解集．
（2）意存等式成立
．
①
时①式等号成立．
②
时②式等号成立．
整理 解
取值范围．
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